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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture et modifications : François Hache
%Corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}

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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité Jour 2 - corrigé}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{27 septembre 2023}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Amérique du Sud 27 septembre 2023~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ -- Jour 2}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un jeu proposé dans une fête foraine consiste à effectuer trois tirs successivement sur une cible mouvante.

On a constaté que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Si le joueur atteint la cible lors d'un tir alors il ne l'atteint pas lors du tir suivant dans 65\,\% des cas ;
\item[$\bullet~~$] Si le joueur n'atteint pas la cible lors d'un tir alors il l'atteint lors du tir suivant dans 50\,\% des cas.
\end{itemize}

La probabilité qu'un joueur atteigne la cible lors de son premier tir est de $0,6$.

%\emph{Pour tout évènement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.}

On choisit au hasard un joueur à ce jeu de tirs.

On considère les évènements suivants:
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A_1$ : \og Le joueur atteint la cible lors du 1\up{er} tir \fg
\item[$\bullet~~$] $A_2$ : \og Le joueur atteint la cible lors du 2\up{e} tir \fg
\item[$\bullet~~$] $A_3$ : \og Le joueur atteint la cible lors du 3\up{e} tir \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après le texte, pour $k=1$ ou $k=2$, on a:
$P_{A_k}\left (\overline{A_{k+1}}\right) =0,65$ et  $P_{\overline{A_k}}(A_{k+1}) =0,5$.

Donc $P_{A_k}(A_{k+1}) =0,35$ et  $P_{\overline{A_k}}\left (\overline{A_{k+1}}\right ) =0,5$.

On complète l'arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 0.75cm,levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$A_1$}\naput{$0,6$}}
	{\pstree{\TR{$A_{2}$}\naput{$0,35$}}
		{
		\TR{$A_{3}$}\naput{$0,35$}
		\TR{$\overline{A_{3}}$}\nbput{$0,65$}
		}
	\pstree{\TR{$\overline{A_{2}}$}\nbput{$0,65$}}
		{
		\TR{$A_{3}$}\naput{$0,5$}
		\TR{$\overline{A_{3}}$}\nbput{$0,5$}
		}
	}
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{A_1}$}\nbput{$0,4$}}
	{\pstree{\TR{$A_{2}$}\naput{$0,5$}}
		{
		\TR{$A_{3}$}\naput{$0,35$}
		\TR{$\overline{A_{3}}$}\nbput{$0,65$}
		}
	\pstree{\TR{$\overline{A_{2}}$}\nbput{$0,5$}}
		{
		\TR{$A_{3}$}\naput{$0,5$}
		\TR{$\overline{A_{3}}$}\nbput{$0,5$}
		}
	}
}
\end{center}
\end{enumerate}

Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur atteint sa cible au cours des trois tirs.

\begin{enumerate}[resume]
\item La probabilité que le joueur atteigne  deux fois la cible au cours des trois tirs est:% égale à \np{0,4015}.

$P(X=2)=P\left (A_1 \cap A_2 \cap \overline{A_3}\right ) + P\left (A_1 \cap \overline{A_2} \cap A_3\right ) + P\left ( \overline{A_1} \cap A_2 \cap A_3\right )\\
\phantom{P(X=2)}
=0,6\times 0,35\times 0,65 + 0,6\times 0,65\times 0,5  + 0,4\times 0,5\times 0,35 
= \np{0,1365} + \np{0,195} + \np{0,07} \\
\phantom{P(X=2)}
=\np{0,4015} $

\item %L'objectif de cette question est de calculer $E(X)$, l'espérance de la variable aléatoire $X$.
	\begin{enumerate}
		\item On a vu que $P(X=2)=\np{0,4015}$; de plus	 $P(X=0)$ et $P(X=3)$ sont donnés dans le tableau. On a donc:
		
$P(X=1)=1- \left (P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)\strut\right )
= 1-\left (0,1 + \np{0,4015} + \np{0,0735}\right )\\
\phantom{P(X=1)}
= 1- 0,575
= 0,425$		
		
On complète le tableau  donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X = x_i$				&0	&1	&2	&3\\ \hline
$P\left(X = x_i\right)$	& $0,1$&$\blue 0,425$	& $\blue\np{0,4015}$	& \np{0,0735}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item 
$E(X) = 0\times 0,1 + 1\times 0,425 + 2\times\np{0,4015} + 3\times\np{0,0735}
= \np{1,4485}$

		\item% Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'exercice.
Sur 3 tirs, le joueur atteindra sa cible, en moyenne, $1,5$ fois.		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère $N$, un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Un groupe de $N$ personnes se présente à ce stand pour jouer à ce jeu dans des conditions identiques et indépendantes. 
Un joueur est déclaré gagnant lorsqu'il atteint trois fois la cible.
On note $Y$ la variable aléatoire qui compte parmi les $N$ personnes le nombre de joueurs déclarés gagnants.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, $N = 15$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
L'expérience élémentaire consiste à voir si une personne est gagnante (avec une probabilité $p=\np{0,0735}$) ou non; il n'y a donc que deux issues.
On effectue cette expérience élémentaire	15 fois dans des conditions identiques et indépendantes.

Donc la variable aléatoire $Y$ qui donne le nombre de gagnants sur 15 personnes, suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=\np{0,0735}$.
		
		
		\item La probabilité qu'exactement 5 joueurs soient gagnants à ce jeu est:
		
$P(Y=5)=\ds\binom{15}{5}\times \np{0,0735}^{5} \times \left (1-\np{0,0735}\right )^{15-5} \approx 0,003$
	\end{enumerate}
	
\item On cherche le nombre minimum $n$ de personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu'il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$, c'est-à-dire tel que $P(Y\geqslant 1)\geqslant 0,98$.
On résout cette inéquation.

$P(Y\geqslant 1) \geqslant 0,98
\iff
1-P(Y=0) \geqslant 0,98
\iff
0,02\geqslant P(Y=0)\\
\phantom{P(Y\geqslant 1) \geqslant 0,98}
\iff
0,02 \geqslant \ds\binom{n}{0}\times \np{0,0735}^{0} \times \left (1-\np{0,0735}\right )^{n-0}
\iff
0,02 \geqslant \np{0,9265}^n \\
\phantom{P(Y\geqslant 1) \geqslant 0,98}
\iff
\ln\left (0,02\right ) \geqslant \ln\left (\np{0,9265}^n\right )
\iff
\ln\left (0,02\right ) \geqslant n\times \ln\left (\np{0,9265}\right )\\
\phantom{P(Y\geqslant 1) \geqslant 0,98}
\iff
\dfrac{\ln\left (0,02\right )}{\ln\left (\np{0,9265}\right )} \leqslant n$

Or $\dfrac{\ln\left (0,02\right )}{\ln\left (\np{0,9265}\right )}\approx 51,24$ donc $n=52$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Dans un repère orthonormé \Oijk{} on considère les points :
\begin{center} A$(1~;~1~;~-4)$,\quad B$(2~;~-1~;~-3)$,\quad  C$(0~;~-1~;~-1)$\quad  et\quad  $\Omega$(1~;~1~;~2).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item% Démontrer que les points A, B et C définissent un plan.
Le vecteur $\vectt{AB}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
2-1 \\ -1-1 \\-3-(-4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 1
\end{pmatrix}$
 et le vecteur $\vectt{AC}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
0-1 \\ -1-1 \\-1-(-4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 \\ -2 \\ 3
\end{pmatrix}$.

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés; ils définissent donc un plan.
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit  $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\vect{n}\cdot \vectt{AB}=1\times 1+1\times (-2) +1\times 1=0$ donc $\vect{n}\perp \vectt{AB}$;
\item $\vect{n}\cdot \vectt{AC}=1\times (-1)+1\times (-2) +1\times 3=0$ donc $\vect{n}\perp \vectt{AC}$.
\end{list}		

Le vecteur $\vect{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (ABC), donc c'est un vecteur normal au plan (ABC).
		
		\item %Justifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est $x + y + z + 2 = 0$.
Le plan (ABC) a donc une équation cartésienne de la forme $x+y+z+d=0$. On détermine $d$ en utilisant le fait que le point A appartient au plan (ABC).

$\text{A}\in (\text{ABC})
\iff
x_{\text A} + y_{\text A} + z_{\text A} +d=0
\iff
1+1-4+d=0
\iff d=2$

Le plan (ABC) a donc pour équation cartésienne $x+y+z+2=0$.
	
	\end{enumerate}
	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que le point $\Omega$ n'appartient pas au plan (ABC).
$x_{\Omega}	 + y_{\Omega} + z_{\Omega} +2 = 1+1-2+2=2\neq 0$ donc $\Omega \notin (\text{ABC})$.
		
		\item Soit H le projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan (ABC).
		
Donc $\vectt{$\Omega$H}$ est un vecteur orthogonal au plan (ABC), donc il est colinéaire au vecteur $\vect n$, et il a donc des coordonnées de la forme
$\begin{pmatrix}
k \\k \\k
\end{pmatrix}$, où $k\in\R$.

Les coordonnées de $\vectt{$\Omega$H}$ sont
$\begin{pmatrix}
x_{\text H} - x_{\Omega} \\ y_{\text H} - y_{\Omega} \\ z_{\text H} - z_{\Omega}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_{\text H} - 1 \\ y_{\text H} -1 \\ z_{\text H} -2
\end{pmatrix}$.

On déduit donc que
$\left \{
\begin{array}{l !{=} l}
x_{\text H} -1& k\\
y_{\text H} -1& k\\
z_{\text H} -2& k 
\end{array}
\right .$, c'est-à-dire
$\left \{
\begin{array}{l !{=} r}
x_{\text H} & 1+k\\
y_{\text H} & 1+k\\
z_{\text H} & 2+k 
\end{array}
\right .$

Or le point H appartient au plan (ABC) donc:
$x_{\text H} + y_{\text H} + z_{\text H} +2=0
\iff
(1+k)+(1+k)+(2+k)+2=0
\iff
6+3k=0
\iff
k=-2$.

Le point H a donc pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
1-2 \\ 1-2 \\ 2-2
\end{pmatrix}$
soit
$\begin{pmatrix}
-1 \\ -1 \\ 0
\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}
			\end{enumerate}

On admet que $\Omega \text{H} = 2\sqrt 3$.
On définit la sphère $S$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt 3$ comme l'ensemble de tous les points M de l'espace tels que $\Omega\text{M} = 2\sqrt 3$.

	\begin{enumerate}[resume]

\item %Justifier, sans calcul, que tout point N du plan (ABC), distinct de H, n'appartient pas à la sphère $S$.
Le point H est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan (ABC), donc $\Omega$H est la plus courte distance entre $\Omega$ et tout point du plan; autrement dit, tout point N de (ABC) distinct de H est tel que $\text{$\Omega$N} > \text{$\Omega$H}$, donc $\text{$\Omega$N} > 2\sqrt{3}$.

Ce qui prouve que le point N n'appartient pas à la sphère $S$.
\end{enumerate}

On dit qu'un plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ en un point K lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

\hfill$\begin{array}{l}
\bullet~~ \text{K} \in \mathcal{P} \cap S\\
\bullet~~ (\Omega\text{K}) \perp \mathcal{P}
\end{array}$\hfill\null

	\begin{enumerate}[resume]

\item Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation  $x +y - z - 6 = 0$ et le point K de coordonnées K(3~;~3~;~0).

%Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point K.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $x_{\text K} + y_{\text K} - z_{\text K} -6 = 3 + 3 - 0 - 6 = 0$ donc $\text K \in \mathcal{P}$

$\text{$\Omega$K}^2 = \left (3-1\right )^2 + \left ( 3-1\right )^2 + \left (0-2\right )^2 = 4+4+4=12$ donc $\text{$\Omega$K} =2\sqrt{3}$; et donc $\text K \in S$.

Donc $\text{K} \in \mathcal{P} \cap S$.
\item Le vecteur $\vectt{$\Omega$K}$ a pour coordonnées 
$\begin{pmatrix}
3-1 \\ 3-1\\ 0-2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \\ 2\\ -2
\end{pmatrix}$.

Le plan $\mathcal{P}$ a pour vecteur normal 
$\vect{n'} \begin{pmatrix}
1 \\ 1\\ -1
\end{pmatrix}$

$\vectt{$\Omega$K} = -2 \vect{n'}$; or $\vect{n'}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ donc $\vectt{$\Omega$K}$ est orthogonal au plan $\mathcal{P}$, et donc $(\text{$\Omega$K}) \perp \mathcal{P}$.
\end{list}

On en conclut que  le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point K.

\item On admet que les plans (ABC) et $\mathcal{P}$ sont sécants selon une droite $(\Delta)$.

\emph{Rem. } -- Le plan (ABC) a pour vecteur normal $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$  et $\mathcal{P}$ a pour vecteur normal $\vect{n'}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.

Ces vecteurs ne sont manifestement pas colinéaires donc (ABC) et $\mathcal{P}$ sont sécants selon une droite $(\Delta)$.

\smallskip

On résout le système :

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \:\cap \:\mathcal{P} \iff \left \{
\begin{array}{r}
x+y+z+2=0\\
x+y-z-6=0
\end{array}
\right.
\iff $

$\left\{
\begin{array}{r}
x+y+z+2=0\\
(x+y+z+2)-(x+y-z-6)=0
\end{array}
\right.\iff
\left\{
\begin{array}{r}
x+y+z+2=0\\
z+2+z+6=0
\end{array}
\right .
\iff
\left \{
\begin{array}{r !{=} r}
x+y+z+2 & 0\\
z&-4
\end{array}
\right .$

$\iff
\left \{
\begin{array}{r !{=} r}
x + y -2& 0\\
z&-4
\end{array}
\right .$

On peut l'écrire
$\left \{
\begin{array}{r !{=} r}
x& 2-y\\
y&y\\
z&-4\phantom{-y}
\end{array}
\right .$
ou encore
$\left \{
\begin{array}{r !{=} r}
x& 2-t\\
y&t\\
z&-4\phantom{-t}
\end{array}
\right .$ où $t\in\R$.

La droite $(\Delta)$ a donc pour représentation paramétrique:
$\left \{
\begin{array}{r !{=} r}
x& 2-t\\
y&t\\
z&-4\phantom{-t}
\end{array}
\right .$ où $t\in\R$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n \in \N$, 
$u_{n+1} = 5u_n - 8n + 6$.

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item% Calculer $u_1$ et $u_2$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour $n=0$ on a:
$u_1=u_{0+1}=5u_0 -8\times 0 +6=0-0+6=6$
\item Pour $n=1$ on a: $u_2=u_{1+1}=5u_1 -8\times 1 +6= 5\times 6 -8+6=28$
\end{list}

\item Soit $n$ un entier naturel.
On complète la fonction {\ttfamily suite\verb+_+u} d'argument {\ttfamily n}  ci-dessous, écrite en langage Python, afin qu'elle retourne la valeur de $u_n$.

\begin{center}
\begin{tabular}{>{\ttfamily}l}
def suite\verb+_+u(n) : \\
\qquad u = \blue 0\\
\qquad for i in range(1,n+1) :\\
\qquad \vline \qquad u = \blue 5*u - 8*(i-1) + 6\\
\qquad return u
\end{tabular}
\end{center}

\emph{Rem}: il aurait sans doute été plus simple de donner comme algorithme:

\begin{center}
\begin{tabular}{>{\ttfamily}l}
def suite\verb+_+u(n) : \\
\qquad u = \blue 0\\
\qquad for i in \red range(0,n) :\\
\qquad \vline \qquad u = \blue 5*u - 8*i + 6\\
\qquad return u
\end{tabular}
\end{center}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété:  $u_n \geqslant 2n$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

Pour $n=0$, on a: $u_0=0$ et $2n=0$; donc $\mathcal{P}_0$ est vraie.
\item \textbf{Hérédité}

On suppose que $u_n \geqslant 2n$ pour $n\geqslant 0$; c'est l'hypothèse de récurrence.

$u_{n+1}=5u_n -8n+6 \geqslant 5\times (2n) -8n+6 = 2n+6 = 2(n+1)+4 \geqslant 2(n+1)$

Donc $\mathcal{P}_{n+1}$ est vérifiée.
\item \textbf{Conclusion} 

La propriété est vraie au rang 0, et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$, donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n$.
\end{list}		

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n\geqslant 2n$.		
		
		\item% En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\ds\lim _{n\to +\infty} 2n=+\infty$ et $u_n\geqslant 2n$ donc $\ds\lim _{n\to +\infty} u_n = +\infty$.
		
		\item Soit $p \in \N^*$.% Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que,  pour tout entier naturel $n$ vérifiant, $n \geqslant n_0$,\: $u_n \geqslant  10^p$ ?
		
$\ds\lim _{n\to +\infty} u_n = +\infty$ donc, d'après la définition de la limite vers $+\infty$ d'une suite, pour tout réel $A>0$, il existe un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à $A$; donc il existe un rang $n_0$ tel que si $n\geqslant n_0$, alors $u_{n_0}\geqslant 10^p$.
\end{enumerate}

\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
Pour tout $n$, on a:
$u_{n+1}-u_n=5u_n-8n+6 -u_n = 4u_n - 8n +6$;
or $u_n\geqslant 2n$ donc $4u_n-8n\geqslant 0$ et donc $u_{n+1}-u_n\geqslant 6$.

On en déduit que la suite $(u_n)$ est croissante.

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout $n \in  \N$, par $v_n = u_n - 2n + 1$.
	\begin{enumerate}
		\item En dessous de la fonction {\ttfamily suite\verb+_+u} précédente, on a écrit la fonction {\ttfamily suite\verb+_+v} ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabular}{>{\ttfamily}l}
def suite\verb+_+v(n):\\
\qquad L = []\\
\qquad  for i in range(n+1) :\\
\qquad \vline \qquad L.append(suite\verb+_+u(i) - 2*i + 1)\\
\qquad return L
\end{tabular}
\end{center}

%\emph{La commande \og L.append \fg permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste L.}

Lorsqu'on saisit {\ttfamily suite\verb+_+v(5)} dans la console, on obtient l'affichage suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{>{\ttfamily} l}
$>>>$ suite\verb+_+v(5)\\
$[1,~5,~25,~125,~625,~3125]$\\
\end{tabular}
\end{center}

%Conjecturer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.

On peut conjecturer que, pour tout $n$, on a: $v_{n+1}=5v_n$.

%Démontrer cette conjecture.

$v_{n+1}=u_{n+1}-2(n+1)+1 = 5u_n -8n +6 -2n-2+1=5u_n-10n+5= 5(u_n-2n+1)\\
\phantom{v_{n+1}}
=5v_n$

		\item %En déduire, pour tout entier naturel $n$, la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
On déduit de la question précédente que  la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=5$, et de premier terme $v_0=u_0-2\times 0+1=1$. 

On a donc, pour tout $n$: $v_n = v_0\times q^n = 5^n$.

Pour tout $n$, $v_n=u_n-2n+1$ donc $u_n=v_n+2n-1$ et donc $u_n= 5^n +2n-1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x) = \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right) + \dfrac14 x.$

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij{} du plan.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\ds\lim _{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ donc $\ds\lim _{x\to +\infty} \ln\left (1+\e^{-x}\right ) = \ln(1)=0$
\item $\ds\lim _{x\to +\infty} \dfrac{1}{4}x=+\infty$
\end{list}

Donc $\ds\lim _{x\to +\infty} f(x) = +\infty$.

\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout réel $x,\: f'(x) = \dfrac{\e^x - 3}{4\left(\e^x + 1\right)}$.
$f'(x)=\dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}+\dfrac{1}{4}
= \dfrac{\e^{x}\times \left (-\e^{-x}\right )}{\e^{x}\times \left (1+\e^{-x}\right )}+\dfrac{1}{4}
= \dfrac{-1}{\e^{x}+1} + \dfrac{\e^{x}+1}{4\left (\e^{x}+1\right )}
= \dfrac{-4+\e^{x}+1}{4\left (\e^{x}+1\right )}\\
\phantom{f'(x)}
= \dfrac{\e^{x}-3}{4\left (\e^{x}+1\right )}$
				
		\item %En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
Sur $\R$, $f'(x)$ est du signe de $\e^{x}-3$.

$\e^{x}-3\geqslant 0
\iff
\e^{x}\geqslant 3
\iff
x \geqslant \ln(3)$

\begin{list}{\textbullet}{Donc:}
\item sur $\left ] -\infty\;;\;\ln(3)\strut\right [$, $f'(x)<0$ donc $f$ est strictement décroissante;
\item sur $\left ] \ln(3)\;;\;+\infty\strut\right [$, $f'(x)> 0$ donc $f$ est strictement croissante;
\item la fonction $f$ admet pour $x=\ln(3)$ un minimum.
\end{list}

		\item %Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [2~;~5].
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\ln(3)\approx 1,1$ donc $[2~;~5] \subset\; ]\ln(3)\;;\;+\infty[$, et donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[2~;~5]$.
\item $f(2)=\ln\left (1+\e^{-2}\right ) + \dfrac{1}{4}\times 2 \approx 0,63$ donc $f(2)<1$.
\item $f(5)=\ln\left (1+\e^{-5}\right ) + \dfrac{1}{4}\times 5 \approx 6,25$ donc $f(5)>1$.	\item De plus, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ donc continue.
\end{list}
	
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, 	on peut déduire que l'équation $f(x)=1$ admet une solution unique sur $[2~;~5]$. On l'appelle $\alpha$.
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admettra que la fonction $f'$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$,
$f''(x) = \dfrac{\e^x}{\left(\e^x + 1\right)^2}$.

On note $\Delta$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.

Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}_f$ la tangente $\Delta$ et le quadrilatère MNPQ tel que M et N sont les deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisses respectives $\alpha$ et $- \alpha$, et Q et P sont les deux points de la droite $\Delta$ d'abscisses respectives $\alpha$ et $- \alpha$.

%%%%%  fig
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,5)
\pspolygon[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,fillstyle=solid,fillcolor=blue!20](3.922,-0.3)(3.922,1)(- 3.922,2.961)(-3.922,1.7)
%\psgrid[gridlabels=0pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-6,-1)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-6}{6}{1 1 2.71828 x exp div add ln 0.25 x mul add}
\psplotTangent[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{1 1 2.71828 x exp div add ln 0.25 x mul add}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-6}{6}{0.6931 0.375 x mul sub}
\psline[linestyle=dashed](-3.922,1.7)(-3.922,0)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[d](3.922,-0.3){Q}\uput[u](3.922,1){M}\uput[ur](- 3.922,2.961){N}\uput[dl](-3.922,1.7){P}
\uput[dr](3.922,0){$\alpha$}\uput[d](-3.922,0){$- \alpha$}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](-5.2,2){\blue$\Delta$}
\uput[d](-5.2,3.8){\red $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
%
\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier le signe de $f''(x)$ pour $x \in \R$.
\begin{list}{\textbullet}{Pour tout réel $x$:}
\item $\e^{x}>0$;
\item $\e^{x}>0$ donc $\e^{x}+1>0$ donc $\left(\e^x + 1\right)^2>0$.
\end{list}		

Donc $f''(x) = \dfrac{\e^x}{\left(\e^x + 1\right)^2}>0$.

		\item% En déduire que la portion de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle $[-\alpha~;~\alpha]$, est inscrite dans le quadrilatère MNPQ.
Pour tout réel $x$, $f''(x)>0$ donc la fonction $f$ est convexe; sa courbe représentative est donc située au-dessus de toutes ses tangentes, donc au-dessus de $\Delta$.

De plus, comme la fonction $f$ est convexe, sa courbe représentative entre les points M et N est située en-dessous de la sécante (MN).

Donc  la portion de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle $[-\alpha~;~\alpha]$, est inscrite dans le quadrilatère MNPQ.
	\end{enumerate}
	
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $f(-\alpha) = \ln \left(\e^{-\alpha} + 1\right) + \dfrac34 \alpha
$f(-\alpha) = \ln\left (1+\e^{\alpha}\right ) -\dfrac{1}{4}\alpha
= \ln \left (\e^{\alpha} \left (\e^{-\alpha}+1\right )\right ) -\dfrac{1}{4}\alpha
= \ln\left (\e^{\alpha}\right ) + \ln \left (\e^{-\alpha}+1\right ) -\dfrac{1}{4}\alpha\\[7pt]
\phantom{f(-\alpha)}
= \alpha + \ln \left (\e^{-\alpha}+1\right ) -\dfrac{1}{4}\alpha
= \ln \left (\e^{-\alpha}+1\right )+ \dfrac{3}{4}\alpha$
		
		\item %Démontrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.
On sait que $f(\alpha)=1$, donc $\ln\left (1+\e^{-\alpha}\right )+\dfrac{1}{4}\alpha = 1$ et donc $\ln\left (1+\e^{-\alpha}\right ) = 1-\dfrac{1}{4}\alpha$.

Donc comme $f(-\alpha) = \ln \left (\e^{-\alpha}+1\right )+ \dfrac{3}{4}\alpha$, on a:
$f(-\alpha) = 1-\dfrac{1}{4}\alpha + \dfrac{3}{4}\alpha = 1+\dfrac{1}{2}\alpha$.

%\newpage

Les points M et N ont respectivement pour coordonnées $\left (\alpha\;;\;f(\alpha)\right )$ et $\left (-\alpha\;;\;f(-\alpha)\right )$ donc le coefficient directeur de la droite (MN) est égal à:

\[\dfrac{y_{\text M} - y_{\text N}}{x_{\text M} - x_{\text N}}
= \dfrac{f(\alpha) - f(-\alpha)}{\alpha-(-\alpha)}
= \dfrac{1-\left (1+\frac{1}{2}\alpha\right )}{2\alpha}
= \dfrac{-\frac{1}{2}\alpha}{2\alpha}
= -\dfrac{1}{4}\]

La droite $\Delta$ est tangente en 0 à la courbe $\mathcal{C}_f$; donc son coefficient directeur est égal à:
$f'(0)=\dfrac{\e^{0}-3}{4\left (1+\e^{0}\right )}
= \dfrac{1-3}{4\left (1+1\right )}
= \dfrac{-2}{8}
= -\dfrac{1}{4}$

Les droites (MN) et $\Delta$ ont le même coefficient directeur, donc elles sont parallèles, donc $(\text{MN}) /\!/ (\text{QP})$.

Par construction, les droites (MQ) et (NP) sont parallèles.

On peut donc en déduire que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}