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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}
{\Large{ \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers juin 2007~\decofourright }}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à proposer un contre-exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $f$ est la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par : $f(x) = \sin^2 x$, alors sa fonction dérivée vérifie, pour tout nombre réel $x,\:f'(x) =  \sin 2x$.
\item Soit $f$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-1~;~1]$, dont la dérivée est continue sur cet intervalle.

Si $f(-1) = -f(1)$, alors :

$\displaystyle\int_{-1}^{1} tf'(t)\:\text{d}t = - \displaystyle\int_{-1}^{1} f(t)\:\text{d}t$.
\item Soit $f$ une fonction définie et continue sur l'intervalle [0~;~3].

Si $\displaystyle\int_{0}^{3} f(t)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_{0}^{3} g(t)\:\text{d}t$, alors pour tout nombre réel $x$ appartenant à [0~;~3] : $f (x) \leqslant g(x)$.
\item Si $f$ est solution de l'équation différentielle $y' = -2y + 2$
 et si $f$ n'est pas une fonction constante, alors la représentation de $f$ dans un repère du plan, n'admet aucune tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.  L'unité graphique est 4~cm.

Soit $\lambda$ un nombre complexe non nul et différent de $1$.

On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(z_{n}\right)$ de nombres complexes par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_{0}&=&0\\
z_{n+1}&=&\lambda \cdot z_{n} + \text{i}\\
\end{array}\right.\]
On note $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calcul de $z_{n}$ en fonction de $n$ et de $\lambda$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier les égalités : $z_{1} = \text{i}~ ;~z_{2} = (\lambda + 1)\text{i}~;~z_{3}  = \left(\lambda^2 +\lambda + 1\right)\text{i}$.
		\item Démontrer que, pour tout entier $n$ positif ou nul : $z_{n} = \dfrac{\lambda^n - 1}{\lambda - 1}\cdot \text{i}$.
	\end{enumerate}
\item Étude du cas $\lambda = \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $z_{4} = 0$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+4}$ en fonction de $z_{n}$.
		\item Montrer que $M_{n+1}$ est l'image de $M_{n}$ par une rotation dont on précisera le centre et l'angle.
		\item Représenter les points $M_{0}~,M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$ dans le repère \Ouv.
	\end{enumerate}
\item  Caractérisation de certaines suites $\left(z_{n}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item On suppose qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $\lambda^k=1$.

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité : $z_{n+k}= z_{n}$.
		\item Réciproquement, monter que s'il existe un entier naturel $k$ tel que, pour tout entier naturel $n$ on ait l'égalité $z_{n+k}= z_{n}$ alors : $\lambda^k = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le but de cet exercice est d'étudier une même configuration géométrique à l'aide de deux méthodes différentes.

\medskip

\textbf{I À l'aide des nombres complexes, sur un cas particulier}\\
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère les points A et B d'affixes respectives 10 et 5i.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $s$ qui transforme O en A et B en O. 
		\item  Déterminer les éléments caractéristiques de $s$. On note $\Omega$ son centre.
		\item  Déterminer le point $s \circ s(\text{B})$ ; en déduire la position du point $\Omega$ par rapport aux sommets du triangle ABO.
	\end{enumerate}
\item  On note $\mathcal{D}$ la droite d'équation $x - 2y = 0$, puis A$'$ et B$'$ les points d'affixes respectives $8 + 4\text{i}$ et $2 + \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points A$'$ et B$'$ sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et de B sur la droite $\mathcal{D}$.
		\item Vérifier que $s\left(\text{B}'\right) = \text{A}'$.
		\item En déduire que le point $\Omega$ appartient au cercle de diamètre $\left[\text{A}'\text{B}'\right]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II À l'aide des propriétés géométriques des similitudes}

\medskip

OAB est un triangle rectangle en O tel que $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note encore $s$ la similitude directe telle que $s$(O) = A et $s$(B) = O. Soit $\Omega$ son centre.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le fait que l'angle de $s$ est égal à $\dfrac{\pi}{2}$.
		\item Démontrer que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [OA]. (On admet de même que $\Omega$ appartient aussi au cercle de diamètre [OB].)

En déduire que $\Omega$ est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB.
	\end{enumerate}
\item  On désigne par $\mathcal{D}$ une droite passant par O, distincte des droites (OA) et (OB).

On note A$'$ et B$'$ les projetés orthogonaux respectifs des points A et B sur la droite $\mathcal{D}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les images des droites $\left(\text{BB}'\right)$ et $\mathcal{D}$ par la similitude $s$.
		\item Déterminer le point $s\left(\text{B}'\right)$.
		\item En déduire que le point $\Omega$ appartient au cercle de diamètre $\left[\text{A}'\text{B}'\right]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l'entreprise est soumis à deux contrôles : d'une part l'aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu'il ne présente pas de défaut de finition, d'autre part sa solidité est testée.

Il s'avère, à la suite d'un grand nombre de vérifications, que : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 92\,\% des jouets sont sans défaut de finition ;
\item[$\bullet~$] parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95\,\% réussissent le test de solidité;
\item[$\bullet~$] 2\,\% des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
  
On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $F$ l'évènement : \og \emph{le jouet est sans défaut de finition} \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $S$ l'évènement : \og \emph{le jouet réussit le test de solidité} \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construction d'un arbre pondéré associé à cette situation. 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données de l'énoncé en utilisant les notations des probabilités.
		\item Démontrer que $p_{\overline{F}}\left(\overline{S}\right) = \dfrac{1}{4}$.
		\item Construire l'arbre pondéré correspondant à cette situation.
	\end{enumerate}
\item  Calcul de probabilités.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $p(S) =  0,934$.
		\item Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu'il soit sans défaut de finition. (On donnera le résultat arrondi au millième,)
	\end{enumerate}
\item Étude d'une variable aléatoire $B$.

Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10 \euro, ceux qui n'ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5~\euro.

On désigne par $B$ la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $B$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $B$.
	\end{enumerate}
\item Étude d'une nouvelle variable aléatoire. On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de 10 jouets.

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissant avec succès le test de solidité. On suppose que la quantité fabriquée est suffisamment importante pour que la constitution de ce lot puisse être assimilée à un tirage avec remise.

Calculer la probabilité qu'au moins 8 jouets de ce lot subissent avec succès le test de solidité.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On désigne par $a$ un réel strictement positif et différent de 1.

On se propose de rechercher, dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, les solutions de l'équation \[E_{a} :  \quad x^a = a^x.\]

\textbf{I Étude de quelques cas particuliers}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que les nombres $2$ et $4$ sont solutions de l'équation $E_{2}$.
\item Vérifier que le nombre $a$ est toujours solution de l'équation $E_{a}$.
\item On se propose de démontrer que e est la seule solution de l'équation $E_{\text{e}}$.

On note $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = x - \text{e}\ln x$.
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Question de cours :}
On rappelle que lorsque $t$ tend vers $+ \infty$, alors	$\dfrac{\text{e}^t}{t}$ tend vers $+\infty$.

Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
		\item Déterminer les limites de $h$ en $0$ et $+ \infty$.
		\item Étudier les variations de $h$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Dresser le tableau des variations de $h$ et conclure quant aux solutions de l'équation $E_{\text{e}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II Résolution de l'équation} \boldmath$E_{a}$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un réel strictement positif. Montrer que $x$ est solution de l'équation $E_{a}$ si et seulement si $x$ est solution de l'équation : $\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\ln a}{a}$.
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$  par : $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$. Donner une interprétation graphique de ces deux limites.
		\item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. (Unité : 2~cm).
	\end{enumerate}
\item Justifier à l'aide des résultats précédents les propositions $(P_{1})$ et $(P_{2})$ suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[~] $(P_{1})$ : si $a \in ]0~;~1]$, alors $E_{a}$ admet l'unique solution $a$ ;
\item[~] $(P_{2})$ : si $a \in ]1~;~\text{e}[~ \cup~ ]\text{e}~;~+ \infty[$, alors $E_{a}$ admet deux solutions $a$ et $b$, l'une appartenant à l'intervalle $]1~;~\text{e}[$ et l'autre appartenant à l'intervalle $]\text{e}~;~+ \infty[$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}
\end{document}