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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{13 juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers juin 2004~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La courbe ($\mathcal{C}$) donnée ci-dessous est la représentation graphique 
dans un repère orthonormal d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

\begin{center}\psset{unit=0.95cm} \begin{pspicture}(-3,-6)(10,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-3,-6)(10,6)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=2](0,0)(-3,-6)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline(0,-4)(1.111,6)
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(1.5,4.584)(3.5,4.584)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-0.19}{10}{8 x mul 4 sub 2.71828 x 2 div exp div}
\uput[dr](0.5,0){B} \uput[r](0,-4){A} \uput[u](2.5,4.584){D}\uput[ul](1,5){T} 
%\multido{\n=-6+2}{7}{\uput[l](0,\n){\n}}
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,6cm}

Les points A, B et D appartiennent à ($\mathcal{C}$) : A$(0~;~-4)$ ; B(0,5 ; 
0) ; D$\left(2,5~;~16\text{e}^{-\frac{5}{4}}\right)$.

La courbe ($\mathcal{C}$) admet en D une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

On donne le point T de coordonnées(1 ; 5) ; la droite (AT) est tangente à ($\mathcal{C}$) en A.

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique et sans justifier : 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs de $f(0),\: f'(0)$ et $f'(2,5)$. 
		\item Donner les solutions dans [0 ; 10] de l'inéquation $f(x) < 0$. 
		\item Donner les solutions dans [0 ; 10] de l'inéquation $f'(x) < 0$.
	\end{enumerate}
\item Pour chacune des affirmations ci-dessous indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier votre réponse : 
	\begin{enumerate}
		\item $f'(5) > 0$. 
		\item L'équation $f(x) = 2$ admet une solution unique dans l'intervalle $[5~ ;~ 7]$.
		\item $1 < \displaystyle\int_1^2 f(x)\:\text{d}x < 2$.
		\item Toute primitive de $f$ s'annule pour 0,5.
		\item Toute primitive de $f$ est décroissante sur [0 ; 2,5].
	\end{enumerate}
\item Parmi les courbes $(\mathcal{C}_1)$ et $(\mathcal{C}_2)$ données 
ci-dessous, l'une est la représentation graphique d'une primitive de $f$ 
sur $\R$. Indiquer laquelle en précisant les raisons de votre choix.

\vspace{0,2cm}

\begin{center}\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-3,-6)(10,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-3,-6)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=11,Dy=11](0,0)(-3,-6)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=11,Dy=11]{->}(0,0)(1,1)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](1.2,6)(2,1.4)(3,-0.85)(4,-1.6)(5,-1.55)(6,-1.35)(7,-1.05)(8,-0.8)(9,-0.6)(10,-0.4)
\uput[d](4,-6.2){Courbe $(\mathcal{C}_1)$}
\multido{\n=-6+2}{7}{\uput[l](0,\n){\n}}
\uput[d](5,0){5} \uput[d](10,0){10} 
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{1cm}

\begin{center}\psset{unit=0.75cm}  \begin{pspicture}(-3,-6)(10,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-3,-6)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=11,Dy=11](0,0)(-3,-6)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=11,Dy=11]{->}(0,0)(1,1)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1,6)(-0.85,4)(-0.7,2)(-0.55,0)(-0.3,-2)(0,-4)(0.5,-5)(1,-4.2)(1.42,-3)(2,-0.5)(3,4)(3.45,6)
\uput[d](4,-6.2){Courbe $(\mathcal{C}_2)$}
\multido{\n=-6+2}{7}{\uput[l](0,\n){\n}}
\uput[d](5,0){5} \uput[d](10,0){10} 
\end{pspicture} \end{center}

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip


\medskip
{Dans cet exercice on pourra s'aider d'un arbre pondéré.}

Une agence de voyage propose deux durées de séjours -- le week-end ou la 
semaine -- et deux types de destinations -- France ou Étranger--.

Parmi les dossiers de l'agence ou constate que :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~60\,\%$ des séjours ont lieu en France ;

$\bullet~45\,\%$ des séjours en France durent une semaine ;

$\bullet~75\,\%$ des séjours à l'étranger durent une semaine.
\setlength\parindent{0mm}

On choisit un dossier au hasard et on note :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~$ $F$ l'évènement : \og Le séjour a lieu en France \fg{} ;

$\bullet~$ $S$ l'évènement :  \og Le séjour dure une semaine \fg{} ;

$\bullet~$ $E$ l’évènement  contraire de $F$
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant  les données de l'énoncé, trouver les probabilités des trois évènements $F$, $S$ sachant $F$ et $S$ sachant $E$.
\item Quelle est la probabilité qu'un séjour dure une semaine et ait lieu en France ?
\item Montrer que la probabilité qu'un séjour dure une semaine est de 0,57.
\item En déduire la probabilité qu'un séjour d'une semaine ait lieu en France.

\emph{On donnera le résultat exact sous la forme d'une fraction 
irréductible.}
\item On choisit quatre dossiers au hasard et indépendamment les uns des autres et on s'intéresse au séjour choisi On admettra que le nombre de dossiers est  suffisamment grand pour que le choix d'un dossier soit assimilé à un tirage avec remise.

Quelle est la probabilité qu'aucun des séjours ne dure une semaine ?

\emph{On donnera la valeur décimale arrondie à} $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Toutes les réponses à cet exercice seront  données sur la feuille 
annexe ; aucune justification n'est nécessaire. La feuille annexe sera rendue 
avec la copie.}

De 1994 à  2001, une entreprise a établi la statistique de sa production annuelle.

Les années sont numérotées de 0 à 7.

On choisit la base 100 en 1994 pour établir les indices de production.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1994				&1995				&1996				&1997		&1998 				&1999				&2000		&2001\\ \hline
$x$						&1 					& 						&2 					&3 			&4 					&5 					&6 			&	7\\ \hline
Production $P$ (à l'unité près)		&\np{175255}	&\np{189275}	&\np{217315}	&\ldots	&\np{287415}	&\np{329475}	&\ldots 	&\np{45565}\\ \hline
Indice $y$ (à l'unité près)		&100				&	108				& 124				& 140		& 164				&  188				&224		&260\\ \hline
$Y =  0,5 \times
 \ln y$ 				&\ldots 			&\ldots 			&\ldots 			&\ldots 	&\ldots 			&\ldots 			&\ldots 	&\ldots\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs manquantes. \textbf{On les recopiera sur le tableau donné  sur la feuille annexe.}

On appelle $\Delta$ la droite d'ajustement affine de $Y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés et on note 
$Y = ax + b$ son équation. 
\item Pour chacune des huit affirmations suivantes une seule des trois 
réponses A, B ou C est exacte ; les résultats respectent les règles d'arrondis du tableau ci-dessus. \textbf{On reportera les  réponses A, B ou C sur la feuille annexe.}
\end{enumerate}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
N°&	Affirmation&	A&	B&	C \\ \hline
1&\multicolumn{1}{m{5cm}|}{La médiane de la série des indices 
est}&152&	140&	163\\ \hline
2 &\multicolumn{1}{m{5cm}|}{Le pourcentage d'augmentation de la 
production entre 1994 et 200 est}&	$24\:\%$&	$76\:\%$ &	$124\:\%$\\ \hline
3&\multicolumn{1}{m{5cm}|}{Le pourcentage d'augmentation des indices entre 
1998 et 2000 est} &$60\:\%$ &$36,59\:\% $ & $48\:\%$\\ \hline
4&\multicolumn{1}{m{5cm}|}{L'écart type de la série des indices arrondie 
au dixième près est}&	57,1&	120,4&	53,4\\ \hline
5&\multicolumn{1}{m{5cm}|}{La longueur de l'intervalle interquartile de la série des
indices est}& 90&	64&	116\\ \hline
6&\multicolumn{1}{m{5cm}|}{L'équation de la droite $\Delta$ est}&$Y=0,07x+2,28$&$Y = 
0,7x+2,28$&$Y=0,07x+0,3$\\ \hline
7&\multicolumn{1}{m{5cm}|}{L'expression de  $y$ en fonction de $x,~a$ et $b$ est}&	$y = 
2\text{e}^{ax+b}$&\small  $y = 0,5 \ln (ax+b)$& $y = 
\left(\text{e}^{ax+b}\right)^2$\\ \hline
8&\multicolumn{1}{m{5cm}|}{Si la tendance se poursuivait l'indice de production 
en 2004 serait égal à}&	388&	403&	383\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un jardinier possède un terrain bien ensoleillé avec une partie plus ombragée.

Il décide d'y organiser des parcelles où il plantera 8 variétés de légumes :

 de l'ail (A), des courges (Co) des choux (Ch), des poireaux (Px), des pois (Po), 
des pommes de terre (Pt), des radis (R) et des tomates (T).

Il consulte un almanach où figurent des incompatibilités de plantes, données 
par les deux tableaux :

\vspace{0,5cm}

\parbox[c]{0.48\textwidth}{\begin{tabular}{|l|l|}\hline
\multicolumn{2}{|p{6cm}|}{Expositions incompatibles de plantes}\\ \hline
\multicolumn{1}{|p{3cm}|}{Plantes d'ombre partielle} 
&\multicolumn{1}{p{3cm}|}{Plantes de plein soleil}\\ \hline
& \\
& choux \\ 
pois & tomates\\ 
radis & courges \\
 & \\
 & \\ \hline
\multicolumn{2}{|p{6cm}|}{Par exemple : les pois sont incompatibles avec les
choux, les tomates et les courges}\\ \hline
\end{tabular}} \hfill
\parbox[c]{0.48\textwidth}{ \begin{tabular}{|l|l|}\hline
\multicolumn{2}{|p{6cm}|}{Associations incompatibles de} \\ 
\multicolumn{2}{|p{6cm}|}{plantes dans une même parcelle}\\ \hline
 pois 			& ail, poireaux\\ \hline
pommes de 	& courges, radis et\\
terre				 & tomates\\ \hline
					& tomates, ail\\
choux 			& poireaux et courges\\ \hline
courges 		& tomates\\ \hline
\multicolumn{2}{|p{6cm}|}{Par exemple : les pois sont incompatibles avec 
l'ail et les poireaux}\\ \hline
\end{tabular}}

\vspace{0,5cm}
  
Pour tenir compte de ces incompatibilités le jardinier décide de modéliser la situation sous la forme d'un graphe de huit sommets, chaque sommet représentant un légume.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la feuille annexe : compléter le graphe mettant en évidence les
incompatibilités d'exposition ou les associations incompatibles indiquées dans les deux tableaux ci-dessus.
\item Calculer la somme des degrés des sommets du graphe, en déduire le nombre 
de ses arêtes.
\item Rechercher un sous-graphe complet d'ordre 4, qu'en déduit-on pour le nombre chromatique du graphe ?
\item Donner le nombre chromatique du graphe et l'interpréter en nombre minimum de parcelles  que le jardinier devra créer.
\item Donner une répartition des plantes par parcelle de façon à ce que chaque parcelle contienne exactement deux types de plantes et que le nombre de parcelles soit minimum.
\item Donner une répartition des plantes de façon à ce qu'une parcelle contienne trois plantes 
et que le nombre de parcelles soit minimum.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{A : Préliminaires}

\medskip

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = 5(x+2)\text{e}^{-x} \quad \text{et} \quad g(x) = \dfrac{x+2}{5}\text{e}^x.\]

\smallskip
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $[0~;~+ \infty[$ l'équation $f(x) = g(x)$.
\item Quelle est la dérivée de la  fonction $h$ définie sur $\R$ par  
$h(x) = (x+3)\text{e}^{-x}$ ? 
\item En déduire une primitive $F$ de $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B : Application économique}

\medskip

On suppose que les fonctions $f$ et $g$ précédemment définies dans la partie A sont les fonctions demande et offre d'une entreprise de transport de marchandises. Plus précisément, pour une tonne de marchandises à  transporter :

$\bullet~f(x)$ est le prix en euros aux 100 km accepté par les clients en fonction 
de la distance $x$ parcourue en centaines de kilomètres.

$\bullet~g(x)$ est le prix en euros aux 100 km du service proposé par l'entreprise en 
fonction de la distance $x$ parcourue en centaines de kilomètres.

Dans les questions suivantes les prix demandés seront arrondis au centime d'euro et les distances arrondies au kilomètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel prix $p_{1}$ en euros aux 100 km, est prêt à payer un client (se 
conformant à la fonction de demande $f$) et quel prix $p_{2}$, en euros aux 100 km, est prête à lui offrir l'entreprise (se conformant à la fonction d'offre $g$) pour un parcours de 120 km ?
 \item Prix d'équilibre

Sur un marché en concurrence pure et parfaite le prix $p_{0}$ qui se forme sur le marché correspond à l'égalité entre la demande et l'offre : $p_{0}$ est le prix d'équilibre.

À quelle distance $d_{0}$, correspond-il ? En déduire la valeur 
$p_{0}$.

On donnera les valeurs exactes puis arrondies.
\item Surplus des consommateurs

Tous les consommateurs prêts à acheter le service à un prix supérieur au 
prix d'équilibre réalisent un gain fictif appelé surplus des consommateurs. On admet que
ce gain, exprimé en euro aux 100~km est mesuré par

\[\text{S} = \displaystyle\int_{0}^{d_{0}} f(x) \:\text{d}x - p_{0} \times d_{0}.\]

Calculer la valeur exacte de S puis en donner une valeur approchée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C : Interprétation graphique}

\medskip

Sur la feuille annexe figurent les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ représentatives des fonctions $f$ et $g$.

Elles sont tracées dans un repère orthogonal \Oij~ avec pour unités 
graphiques  : en abscisse une unité représente une distance parcourue égale 
à 100~km et en ordonnée une unité représente 1 euro.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les noms des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
\item Placer le point I et ses coordonnées, où I est le point d'intersection 
de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
\item Placer $p_{0},~ p_{1},~ p_{2}$ et $d_{0}$.
\item Hachurer le domaine du plan d'aire S.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
    
\textbf{Feuille annexe  à rendre avec la copie}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\textbf{Question 1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{8}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
Année				&1994		&1995		&1996		&1997	&1998 		&1999		&2000	&2001\\ \hline
$x$					&1 			& 			& 2 		&3 		&4 			&5 			&6 		&7\\ \hline
\small Production $P$	
(à l'unité près)	&\np{17525}	&\np{18927}	&\np{21731}	&\ldots	&\np{28741}	&\np{32947}	&\ldots &\np{45565}\\ \hline
Indice $y$
(à l'unité près)	&100		&108		&124		&140	&164		&188		&224	&260\\ \hline
$Y =  0,5 \times \ln y$&\ldots 	&\ldots 	&\ldots 	&\ldots &\ldots 	&\ldots 	&\ldots &\ldots\\ \hline 
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{Question 2 : répondre par A, B ou C}

\end{center}

Barème :  0,5 point pour une bonne réponse, $- 0,25$ pour une mauvaise 
réponse ; la note finale à cette question ne peut être inférieure à 0.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\No 	&1 	&2 	&3 	&4	&5 	&6 	&7 	&8\\ \hline
Réponse &	&	&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}     
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{center} \textbf{\gray Exercice 4}
    
\vspace{0,5cm}
	
\psset{xunit=4cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(3,20)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=5](0,0)(0,0)(3,20)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{0}{3}{x 2 add 5 mul 2.71828 x neg exp mul}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{3}{x 2 add 5 div 2.71828 x exp mul}
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage

\begin{center}
    
\textbf{Feuille annexe à rendre avec la copie}
    
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}
    
\textbf{Exercice 3}
     
\vspace{2cm}
     
\begin{pspicture}(6,5)
\qdisk(1,0.8){2pt}\uput[l](1,0.8){R}
\qdisk(0.2,3.3){2pt} \uput[l](0.2,3.3){Po} 
\qdisk(0,2){2pt} \uput[l](0,2){Pt} 
\qdisk(0.9,5){2pt} \uput[l](0.9,5){Px} 
\qdisk(3.5,5){2pt} \uput[r](3.5,5){A}
\qdisk(5.6,3.4){2pt} \uput[r](5.6,3.4){T} 
\qdisk(5.3,2){2pt} \uput[r](5.3,2){Co} 
\qdisk(3.3,0.2){2pt} \uput[r](3.3,0.2){Ch}
\psline(0.2,3.3)(0.9,5) 
\psline(0.2,3.3)(3.5,5)
\psline(0.2,3.3)(5.6,3.4)
\psline(0.2,3.3)(5.3,2)
\psline(0.2,3.3)(3.3,0.2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}