\documentclass[10pt]{article}
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%tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
\lhead{\small Bac L facultatif}%tapez un titre
\lfoot{\small{Clermont}}
\rfoot{\small{ juin 2003}}
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\thispagestyle{empty}
\vspace{0,5cm}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalaur\'eat  L Clermont juin 2003 \decofourright}} 
\end{center} 

\noindent Le candidat traitera obligatoirement TROIS exercices

\noindent OBLIGATOIREMENT : l'exercice 1 \textbf{et} l'exercice 2

\noindent AU CHOIX : l'exercice 3 \textbf{ou} l'exercice 4.

\noindent L'usage de la calculatrice est autoris\'e pour cette \'epreuve.

\noindent L'attention des candidats est attir\'ee sur le fait que la qualit\'e de la r\'edaction, 
la clart\'e et la pr\'ecision des raisonnements entrent pour une part importante dans 
l'appr\'eciation des copies.

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 1  obligatoire} \hfill 7 points}

\noindent \textbf{La feuille fournie en annexe sera rendue avec la copie.}

\`A partir d'un demi-cercle de diam\`etre AB = 16, voir figure donn\'ee en annexe 1, on a effectu\'e
 (\`a la r\`egle et au compas) les constructions suivantes :

$1\textsuperscript{re}$ \'etape : on construit deux demi-cercles de diam\`etre  
$\cfrac{1}{2}$AB = 8 ;


$2\textsuperscript{e}$ \'etape : on construit quatre demi-cercles de diam\`etre 
$\cfrac{1}{4}$AB = 4.

\begin{enumerate} \item On poursuit les constructions selon le m\^eme proc\'ed\'e.

\begin{enumerate} \item Construire \`a la r\`egle et au compas, la $3\textsuperscript{e}$ \'etape sur la figure donn\'ee en annexe 1 en indiquant les \'etapes de la construction. Combien de demi-cercles doit-on construire ? Quel est leur diam\`etre ? 

\item Soit $n$ un entier, $n  \geqslant 1$. On admet qu'au cours de l'\'etape $n$, il 
faut tracer $2^n$ demi-cercles suppl\'ementaires.

Montrer que leur diam\`etre est \'egal \`a $2^{-n+4}$.

\end{enumerate}

\item On d\'esigne par $p_n$ la somme des longueurs des demi-cercles construits \`a 
l'\'etape $n.~ p_0$ d\'esigne la longueur du demi-cercle initial, donc $p_0 = 8\pi$.

Calculer $p_1,~ p_2,~ p_3$, puis $p_n$ pour $n \in  \N$.

\item On d\'esigne par $a_n$ l'aire d\'elimit\'ee par le segment [AB] et les demi-cercles construits
 \`a l'\'etape $n.~a_0$ d\'esigne la longueur du demi-cercle initial, donc $a_0 = 
 32\pi$.

\begin{enumerate} \item Calculer $a_1,~ a_2,~ a_3$.

\item Donner l'expression de $a_n$ en fonction de $n$.

V\'erifier que la suite $\left(a_n\right)_{n \in \N}$  est une suite g\'eom\'etrique dont on 
pr\'ecisera la raison.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2  obligatoire} \hfill 7 points}

\noindent \textbf{\gray Partie A :} On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle [0,1 ; 6] par

\[x  \mapsto f(x) = 70,228 + 5,104 x + 9,222 \ln x.\]

\begin{enumerate} \item Reproduire et compl\'eter le tableau ci-dessous en arrondissant le r\'esultat \`a l'unit\'e la plus proche.

\[ \begin{array}{|*{10}{c|}}\hline
x & 0,1& 0,3& 0,5& 1& 2& 3& 4&5  & 6\\ \hline
f(x)&&&&&&&&&\\  \hline
\end{array}\]

\item Calculer la d\'eriv\'ee $f'$ de $f$.

\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur [0,1 ; 6].

\item Tracer la courbe repr\'esentative de la fonction $f$ dans un rep\`ere orthogonal : 1 cm
 repr\'esente 0,5 unit\'es sur l'axe des abscisses et 1 cm repr\'esente 10 unit\'es sur l'axe des 
ordonn\'ees.

\end{enumerate}

\noindent \textbf{\gray Partie B :} Une formule empirique permet d'estimer la taille $f(x)$ (en cm) d'un enfant de moins de 6 ans, en fonction de son \^age $x$ (en ann\'ees) par :

	\[f(x) = 70,228 + 5,104 x + 9,222 \ln x.\] 

\begin{enumerate} \item Estimer la taille d'un enfant de deux ans et demi, \`a 1 cm pr\`es. 

\item Retrouver le r\'esultat de la question pr\'ec\'edente par une 
construction graphique utilisant la courbe trac\'ee dans la partie \textbf{A. 4.}. 

\item \'Evaluer l'\^age d'un enfant mesurant 1 m par une construction graphique utilisant la courbe
 trac\'e dans la partie \textbf{A. 4.}.
 
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 3  au choix} \hfill 6 points}

Les clients habituels d'une entreprise de vente par internet se voient attribuer un num\'ero
 personnel form\'e de 7 chiffres (a b c d e f g) o\`u chacune des lettres a, b, c, d, e, f, g
 repr\'esente un chiffre de 0 \`a 9. Les cinq premiers chiffres (a b c d e) sont un num\'ero 
d'identification du client, les deux derniers (f g) sont une cl\'e de contr\^ole, automatiquement
 calcul\'ee \`a partir de (a b c d e). 

\begin{enumerate} \item Combien de clients habituels au maximum la soci\'et\'e
 peut-elle identifier par ce syst\`eme ? 

\item La soci\'et\'e emploie, pour calculer la cl\'e de contr\^ole,
 la r\`egle suivante : le nombre (f g) est \'egal au reste de (a b c d e) modulo 87.

\begin{enumerate} \item Combien y a-t-il de valeurs possibles pour la cl\'e de contr\^ole ? 

\item Quelle est la cl\'e du client dont le num\'ero d'identification est (1 2 3 4 5) ?

\end{enumerate} 

\item On propose \`a la soci\'et\'e une nouvelle m\'ethode de calcul de la cl\'e de 
contr\^ole : le chiffre $f$ est le reste de (a b c d e) modulo 9 le chiffre g est le 
reste de (a~b~c~d~e) modulo 8.

\begin{enumerate} \item Combien y a-t-il de valeurs possibles pour la cl\'e de contr\^ole ? 

\item Quelle est la cl\'e du client dont le num\'ero est (1 2 3 4 5) ?

\end{enumerate}

\item Quel avantage voyez-vous, pour la soci\'et\'e, \`a conserver le premier mode de calcul de la
 cl\'e de contr\^ole ?
 
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 4 au choix} \hfill 6 points}

Am\'elie et B\'eatrice projettent une sortie soit au cin\'ema soit en randonn\'ee. Am\'elie ou 
B\'eatrice d\'ecide du choix de l'activit\'e. On d\'esigne par A l'\'ev\`enement \og Am\'elie d\'ecide \fg{} 
et par B l'\'ev\`enement \og B\'eatrice d\'ecide \fg{}, B est donc l'\'ev\`enement contraire de A.

\noindent On suppose que la probabilit\'e pour qu'Am\'elie d\'ecide est $p$(A) = 
$\cfrac{7}{12}$.

\noindent Tous les r\'esultats seront donn\'es sous la forme de fractions irr\'eductibles. 

\begin{enumerate} \item D\'eterminer $p$(B), probabilit\'e pour que B\'eatrice d\'ecide. 

\item Lorsque Am\'elie d\'ecide, 3 fois sur 10 elle choisit le cin\'ema. Lorsque B\'eatrice d\'ecide,
 4 fois sur 10 elle choisit la randonn\'ee. On d\'esigne par C, l'\'ev\`enement \og elles vont au
 cin\'ema \fg{} et par R, l'\'ev\`enement \og elles font une randonn\'ee \fg{}.

\begin{enumerate} \item D\'eterminer les probabilit\'es conditionnelles $p_{\text{A}}$(C) et 
$p_{\text{B}}$(C) o\`u $p_{\text{A}}$(C) est la probabilit\'e de C sachant
A et $p_{\text{B}}$(C) est la probabilit\'e de C sachant B.

\item Reproduire et compl\'eter l'arbre de probabilit\'es suivant :

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\psset{tnpos=a,radius=1pt}
\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}{
\pstree{\TC*~{A}}{
	\TC*~{C} 
		\Tdot}
\pstree{\Tdot}{
	\Tdot 
	\Tdot} 
		  }
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\item  \begin{enumerate} \item Calculer les probabilit\'es $p(\text{A} \cap \text{C})$ et $p(\text{B} 
\cap \text{C})$.

\item Montrer que $p(\text{C}) = \cfrac{17}{40}$. 

\item En d\'eduire $p$(R).

\end{enumerate}

\item Sachant qu'Am\'elie et B\'eatrice sont all\'ees en randonn\'ee, quelle est la probabilit\'e pour
 que ce soit B\'eatrice qui ait d\'ecid\'e ?
 
\end{enumerate} 

\vspace{3cm}

\begin{center} \textbf{\gray ANNEXE 1}

\`A RENDRE AVEC LA COPIE

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(16,8)
    \psline(0,0)(16,0)
\psarc(8,0){8}{0}{180}
\psarc(4,0){4}{0}{180} \psarc(12,0){4}{0}{180}
\psarc(2,0){2}{0}{180}\psarc(6,0){2}{0}{180}\psarc(10,0){2}{0}{180}\psarc(14,0){2}{0}{180}
\uput[d](0,0){A} \uput[d](4,0){J} \uput[d](8,0){I} \uput[d](12,0){K} 
\uput[d](16,0){B} 
\end{pspicture}\end{center}
\end{document}