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% Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{16 mai 2025}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[7pt]16 mai 2025 - Comptabilité et gestion}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES \qquad 2 heures}}
\end{center}

\medskip

\emph{L'ensemble du sujet fait référence à un écoparc, dédié à la conservation de la biodiversité et des espèces menacées.}

\medskip

\textbf{\large{}Exercice 1\hfill 9 points}

\medskip

\emph{Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La feuille de calcul d'un tableur, dont un extrait est proposé ci-dessous, donne l'évolution du nombre annuel d'entrées dans cet écoparc pour la période 2013--2019, avant la crise sanitaire.

\emph{La ligne $3$ est au format pourcentage, arrondi à $0,01\,\%$}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| >{\cellcolor{lightgray}} c|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor{lightgray}	&A&B&C&D&E&F&G&H\\ \hline
1	&Année&2013&2014&2015&2016&2017&2018&2019\\ \hline
2	&Nombre d'entrées au parc&\np{35645}&\np{36258}&\np{38630}&\np{42524}&\np{47641}&\np{53392}&\np{60410}\\ \hline
3	&Taux d'évolution annuel arrondi à 0,01\,\%&\cellcolor{lightgray}	&1,72\,\%	&6,54\,\%	&&12,03\,\%&12,07\,\%&13,14\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule a-t-on saisie en \texttt{C3} puis recopiée vers la droite pour obtenir les différents taux d'évolution annuels du nombre d'entrées au parc ?
		\item Calculer le taux d'évolution figurant dans la cellule \texttt{E3}.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que sur la période 2013--2019, le nombre d'entrées dans l'écoparc a augmenté d'environ 69,5\,\%.
		\item Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'entrées dans l'écoparc sur la  période 2013--2019. Arrondir à 0,01\,\%
		\item On suppose que le nombre d'entrées dans l'écoparc augmente d'environ 9,2\,\% par an  à partir de 2019.

Selon ce modèle, à combien peut-on estimer le nombre d'entrées dans l'écoparc pour 2025 ?

Arrondir à la dizaine d'entrées.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un hôtelier souhaite reprendre la gérance d'un hôtel \og quatre étoiles \fg{} à proximité de l'écoparc.

Une enquête sur un échantillon représentatif d'agences de voyage travaillant avec des établissements \og quatre étoiles \fg{} lui a permis de connaître l'évolution de la demande de nuitées en fonction du prix proposé :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix TTC en \euro{} : $x_i$&80&100&120&140&160&180\\ \hline
Demande mensuelle en nuitées : $y_i$&540&452&335&188&120&88\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation  de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, selon la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax +  b$.

\emph{Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis au centième.}

\item On décide d'ajuster le nuage de points de cette série statistique $(x_i~;~y_i)$ par la droite d'équation $y = - 4,9x + 919$.

Selon ce modèle:
	\begin{enumerate}
		\item Estimer le nombre de nuitées que le gérant peut espérer réaliser par mois, s'il propose un tarif de 110~\euro{} la nuitée.
		\item En déduire le chiffre d'affaires correspondant.
		\item Calculer le prix maximal d'une nuitée pour que la demande mensuelle soit d'au moins 300 nuitées. Arrondir à l'unité.
	\end{enumerate}
\item Le chiffre d'affaire mensuel en euro que le gérant peut espérer réaliser, est modélisé par la fonction $R$ définie sur [80~;~180] par : 

\[R(x) = -4,9x^2 + 919x,\]

où $x$ désigne le prix en euros d'une nuitée dans cet hôtel.
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $R$ est dérivable sur [80~;~180] et on note $R'$ sa dérivée. 

Donner l'expression de $R'(x)$.
		\item Déterminer, en arrondissant à l'euro, la valeur $x_0$ du prix d'une nuitée qui permettrait au gérant de rendre maximal le chiffre d'affaires mensuel de son hôtel \og quatre étoiles \fg.
		\item Déterminer le chiffre d'affaires maximal correspondant.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\emph{Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
}

\textbf{Partie A}

\medskip

À l'entrée de l'écoparc, il est possible d'acheter des petits sachets de nourriture à proposer
aux animaux.

Le responsable de l'accueil a constaté que :

\begin{itemize}[label= $\bullet~$]
\item 75\,\% des visiteurs adultes viennent accompagnés d'un ou plusieurs enfants.
\item Parmi les visiteurs venant accompagnés d'un ou plusieurs enfants, 80\,\% achètent un
sachet de nourriture pour les animaux.
\item Parmi les visiteurs venant sans enfant. 40\,\% achètent un sachet de nourriture pour
les animaux.
\end{itemize}

On choisît au hasard un visiteur arrivant à l'accueil.

On note alors les évènements :

\begin{itemize}[label= $\bullet~$]
\item $F$ : \og le visiteur est venu accompagné d'un ou plusieurs enfants \fg ;
\item $A$ : \og le visiteur achète un sachet de nourriture pour les animaux. \fg
\end{itemize}

On notera $\overline{E}$ l'évènement contraire d'un évènement $E$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$F$~}\ncput*{\ldots}}
	{\TR{$A$}\ncput*{\ldots}
	\TR{$\overline{A}$}\ncput*{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{F}$~}\ncput*{\ldots}}
	{\TR{$A$}\ncput*{\ldots}
	\TR{$\overline{A}$}\ncput*{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'évènement $F \cap A$.
		\item Calculer la probabilité de cet évènement.
\item Montrer que $P(A) = 0,7$.
\item On croise dans le parc un visiteur ayant acheté un sachet de nourriture pour les animaux.

Quelle est la probabilité qu'il soit venu sans enfant ? Arrondir le résultat au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour un visiteur la durée nécessaire pour parcourir l'ensemble de l'écoparc. exprimée en 
minutes. est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 90$ et d'écart type $\sigma = 15$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(30 \leqslant T \leqslant 60)$. Arrondir le résultat au millième.
		\item Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'un visiteur mette au moins 2 heures pour parcourir l'ensemble de l'écoparc. Arrondir le résultat au millième.
\item Déterminer deux nombres $a$ et $b$ tels que que $P(a \leqslant T \leqslant b) \approx 0,95$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour augmenter l'attractivité de l'écoparc, le directeur souhaite créer un site d'accrobranche en profitant d'une partie boisée de son terrain. Il fait appel à une entreprise spécialisée qui lui livrera l'installation clé en main, moyennant un budget de \np{130 000}~\euro.

Le directeur dispose d'un apport de \np{20000}~\euro{} pour cet investissement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quel montant doit-il emprunter ?
		\item Pour cet emprunt la banque lui propose un prêt remboursable sur 4 ans par annuité constante, au taux annuel constant de 3,9\,\%.

Vérifier que le directeur devra rembourser \np{30232,50}~\euro{} par an.
	\end{enumerate}
\emph{On rappelle que pour calculer une annuité constante $a$, on a la formule : 
\[a = V_0 \times \dfrac{t}{1 - (1 + t)^{-n}}\]
où $V_0$~ est le montant emprunté, $t$ le taux annuel et $n$ le nombre d'annuités.}

\item On a construit le tableau d'amortissement du prêt contracté par le directeur de l'écoparc :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| >{\cellcolor{lightgray}} c|c|*{1}{>{\centering \arraybackslash}X|} c|c| *{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\rowcolor{lightgray} &A&B&C&D&E&F\\ \hline
1&\small période&\small dette en début de période&intérêts&\small amortissement&\small annuité&\small dette en fin de période\\ \hline
2&1&\np{110000,00}~\euro&\np{4290,00}~\euro&&\np{30232,52}~\euro&\np{84057,48}~\euro\\ \hline
3&2&&&&\np{30232,52}~\euro&\\ \hline
4&3&&&&\np{30232,52}~\euro&\\ \hline
5&4&&&&\np{30232,52}~\euro&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle valeur est inscrite dans la cellule \texttt{F5} ?
		\item Quelles formules doit-on saisir, puis recopier vers le bas, dans les cellules \texttt{C2} et \texttt{F2} pour compléter ce tableau d'amortissement ?
		\item Calculer la valeur de la cellule \texttt{D2}.
		\item Quel est le coût total du crédit ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}