\documentclass[10pt]{article}
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%tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
\lhead{\small Baccalaur\'eat L facultatif }%tapez un titre
\lfoot{\small{Centres \'etrangers}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\thispagestyle{empty}
\vspace{0,5cm}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalaur\'eat L Centres \'etrangers juin 2003~\decofourright\\  }} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent Le candidat traitera obligatoirement TROIS exercices

\noindent OBLIGATOIREMENT: l'exercice 1 et l'exercice 2

\noindent AU CHOIX : l'exercice 3 \textbf{ou} l'exercice 4.

\noindent L'usage de la calculatrice est autoris\'e pour cette \'epreuve.

\noindent L'attention des candidats est attir\'ee sur le fait que la qualit\'e
 de la r\'edaction, la clart\'e et la pr\'ecision des raisonnements entrent pour
 une part importante dans l'appr\'eciation des copies.

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 1  obligatoire} \hfill 8 points}

Pour r\'eduire la circulation des v\'ehicules dans le centre d'une petite ville, 
la municipalit\'e envisage de construire une d\'eviation. Les propri\'etaires des
 terrains situ\'es dans la zone o\`u passera la d\'eviation sont pr\'evenus de ce
 projet.

\noindent On propose au propri\'etaire d'un terrain rectangulaire ABCD d'une longueur 
de 20 m\`etres et d'une largeur de 10 m\`etres, de modifier son terrain en 
retirant $x$ m\`etres \`a la longueur et en ajoutant $x$ m\`etres \`a la largeur 
comme l'indiquent les figures ci-dessous. Il deviendrait alors 
propri\'etaire d'un nouveau terrain rectangulaire.

\begin{center}\begin{pspicture}(12,5)
\psframe(0,2.2)(4.5,4.5)
\psframe(7.5,4.5)(9.7,0)
\psline[linestyle=dotted](7.5,2.2)(12,2.2)(12,4.5)(7.5,4.5)
\psline{<->}(8.5,0)(8.5,2.2)
\psline{<->}(9.7,3.5)(12,3.5)
\uput[ul](0,4.5){A} \uput[ur](4.5,4.5){B} \uput[dr](4.5,2.2){C} 
\uput[dl](0,2.2){D} 
\uput[ul](7.5,4.5){A} 
\uput[u](9.5,4.5){B$'$} \uput[ur](12,4.5){B} \uput[dr](12,2.2){C} 
\uput[dl](7.5,2.2){D} \uput[dl](7.5,0){D$'$} \uput[dr](9.7,0){C$'$} 
\uput[r](8.5,1.1){$x$} \uput[d](10.75,3.5){$x$}
\uput[d](2.25,-0.5){avant} \uput[d](9.75,-0.5){apr\`es}
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{1cm}

\noindent Le but de l'exercice est de conna\^itre pour quelles valeurs de $x$ le 
propri\'etaire obtient un nouveau terrain d'aire sup\'erieure \`a l'aire de
 l'ancien terrain. 

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pr\'eciser dans quel intervalle $I$ peut varier $x$,
 afin que la modification soit r\'ealisable.

\item Exprimer, en m$^2$, l'aire du nouveau terrain en fonction de $x$. On 
notera $f(x)$ le r\'esultat. 

\item V\'erifier que, pour tout nombre r\'eel $x$ de $I,~f(x)
 = 200 + 10 x - x^2$.
 
\end{enumerate} 

\item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre r\'eel $x$ de 
l'intervalle [0 ; 20] 

\item \'Etudier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle
 [0 ; 20] et dresser le tableau de variation de $f$.
 
\end{enumerate} 
	
\item \begin{enumerate} \item Recopier et compl\'eter le tableau de valeurs ci-dessous :

\[\begin{array}{|*{7}{c|}}\hline
x&~~0~~ &~~2~~ &~~4~~ &~~5~~ &~~6~~& ~~8~~\\ \hline
f(x)&&&&&&\\ \hline
x&  ~~10~~& ~~12~~& ~~14~~& ~~16~~& ~~18~~ & ~~20~~\\ \hline
f(x)&&&&&&\\ \hline
\end{array}\]

\item Le plan est rapport\'e \`a un rep\`ere orthogonal (unit\'es : 0,5 cm pour 1 m 
en abscisse ; 0,5 cm pour 10 m$^2$ en ordonn\'ee). On note $(\mathcal{C})$ 
la repr\'esentation graphique de $f$. Tracer $(\mathcal{C})$.

\end{enumerate}

\item \`A l'aide de la repr\'esentation graphique, repr\'esenter sur l'axe des
abscisses l'intervalle des valeurs de $x$ telles que le nouveau terrain
ait une aire plus grande que celle de l'ancien.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2  obligatoire} \hfill 7 points}

Dans une maison nouvellement construite, on veut carreler les sols de 
certaines pi\`eces.

\begin{enumerate} \item Le sol de la salle \`a manger est un rectangle de longueur 4,54 m et de
 largeur 3,75 m. On veut carreler cette pi\`ece avec des carreaux carr\'es de
 33 cm de c\^ot\'e.

\noindent On commence la pose par un coin de la pi\`ece comme le sugg\`ere la figure 1.

\begin{center}\begin{pspicture}(5,4) 
\psframe(0,2.5)(1,3.5)%horizontaux
\multido{\n=2.5+0.1}{10}{\psline(0,\n)(1,\n)}
\psframe(2,2.5)(3,3.5)
\multido{\n=2.5+0.1}{10}{\psline(2,\n)(3,\n)}
\psframe(0,0.5)(1,1.5)
\multido{\n=0.5+0.1}{10}{\psline(0,\n)(1,\n)}
\psframe(2,0.5)(3,1.5)
\multido{\n=0.5+0.1}{10}{\psline(2,\n)(3,\n)}
\psframe(1,1.5)(2,2.5)
\multido{\n=1.5+0.1}{10}{\psline(1,\n)(2,\n)}
\psframe(3,1.5)(4,2.5)
\multido{\n=1.5+0.1}{10}{\psline(3,\n)(4,\n)}
\psframe(4,1.5)(4.5,2.5)
\multido{\n=4+0.1}{6}{\psline(\n,1.5)(\n,2.5)}
\multido{\n=0.5+0.1}{10}{\psline(4,\n)(4.5,\n)}
\multido{\n=2.5+0.1}{11}{\psline(4,\n)(4.5,\n)}
\multido{\n=0+0.1}{5}{\psline(1,\n)(2,\n)}
\multido{\n=0+0.1}{5}{\psline(3,\n)(4,\n)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\psframe(0,1.5)(1,2.5)%verticaux
\multido{\n=0+0.1}{10}{\psline(\n,1.5)(\n,2.5)}
\psframe(2,1.5)(3,2.5)
\multido{\n=2+0.1}{10}{\psline(\n,1.5)(\n,2.5)}
\psframe(1,0.5)(2,1.5)
\multido{\n=1+0.1}{10}{\psline(\n,0.5)(\n,1.5)}
\psframe(3,0.5)(4,1.5)
\multido{\n=3+0.1}{10}{\psline(\n,0.5)(\n,1.5)}
\psframe(1,2.5)(2,3.5)
\multido{\n=1+0.1}{10}{\psline(\n,2.5)(\n,3.5)}
\psframe(3,0.5)(4,1.5)
\multido{\n=3+0.1}{10}{\psline(\n,2.5)(\n,3.5)}
\psframe(3,2.5)(4,3.5)
\multido{\n=3+0.1}{10}{\psline(\n,2.5)(\n,3.5)}
\psframe(4,1.5)(4.5,2.5)
\multido{\n=0+0.1}{11}{\psline(\n,0)(\n,0.5)}
\multido{\n=2+0.1}{11}{\psline(\n,0)(\n,0.5)}
\multido{\n=4+0.1}{6}{\psline(\n,0)(\n,0.5)}
\rput(2,-0.5){Figure 1}
    \end{pspicture}\end{center}
    
\vspace{1cm}

\noindent  Calculer le nombre de carreaux non d\'ecoup\'es qui auront \'et\'e pos\'es.

\item Le sol de la cuisine est un rectangle de longueur 4,55 m et de largeur 
3,85 m.

\noindent On veut carreler cette pi\`ece avec un nombre entier de dalles carr\'ees, sans
 aucune d\'ecoupe.

\begin{enumerate} \item Donner la liste des diviseurs de 455 puis la liste des diviseurs de 385.

\item Donner la liste des diviseurs communs \`a 455 et 385. 

\item Quel est alors le plus grand c\^ot\'e possible des dalles carr\'ees \`a utiliser
pour carreler cette cuisine ?

\end{enumerate}

\item On dispose de dalles rectangulaires de longueur 24 cm et de largeur 
15 cm.

\begin{enumerate} \item Donner la liste des multiples de 24 inf\'erieurs \`a 400, puis la liste 
des multiples de 15 inf\'erieurs \`a 400. 

\item Donner la liste des multiples communs \`a 24 et 15, inf\'erieurs \`a 400. 

\item Quelle serait la longueur du c\^ot\'e de la plus petite pi\`ece carr\'ee qui
 pourrait \^etre carrel\'ee avec un nombre entier de dalles de ce type,
 sans aucune d\'ecoupe ?
 
 \end{enumerate}
 
 \end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 3  au choix} \hfill 6 points}

Un paysagiste doit cr\'eer dans un jardin une spirale plant\'ee d'arbustes.
Il veut conna\^itre la longueur de cette spirale pour \'evaluer le nombre
 d'arbustes \`a planter.

\noindent Voici le sch\'ema qu'il dresse :

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\begin{pspicture}(0,-5)(9,2.5)
    \psline(9,0)
\psarc(6.1875,0){0.5625}{0}{180}
\psarc(6.75,0){2.25}{0}{180}
\psarc(5.625,0){1.125}{180}{360}
\psarc(4.5,0){4.5}{180}{360}
\uput[u](4.5,-4.2){$\mathcal{C}_{0}$}
\uput[d](7,2.2){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[d](5.5,-1.1){$\mathcal{C}_{2}$}
\uput[u](6.3,0.7){$\mathcal{C}_{3}$}
\uput[u](0,0){A$_{0}$} \uput[r](9,0){A$_{1}$} 
\uput[ul](4.5,0){A$_{2}$} \uput[ur](6.8,0){A$_{3}$}
\uput[ul](5.7,0){A$_{4}$} 
\end{pspicture}\end{center}

\vspace{1cm}

\noindent Cette spirale est constitu\'ee de demi-cercles construits de la mani\`ere
 suivante

$\bullet~$ le diam\`etre [A$_{0}$A$_{1}$] du demi-cercle $\mathcal{C}_{0}$
a pour milieu A$_{2}$ ;

$\bullet~$ le diam\`etre [A$_{1}$A$_{2}$] du demi-cercle $\mathcal{C}_{1}$ 
a pour milieu A$_{3}$ ;

\noindent Ainsi de suite on construit les demi-cercles $\mathcal{C}_{n}$ ($n$
est un entier naturel). 

\noindent L'unit\'e de longueur est le m\`etre. On donne A$_{0}$A$_{1}$ = 100.

\noindent On note $l_{n}$ la longueur du demi-cercle $\mathcal{C}_{n}$.

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $l_{0},~ l_{1},~ l_{2}$ et $l_{3}$.

\item Exprimer $l_{n+1}$  en fonction de $l_{n}$. Indiquer la nature de la suite
$\left(l_{n}\right)$ en pr\'ecisant sa raison.

\item Montrer que, pour tout entier $n,~l_{n} = 50\pi 
\left(\cfrac{1}{2}\right)^n$.

\end{enumerate}

\item Le paysagiste d\'ecide de ne tracer que les huit demi-cercles $\mathcal{C}_{0},~
\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2},~\cdots,~\mathcal{C}_{7}$.

\noindent On appelle $\mathcal{L}$ la longueur de la spirale obtenue avec ces huit demi-cercles.
	
\begin{enumerate} \item Calculer	$\mathcal{L} = l_{0} + l_{1} + l_{2} + \cdots + l_{7}$.
Donner l'arrondi de $\mathcal{L}$ \`a $10^{-1}$.

\item Sachant que le paysagiste doit planter un arbuste tous les cinquante
 centim\`etres \`a partir de A$_{0}$, en d\'eduire le nombre d'arbustes \`a planter.

\noindent \textbf{Formule :} $1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \cfrac{ 
1 - q^{n+1}}{1 - q}+  \quad (q \neq 1)$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 4 au choix} \hfill 6 points}

Une entreprise de jouets est sp\'ecialis\'ee dans la fabrication de poup\'ees
 qui parlent et qui marchent. Chaque poup\'ee peut pr\'esenter deux d\'efauts
 et deux seulement: un d\'efaut m\'ecanique, un d\'efaut \'electrique. Une \'etude
 statistique montre que :
 
 $8\:\%$ des poup\'ees pr\'esentent le d\'efaut m\'ecanique ; 
 
 $5\:\%$ des poup\'ees pr\'esentent le d\'efaut \'electrique ; 
 
 $2\:\%$ des poup\'ees pr\'esentent ces deux d\'efauts.
 
\noindent La production journali\`ere est de 1 000 poup\'ees. 

\begin{enumerate} \item Recopier et compl\'eter le tableau ci-dessous qui d\'ecrit la production
 journali\`ere :
 
 \begin{center} \begin{tabular}{| *{4}{c|}} \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c |}{} &poup\'ees avec d\'efaut&	poup\'ees sans 
d\'efaut&total\\
\multicolumn{1}{c |}{} &m\'ecanique &	m\'ecanique& \\ \hline
poup\'ees avec & & & \\
d\'efaut \'electrique &&& \\ \hline
poup\'ees sans & & & \\
d\'efaut \'electrique&&& \\ \hline
total&	80&& 1 000\\ \hline
\end{tabular}\end{center}

\noindent \textit{Dans la suite de l'exercice, chaque r\'esultat num\'erique sera donn\'e sous
 forme d\'ecimale.}

\item On pr\'el\`eve au hasard une poup\'ee dans la production d'une journ\'ee.

\begin{enumerate} \item Soit A l'\'ev\`enement \og la poup\'ee pr\'elev\'ee est sans d\'efaut \fg{} . Calculer
 la probabilit\'e de A. 

\item Soit B l'\'ev\`enement \og la poup\'ee pr\'elev\'ee a au moins un d\'efaut \fg{}. Montrer
que la probabilit\'e de B est 0,11.

\item Soit C l'\'ev\`enement \og la poup\'ee pr\'elev\'ee n'a qu'un seul d\'efaut \fg{}. 
Quelle est la probabilit\'e de C ? 

\item Quelle est la probabilit\'e que la poup\'ee pr\'elev\'ee pr\'esente le d\'efaut
m\'ecanique sachant qu'elle pr\'esente le d\'efaut \'electrique ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}