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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers
juin 2003~\decofourright}}\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On définit, pour tout entier naturel $n > 0$, la suite $(u_n)$ de nombres 
réels strictement positifs par $u_n = \dfrac{n^2}{2^n}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n > 0$, on pose $v_n = 
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = \dfrac{1}{2}$.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n > 0,\: v_n > \dfrac{1}{2}$.
		\item Trouver le plus petit entier $N$ tel que si $n \geqslant 
N,~v_n < \dfrac{3}{4}$.
		\item En déduire que si $n \geqslant N$, alors $u_{n+1} < \dfrac{3}{4}u_n$.
	\end{enumerate}
On pose pour tout entier naturel $n \geqslant 5,~S_n = u_5 + 
u_6 + \cdots + u_n$.
 \item On se propose de montrer que la suite $(S_n)_{n\geqslant 5}$ est convergente.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 5,$

\[u_n \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}u_5.\]

		\item Montrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 5$,

\[S_n \leqslant \left[1 + \dfrac{3}{4} + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 + 
\cdots + \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}\right]u_5.\]

		\item En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 
5,~S_n \leqslant 4u_5$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(S_n\right)_{n\geqslant 
5}$ est croissante et en déduire qu'elle converge.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement 
de spécialité}

\medskip

Une entreprise d'autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres, la présence de troupeaux sur la route, etc.

Un autocar part de son entrepôt. On note $D$ la variable aléatoire
 qui mesure la distance en kilomètres que l'autocar va parcourir jusqu'à ce qu'il survienne un incident. On admet que $D$ suit
une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{82}$, appelée aussi loi de durée de vie sans vieillissement.

On rappelle que la loi de probabilité est alors définie par :

\[p(D \leqslant A) = \displaystyle\int_0^A 
\dfrac{1}{82}\text{e}^{-\frac{x}{82}} \:\text{d}x.\]

Dans tout l'exercice, les résultats numériques seront arrondis au millième.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la distance parcourue sans
 incident soit :
	\begin{enumerate}
		\item comprise entre $50$ et $100$ km ;
		\item supérieure à $300$ km.
	\end{enumerate} 
\item Sachant que l'autocar a déjà parcouru $350$ kilomètres
 sans incident, quelle est la probabilité qu'il n'en subisse pas non plus
 au cours des 25~prochains kilomètres ?
\item Détermination de la distance moyenne parcourue sans
 incident.
	\begin{enumerate} 
		\item Au moyen d'une intégration par parties, calculer I$(A) = 
\displaystyle\int_0^A  \dfrac{1}{82}x\text{e}^{-\frac{x}{82}} \:\text{d}x$ où $A$ est un nombre réel positif.
		 \item Calculer la limite de I$(A)$ lorsque $A$ tend vers $+ \infty$.
 (Cette limite représente la distance moyenne cherchée).
 	\end{enumerate}
\item L'entreprise possède N$_0$ autocars. Les distances
 parcourues par chacun des autocars entre l'entrepôt et le lieu où survient un incident sont des variables aléatoires deux à deux
indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{82}$.

$d$ étant un réel positif, on note $X_d$ la variable aléatoire égale
 au nombre d'autocars n'ayant subi aucun incident après avoir parcouru $d$ kilomètres.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $X_d$ suit une loi binomiale de paramètres N$_0$ et  e$^{-\lambda d}$.
		\item Donner le nombre moyen d'autocars n'ayant subi aucun incident après avoir parcouru $d$ kilomètres.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{2cm}

\parbox[l]{0.55\textwidth}{L'espace (E) est muni d'un repère orthonormal 
\Oijk.

On considère la surface \textbf{T} d'équation :
$x^2y = z$\quad avec $-1 \leqslant x \leqslant 1$ \quad et 
$-1 \leqslant y \leqslant 1.$

La figure ci-contre est une représentation de la surface \textbf{T}, dans le
 cube de centre O et de côté 2.} \hfill
\parbox[l]{0.4\textwidth}{
\psset{unit=1.5cm,xMax=2.2,yMax=2.2,zMax=2.5,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(1.3,2)
\pstThreeDCoor
\pstThreeDBox(1,1,-1)(-2,0,0)(0,-2,0)(0,0,2)
\psplotThreeD[linecolor=blue,drawStyle=xLines](-1,1)(-1,1){x 2 exp y mul}
\psplotThreeD[linecolor=red,drawStyle=yLines](-1,1)(-1,1){x 2 exp y mul}
\end{pspicture}}

\vspace{0,8cm}

\begin{enumerate}
\item Éléments de symétrie de la surface \textbf{T}.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si le point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à \textbf{T}, alors le point

$M'(- x~;~y~;~z)$ appartient aussi à \textbf{T}. En déduire un plan de symétrie de \textbf{T}.
		\item Montrer que l'origine O du repère est centre de symétrie de \textbf{T}.
	\end{enumerate}
\item Intersections de la surface \textbf{T} avec des plans parallèles aux axes.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature des courbes d'intersection de \textbf{T} avec les plans parallèles au plan (x\text{O}z).
		\item Déterminer la nature des courbes d'intersection de \textbf{T} avec les plans parallèles au plan $(y\text{O}z)$.
	\end{enumerate}
\item Intersections de la surface \textbf{T} avec les plans
 parallèles au plan $(x\text{O}y)$ d'équations $z = k$, avec $k \in [0~;~1]$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intersection de la surface \textbf{T} et du plan d'équation $z = 0$.
		\item Pour $k > 0$ on note $K$ le point de coordonnées $(0,~0,~ k)$.
 Déterminer, dans le repère $\left(K~;~\vect{\imath},~
\vect{\jmath}\right)$, l'équation de la courbe d'intersection de
 \textbf{T} et du plan d'équation $z = k$.
		\item Tracer l'allure de cette courbe dans le repère $\left(K~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$. On précisera en particulier les coordonnées des extrémités de l'arc.
	\end{enumerate}
\item On note (D) le domaine formé des points du cube unité situés sous la surface \textbf{T}.

\[(\text{D}) = {M(x,~y,~z) \in (E) \quad \text{avec} \quad 0 \leqslant x 
\leqslant 1~;~ 0\leqslant y\leqslant 1~;~ 0 \leqslant z \leqslant x^2y}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Pour $0 < k \leqslant 1$, le plan d'équation $z = k$ coupe le domaine (D) selon une surface qu'on peut visualiser sur le graphique de la \textbf{question 3. c}.

C'est l'ensemble des points $M$ du cube unité, de coordonnées $(x,~ y,~ z)$ tels que $y \geqslant \dfrac{k}{x^2}$  et $z = k$.

Calculer en fonction de $k$  l'aire $S(k)$ exprimée en unités d'aire, de cette surface.
		\item On pose $S(0) = 1$ ; calculer en unités de volume, le volume $V$ du domaine (D).

On rappelle que $V = \displaystyle\int_0^1  S(k)\:\text{d}k$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle I $ = ]- 2~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = 1 + x\ln (x + 2).\]

On note $\left(\mathcal{C}_f\right)$ la courbe représentative de $f$
 dans le repère orthonormal \Oij. (unité graphique 4 cm).

\medskip

\textbf{I. Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude des variations de la dérivée $f'$.
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ désigne la fonction dérivée première de $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde. Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$ pour $x$ appartenant  à l'intervalle 

$]-2~;~+ \infty[$.
		\item Étudier les variations de $f'$ sur l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$.
		\item Déterminer les limites de $f'$ en $- 2$ et en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Étude du signe de $f'(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que sur l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$ l'équation $f'(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[- 0,6~;~- 0,5]$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\item Étude des variations de $f$
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle 
$]-2~;~+ \infty[$.
		\item Déterminer les limites de $f$ en $- 2$ et en $+ \infty$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II. Position de la courbe \boldmath $(\mathcal{C}_f)$ 
\unboldmath par rapport à ses tangentes}

\medskip

Soit $x_0$ un réel appartenant l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$ , on 
appelle $T_{x_0}$ la tangente $\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point d'abscisse $x_0$.

On note, pour $x$ appartenant à l'intervalle $]-2~;~+ \infty[,$

\[d(x) = f(x) - \left[f'(x_0) (x- x_{0}) + f(x_0)\right].\]

\begin{enumerate}
\item Étude des variations de $d$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle 
$]-2~;~+ \infty[$,

\[d'(x) = f'(x) - f'\left(x_0\right).\]

		\item En utilisant la croissance de la fonction $f'$, donner le signe de $d'(x)$ selon les valeurs de $x$. En déduire les variations de $d$ sur l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la position relative de $\left(\mathcal{C}_
f\right)$ et de $T_{x_0}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III. Tracés dans le repère $\Oij$ \}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $T_0$, tangente 
$\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point d'abscisse 0 ; tracer $T_0$.
\item Trouver les réels $x_0$ pour lesquels les tangentes $T_{x_0}$
 passent par l'origine du repère puis tracer ces droites.

\item Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_f\right)$ pour les
 valeurs de $x$ comprises entre $- 1$ et 2. On prendra pour $\alpha$ la
valeur $- 0,54$ et pour $f(\alpha)$ la valeur $0,8$.
\end{enumerate}
\end{document}