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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
\newcommand{\D}{\mathbb{D}} 
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% 
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} 
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} 
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Corrigé Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Mont-de-Marsan}}
\rfoot{\small 28 mai 2011} 
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}% 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\textbf{PROBLÈME \hfill(12 points)}

\medskip
 
Dans ce problème, vous pourrez utiliser les données du tableau suivant :

\medskip%pour laisser un peu de place avant le tableau

\begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline 
Mesure de l'angle en degrés& Cosinus &Sinus &Tangente\\ \hline 
30\,\degres&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$\\ \hline 
60\,\degres&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\sqrt{3}$\\ \hline
\end{tabular}

\medskip%espace après le tableau

\begin{center}% un peu mieux en centrant le tableau
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline 
Mesure de l'angle en degrés& Cosinus &Sinus &Tangente\\ \hline 
30\,\degres&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$\\ \hline 
60\,\degres&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\sqrt{3}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 

\begin{center}% un peu mieux en centrant le tableau
\renewcommand\arraybackslash{2.2}%cette commande augmente la hauteur de chaque ligne du tableau
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline 
Mesure de l'angle en degrés& Cosinus &Sinus &Tangente\\ \hline 
30\,\degres&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$\\ \hline 
60\,\degres&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\sqrt{3}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}% encore  mieux en ins\'erant dans chaque ligne une r\`egle (rule) de largeur nulle, donc invisible
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline 
Mesure de l'angle en degrés& Cosinus &Sinus &Tangente\\ \hline 
\rule[-4mm]{0mm}{11mm}30\,\degres&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$\\ \hline 
\rule[-4mm]{0mm}{11mm} 60\,\degres&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\sqrt{3}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
\parbox{0.62\textwidth}{
On considère un triangle LMN rectangle en M tel que LM =  6~cm et 
$\widehat{\text{MLN}} = 30~\degres$.%À noter l'espace insécable (~) entre 6 et cm pour éviter qu'un passage \`a la ligne sépre ces éléments indissociables
%widehat (large chapeau) note l'angle et la notation \text{} \`a l'intérieur du langage mathématique permet d'avoir K, L et M en romain car en mode mathématique les lettres se mettent automatiquement en italique 

Reproduire la figure en vraie dimension et la compléter au fur et à mesure des questions. } \hfill 
\parbox{0.35\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3.5,2.25)
\pspolygon(0.5,0.25)(3.25,0.25)(0.5,2)%MLN
\uput[dl](0.5,0.25){M}\uput[dr](3.25,0.25){L}\uput[ul](0.5,2){L}
\uput[d](1.85,0.25){6 cm}\rput(2.4,0.5){$30~\degres$}
\psarc(3.25,0.25){3mm}{150}{180}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}%début de la numérotation des questions ; la succession des items générera 1, 2, etc.
\item Montrer que la valeur exacte de LN est $4\sqrt{3}$~cm. 
\item Tracer le cercle $(C)$ de diamètre [ML] ; il recoupe le segment [LN] en P.
 
Quelle est la nature du triangle LMP ? Justifier. %\`a noter la ligne vide pour changer de paragraphe
\item Montrer que la valeur exacte de MP est 3 cm. 
\item Montrer que la valeur exacte de LP est $3\sqrt{3}$ cm. 
\item Tracer la droite perpendiculaire à (LN) passant par N ; elle coupe (LM) en R.
 
Que peut-on en déduire pour les droites (RN) et (MP) ? Justifier. 
\item Montrer que la valeur exacte de RN est 4 cm. 
\item Calculer les aires des triangles MPL et RNL (on donnera les résultats sous leur forme exacte).
 
Quelle est la nature du quadrilatère MPNR ? Calculer son aire. 
\item Placer le point S symétrique de L par rapport à P et placer le point T image de S par la translation de vecteur $\vect{\text{ML}}$. Montrer que P est le milieu du segment [MT].
\end{enumerate}%fin de la numérotation des questions 
\end{document}