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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 1999}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat S Centres Žétrangers juin 1999~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun àˆ tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une urne $U_1$ contient deux jetons numérotés 
1 et 2.

Une urne $U_2$ contient $4$ jetons numérotés $1,~2,~3$ et 4.

On choisit au hasard une urne, puis un jeton dans cette urne. (Les choix sont supposéŽs Žéquiprobables).
 
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilitŽé de tirer un jeton portant le numéro 1 ?
		\item On a tiréŽ un jeton portant le numéro 1. Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'urne $U_1$ ?
	\end{enumerate} 
\item On rassemble maintenant les deux urnes en une
 seule, qui contient donc les 6 jetons prŽécŽédents. On tire simultanŽément et
 au hasard 2 jetons de cette urne. Les tirages sont supposŽés 
 Žéquiprobables.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilitéŽ de tirer $2$ jetons identiques.
		\item Soit $S$ la variable aléŽatoire, qui, àˆ chaque tirage, associe la somme des numéŽros des 2 jetons tirŽés. DŽéterminer la loi de probabilitŽé de $S$.
		\item Deux joueurs, Claude et Dominique, dŽécident que si la somme des numŽéros tirŽés est impaire, Claude donne $10$~euros ˆà Dominique et que, dans le cas contraire, Claude reçoit $\lambda$ euros de Dominique.

On note $X$ la variable aléŽatoire qui, àˆ chaque tirage, associe le gain
 algéŽbrique de Claude.

Calculer l'espŽérance mathéŽmatique de $X$ en fonction de $\lambda$, puis
 dŽéterminer $\lambda$ pour que le jeu soit Žéquitable (c'est-ˆà-dire pour
 que $E(X)$ soit Žégale ˆà $0$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spéŽcialitŽé}

\medskip

Le but de cet exercice est d'utiliser les solutions d'une Žéquation ˆà deux inconnues entières pour rŽésoudre un problème dans l'espace.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item DéŽterminer un couple $(x_0~
;~y_0)$ d'entiers relatifs solutions de l'Žéquation :

\[48x + 35y = 1.\]

(On pourra utiliser l'algorithme d'Euclide pour la recherche du
 PGCD de deux nombres).
		\item DŽéduire de \textbf{a.} tous les couples d'entiers relatifs $(x~;~y)$ solutions de
cette équation.
	\end{enumerate}
\item L'espace Žétant rapportŽé ˆà un repère orthonormal, on donne le vecteur $\vect{u}$ de coordonnŽées (48~;~35~;~24) et le point A de coordonnéŽes  $(- 11 ~;~35~;~-13)$. 
	\begin{enumerate} 
		\item PrŽéciser la nature et donner une Žéquation cartŽésienne de l'ensemble ($\Pi$)  des points $M$ de l'espace, de coordonnŽées $(x~;~ y~;~ z)$ tels que $\vect{u} \cdot\: \vect{\text{AM}} = 0$. 
		\item Soit (D) la droite intersection de ($\Pi$) avec le plan d'Žéquation $z = 16$.

DéŽterminer tous les points de (D) dont les coordonnŽées sont entières
 et appartiennent ˆà l'intervalle $[- 100~ ;~ 100]$.

En dŽéduire les coordonnŽées du point de $(D)$, ˆ coordonnŽées entières, situŽé le plus près de l'origine.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spŽécialitŽé}

\medskip

Dans le plan complexe rapportŽé à ˆ un repère orthonormal \Ouv, A, A$'$,  B, B$'$ sont les points d'affixes respectives $1,~ - 1,~ \text{i},~ - \text{i}$.

À tout point $M$ d'affixe $z$, distinct des points O, A, A$'$, B et 
 B$'$, on associe les points $M_1$ et $M_2$ d'affixes respectives $z_1$ et  $z_2$, tels que les triangles B$MM_1$ et A$MM_2$ soient rectangles et isocèles, avec

\[\left(\vect{M_1\text{B}},~ \vect{M_1M}\right) = 
\left(\vect{M_2M},~ \vect{M_2\text{A}}\right) = ~\dfrac{\pi}{2}\]

\emph{Voir la figure sur l'annexe} 1, \emph{qui sera complŽétŽée et rendue avec la copie}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier les Žégalités $z - z_1 = \text{i}
\left(\text{i}- z_1\right)$ et $1 - z_2 = \text{i}\left( z - z_2\right) $.
		\item VéŽrifier que $z_1$ et $z_2$ peuvent s'Žécrire :
\[z_1 = \dfrac{1 + \text{i}}{2}(z + 1)~~ \text{et}~~ z_2 = \dfrac{1 - \text{i}}{2}(z + 
i).\]

	\end{enumerate}
\item On se propose dans cette question de dŽéterminer les points $M$ pour lesquels le triangle O$M_1M_2$ est ŽéquilatŽéral.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : O$M_1 = \text{O}M_2$ Žéquivaut ˆà $|z + 1| = |z + \text{i}|$.
		
En dŽéduire l'ensemble ($\Delta$) des points $M$ tels que O$M_1 = \text{O}M_2$ et tracer ($\Delta$) sur la figure.
		\item Montrer que : O$M_1 = M_1M_2$ Žéquivaut ˆ$| z + 1|^2 = 2| z|^2.$
		\item En dŽéduire l'ensemble ($\Gamma$) des points $M$ du plan pour lesquels O$M_1 = M_1M_2$.
 
On pourra montrer que $| z + 1|^2 = 2| z|^2$ Žéquivaut ˆà $|z - 1|^2 = 2$.
 
Tracer ($\Gamma$) sur la figure.
		\item En dŽéduire les deux points $M$ pour lesquels O$M_1M_2$ est un triangle ŽéquilatŽéral et les placer sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\emph{Annexe} 1

\begin{pspicture}(9,9)
\psline(0,2.8)(9,2.8) \psline(3,0)(3,9)
\psline(5.8,2.8)(7.8,4.4) \psline(7.8,4.4)(6.2,6.4) \psline(6.2,6.4)(5.8,2.8)
\psline(6.2,6.4)(4.2,7.6) \psline(4.2,7.6)(3,5.5) \psline(3,5.5)(6.2,6.4)
\rput(2.7,2.3){O} \rput(0.2,2.3){A$'$} \rput(2.7,0.2){B$'$} 
\uput[d](5.8,2.8){A} \psline(0,2.7)(0,2.8) \psline(2.9,0)(3,0) 
\rput(8.1,4.3){$M_{2}$} \uput[ur](6.2,6.4){$M$} \uput[ul](4.2,7.6){$M_{1}$} 
\uput[l](3,5.5){B}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Problème\hfill 10 points}

\textbf{Commun ˆà tous les candidats}

\medskip

Le but du problème est l'Žétude d'une fonction $f$ dŽéfinie sur l'intervalle $[0~;~+~\infty[$ et d'une primitive de $f$.

\medskip

\textbf{Première partie}

\textbf{ătude d'une fonction auxiliaire} \boldmath $g$ 
\unboldmath

\medskip

 Soit $g$ la fonction dŽéfinie sur l'intervalle $[0~;~ + ~\infty[$ par :
\[ g(x) = 2x^2 - (x^2 + 1) \ln (x^2 + 1).\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $g$ est dŽérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et en déŽtaillant les calculs effectuŽés, montrer que 

\[g'(x) = 2x - 2x \ln (x^2 + 1).\]

\item Faire l'Žétude du sens de variation de $g$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$.
\item Montrer qu'il existe un unique rŽéel, que l'on notera
$\alpha$, dans l'intervalle

$\left[\sqrt{\vphantom{l}\text{e} - 1}~;~ \sqrt{\text{e}^2
-  1}\right]$, tel que $g(\alpha) = 0$~; donner l'approximation dŽécimale ˆ 
à $10^{-~ 2}$ près par dŽéfaut de $\alpha$.
 \item En dŽéduire le signe de $g(x)$, pour $x$ appartenant ˆ
l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Deuxième partie}

\textbf{Ƀtude de la fonction} $f$

\medskip

La fonction $f$ est dŽéfinie sur  $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(0) = 0~~\text{et}~~f(x) = \dfrac{\ln \left(1 + x^2\right)}{x}~~  \text{lorsque}~ x ­ \neq 0.\]

Sa courbe reprŽésentative ($\mathcal{C})$, dans le plan rapportŽé à ˆ un repère d'origine O, est donnéŽe en \emph{annexe} 2, qui sera complŽétŽée et rendue avec la copie.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 1.$
		
En dŽéduire que $f$ est déŽrivable en $0$ et donner la valeur de $f'(0)$.
		\item VéŽrifier que, pour $x$ strictement positif, $f'(x) =\dfrac{g(x)}{x^2\left(1 + x^2\right)}$
		
Faire l'Žétude du sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour $x 
\geqslant 1,~ 0 \leqslant f(x) \leqslant
\dfrac{\ln \left(2x^2\right)}{x}$.
		\item En dŽéduire la limite de $f$ en $+~ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\emph{Annexe} 1

\bigskip

\psset{unit=1.8cm}\begin{pspicture}(-1,0)(5,2)
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange,gridwidth=1.5pt](0,0)(-1,0)(5,2)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.01}{5}{x 2 exp 1 add ln x div}
\psline{->}(-1,0)(5,0) \psline{->}(0,0)(0,2)
\uput[u](5,0){$x$} \uput[r](0,2){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Troisième partie}

\textbf{ătude d'une primitive de } $f$

\medskip

On note $F$ la primitive de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + ~\infty[$, qui s'annule pour $x = 1$.

On rappelle que $F(x) = \displaystyle\int_1^x  f(t)\:\text{d}t$ : (on ne cherchera pas ˆà calculer $F(x)$).

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour $x > 0,~ f(x) \geqslant \dfrac{2 \ln x}{x}$.
		\item Calculer $\displaystyle\int_1^x \dfrac{2 \ln t}{t}\:\text{d}t$  pour $x \geqslant 1$ et en dŽéduire la limite de $F$ en $+~ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item Dresser le tableau des variations de $F$.

\item Montrer que $f(1) < F(2) < f(\alpha)$ et en dŽéduire un encadrement de $F(2)$.
 (On prendra $f(\alpha) \approx  0,8.$) 
\item On note I le point de coordonnŽées (1~;~0),~A le point de ($\mathcal{C})$
 de coordonnŽées $(1~;~\ln 2)$ et B le point de coordonnŽées
 $(\ln 2~;~\ln 2).$ 
	\begin{enumerate} 
		\item VŽérifier que B appartient àˆ la tangente ˆ ($\mathcal{C})$ en O.
		\item Placer les points I,~ A et B sur la figure de l'\emph{annexe} 1
 et tracer les segments [OA],\:[OB],\: [BA] et [AI]. 
		\item On admet que, pour les abscisses appartenant ˆà l'intervalle [0~;~1], la courbe ($\mathcal{C})$ est situŽée au-dessus de [OA] et au-dessous de  [OB] et de [BA].
 
DŽéterminer un encadrement de $F(0)$, d'amplitude infŽérieure ˆà $2 \times 10^{- 1}$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la reprŽésentation graphique ($\Gamma$) de $F$ en
exploitant au maximum les résultats précédents ; on précisera notamment la tangente ˆ ($\Gamma$) au point d'abscisse 1 en la traçant et en donnant son coefficient directeur.

(UnitŽé graphique : $2$~cm)
\end{enumerate}
\end{document}