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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
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\rfoot{\small{juin 2000}}
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\begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers juin 2000~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes et on donnera les réponses sous forme de fractions.

Une urne contient 6 boules bleues, 3 boules rouges, et 2 boules vertes, 
indiscernables au toucher.
\begin{enumerate}
\item On tire simultanément au hasard 3 boules de l'urne.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

E$_1$ : \og Les boules sont toutes de couleurs différentes. \fg

E$_2$ : \og Les boules sont toutes de la même couleur. \fg
		\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à tout tirage de trois boules associe le nombre de boules bleues tirées.

Établir la loi de probabilité de $X$.

Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $k$ un entier supérieur ou égal à 2.

On procède cette fois de la façon suivante : on tire au hasard une boule de 
l'urne, on note sa couleur, puis on la replace dans l'urne avant de procéder au tirage suivant.

On effectue ainsi $k$ tirages successifs.

Quelle est la valeur minimale de $k$ pour que la probabilité de ne tirer que des boules bleues soit au moins mille fois plus grande que la probabilité de ne tirer que des boules rouges ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 (obligatoire)\hfill 5 points}

\medskip

On se propose d'étudier une modélisation d'une tour de contrôle de trafic aérien, chargée de surveiller deux routes aériennes représentées par deux droites de l'espace.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk{} d'unité 1~km. Le plan \Oij{} représente le sol.

Les deux \og routes aériennes \fg{} à contrôler sont représentées par deux droites (D$_1)$ et (D$_2)$ , dont on connaît des représentations paramétriques :

(D$_1) \left\{ \begin{array}{l c l}
x& =& 3+a\\
y& = &9+3a\\
z& = &2 
\end{array}\right.~\text{avec}\quad a \in \R \quad(\text{D}_{2})~\left 
\{ \begin{array}{l c l}
x 	&=	&0,5 + 2b\\
y	& =	&4 + b\\
z	& = &4 - b
\end{array}\right. \text{avec} \quad b \in \R$.
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer les coordonnées d'un vecteur $\vect{u_1}$ directeur de la droite (D$_1)$ et d'un vecteur $\vect{u_2}$ directeur de la droite (D$_2)$.
		\item Prouver que les droites (D$_1)$ et (D$_2)$ ne sont pas coplanaires.
	\end{enumerate}
\item On veut installer au sommet S de la tour de contrôle, de coordonnées 
S(3~;~4~;~0,1), un appareil de surveillance qui émet un rayon représenté 
par une droite notée (R) . Soit (P$_1)$ le plan contenant S et (D$_1)$ et 
soit (P$_2)$ le plan contenant S et (D$_2)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que (D$_2)$ est sécante à (P$_1)$.
		\item Montrer que (D$_1)$ est sécante à (P$_2)$.
		\item Un technicien affirme qu'il est possible de choisir la direction de $(R)$ pour que cette droite coupe chacune des droites (D$_1)$ et (D$_2)$. Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 (spécialité)\hfill 5 points}

\medskip

Dans le plan orienté, on considère un losange ABCD tel que

AB = BC = CD = DA = 5 et $\left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{3}$.

On désigne par I, J, K, L et O les milieux respectifs des segments 
[AB], [BC], [CD], [DA] et [BD].

On note $(\Delta)$ la médiatrice de [AB] et $(\Delta')$ la médiatrice 
de [CD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ l'isométrie du plan définie par $f(\text{A}) = \text{B} ,~ 
f (\text{B}) = \text{O} ,~ f(\text{D}) = \text{C}.$
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que $f$ est un antidéplacement.
		\item Démontrer que s'il existe un point $M$ invariant par $f$, alors $M$ est 
équidistant des points A,~ B,~ C, D.
		\item L'isométrie $f$ admet-elle un point invariant ? 
\end{enumerate}
\item Soit $\sigma$ la symétrie orthogonale d'axe $(\Delta)$ et $r$ la rotation de 
centre B et d'angle $-~\dfrac{\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f = r \circ \sigma$.
		\item A-t-on $f = \sigma \circ r$ ?
	\end{enumerate}
\item Soit $s_1$, la symétrie orthogonale d'axe (BC).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'axe de la symétrie orthogonale $s_2$, telle que $r = s_1 \circ s_2$. 
		\item En déduire que $f$ peut s'écrire sous la forme $f = s_1 \circ t_1$, où 
$t_1$ est une translation que l'on précisera.
	\end{enumerate}
\item Soit $t_2$ la translation de vecteur $\dfrac{1}{2}\vect{\text{AD}}$ ; 
on note $t_2^{-~1}$ sa réciproque et on pose $g = t_2^{-~1} \circ f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $g(\text{D}),~ g(\text{I}),~ g(\text{O})$. En déduire la 
nature précise de la transformation $g$.
		\item Démontrer que $f = t_2 \circ g$. A-t-on $f = g \circ t_2$ ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Problème\hfill 10 points}

\medskip

Les buts du problème sont l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+~\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln \left(\text{e}^{2x} - 1\right)}{\text{e}^x},\]

puis la recherche de primitives de cette fonction.

\medskip 

\textbf{Partie A - Étude de fonctions auxiliaires}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $]1~ ;~ +~ \infty[$ par :

\[g(x) = 2x - (x - 1)\ln (x - 1).\]

	\begin{enumerate}
		 \item On admet le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\ln x = 0$. En déduire la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers 1. 
		\item Calculer $g'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]1~;~ + \infty[$. 
		\item Résoudre l'inéquation $1 - \ln (x - 1 ) > 0$, d'inconnue $x$ appartenant à l'intervalle $]1~;~+ \infty[$. 
		\item Étudier le sens de variation de $g$ sur l'intervalle $]1~;~ + \infty[$. 
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ a une solution unique, notée $\alpha$, dans  l'intervalle $\left[\text{e} + 1 ~;~\text{e}^3 + 1\right]$ et étudier le signe de $g(x)$ sur chacun des intervalles $]1~;~\alpha[$ et $]\alpha~;~+~\infty[$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ 
par :

\[\varphi(x) = \dfrac{\ln \left(x^2 - 1\right)}{x}\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 1} \varphi(x)$ et prouver que $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty} \varphi(x) = 0$.
		\item Calculer $\varphi'(x)$ et montrer que $\varphi'(x)$ est du signe de 
$g(x^2)$ sur l'intervalle $]1~;~+~ \infty[$.
		\item Montrer que $\varphi$ est croissante sur l'intervalle 
$\left]1~;~\sqrt{\alpha}\right[$ et décroissante sur l'intervalle 
$\left]\sqrt{\alpha}~;~+~\infty\right[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude de la fonction} \boldmath $f$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ 
\infty[$, on a

\[f(x) = \varphi \left(\text{e}^x\right).\]

\item En déduire : 
	\begin{enumerate} 
		\item La limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0.
		\item La limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
		\item Le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et que $f$  admet un maximum en $\ln (\sqrt{\alpha})$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[,\: 
f(x) \leqslant \dfrac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha - 1}$.
\item Reproduire le tableau suivant et le compléter en donnant des valeurs 
approchées à $10^{-2}$ près :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$ & 0,1 	&0,5 	&1 	& 1,5 	& 2 	& 3\\ \hline 
$f(x)$ & 		& 		& 	& 		& 		& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Représenter graphiquement $f$ dans un repère orthogonal, d'unités 5~cm en abscisse et 10~cm en ordonnée, On prendra 10 comme valeur approchée de $\alpha$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Recherche de primitives de} \boldmath 
$f$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ est solution de l'équation différentielle : 

\[y' + y = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}- \dfrac{\text{e}^x} 
{\text{e}^x + 1}.\]

\item On pose $h(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}- \dfrac{\text{e}^x} 
{\text{e}^x + 1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Trouver une primitive $H$ de $h$ sur l'intervalle $]0~;~+ 
\infty[$.
		\item En déduire les primitives $F$ de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}