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%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\Sciences et technologies de laboratoire\\ sciences physiques et chimiques de laboratoire}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{7 juin 2013}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  Polynésie 7 juin 2013~\decofourright\\STI2D--STL--SPCL}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip
 
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
%Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
%Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
%Il sera attribué un point si la réponse est exacte.\\ 
%Aucun point ne sera enlevé en cas de réponse incorrecte ou d'absence de réponse.}
% 
%\bigskip
%
%On considère le nombre complexe $z = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$ où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le carré de $z$ est égal à :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} $- 4 \text{i}$& 
%\textbf{b.~~} $- 4$& 
%\textbf{c.~~} $-2\text{i}$& 
%\textbf{d.~~} $4$\\
%\end{tabularx}
%\medskip
$z = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}} \Rightarrow z^2 = \left(2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}} \right)^2 = 4 \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}} = 4 \times (- \text{i}) = - 4\text{i}$. Réponse \textbf{a.} 
\item L'inverse de $z$ est égal à : $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Réponse \textbf{d.}

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$& 
%\textbf{b.~~} $- 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$& 
%\textbf{c.~~} $2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$& 
%\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip 
 
\item L'équation différentielle $y''+ 4 y = 0$ admet pour solution la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par : 

$\bullet~~$ $f(x) = \alpha \cos 2x + \beta \sin 2x, \: \alpha \in \R, \: \beta \in \R$ ou

$\bullet~~$ $f(x) = \alpha \cos (2x + \beta), \: \alpha \in \R,  \: \beta \in \R$ ou

$\bullet~~$ $f(x) = \alpha \sin (2x + \beta), \: \alpha \in \R,  \: \beta \in \R$.

La réponse est donc \textbf{b.}

%\renewcommand\arraystretch{1.8}
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
%\textbf{a.~~} $f(x) = 2 \sin \left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$&
%\textbf{b.~~} $f(x) = 5\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$\\
%\textbf{c.~~} $f(x) = 4 \sin \left( x + \dfrac{\pi}{4}\right)$& 
%\textbf{d.~~} $f(x) = \sin \left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right)$\\
%\end{tabularx}
%\medskip
%\renewcommand\arraystretch{1}
 
\item %On observe la durée de fonctionnement, exprimée en années, d'un appareil électroménager jusqu'à ce que survienne la première panne.
% 
%Cette durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$.
% 
%La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de 8~ans est au centième près :
On a $p(X \geqslant 8)  = 1 - p(X < 8)$

Or $p(X < 8) = \displaystyle\int_0^8 \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \left[- \text{e}^{- \lambda t}  \right]_0^8 = - \text{e}^{- 8\lambda} + 1$ .

Donc $p(X \geqslant 8)  = 1 - \left(- \text{e}^{- 8\lambda} + 1 \right) = \text{e}^{- 8\lambda} = \text{e}^{- 8 \times 0,2} = \text{e}^{- 1,6} \approx 0,20$. Réponse \textbf{b.}
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} $0, 18$&\textbf{b.~~} $0,20$&\textbf{c.~~} $0,71$&\textbf{d.~~} $0,80\\
%\end{tabularx}
%\medskip 

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip
 
On considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par : 

\[u_{0} = 8\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\:\: u_{n+1} = 0,4 u_{n} + 3.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
$u_1 = 0,4 \times 8 + 3 = 6,2$.

$U_2 = 0,4 \times 6,2 + 3 = 5,48$. 
%On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de cette suite.
% 
%Une copie d'écran sur laquelle les termes $u_{1}$ et $u_{2}$ ont été effacés est donnée en annexe 1. 
\item %Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B3 de la feuille de calcul afin d'obtenir les premiers termes de cette suite par recopie vers le bas ? 
Dans la cellule B3, on saisit =0,4*B2+3.
\item %En utilisant cette copie d'écran, que peut-on conjecturer sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
Il semble que la suite décroisse et converge vers 5. 
\item %On considère l'algorithme suivant :

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l l|}\hline
%\multicolumn{2}{|l|}{Les variables sont l'entier naturel N et le réel U.}\\ Initialisation :& Affecter à N la valeur $0$\\ 
%&Affecter à U la valeur 8\\ 
%Traitement :& 	TANT QUE $\text{U} - 5 > 0,01$\\
%& Affecter à N la valeur N + 1\\
%& Affecter à U la valeur $0,4\text{U} + 3$\\
%& Fin TANT QUE\\ 
% Sortie :& Afficher N\\ \hline
% \end{tabular}
% \end{center}
 
%Par rapport à la suite $\left(u_{n}\right)$, quelle est la signification de l'entier N affiché ?
L'entier N représente le rang de chaque terme de la suite, soit $n$.  
\item %On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 5$. On admet que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de premier terme $v_{0} = 3$ et de raison $0,4$.
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
Puisque  $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique $v_n
 = v_0 \times 0,4^n = 3 \times 0,4^n$.		
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$.
Comme $0 < 0,4 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,4^n = 0$. Donc la limite de la suite  $\left(v_{n}\right)$ est égale à $0$.
		\item %Le résultat précédent permet-il de valider la conjecture faite à la question 3 ?
Puisque $v_n = u_n - 5$ et que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n - 5 = 0$, on a donc 

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 5$.

La conjecture faite à la question 3 est validée.
		 
%Pourquoi ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  4 points}

\medskip 
%La grand-mère de Théo sort un gratin du four, le plat étant alors à 100~\degres C. Elle conseille à son petit-fils de ne pas le toucher afin de ne pas se brûler, et de laisser le plat se refroidir dans la cuisine dont la température ambiante est supposée constante à 20~\degres C.
% 
%Théo lui rétorque que quand il sera à 37~\degres C il pourra le toucher sans risque ; et sa grand-mère lui répond qu'il lui faudra attendre 30 minutes pour cela.
% 
%La température du plat est donnée par une fonction $g$ du temps $t$, exprimé en minutes, qui est solution de l'équation différentielle : 
%
%\[(E)\quad  y' + 0,04y = 0,8.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle $(E)$ et donner sa solution particulière $g$ définie par la condition initiale $g(0) = 100$. 
On sait que les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions :

$x \longmapsto f(x) = K\text{e}^{-0,04x} + \dfrac{0,8}{0,04} = K\text{e}^{-0,04x} +  + 20$, avec $K \in \R$ quelconque.

La solution $g$ particulière vérifie $g(0) = 100$, soit $K + 20 = 100$ ou $K = 80$.

On a donc $g(t) = 80\text{e}^{-0,04t} + 20 = 20 \left(1 + 4\text{e}^{-0,04t}\right)$.
\item %En utilisant l'expression de $g(t)$ trouvée : 
	\begin{enumerate}
		\item %La grand-mère de Théo a-t-elle bien évalué le temps nécessaire pour atteindre 37~\degres C ?
		La température après 30 min est : $g(30) = 20 \left(1 + 4\text{e}^{-0,04 \times 30}\right) = 20 20 \left(1 + 4\text{e}^{-1,2}\right) \approx 44,1$\degres.
		
La grand-mère a sous-évalué le temps de refroidissement.
		\item %Quelle est la valeur exacte du temps nécessaire pour obtenir cette température ?
Il faut trouver $t$ tel que $g(t) = 37$, soit

$20 \left(1 + 4\text{e}^{-0,04t}\right) = 37 \iff 80\text{e}^{-0,04t} = 17 \iff \text{e}^{-0,04t} = \dfrac{17}{80}$, soit par croissance de la fonction logarithme népérien :

$- 0,04t = \ln \frac{17}{80} \iff t = - \dfrac{1}{0,04}\ln \frac{17}{80} \approx 38,720$ soit 38 min et $0,72 \times 60 = 43,2$~s.

Le temps nécessaire pour que la température descende à 37\degres{} est 	à la seconde près 38~min 43~s.	 
%En donner une valeur arrondie à la seconde près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  7 points}

\medskip 

%\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.\\ Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à \boldmath $10^{- 3}$ \unboldmath près.}
%
%\medskip
% 
%Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à l'industrie.
% 
%L'objectif de cet exercice est d'étudier l'exploitation de divers outils mathématiques pour analyser la qualité de cette production.
%
%\bigskip
 
\textbf{A. Loi normale}

\medskip
 
%Une pièce est conforme lorsque sa longueur, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [74,4~;~75,6].
% 
%On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que la variable aléatoire $L$ suit la loi normale d'espérance $75$ et d'écart type $0,25$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $P(74,4 \leqslant L \leqslant 75,6)$. 
La calculatrice donne  $P(74,4 \leqslant L \leqslant 75,6) \approx 0,98$ à $10^{- 2}$ près.
\item %Quelle valeur doit-on donner à $h$ pour avoir $P(75 - h \leqslant L \leqslant 75 + h) = 0,95$ ?
On sait que pour une une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathcal{N}(\mu,\:\sigma)$ on a :

$P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 1,96\sigma) \approx 0,95$, mais en fait de façon plus précise :

$P(\mu - 0,96\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,95$, donc $P(75 - h) \leqslant L \leqslant 75 + h) = 0,95$ pour $h \approx 1,96 \sigma$, soit $h \approx 0,49$ 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip
 
%Les pièces produites par l'entreprise sont livrées par lots de $20$.
% 
%On note D l'événement: \og une pièce prélevée au hasard dans la production n'est pas conforme \fg. 
%
%On suppose que $P(D) = 0,02$.
% 
%On prélève au hasard $20$ pièces dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. 
%
%On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de 20 pièces, associe le nombre de pièces non conformes qu'il contient.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $20$ et $0,02$. 
On a une épreuve de Bernoulli qui consiste à choisir une pièce produite le succès consistant à tirer une pièce non-conforme de probabilité $p = 0,02$. L'expérience consistant à répéter 20 fois ce tirage est un schéma de Bernoulli, la variable aléatoire comptant le nombre de succès suit dont la loi binomiale $\mathcal{B}(20~;~0,02)$.
\item %Calculer la probabilité $P(X = 0)$.
On a  $P(X = 0) = 0,02^0 \times 0,98^{20} \approx \np{0,6676}$.
\item %Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une pièce non conforme dans ce lot de $20$~pièces.
La probabilité cherchée est $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,98^{20} \approx \np{0,3324}$ à $10^{- 4}$ près.
\item %Calculer l'espérance mathématiques, $E(X)$, de cette variable aléatoire et interpréter le résultat.
On sait que $E(X) = np = 20 \times 0,02 = 0,4$, nombre de pièces défectueuses pour 20 pièces tirées ou ce qui est plus parlant  2 pièces défectueuses pour 100 pièces tirées.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C. Intervalle de fluctuation}

\medskip
 
%\emph{Le cahier des charges établit que la proportion de $2$\,\% de pièces non conformes dans la production est acceptable.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des pièces non conformes dans un échantillon de taille $80$.
Il faut d'abord vérifier que l'on peut utiliser un intervalle de fluctuation :

$\bullet~~$ $n \geqslant 30$ : on a bien $80 \geqslant 30$ ;

$\bullet~~$ $np \geqslant 5$ : $80 \times 0,02 = 1,6 \geqslant 5$ FAUX !;

$\bullet~~$ $n(1 - p) \geqslant 5$ : 80 \times (1 - 0,02) = 80 \times 0,98 = 76,4 \geqslant 5$.

Si l'on calcule l'intervalle avec la formule $\left[p - 1,96\sqrt{p(1 - p)}{n}~;~p + 1,96\sqrt{p(1 - p)}{n} \right]$ on trouve l'intervalle $[- 0,010~;~0,050]$ ce qui n'a pas de sens !
\medskip
 
%\emph{On veut savoir si la machine de production est correctement réglée. Pour cela on prélève au hasard dans la production un échantillon de taille $80$ dans lequel $3$ pièces se révèlent être non conformes.}

\medskip
 
\item %Quelle est la fréquence des pièces non conformes dans l'échantillon prélevé ? 
La fréquence des pièces non conformes dans l'échantillon prélevé est égale à $\dfrac{3}{80} = \np{0,0375}$, soit 3,5\,\%.
\item %La machine de production doit-elle être révisée ? Justifier votre réponse.
Comme  \np{0,0375} est bien dans l'intervalle de fluctuation (faux) calculé ci-dessus on ne va pas réviser la machine.
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{Annexe 1}}

\vspace{3cm}

\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 		&B\\ \hline
1	&$n$	&$u(n)$\\ \hline 
2	&0		&8\\ \hline 
3	&1		&\\ \hline 
4	&2		& \\ \hline
5	&3		&5,192\\ \hline 
6	&4		&\np{5,07681}\\ \hline 
7	&5 		&\np{5,03072}\\ \hline 
8	&6 		&\np{5,012288}\\ \hline 
9	&7 		&\np{5,0049152}\\ \hline 
10	&8 		&\np{5,00196608}\\ \hline 
11	&9 		&\np{5,00078643}\\ \hline 
12	&10 	&\np{5,00031457}\\ \hline 
13	&11 	&\np{5,00012583} \\ \hline
14	&12 	&\np{5,00005033}\\ \hline 
15	&13 	&\np{5,00002013}\\ \hline 
16	&14 	&\np{5,00000305}\\ \hline 
17	&15		&\np{5,00000322}\\ \hline 
18	&16 	&\np{5,00000129}\\ \hline 
19	&17 	&\np{5,00000052}\\ \hline 
20	&18 	&\np{5,00000021}\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}