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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
\rhead{\small Baccalauréat  ES}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{15 juin 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Centres étrangers 15 juin 2009\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions proposées, une seule des trois réponses A, B et C est exacte. Recopier le numéro de chaque question et, en face de celui-ci, indiquer la lettre (A, B ou C) désignant la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée. 

\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse enlève $0,5$ point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x \text{e}^{-x}$ est égale à : 

Réponse \textbf{A} : $0$.

Réponse \textbf{B} : $+ \infty$.
 
Réponse \textbf{C} : $- \infty$. 
\item   On considère une fonction $u$ définie, strictement positive et dérivable sur un intervalle I. On note $u'$ sa fonction dérivée.
 
On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à I par : $f(x) = \ln (u (x))$. Si l'on suppose que $u'$ est négative sur I alors : 

Réponse \textbf{A} : on ne peut pas déterminer le sens de variation de la fonction $f$.

Réponse \textbf{B} : la fonction $f$ est décroissante sur I.
  
Réponse \textbf{C} : la fonction $f$ est croissante sur I. 
\item   Dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$, l'ensemble des solutions de l'inéquation \mbox{$2 \ln x - 1 > 1$} est : 

Réponse \textbf{A} : $\left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right]$
 
Réponse \textbf{B} : $]1~;~+ \infty[$.

 Réponse \textbf{C} : $]\text{e}~;~+ \infty[$.
  
\item   Dans $\R$, l'équation $\text{e}^{2x} + 2\text{e}^{x} - 3 = 0$ : 

Réponse \textbf{A} : admet une unique solution.

Réponse \textbf{B} : admet exactement deux solutions.
 
Réponse \textbf{C} : n'admet aucune solution. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un collectionneur de pièces de monnaie a observé que ses pièces peuvent présenter au maximum deux défauts notés $a$ et $b$. Il prélève au hasard une pièce dans sa collection.

\medskip

On note $A$ l'évènement : \og Une pièce prélevée au hasard  dans la collection présente le défaut $a$ \fg.

 On note $B$ l'évènement : \og Une pièce prélevée au hasard dans la collection présente le défaut $b$ \fg. 
 
On note $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les évènements contraires respectifs de $A$ et $B$.
 
On donne les probabilités suivantes : $p(A) =  0,2 ~;~ p(B) = 0,1$ et $p(A\cup B) =  0,25$. 

\emph{Dans cet exercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au centième.} 

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la probabilité de l'évènement : \og  une pièce prélevée au hasard dans la collection présente les deux défauts \fg{} est égale à $0,05$. 
\item Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement \og une pièce prélevée au hasard dans la collection ne présente aucun des deux défauts \fg{} est égale à $0,75$. 
\item Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui présentent le défaut $b$. Calculer la probabilité que cette pièce présente également le défaut $a$. 
\item Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui ne présentent pas le défaut $b$. Calculer la probabilité que cette pièce présente le défaut $a$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
On prélève au hasard trois pièces dans la collection et on suppose que le nombre de pièces de la collection est suffisamment grand pour considérer ces trois prélèvements comme étant indépendants.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité qu'une seule des trois pièces soit sans défaut. 
\item  Calculer la probabilité qu'au moins une des trois pièces soit sans défaut. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Chaque mois, un institut de sondage donne la cote de popularité d'un même groupe politique dans l'opinion publique. Les personnes sondées sont, soit favorables, soit défavorables à ce groupe. Initialement, il y a autant de personnes favorables à ce groupe politique que de personnes qui lui sont défavorables. De chaque mois au mois suivant, on considère que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 10\,\% des personnes qui étaient favorables à ce groupe politique ne le sont plus. 
\item 15\,\% des personnes qui n'étaient pas favorables à ce groupe politique le deviennent. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note, pour tout entier naturel $n$ : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize} 
\item $a_{n}$, la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de $n$ mois soit favorable à ce groupe politique. 
\item $b_{n}$, la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de $n$ mois ne soit pas favorable à ce groupe politique. 
\item $P_{n} = \left(a_{n}\quad  b_{n}\right)$, la matrice traduisant l'état probabiliste au bout de $n$ mois. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $M$ la matrice de transition telle que, pour tout entier naturel $n$ : \mbox{$P_{n + 1} = P_{n} \times  M$}.

\medskip
 
\textbf{Première partie}
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la matrice $P_{0}$ donnant l'état probabiliste initial. 
\item  Déterminer le graphe probabiliste correspondant à la situation. 
\item  On admet que $M = \begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\0,15&0,85 \end{pmatrix}$.

 Déterminer la matrice $P_{2}$ en détaillant les calculs, (on donnera les coefficients sous forme décimale arrondie au centième). 
\item  Déterminer l'état stable et interpréter ce résultat. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Deuxième partie} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $a_{n + 1} = 0,75 a_{n} + 0,15$ pour tout entier naturel $n$. 
\item  On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ telle que $u_{n} = a_{n} - 0,6$ pour tout entier naturel $n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,75$. 
	\item En déduire que $a_{n} = - 0,1 \times (0,75)^n + 0,6$ pour tout entier naturel $n$. 
	\item Calculer la limite de $a_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. Comment peut-on interpréter cette limite ? En quoi ce résultat est-il cohérent avec celui demandé à la question 4. de la première partie.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une exploitation minière extrait un minerai rare dans ses gisements depuis l'année 1963.
 
Le tableau suivant indique la quantité extraite $y_{i}$ en tonnes durant l'année désignée par son rang $x_{i}$ : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2,5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&1963 &1968 &1973 	&1978 &1983 &1988 &1993 &1998 &2003 &2008\\ \hline 
Rang $x_{i}$ de l'année	&0 	  &1 	&2 		&3 		&4 	&5 	&6 	&7 	&8 	&9\\ \hline 
Quantité extraite 
$y_{i}$ en tonnes		& 18,1&15,7 &13,3 	&11		&9,3 &7,8 &7,1 &6,1 &5,2 &4,3 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Le nuage de points associé à cette série statistique à deux variables est représenté dans le repère orthogonal (O~;~I,~J) de \textbf{l'annexe 1}. Les unités graphiques de ce repère sont 1~cm en abscisse et 0,5~cm en ordonnée. 

Dans cet exercice, on désigne par la variable $y$ la quantité extraite en tonnes et par la variable $x$ le rang de l'année.

\medskip
 
\textbf{Première partie}
 
En première approximation, on envisage de représenter $y$ en tant que fonction affine de $x$.
 
La droite $D$ d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés admet pour équation $y = -1,5 x + 16,5$ dans laquelle les deux coefficients sont des valeurs arrondies au dixième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer ce point dans le repère de \textbf{l'annexe 1}. 
\item  Tracer la droite $D$ dans le repère de \textbf{l'annexe 1}. 
\item  En considérant cet ajustement affine, quelle quantité de minerai, au dixième de tonne près, l'exploitation peut-elle prévoir d'extraire durant l'année 2013 ? 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
On admet que la courbe tracée en \textbf{annexe 1} représente un ajustement exponentiel de $y$ en fonction de $x$ et que son équation est de la forme $y = k \text{e}^{px}$ où $k$ est un entier naturel et $p$ un nombre réel.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  En utilisant cette courbe, lire la quantité de minerai extrait, au dixième de tonne près, que l'ajustement exponentiel laisse prévoir pendant l'année 2013. 
\item   En supposant que la courbe passe par les points A(0~;~ 18) et B(3~;~ 11,2), calculer l'entier naturel $k$ et le réel $p$ dont on donnera une valeur approchée arrondie au centième. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Troisième partie}

\medskip

On effectue le changement de variable $z = \ln y$ et on pose $z_{i}= \ln y_{i}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant en donnant une valeur approchée de chaque résultat arrondie au centième :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&0	&1	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8 	&9 \\ \hline
$z_{i}$&	&	&	&	&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip

\item  À l'aide de la calculatrice et en donnant une valeur approchée de chaque coefficient arrondie au centième, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. 
\item  En déduire l'expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = k\text{e}^{px}$ et retrouver ainsi, en arrondissant $k$ au dixième, les coefficients $k$ et $p$ calculés à la question 2. de la deuxième partie.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
\[f(x) = \dfrac{5\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}\] 

On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ et par $F$ la primitive de $f$ sur $\R$ qui vérifie $F(0) = 0$. 

Dans le repère orthonormal d'unité 2~cm de l'annexe 2, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ tracée représente la fonction $f$  et la droite $D$ est sa tangente au point A$\left(0~;~\dfrac{5}{2}\right)$. 

\medskip
 
\textbf{Première partie}
 
\begin{enumerate}
\item  La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet pour asymptotes en $- \infty$ la droite d'équation $y = 0$ et en $+ \infty$ la droite d'équation $y = 5$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 

\item  Démontrer que, pour tout nombre réel $x,\:f'(x) = \dfrac{5\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2}$.
\item  Etudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$. 
\item  En utilisant le résultat de la question 2., déterminer une équation de la droite $D$. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$, exprimer $F(x)$ en fonction de $x$. 

\item Vérifier que $F(1) = 5\ln \left(\dfrac{\text{e} + 1}{2}\right)$. 
\item  Sur l'annexe 2, le domaine grisé est délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, les axes de coordonnées et la droite d'équation $x = 1$. 

Calculer l'aire, en unités d'aire, de ce domaine et en donner une valeur approchée arrondie au dixième. 
 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1}

\vspace{0,5cm}

(À remettre avec la copie)

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 3} \end{flushleft}

\bigskip

\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.3cm}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\begin{pspicture}(-1,-5)(17,20)
\multido{\n=0+0.5}{35}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,20)}
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(17,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0)(17,20)
\psdots[dotstyle=+](0,18.1)(1,15.7)(2,13.3)(3,11)(4,9.3)(5,7.8)(6,7.1)(7,6.1)(8,5.2)(9,4.3)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{17}{18 2.71828 x 0.158153 mul exp div}
\uput[d](17,0){$x$} \uput[l](0,19.5){$y$}
\uput[d](8.5,-2){\small rang de l'année}
\rput(3,19){\small quantité en tonnes}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 2}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 4} \end{flushleft}

\bigskip

\psset{unit=1.33333cm}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\begin{pspicture}(-4.5,-1.5)(4.5,5)
\multido{\n=-4.5+0.25}{35}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.6pt](\n,-1.5)(\n,5)}
\multido{\n=-1.5+0.25}{25}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.6pt](-4.5,\n)(4.5,\n)}
\psplot[linecolor=green,plotpoints=5000]{-3.2}{2}{2.5 x 1.25 mul add}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{-4.5}{4.5}{2.71828 x  exp 5 mul  2.71828 x  exp 1 add div}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4.5,-1.5)(4.5,5)
\uput[d](4.5,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$} \uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](-2.5,-0.7){$D$} \uput[d](3.5,4.8){$\mathcal{C}_{f}$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{1}{2.71828 x  exp 5 mul  2.71828 x  exp 1 add div}
\psline(1,0)(0,0)
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}