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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Le baccalauréat de 1998}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat C Centres étrangers juin 1998~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une urne contient 5 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher.
On effectue $n$ tirages successifs ($n$ entier supérieur ou égal à 1) d'une boule en respectant la règle suivante :

- si la boule tirée est rouge, on la remet dans l'urne ;

- si elle est blanche, on ne la remet pas. 

Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie $n = 3$. On donnera les résultats sous forme de fractions
irréductibles.
 
Si $k$ est un entier compris entre 1 et 3, on note $E_{k}$ l'évènement \og seule la
$k$-ième boule tirée est blanche \fg. Par exemple, $E_{1}$ est l'évènement \og seule
la première boule tirée est blanche \fg. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $E_{1}$ est
$p(E_{1}) = \dfrac{5}{36}$.
\item Calculer les probabilités des évènements $E_{2}$ 
et $E_{3}$.
En déduire la probabilité qu'on ait tiré une seule boule blanche à l'issue des
trois tirages. 
\item Sachant que l'on a tiré exactement une boule blanche,
quelle est la probabilité que cette boule ait été tirée en dernier ? 
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

On effectue maintenant $n$ tirages. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en fonction de $n$, la 
probabilité $p_{n}$ de tirer au moins une boule blanche en $n$ 
tirages. 
\item Quelles valeurs faut-il donner à $n$ pour 
que $p_{n} > 0,99$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill 4 points})

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est de 3~cm.

On considère les points B, C, D, E définissant le carré de sens direct 
BCDE d'affixes respectives :

\[b = 1 - \text{i}\quad ;\quad c = -1 - \text{i} \quad ;\quad  d = - 1 - 3\text{i} \quad ;\quad e = 1 - 3\text{i}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $|b|,~ |c|,~ |d|$ et $|e|$. 
\item Soit $\Gamma$ le cercle de centre O passant par B. Déterminer une équation du
cercle $\Gamma$.
On considère $Q$ un point de $\Gamma$ distinct de B et C. L'affixe 
de $Q$ est notée $q = x + \text{i}y$ (avec $x$ et $y$ réels). 
\item Soient $F$ et $G$ les points du plan tels 
que $Q\textrm{B}FG$ soit un carré de sens direct, c'est-à-dire tels que 
$\left(\vect{Q\text{B}},~\vect{QG}\right) = + \dfrac{\pi}{2}$. On pose $Z = \dfrac{g - q}{b - q}$ où $g$ est l'affixe du point G.

Interpréter géométriquement le module et un argument de $Z$. En déduire 
$Z$.
\item Prouver que  $g = (1 + x + y) + \text{i}(1 - x + y)$. En déduire $|g|$ en fonction de  $x$ et $y$.
\item En utilisant la question 2), exprimer $|g|$ en fonction
de $x$ et $y$.
\item À l'aide de considérations géométriques, prouver que :
$If | = |g|,~ f$~ étant l'affixe du point $F$.
\item Pour quelles valeurs de $x$ et de $y$ les points 
E, D, $G$ et $F$ sont-ils sur un cercle de centre O ?

Préciser le rayon de ce cercle. En déduire alors la nature du 
triangle $Q$BC. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A :} \emph{où on construit un triangle 
équilatéral.}

\medskip
 
On considère la figure suivante où  $(\Delta)$ et $(D)$ sont deux droites
parallèles et A un point situé entre les deux droites et n'appartenant à aucune
d'entre elles.
\begin{center} \begin{pspicture}(5,3)
    \psline(0,0)(5,0) \psline(0,2.8)(5,2.8)
    \rput(4.5,0.5){$(D)$}  \rput(4.5,3){$(\Delta)$}
    \rput(1,1.5){A} \psline(0.9,1.1)(1.1,0.9)  \psline(1.1,1.1)(0.9,0.9)
    \end{pspicture} \end{center}

\bigskip

On se propose de construire un triangle équilatéral A$BC$ tel que $B$ 
et $C$ appartiennent respectivement aux droites $(D)$ et $(\Delta)$.

\emph{Dans toute la suite}, on note $R$ la rotation de centre A et 
d'angle +~$\dfrac{\pi}{3}$.
 
\begin{enumerate}
\item On considère la droite $(D')$ image de $(D)$ par la
rotation $R$.
Montrer que $(D')$ coupe $(\Delta)$. On note C le point d'intersection de (D')
de $(\Delta)$. 
\item Soit B $= R^{-~1}$(C). Montrer que le triangle ABC
répond au problème posé. 
\item Construire la droite $\left(D'\right)$ et placer les points B et C. 
\end{enumerate}

\textbf{Partie B} : où on calcule l'aire de ce triangle 
équilatétal.
Soit O le projeté orthogonal de A sur la droite $(D)$. Le plan est rapporté
au repère orthonormal direct (O~,$\vect{u},~\vect{v})$  où $\vect{u}$ est un vecteur
directeur  de $(D)$ et 	$\vect{v}$ est choisi de sorte que le point A ait pour
affixe $a$i ($a$ réel positif).

On note $\alpha$ la distance du point A à la droite $(\Delta)$. Soit B un point
de $(D)$ d'affixe $z_{\text{B}},~ (z_{\text{B}}$ est réel). On appelle 
$z_{\text{C}}$ l'affixe du point C image de B par la rotation 
$R$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $z_{\text{C}} = \dfrac{1}{2}\left( z_{\text{B}} + a\sqrt{3}\right) + 
\dfrac{\text{i}}{2}\left(a + z_{\text{B}}\sqrt{3}\right).$ 
\item En déduire que le point C appartient à la droite 
$(\Delta)$ si et seulement si 

$z_{\text{B}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(a + 2 \alpha).$ 

\emph{Dans la suite}, on prendra cette valeur pour $z_{\text{B}}$.
\item Exprimer AB$^2$ en fonction de $a$ et de $\alpha$.

En déduire que l'aire du triangle équilatéral ABC est $S = 
\dfrac{\sqrt{3}}{3}(a^2 + a\alpha + \alpha^2)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip
 
Le but du problème est l'étude d'une fonction $g_{k}$, où $k$ est un 
réel fixe qui vérifie : $0 < k < \text{e}$.

Dans la partie A on met en évidence certaines propriétés d'une
fonction $f$ qui seront utilisées dans la partie B. 

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = (2 - x)\text{e}^x - k.\]
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ en $-~\infty$ et en $+~\infty$.
\item Calculer $f^{\prime}(x)$. En déduire le tableau de variation de $f$. Calculer 
$f(1)$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que l'équation $f(x) = 0$ a deux solutions, une notée 
$\alpha_k$ appartenant à l'intervalle	$]-~\infty~;~1[$ et une autre notée 
$\beta_k$ appartenant à l'intervalle $]1~;~+ ~\infty[$.
		\item Montrer que $\text{e}^{\alpha_k} - k\alpha_k =  \left(\text{e}^{\alpha_k} - k\right) (\alpha_k - 1)$.
		
On démontrerait de même que $\beta_k$ vérifie l'égalité
		
$\text{e}^{\beta_k} - k\beta_k =  \left(\text{e}^{\beta_k} - k\right) (\beta_k - 1)$.
	\end{enumerate}	
\item Préciser le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
 
 
\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Soit $u$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\R$ par : 
$u(x) =  \text{e}^x - kx.$
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de $u$.		
		\item On rappelle que $0 < k < \text{e}$. Justifier la propriété suivante 
		
		\[\text{pour tout réel}\: x, \:\text{e}^x - kx > 0.\]
		
	\end{enumerate}  
\item Soit $g_k$ la fonction définie sur $\R$ par : ~$g_k(x) = \dfrac{\text{e}^x - k}
{\text{e}^x - kx}$ . 
On note $\mathcal{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $g_k$ dans le
 plan rapporté à un repère orthogonal. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $g_k$ en $-~\infty$  et en $+~\infty$.
		\item Prouver que : $g_k^{\prime}(x) = \dfrac{k f(x)}{\left(\text{e}^x - kx\right)^2}$.
		\item En déduire le tableau de variation de $g_k$. Calculer $g_k(1)$.
	\end{enumerate}
\item On nomme $M_k$ et $N_k$ les points de la courbe $\mathcal{C}_k$ d'abscisses
 respectives $\alpha_k$ et $\beta_k$.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la question 3)b) (partie \textbf{A}), montrer que
$g_k(\alpha_k) = \dfrac{1}{\alpha_k - 1}$.
		\item Donner de même $g_k(\beta_k)$.
		\item Déduire de la question précédente que lorsque $k$ varie les points $M_k$ et 
$N_k$ sont sur une courbe fixe $H$ dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item Représentations graphiques pour des valeurs particulières de $k$ :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_1$ et 
$\mathcal{C}_2$.
		\item Prouver que $\alpha_2 = 0$.
		\item En prenant comme unité 2 cm sur l'axe des abscisses et 4~cm sur l'axe des ordonnées, construire les courbes $\mathcal{C}_1 ,~ \mathcal{C}_2$ et $H$ sur le même graphique.
		
On prendra $\alpha_1 = - 1,1~ ;~ \beta_1 = 1,8~ ;~ \beta_2 = 1,6.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}