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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers
juin 2003~\decofourright}}\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On définit, pour tout entier naturel $n > 0$, la suite $(u_n)$ de nombres 
réels strictement positifs par $u_n = \dfrac{n^2}{2^n}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n > 0$, on pose $v_n = 
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = \dfrac{1}{2}$.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n > 0,\: v_n > \dfrac{1}{2}$.
		\item Trouver le plus petit entier $N$ tel que si $n \geqslant 
N,~v_n < \dfrac{3}{4}$.
		\item En déduire que si $n \geqslant N$, alors $u_{n+1} < \dfrac{3}{4}u_n$.
	\end{enumerate}
On pose pour tout entier naturel $n \geqslant 5,~S_n = u_5 + 
u_6 + \cdots + u_n$.
 \item On se propose de montrer que la suite $(S_n)_{n\geqslant 5}$ est convergente.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 5,$

\[u_n \leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}u_5.\]

		\item Montrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 5$,

\[S_n \leqslant \left[1 + \dfrac{3}{4} + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 + 
\cdots + \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-5}\right]u_5.\]

		\item En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 
5,~S_n \leqslant 4u_5$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(S_n\right)_{n\geqslant 
5}$ est croissante et en déduire qu'elle converge.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement 
de spécialité}

\medskip

Une entreprise d'autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres, la présence de troupeaux sur la route, etc.

Un autocar part de son entrepô™t. On note $D$ la variable aléatoire
 qui mesure la distance en kilomètres que l'autocar va parcourir jusqu'ˆà ce qu'il survienne un incident. On admet que $D$ suit
une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{82}$, appelée aussi loi de duréŽe de vie sans vieillissement.

On rappelle que la loi de probabilité est alors déŽfinie par :

\[p(D \leqslant A) = \displaystyle\int_0^A 
\dfrac{1}{82}\text{e}^{-\frac{x}{82}} \:\text{d}x.\]

Dans tout l'exercice, les résultats numéŽriques seront arrondis au millième.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la distance parcourue sans
 incident soit :
	\begin{enumerate}
		\item comprise entre $50$ et $100$ km ;
		\item supérieure ˆà $300$ km.
	\end{enumerate} 
\item Sachant que l'autocar a déjˆà parcouru $350$ kilomètres
 sans incident, quelle est la probabilité qu'il n'en subisse pas non plus
 au cours des 25~prochains kilomètres ?
\item DéŽtermination de la distance moyenne parcourue sans
 incident.
	\begin{enumerate} 
		\item Au moyen d'une intégration par parties, calculer I$(A) = 
\displaystyle\int_0^A  \dfrac{1}{82}x\text{e}^{-\frac{x}{82}} \:\text{d}x$ où $A$ est un nombre réel positif.
		 \item Calculer la limite de I$(A)$ lorsque $A$ tend vers $+ \infty$.
 (Cette limite représente la distance moyenne cherchéŽe).
 	\end{enumerate}
\item L'entreprise possède N$_0$ autocars. Les distances
 parcourues par chacun des autocars entre l'entrep™ôt et le lieu où survient un incident sont des variables aléatoires deux àˆ deux
indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{82}$.

$d$ éŽtant un réel positif, on note $X_d$ la variable aléŽatoire égale
 au nombre d'autocars n'ayant subi aucun incident après avoir parcouru $d$ kilomètres.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $X_d$ suit une loi binomiale de paramètres N$_0$ et  e$^{-\lambda d}$.
		\item Donner le nombre moyen d'autocars n'ayant subi aucun incident après avoir parcouru $d$ kilomètres.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spéŽcialité}

\vspace{2cm}

\parbox[l]{0.55\textwidth}{L'espace (E) est muni d'un repère orthonormal 
\Oijk.

On considère la surface \textbf{T} d'équation :
$x^2y = z$\quad avec $-1 \leqslant x \leqslant 1$ \quad et 
$-1 \leqslant y \leqslant 1.$

La figure ci-contre est une repréŽsentation de la surface \textbf{T}, dans le
 cube de centre O et de c™ôté 2.} \hfill
\parbox[l]{0.4\textwidth}{
\psset{unit=1.5cm,xMax=2.2,yMax=2.2,zMax=2.5,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(1.3,2)
\pstThreeDCoor
\pstThreeDBox(1,1,-1)(-2,0,0)(0,-2,0)(0,0,2)
\psplotThreeD[linecolor=blue,drawStyle=xLines](-1,1)(-1,1){x 2 exp y mul}
\psplotThreeD[linecolor=red,drawStyle=yLines](-1,1)(-1,1){x 2 exp y mul}
\end{pspicture}}

\vspace{0,8cm}

\begin{enumerate}
\item ÉléŽments de syméŽtrie de la surface \textbf{T}.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si le point $M(x~;~y~;~z)$ appartient ˆà \textbf{T}, alors le point

$M'(- x~;~y~;~z)$ appartient aussi ˆà \textbf{T}. En déduire un plan de symétrie de \textbf{T}.
		\item Montrer que l'origine O du repère est centre de symétrie de \textbf{T}.
	\end{enumerate}
\item Intersections de la surface \textbf{T} avec des plans parallèles aux axes.
	\begin{enumerate}
		\item DéŽterminer la nature des courbes d'intersection de \textbf{T} avec les plans parallèles au plan (x\text{O}z).
		\item Déterminer la nature des courbes d'intersection de \textbf{T} avec les plans parallèles au plan $(y\text{O}z)$.
	\end{enumerate}
\item Intersections de la surface \textbf{T} avec les plans
 parallèles au plan $(x\text{O}y)$ d'équations $z = k$, avec $k \in [0~;~1]$.
	\begin{enumerate}
		\item DéŽterminer l'intersection de la surface \textbf{T} et du plan d'équation $z = 0$.
		\item Pour $k > 0$ on note $K$ le point de coordonnées $(0,~0,~ k)$.
 DéŽterminer, dans le repère $\left(K~;~\vect{\imath},~
\vect{\jmath}\right)$, l'équation de la courbe d'intersection de
 \textbf{T} et du plan d'équation $z = k$.
		\item Tracer l'allure de cette courbe dans le repère $\left(K~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$. On précisera en particulier les coordonnéŽes des extréŽmitéŽs de l'arc.
	\end{enumerate}
\item On note (D) le domaine forméŽ des points du cube unité situés sous la surface \textbf{T}.

\[(\text{D}) = {M(x,~y,~z) \in (E) \quad \text{avec} \quad 0 \leqslant x 
\leqslant 1~;~ 0\leqslant y\leqslant 1~;~ 0 \leqslant z \leqslant x^2y}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Pour $0 < k \leqslant 1$, le plan d'équation $z = k$ coupe le domaine (D) selon une surface qu'on peut visualiser sur le graphique de la \textbf{question 3. c}.

C'est l'ensemble des points $M$ du cube unitéŽ, de coordonnées $(x,~ y,~ z)$ tels que $y \geqslant \dfrac{k}{x^2}$  et $z = k$.

Calculer en fonction de $k$  l'aire $S(k)$ exprimée en unités d'aire, de cette surface.
		\item On pose $S(0) = 1$ ; calculer en unités de volume, le volume $V$ du domaine (D).

On rappelle que $V = \displaystyle\int_0^1  S(k)\:\text{d}k$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

On appelle $f$ la fonction déŽfinie sur l'intervalle I $ = ]- 2~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = 1 + x\ln (x + 2).\]

On note $\left(\mathcal{C}_f\right)$ la courbe repréŽsentative de $f$
 dans le repère orthonormal \Oij. (unitéŽ graphique 4 cm).

\medskip

\textbf{I. ătude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ƒÉtude des variations de la déŽrivée $f'$.
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ désigne la fonction dérivée première de $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde. Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$ pour $x$ appartenant ˆ à l'intervalle 

$]-2~;~+ \infty[$.
		\item ătudier les variations de $f'$ sur l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$.
		\item DéŽterminer les limites de $f'$ en $- 2$ et en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Ƀtude du signe de $f'(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que sur l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$ l'équation $f'(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant ˆà l'intervalle $[- 0,6~;~- 0,5]$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\item ătude des variations de $f$
	\begin{enumerate}
		\item ătudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle 
$]-2~;~+ \infty[$.
		\item Déterminer les limites de $f$ en $- 2$ et en $+ \infty$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II. Position de la courbe \boldmath $(\mathcal{C}_f)$ 
\unboldmath par rapport ˆà ses tangentes}

\medskip

Soit $x_0$ un réel appartenant ˆl'intervalle $]-2~;~+ \infty[$ , on 
appelle $T_{x_0}$ la tangente ˆ$\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point d'abscisse $x_0$.

On note, pour $x$ appartenant ˆà l'intervalle $]-2~;~+ \infty[,$

\[d(x) = f(x) - \left[f'(x_0) (x- x_{0}) + f(x_0)\right].\]

\begin{enumerate}
\item ătude des variations de $d$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $x$ appartenant ˆà l'intervalle 
$]-2~;~+ \infty[$,

\[d'(x) = f'(x) - f'\left(x_0\right).\]

		\item En utilisant la croissance de la fonction $f'$, donner le signe de $d'(x)$ selon les valeurs de $x$. En déduire les variations de $d$ sur l'intervalle $]-2~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la position relative de $\left(\mathcal{C}_
f\right)$ et de $T_{x_0}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III. TracéŽs dans le repère $\Oij$ \}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $T_0$, tangente ˆ
$\left(\mathcal{C}_f\right)$ au point d'abscisse 0 ; tracer $T_0$.
\item Trouver les réels $x_0$ pour lesquels les tangentes $T_{x_0}$
 passent par l'origine du repère puis tracer ces droites.

\item Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_f\right)$ pour les
 valeurs de $x$ comprises entre $- 1$ et 2. On prendra pour $\alpha$ la
valeur $- 0,54$ et pour $f(\alpha)$ la valeur $0,8$.
\end{enumerate}
\end{document}