\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {juin 1999},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers juin 1999~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une urne $U_1$ contient deux jetons numérotés 
1 et 2.

Une urne $U_2$ contient $4$ jetons numérotés $1,~2,~3$ et 4.

On choisit au hasard une urne, puis un jeton dans cette urne. (Les choix sont supposés équiprobables).
 
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité de tirer un jeton portant le numéro 1 ?
		\item On a tiré un jeton portant le numéro 1. Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'urne $U_1$ ?
	\end{enumerate} 
\item On rassemble maintenant les deux urnes en une
 seule, qui contient donc les 6 jetons précédents. On tire simultanément et
 au hasard 2 jetons de cette urne. Les tirages sont supposés 
 équiprobables.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de tirer $2$ jetons identiques.
		\item Soit $S$ la variable aléatoire, qui, à chaque tirage, associe la somme des numéros des 2 jetons tirés. Déterminer la loi de probabilité de $S$.
		\item Deux joueurs, Claude et Dominique, décident que si la somme des numéros tirés est impaire, Claude donne $10$~euros à Dominique et que, dans le cas contraire, Claude reçoit $\lambda$ euros de Dominique.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain
 algébrique de Claude.

Calculer l'espérance mathématique de $X$ en fonction de $\lambda$, puis
 déterminer $\lambda$ pour que le jeu soit équitable (c'est-à-dire pour
 que $E(X)$ soit égale à $0$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le but de cet exercice est d'utiliser les solutions d'une équation à deux inconnues entières pour résoudre un problème dans l'espace.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un couple $(x_0~
;~y_0)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation :

\[48x + 35y = 1.\]

(On pourra utiliser l'algorithme d'Euclide pour la recherche du
 PGCD de deux nombres).
		\item Déduire de \textbf{a.} tous les couples d'entiers relatifs $(x~;~y)$ solutions de
cette équation.
	\end{enumerate}
\item L'espace étant rapporté à un repère orthonormal, on donne le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées (48~;~35~;~24) et le point A de coordonnées  $(- 11 ~;~35~;~-13)$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Préciser la nature et donner une équation cartésienne de l'ensemble ($\Pi$)  des points $M$ de l'espace, de coordonnées $(x~;~ y~;~ z)$ tels que $\vect{u} \cdot\: \vect{\text{AM}} = 0$. 
		\item Soit (D) la droite intersection de ($\Pi$) avec le plan d'équation $z = 16$.

Déterminer tous les points de (D) dont les coordonnées sont entières
 et appartiennent à l'intervalle $[- 100~ ;~ 100]$.

En déduire les coordonnées du point de $(D)$,  coordonnées entières, situé le plus près de l'origine.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan complexe rapporté à  un repère orthonormal \Ouv, A, A$'$,  B, B$'$ sont les points d'affixes respectives $1,~ - 1,~ \text{i},~ - \text{i}$.

À tout point $M$ d'affixe $z$, distinct des points O, A, A$'$, B et 
 B$'$, on associe les points $M_1$ et $M_2$ d'affixes respectives $z_1$ et  $z_2$, tels que les triangles B$MM_1$ et A$MM_2$ soient rectangles et isocèles, avec

\[\left(\vect{M_1\text{B}},~ \vect{M_1M}\right) = 
\left(\vect{M_2M},~ \vect{M_2\text{A}}\right) = ~\dfrac{\pi}{2}\]

\emph{Voir la figure sur l'annexe} 1, \emph{qui sera complétée et rendue avec la copie}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier les égalités $z - z_1 = \text{i}
\left(\text{i}- z_1\right)$ et $1 - z_2 = \text{i}\left( z - z_2\right) $.
		\item Vérifier que $z_1$ et $z_2$ peuvent s'écrire :
\[z_1 = \dfrac{1 + \text{i}}{2}(z + 1)~~ \text{et}~~ z_2 = \dfrac{1 - \text{i}}{2}(z + 
i).\]

	\end{enumerate}
\item On se propose dans cette question de déterminer les points $M$ pour lesquels le triangle O$M_1M_2$ est équilatéral.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : O$M_1 = \text{O}M_2$ équivaut à $|z + 1| = |z + \text{i}|$.
		
En déduire l'ensemble ($\Delta$) des points $M$ tels que O$M_1 = \text{O}M_2$ et tracer ($\Delta$) sur la figure.
		\item Montrer que : O$M_1 = M_1M_2$ équivaut $| z + 1|^2 = 2| z|^2.$
		\item En déduire l'ensemble ($\Gamma$) des points $M$ du plan pour lesquels O$M_1 = M_1M_2$.
 
On pourra montrer que $| z + 1|^2 = 2| z|^2$ équivaut à $|z - 1|^2 = 2$.
 
Tracer ($\Gamma$) sur la figure.
		\item En déduire les deux points $M$ pour lesquels O$M_1M_2$ est un triangle équilatéral et les placer sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\emph{Annexe} 1

\begin{pspicture}(9,9)
\psline(0,2.8)(9,2.8) \psline(3,0)(3,9)
\psline(5.8,2.8)(7.8,4.4) \psline(7.8,4.4)(6.2,6.4) \psline(6.2,6.4)(5.8,2.8)
\psline(6.2,6.4)(4.2,7.6) \psline(4.2,7.6)(3,5.5) \psline(3,5.5)(6.2,6.4)
\rput(2.7,2.3){O} \rput(0.2,2.3){A$'$} \rput(2.7,0.2){B$'$} 
\uput[d](5.8,2.8){A} \psline(0,2.7)(0,2.8) \psline(2.9,0)(3,0) 
\rput(8.1,4.3){$M_{2}$} \uput[ur](6.2,6.4){$M$} \uput[ul](4.2,7.6){$M_{1}$} 
\uput[l](3,5.5){B}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Problème\hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le but du problème est l'étude d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+~\infty[$ et d'une primitive de $f$.

\medskip

\textbf{Première partie}

\textbf{Étude d'une fonction auxiliaire} \boldmath $g$ 
\unboldmath

\medskip

 Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ + ~\infty[$ par :
\[ g(x) = 2x^2 - (x^2 + 1) \ln (x^2 + 1).\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et en détaillant les calculs effectués, montrer que 

\[g'(x) = 2x - 2x \ln (x^2 + 1).\]

\item Faire l'étude du sens de variation de $g$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$.
\item Montrer qu'il existe un unique réel, que l'on notera
$\alpha$, dans l'intervalle

$\left[\sqrt{\vphantom{l}\text{e} - 1}~;~ \sqrt{\text{e}^2
-  1}\right]$, tel que $g(\alpha) = 0$~; donner l'approximation décimale  
à $10^{-~ 2}$ près par défaut de $\alpha$.
 \item En déduire le signe de $g(x)$, pour $x$ appartenant 
l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Deuxième partie}

\textbf{Étude de la fonction} $f$

\medskip

La fonction $f$ est définie sur  $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(0) = 0~~\text{et}~~f(x) = \dfrac{\ln \left(1 + x^2\right)}{x}~~  \text{lorsque}~ x ­ \neq 0.\]

Sa courbe représentative ($\mathcal{C})$, dans le plan rapporté à  un repère d'origine O, est donnée en \emph{annexe} 2, qui sera complétée et rendue avec la copie.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 1.$
		
En déduire que $f$ est dérivable en $0$ et donner la valeur de $f'(0)$.
		\item Vérifier que, pour $x$ strictement positif, $f'(x) =\dfrac{g(x)}{x^2\left(1 + x^2\right)}$
		
Faire l'étude du sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour $x 
\geqslant 1,~ 0 \leqslant f(x) \leqslant
\dfrac{\ln \left(2x^2\right)}{x}$.
		\item En déduire la limite de $f$ en $+~ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\emph{Annexe} 1

\bigskip

\psset{unit=1.8cm}\begin{pspicture}(-1,0)(5,2)
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange,gridwidth=1.5pt](0,0)(-1,0)(5,2)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.01}{5}{x 2 exp 1 add ln x div}
\psline{->}(-1,0)(5,0) \psline{->}(0,0)(0,2)
\uput[u](5,0){$x$} \uput[r](0,2){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Troisième partie}

\textbf{Étude d'une primitive de } $f$

\medskip

On note $F$ la primitive de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + ~\infty[$, qui s'annule pour $x = 1$.

On rappelle que $F(x) = \displaystyle\int_1^x  f(t)\:\text{d}t$ : (on ne cherchera pas à calculer $F(x)$).

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour $x > 0,~ f(x) \geqslant \dfrac{2 \ln x}{x}$.
		\item Calculer $\displaystyle\int_1^x \dfrac{2 \ln t}{t}\:\text{d}t$  pour $x \geqslant 1$ et en déduire la limite de $F$ en $+~ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item Dresser le tableau des variations de $F$.

\item Montrer que $f(1) < F(2) < f(\alpha)$ et en déduire un encadrement de $F(2)$.
 (On prendra $f(\alpha) \approx  0,8.$) 
\item On note I le point de coordonnées (1~;~0),~A le point de ($\mathcal{C})$
 de coordonnées $(1~;~\ln 2)$ et B le point de coordonnées
 $(\ln 2~;~\ln 2).$ 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que B appartient à la tangente  ($\mathcal{C})$ en O.
		\item Placer les points I,~ A et B sur la figure de l'\emph{annexe} 1
 et tracer les segments [OA],\:[OB],\: [BA] et [AI]. 
		\item On admet que, pour les abscisses appartenant à l'intervalle [0~;~1], la courbe ($\mathcal{C})$ est située au-dessus de [OA] et au-dessous de  [OB] et de [BA].
 
Déterminer un encadrement de $F(0)$, d'amplitude inférieure à $2 \times 10^{- 1}$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique ($\Gamma$) de $F$ en
exploitant au maximum les résultats précédents ; on précisera notamment la tangente  ($\Gamma$) au point d'abscisse 1 en la traçant et en donnant son coefficient directeur.

(Unité graphique : $2$~cm)
\end{enumerate}
\end{document}