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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{17 juin 2008}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée: 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{ Baccalauréat S Centres étrangers 17 juin 2008}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On considère les points : 

\[\text{A}(2~;~1~;~-1),\quad\text{B}(-1~;~2~;~4),\quad\text{C}(0~;~-2~;~3),\quad \text{D}(1~;~1~;~- 2)\]

et le plan $\mathcal{P}$ d'équation  $x - 2y + z + 1 = 0$.

\emph{Pour chacune des huit affirmations suivantes, dire, sans justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse.\\
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et l'un des deux mots {\rm \textbf{VRAI}} ou {\rm \textbf{FAUX}} correspondant à la réponse choisie.\\
Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.\\
Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Affirmation 1 : les points A, B et C définissent un plan.
\item  Affirmation 2 : la droite (AC) est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
\item  Affirmation 3 : une équation cartésienne du plan (ABD) est : $x + 8y - z - 11 =  0$.

\item  Affirmation 4 : une représentation paramétrique de la droite (AC) est :\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2k\\ y&=& 2 + 3k\\ z&=& 3 - 4k
\end{array}\right.~~(k \in \R).\]
	
\item  Affirmation 5 : les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
\item  Affirmation 6 : la distance du point C au plan $\mathcal{P}$ est égale à $4\sqrt{6}$

\item  Affirmation 7 : la sphère de centre D et de rayon $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ est tangente au plan $\mathcal{P}$.

\item  Affirmation 8 : le point E$\left(- \dfrac{4}{3}~ ;~\dfrac{2}{3}~;~ \dfrac{5}{3} \right)$ est le projeté orthogonal du point C sur le plan $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
  
\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv ; l'unité graphique est 1~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation: 

\[z^2 + 4z + 8 =  0.\]

 On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
\item  On note A et B les points du plan d'affixes respectives : $a = 2 -  2\text{i}$ et $b = -a$. Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'affixe $c$ du point C, image du point B par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$
		\item  On note D l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ ; démontrer que l'affixe $d$
	du point D est $d =2 - 6\text{i}$.
		\item  Placer les points C et D sur le graphique Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
 	\end{enumerate}
\item $\alpha$ étant un nombre réel non nul, on désigne par $G_{\alpha}$, le barycentre du système :
\[\left\{(\text{A}~;~1)~;~(\text{B}~;~-1)~ ;~(\text{C}~;~\alpha)\right\}.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer le vecteur $\vect{\text{C}G_{\alpha}}$ en fonction du vecteur $\vect{\text{BA}}.$
		\item  En déduire l'ensemble des points $G_{\alpha}$ lorsque $\alpha$ décrit l'ensemble des réels non nuls. Construire cet ensemble.
		\item  Pour quelle valeur de $\alpha$ a-t-on $G_{\alpha} =$ D ?
 	\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $\alpha =  2$.

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse,
sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
	
Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ du plan tels que : 

\[\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + 2\vect{M\text{C}}\right\| = 4\sqrt{2}.\]
	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} l'unité graphique est 2~cm.

On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives:

\[a = 2,\quad b = 2 + 3\text{i},\quad c=3i,~~d = - \dfrac{5}{2}+3\text{i}\:\text{et}\:e = - \dfrac{5}{2}.\]

\begin{enumerate}
\item  Placer ces cinq points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.
\item  On admet que deux rectangles sont semblables si et seulement si le rapport de la longueur sur la largeur est le même pour les deux rectangles.

Démontrer que OABC et ABDE sont deux rectangles et qu'ils sont semblables.
\item  \textbf{Étude d'une similitude directe transformant OABC en ABDE}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $s$ qui transforme O en A et A en B.
		\item Démontrer que la similitude $s$ transforme OABC en ABDE.
		\item Quel est l'angle de la similitude $s$ ?
		\item Soit $\Omega$ le centre de cette similitude. En utilisant la composée $s \circ s$, démontrer que le point
$\Omega$ appartient aux droites (OB) et (AD). En déduire la position du point $\Omega$.
		\end{enumerate}
\item  \textbf{Étude d'une similitude indirecte transformant OABC en BAED}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'écriture complexe de la similitude indirecte $s'$ qui transforme O en B et qui
laisse A invariant est :

\[ z' = - \dfrac{3}{2}\text{i}\overline{z}+ 2 +3\text{i}\]

où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$.
		\item 	Montrer que $s'$ transforme OABC en BAED.
		\item 	\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
Démontrer que $s'$ est la composée de la réflexion d'axe (OA) suivie d'une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le secteur de production d'une entreprise est composé de 3 catégories de personnel :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] les ingénieurs ;
\item[$\bullet~$] les opérateurs de production ;
\item[$\bullet~$] les agents de maintenance.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

Il y a 8\,\% d'ingénieurs et 82\,\% d'opérateurs de production. Les femmes représentent 50\,\% des ingénieurs, 25\,\% des agents de maintenance et 60\,\% des opérateurs de production.

\medskip

\textbf{I. Partie A}

\medskip
 
Dans cette partie, on interroge au hasard un membre du personnel de cette entreprise.

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $M$ l'évènement : \og le personnel interrogé est un agent de maintenance \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $O$ l'évènement : \og le personnel interrogé est un opérateur de production \fg{};
\item[$\bullet~$] $I$ l'évènement : \og le personnel interrogé est un ingénieur \fg{};
\item[$\bullet~$] $F$ l'évènement : \og le personnel interrogé est une femme \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire un arbre pondéré correspondant aux données.
\item  Calculer la probabilité d'interroger:
	\begin{enumerate}
		\item un agent de maintenance ;
		\item une femme agent de maintenance ; 
		\item une femme,
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{II. Partie B}

\medskip
 
Le service de maintenance effectue l'entretien des machines, mais il est appelé aussi à intervenir en cas de panne. Pour cela une alarme est prévue ; des études ont montré que sur une journée :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la probabilité qu'il n'y ait pas de panne et que l'alarme se déclenche est égale à $0,002$ ;
\item[$\bullet~$] la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme ne se déclenche pas est égale à $0,003$ ;
\item[$\bullet~$] la probabilité qu'une panne se produise est égale à $0,04$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A$ l'évènement : \og l'alarme se déclenche \fg ;
\item[$\bullet~$] $B$ l'évènement : \og une panne se produit \fg ;
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme se déclenche est égale à $0,037$.
\item  Calculer la probabilité que l'alarme se déclenche.
\item  Calculer la probabilité qu'il y ait une panne sachant que l'alarme se déclenche.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{I. Restitution organisée des connaissances}
 
Prérequis : on rappelle que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$.

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
\item  En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x^n} =0$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{II. Étude d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :

\[f(x) =  x - \dfrac{\ln x}{x^2}.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique $2$~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $u$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $u(x) =  x^3 - 1 + 2\ln x$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $u$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		\item Calculer $u(1)$ et en déduire le signe de $u(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
 	\end{enumerate}
\item Étude de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
		\item Déterminer la fonction dérivée de $f$ et construire le tableau de variations de la fonction $f$.
 	\end{enumerate}
\item Éléments graphiques et tracés. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite ($\Delta$) d'équation $y =  x$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Déterminer la position de $\mathcal{C}$ par rapport à ($\Delta$). 
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite ($\Delta$).
		\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Calculs d'aires}

\medskip
 
On note $\alpha$ un nombre réel strictement positif et on désigne par $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire, exprimée en unités d'aire,
de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite ($\Delta$) et les droites d'équation $x =  1$ et $x =  \alpha$.
\begin{enumerate}
\item  On suppose dans cette question que $\alpha >1$.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que : $\mathcal{A}(\alpha) = 1 - \dfrac{\ln \alpha}{\alpha} - \dfrac{1}{\alpha}$.
		\item Déterminer la limite $\ell$ de $\mathcal{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $+ \infty$.
 	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}

Démontrer que $\ell = \mathcal{A}\left(\dfrac{1}{\text{e}} \right)$.
\end{enumerate}
\end{document}