%\tapuscrit Jean-Paul GOUALARD
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique La Réunion~\decofourright\\23  juin 2009}}\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1}}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Une formule qui, entrée dans la cellule C5, permet par recopie vers le bas , d'obtenir la plage C5 : C8 est : \textbf{\textcolor{red}{=(B5-B4)/B4}}

\item Une formule qui, entrée dans la cellule D5, permet par recopie vers le bas , d'obtenir la plage de cellules D5 : D8 est par exemple :\\
 \textbf{\textcolor{red}{=(B5-B\$4)/B\$4}} ou \textbf{\textcolor{red}{=(\$B5-\$B\$4)/\$B\$4}} ou \textbf{\textcolor{red}{=B5/B\$4-1}} ou \textbf{\textcolor{red}{=\$B5/\$B\$4-1}}

\item Une formule qui, entrée dans la cellule E5 , permet par recopie vers le bas , d'obtenir la plage de cellule E5 : E8 est par exemple : \textbf{\textcolor{red}{=E4*1.1}} ou \textbf{\textcolor{red}{=E4+E4*0.1}}.
\end{enumerate}

\item La valeur qui figure dans la cellule C8 est : $\dfrac{\numprint{1430}-\numprint{1300}}{\numprint{1300}}\approx \numprint{13,0769}\approx \boxed{\textcolor{red}{13,08}}$.

\noindent La valeur qui figure dans la cellule E8 est : $\numprint{1331}\times 1,01=1464,1\approx \boxed{\textcolor{red}{1464}}$.

\noindent La valeur qui figure dans la cellule G8 est : $\dfrac{\numprint{1464,1}-\numprint{1000}}{\numprint{1000}}=\boxed{\textcolor{red}{46,4}}$.

Le tableau est donc : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F&G\\
\hline
1&&\multicolumn{3}{|c|}{Région Sud}&\multicolumn{3}{|c|}{Région Nord}\\ \cline{1-1} \cline{3-8} 
2&&&\multicolumn{2}{|c|}{Variation du prix en \:\%} &&\multicolumn{2}{|c|}{Variation du prix en \:\%} \\\cline{1-1} \cline{4-5} \cline{7-8}
3&Année &Prix&Par rapport à l'année précédente &Par rapport à l'année 2004 &Prix &Par rapport 
à l'année précédente &Par rapport à l'année 2004 \\\hline
4 &2004 &\nombre{1000}~\euro&&&\nombre{1000}~\euro&&\\ \hline 
5 & 2005& \nombre{1085}~\euro& 8,50\:\% &8,50\:\% &\nombre{1100}~\euro &10,00\:\% &10,00\:\% \\ \hline
6 &2006 &\nombre{1160}~\euro &6,91\:\% &16,00\:\% &1210~\euro&10,00\:\%&21,00\:\% \\ \hline
7 &2007 &\nombre{1300}~\euro& 12,07\:\% &30,00\:\% &\nombre{1331}~\euro &10,00\:\% &33,10\:\% \\ \hline
8 &2008 &\nombre{1470}~\euro &\textcolor{red}{12,08\:\%}&47,00\:\% &\textcolor{red}{1464}&10,00\:\% &\textcolor{red}{46,4\:\%}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Le taux global d'augmentation dans la région sud entre 2004 et 2008 est 47 \% d'après le tableau ci-dessus.\\
Soit $t_m$ le taux moyen d'augmentation annuelle dans la région sud entre 2004 et 2008. Il est défini par :
$\left(1+t_m\right)^4=1+47\:\%$ donc $\left(1+t_m\right)^4=1,47$ \\
d'où $1+t_m=1,47^\frac14$ et $t_m=1,47^\frac14-1\approx \numprint{0,1011}$, soit environ \fbox{\textcolor{red}{10,11 \%}}.

\item 
\begin{enumerate}
\item Le responsable de la région nord maintient , au cours des années , une hausse annuelle de 10 \%.\\
Donc le coefficient multiplicateur annuel est $1+10\:\%=\textcolor{red}{1,1}$.\\
Pour tout $n$, on a $p_{n+1}=1,1p_n$ donc la suite $\left(p_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}}, de raison $q=1,1$ et de premier terme $p_0=\numprint{1000}$.

\item Le terme général est $p_n =p_0\times q^n=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1000}\times 1,1^n}}$.\\
On doit avoir $p_n\geqslant \numprint{1800}$, donc $\numprint{1000}\times 1,1^n\geqslant \numprint{1800}$.\\`
On en déduit $1,1^n\geqslant \dfrac{\numprint{1800}}{\numprint{1000}}=1,8$.\\
La fonction $\ln$ est croissante, d'où : $\ln\left(1,1^n\right)\geqslant \ln(1,8)$, donc $n\ln(1,1)\geqslant \ln(1,8)$ ; par conséquent : $n\geqslant \dfrac{\ln(1,8)}{\ln(1,1)}\approx 6,1$ (car $\ln(1,1)$ est positif).\\
il faut donc que $n\geqslant 7$ (car $n$ est entier).\\
\textcolor{red}{Donc le prix dépassera 1800 \euro à partir de 2011.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2}}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode 
des moindres carrés est : $\boxed{\textcolor{red}{y=-80,1x+726,8}}$ ( coefficients arrondis au dixième).

\item voir graphique ci-dessous

\item Le directeur devra cesser la vente du produit selon cet ajustement quand $y<50$.\\
On doit donc résoudre l'inéquation : $-80x+730<50$ donc $-80x<50-730=-680$ d'où $x>\dfrac{-680}{-80}=8,5$ (l'inégalité change de sens, car on divise par un nombre négatif).\\
Donc selon cet ajustement , \textbf{\textcolor{red}{il devra cesser la vente du produit en 2009}}.
\end{enumerate}

\item On utilise l'ajustement exponentiel. 
\begin{enumerate}
\item Il faut résoudre l'inéquation $813\mathrm{e}^{-0,21x}<50$.\\
$813\mathrm{e}^{-0,21x}<50$ donne $\mathrm{e}^{-0,21x}<\dfrac{50}{813}$.\\
Comme la fonction $\ln$ est croissante, on en déduit : $-0,21x<\ln\left(\dfrac{50}{813}\right)$, d'où, en divisant par -0,21, $x>\dfrac{\ln\left(\dfrac{50}{813}\right)}{-0,21}\approx \boxed{\textcolor{red}{13,3}}$.\\
Donc selon cet ajustement,  \textbf{\textcolor{red}{il devra cesser la vente du produit en 2014}}.

\item On utilise ce modèle :
2000 correspond à l'année 0. $f(14)=813\mathrm{e}^{-0,21\times 14}\approx 42,979\approx 43$.\\
Notons $t_m$ le temps de diminution annuelle moyen entre 2000 et 2014. \\
On a : $813\times \left(1+t_m\right)^{14}=43$ donc $\left(1+t_m\right)^{14}=\dfrac{43}{813}$, d'où $1+t_m=\left(\dfrac{43}{813}\right)^\frac14$ et $t_m=\left(\dfrac{43}{813}\right)^\frac14-1\approx -0,19$, soit un \textbf{\textcolor{red}{taux moyen annuel de baisse d'environ 19 \%}}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}% 

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.02cm,algebraic=true}

\begin{pspicture}(14,900)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(14,900)
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,900)}
\multido{\n=0+10}{91}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(14,\n)}
\uput[d](7,-50){\textbf{Rang de l'année}}
\rput{90}(-1.5,450){\textbf{Nombre d'appareils vendus}}
\psdots(0,805)(1,604)(2,594)(3,475)(4,365)(5,256)(6,207)(7,183)(8,167)
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{14}{813 2.71828 0.21 x mul exp div}
%\psplot[linecolor=red,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{9}{730 x 80 mul sub}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{14}{813*EXP(-(0.21)*x)}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{9}{730 -80*x}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3}}
Traduisons les hypothèses en termes de probabilités.\\
 Dans la liste des candidats devant passer une épreuve de mathématiques du baccalauréat STG, on compte
52 \% de filles, donc $\textcolor{red}{p(F)=0,52}$.\\
Parmi les filles, 20\:\% sont en GSI, donc $\textcolor{red}{p_F(I)=0,2}$.\\
De même, 45\:\% d'entre elles sont en CFE, donc $\textcolor{red}{p_F(E)=0,45}$.\\
De même, $\textcolor{red}{p_G(I)=0,3}$, $\textcolor{red}{p_G(E)=0,45}$ et $\textcolor{red}{p_G(M)=0,25}$.

\begin{enumerate}
\item G est l'évenement contraire de F, donc $p(G)=1-p(F)=1-0,52=\textcolor{red}{0,48}$.\\
On peut alors compléter l'arbre.
 \begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\taput{\small $0.52$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{\small $0.2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{\small $0.45$}
\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\tbput{\small $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{\small $0.48$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{\small $0.3$}
\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{\small $0.45$}
\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\tbput{\small $0.35$}
}
}
\end{center}
 



\item 
\begin{enumerate}
\item F et G sont disjoints (intersection nulle) et leur réunion constitue l'univers.\\
$I=(I\cap F)\cup(I\cap G)$ ; c'est une réunion d'événements incompatibles, donc :\\
$p(I)=p(I\cap F)+p(I\cap G)$.\\
On a : $p(I\cap F)=p_F(I)\times p(F)=0,2\times 0,52=0,104$ et $p(I\cap G)=p_G(I)\times p(G)=0,3\times 0,48=0,144$.\\
On en déduit : $p(I)=0,104+0,144=0,248$. $\overrightarrow{\textcolor{red}{p(I)=0,248}}$

\item $p(I\cap F)=0,104$ ; $p(F)=0,52$ et $p(I)=0,248$, donc $p(F)\times p(I)=0,42\times 0,248=0,10416\neq 0,104$.\\
$p(I\cap F)\neq p(I)\times p(F)$ donc \textbf{\textcolor{red}{les événements F et I ne sont pas indépendants}} .

\end{enumerate}

\item $p_I(F)=\dfrac{p(I\cap F)}{p(I)}=\dfrac{0,104}{0,248}=\dfrac{104}{248}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,42}}$.


\item Calculons $p(E\cap F)$ ; \\
$p(E\cap F)=p_F(E)\times p(F)=0,45\times 0,52=\textcolor{blue}{}\textcolor{red}{0,234}$.\\
$E=(E\cap F)\cup(E\cap G)$ (réunion d'événements incompatibles), donc $p(E)=p_F(E)\times p(F)+p_G(E)\times p(G)=0,234+0,216=0,45$.\\
$p(F)=0,52$ d'où $p(E)\times p(F)=0,45\times 0,52=\boxed{\textcolor{red}{0,234}}$.\\
Par conséquent : $p(E\cap F)=p(E)\times p(F)$ : \fbox{\textcolor{red}{les événements E et F sont indépendants}}.

\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4}}

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Graphiquement, on trouve :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\begin{tabular}{l}Quantité de minerai extraite $x$\\
 en milliers de tonnes \end{tabular}&2 &6 &9 &15 \\ \hline
\begin{tabular}{l}Résultat d'exploitation $R(x)$\\
 envisagé en millions d'euros \end{tabular}&\textcolor{red}{-3,3}&\textcolor{red}{3,3}&3,8&\textcolor{red}{2,3}\\ \hline
\end{tabularx}



\item La courbe  n'est pas une droite,donc ce résultat d'exploitation n'est \textbf{\textcolor{red}{pas proportionnel}} à la quantité de minerai extraite.


\item  La courbe C coupe l'axe des abscisses en $\textcolor{red}{x\approx 3,25}$, donc le résultat d'exploitation est positif pour une  quantité de minerai extraite supérieure à 3,25 milliers de tonnes.


\item  La fonction $f$ admet un maximum pour $x\approx 8$. Donc la quantité extraite pour laquelle le résultat d'exploitation est maximale est \textbf{\textcolor{red}{environ égale à  8 milliers de tonnes}}.


\item  Les points de la courbe C dont l'ordonnée est 3 ont pour abscisses environ 5,5 et 12,6.
 Donc la quantité extraite pour laquelle le résultat d'exploitation est 3 millions d'euros sont  \textbf{\textcolor{red}{5,5 milliers de tonnes}} et \textbf{\textcolor{red}{12,6 milliers de tonnes}}.
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{Partie B.}\\
On a $f(x)=(4x-13)\mathrm{e}^{-0,2x}$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$, $\mathrm{e}^{-0,2x}>0$ donc $f(x)$ est du signe de $4x-13$.\\
$f(x)\leqslant 0$ équivaut à $4x-13\leqslant 0$ donc à $x\leqslant \dfrac{13}{4}=4,25$.\\
On en déduit que le résultat d'exploitation est déficitaire pour une quantité extraite \textbf{\textcolor{red}{inférieure à 3,25  milliers de tonnes de minerai}}.


\item La fonction f est dérivable sur [2~;~15] , comme produit de fonctions dérivables.\\
$f=uv$ avec $u(x)=4x-13$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-0,2x}$. On peut voir $v$ comme $\mathrm{e}^{w}$ avec $w(x)=-0,2x$.\\
Par conséquent : $v'=\left(\mathrm{e}^{w}\right)'=w'\times \mathrm{e}^{v}$.\\
$f'=(uv)'=u'v+uv'=u'v+u\times w'\mathrm{e}^{w}$ avec $u'(x)=4$ et $w'(x)=-0,2$.\\
On en déduit : $f'(x)=4\times \mathrm{e}^{-0,2x}+(4x-13)\times (-0,2)\mathrm{e}^{-0,2x}=\left[4-0,2(4x-13)\right]\mathrm{e}^{-0,2x}=(4-0,8x+2,6)\mathrm{e}^{-0,2x}=\boxed{\textcolor{red}{(6,6-0,8x)\mathrm{e}^{-0,2x}}}$.


\item  Pour tout $x$, $\mathrm{e}^{-0,2x}>0$ donc le signe de $f'(x)$ est celui  de $6,6-4,8x$ .\\
$f'(x)=0$ équivaut à $6,6-0,8x=0$, c'est-à-dire $x=\dfrac{6,6}{0,8}=\dfrac{66}{8}=\dfrac{33}{4}=8,25.$
 $6,6-4,8x>0$ pour $2<x<8,25$ et $6,6-4,8x<0$ pour $8,25<x<15$.
 On en déduit que :\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  Sur l'intervalle [2~;~8,25], la fonction est croisante.

\item Sur l'intervalle [8,25~;~15],  la fonction est décroissante.\\
On en déduit le tableau de variations :
\begin{center}
\begin{variations}
x&2&&8,25&&15\\
\filet
f'(x)&&+&\z&-&\\
\filet
\m{f(x)}&-3,35&\c&\h{3,84}&\d&2,34\\
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
Le résultat d'exploitation est maximum et vaut environ \numprint{3840} \euro pour une quantité extraite de minerai de \textbf{\textcolor{red}{8,25 miliers de tonnes}}.
\end{enumerate}


 
\label{fin}
\end{document} 