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% Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{16 mai 2025}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Polynésie~\decofourright\\[7pt]16 mai 2025 - Comptabilité et gestion}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES \qquad 2 heures}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice \no 1 : \hfill 10 points}

\medskip

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

On s’intéresse à quelques données sur le changement climatique et ses conséquences dans le monde.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l’augmentation du niveau moyen des océans en prenant pour référence le niveau moyen lors de l’année 1995.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1995	&2000	&2005	&2010	&2015	&2020\\ \hline
Rang de l’année $x_i$	&0		&5		&10		&15		&20		&25\\ \hline
Augmentation du niveau moyen
 des océans $y_i$ 
 (en centimètre)		&0		&1,7	&3,1	&4,8	&6,8	&8,7\\ \hline
\multicolumn{7}{r}{(\scriptsize source : E.U. Copernicus Marine Service Information)}\\
\end{tabularx}
\end{center}

Lecture : entre l’année 1995 et l’année 2005, le niveau moyen des océans a augmenté de 3,1 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l’équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$ où $a$ et $b$ sont à arrondir à 0,001.
\item Dans cette question, on décide d’ajuster le nuage de points de cette série statistique $(x_i~;~y_i)$ par la droite d’équation : $y = 0,35x - 0,14$.

Utiliser ce modèle pour répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Estimer pour l’année 2025 l’augmentation du niveau moyen des océans par rapport à son niveau moyen de 1995.
		\item  Déterminer l’année à partir de laquelle l’augmentation du niveau moyen des océans dépassera 20 centimètres par rapport à son niveau moyen de 1995.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul d’un tableur, donne la superficie mensuelle moyenne des glaces arctiques en septembre sur la période de 1980 à 2020.
La plage de cellules C3 à F3 est au format pourcentage à une décimale.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&A&B&C&D&E&F\\ \hline
1&Année&1980&1990&2000&2010&2020\\ \hline
2&Superficie (en millions de km$^2$)&7,7&6,4&6,2&4,9&4 \rule[-2mm]{0mm}{6mm}\\ \hline
3&Taux d'évolution par rapport
 à l'année 1980 (en \%)&&&&&\\ \hline
\multicolumn{7}{r}{(\emph{source : National Snow and Ice Data Center})}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Proposer une formule à saisir en C3 et qui permet, par recopie vers la droite, de calculer les taux d’évolutions successifs des superficies par rapport à l’année 1980.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, sur la période 1980 à 2020, la superficie moyenne des glaces arctiques en septembre a diminué d’environ 48,1\,\%.
		\item Calculer le taux d’évolution annuel moyen correspondant sous la forme $p\,\%$. Arrondir $p\,\%$ à 0,1.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On suppose dans cette partie qu’à partir de l’année 2020, la superficie moyenne des glaces arctiques en septembre diminue tous les ans de $1,6\,\%$.

La suite $(u_n)$ modélise la superficie moyenne, exprimée en million de km$^2$, des glaces arctiques en septembre pour l’année $(2020 + n)$ .

On a ainsi : $u_0 = 4,0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ puis $u_2$. Arrondir à 0,01 million de km$^2$.
\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Justifier et donner sa raison.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

Selon ce modèle :
\item Quelle serait la superficie moyenne des glaces arctiques en septembre 2025 ?

Arrondir à 0,01 million de km$^2$.
\item En quelle année la superficie moyenne des glaces arctiques en septembre passera-t-elle pour la première fois en dessous de 2 millions de km$^2$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice \no 2 : \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante}

\medskip

Un institut a réalisé un sondage sur l’intérêt des Français pour les Jeux Olympiques qui ont eu lieu à Paris en août 2024.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Ce sondage a donné les résultats suivants :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $8,8\,\%$ des sondés ont acheté des places pour ces Jeux Olympiques.
\item Parmi les sondés ayant acheté des places pour ces Jeux Olympiques, $95\,\%$ ont déclaré avoir également suivi ces Jeux Olympiques à la télévision.
\item Parmi les sondés n’ayant pas acheté des places pour ces Jeux Olympiques, $75\,\%$ ont déclaré avoir également suivi ces Jeux Olympiques à la télévision.
\end{itemize}

\medskip

On choisit au hasard une personne interrogée lors de ce sondage. Toutes les personnes ont la même probabilité d’être choisies.

On s’intéresse alors aux évènements suivants :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $B$ : \og la personne sondée a acheté des places pour ces Jeux Olympiques \fg.
\item $S$ : \og la personne sondée a suivi ces Jeux Olympiques à la télévision \fg.
\end{itemize}

\medskip

On note respectivement $\overline{B}$ et $\overline{S}$ les évènements contraires de $B$ et $S$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$B$~} \taput{\ldots}}
	{\TR{$S~$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{S}~$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{B}$~} \tbput{\ldots}}
	{\TR{$S~$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{S}~$} \tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que la personne sondée ait acheté des places et ait également suivi ces Jeux Olympiques à la télévision.
\item Montrer que $P(S) = \np{0,7676}$.
\item Le responsable du sondage affirme que, parmi les personnes n’ayant pas suivi ces Jeux Olympiques à la télévision, moins de $2\,\%$ ont déclaré avoir acheté des places.

Justifier cette affirmation.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On choisit au hasard $200$ personnes interrogées lors de ce sondage. Le nombre de personnes interrogées est assez grand pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $200$ personnes interrogées, associe le nombre de personnes disant avoir suivi ces Jeux Olympiques à la télévision.

On admet que la probabilité pour qu’une personne interrogée dise avoir suivi ces Jeux Olympiques à la télévision est égale à 0,77.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et en donner une interprétation dans le cadre de cet exercice.
\item Calculer la probabilité pour que, dans un tel prélèvement, exactement $155$ personnes disent avoir suivi ces Jeux Olympiques à la télévision. Arrondir le résultat au millième.
\item Calculer $P(X \leqslant 149)$. Arrondir le résultat au millième.
\item Calculer la probabilité pour que, dans un tel prélèvement, au moins $150$ personnes disent
avoir suivi ces Jeux olympiques à la télévision. Arrondir le résultat au millième.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le sondage s’intéressait également au temps passé par les sondés à suivre ces Jeux Olympiques sur les divers médias possibles (télévision, internet, radio...).

On note $Y$ la variable aléatoire qui modélise le temps passé par chaque personne interrogée à suivre ainsi ces Jeux olympiques. $Y$ est exprimée en heure.

Selon les résultats de ce sondage, on admet que $Y$ suit une loi normale d’espérance 30 dont on donne ci-dessous la courbe représentative de sa fonction densité.

On sait de plus que $P(Y \leqslant 12) = 0,025$.

%courbe en cloche
\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=120cm,arrowsize=2pt 3,comma=true}
\begin{pspicture}(-3,-0.005)(64,0.05)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.02]{->}(0,0) (0,0)(64,0.05)
\multido{\n=0+2}{33}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,0.05)}
\multido{\n=0.00+0.01}{6}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(64,\n)}
\psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{64}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=purple]{\psGauss[sigma=9,mue=30,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{12}\psline(12,0.006)(12,0)(0,0)}
\rput(8,0.022){$P(Y \leqslant 12) = 0,025$}
\psline{->}(8,0.02)(9,0.001)
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quel est le pourcentage de personnes interrogées à avoir passé plus de 30 heures à suivre ainsi ces Jeux olympiques ? Justifier.
\item Donner en justifiant la probabilité $P(Y \geqslant 12)$.
\item Donner en justifiant la probabilité $P(30 \leqslant Y \leqslant 48)$.
\item Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte.

Combien de temps une personne interrogée doit-elle avoir passé à suivre ces Jeux Olympiques pour faire partie des 16\,\% de personnes interrogées ayant ainsi passé le plus de temps ? Justifier votre résultat.
\end{enumerate}
\end{document}
