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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat S} 
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 1998}}  
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} 

\vspace{0,5cm} 

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 1998~\decofourright}}\normalsize{} 
\end{center}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item On a 
$1 \leqslant X \leqslant 9$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit  $i$ entier 
compris entre 1 et 8 ($1 \leqslant i \leqslant 8$) ; si  
 ($X = i$) cela veut dire que la boule est dans le $i$-!ème tiroir ce qui correspond à  l'évènement B$_{i}$. 
		\item Si ($X = 9$) ou la boule dans le 9\up{e} tiroir (évènements B$_{9}$), soit elle n'y est pas mais alors elle est dans le 10\up{e} tiroit (évènements B$_{10}$).
		
Donc $(X = 9)$ est la réunion des évènements B$_{9}$ et   B$_{10}$. 
		\item Pour $1\leqslant i \leqslant 8$ la probabilité $p_{i} = \dfrac{1}{10}$. Par contre $p(X = 9) = \dfrac{2}{10}$ d'après la réponse ci-dessus.
		
La loi de probabilité de $X$:

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 $X_{i}$&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline
 $p\left(X_{i}\right)$&$\dfrac{1}{10}$&$\dfrac{1}{10}$&$\dfrac{1}{10}$&$\dfrac{1}{10}$&$\dfrac{1}{10}$&$\dfrac{1}{10}$&$\dfrac{1}{10}$&$\dfrac{1}{10}$&$\dfrac{2}{10}$\\[7pt] \hline
 \end{tabularx}
		\item E$(X) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7 + 8 + 18}{10} = \dfrac{54}{10} = \dfrac{27}{5} = 5,4$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace*{0,5cm} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.\\ 
On placera sur une même figure, qui sera complétée au fur et à mesure les points introduits dans le texte (unité graphique : 2 cm.)

\medskip

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	\item $z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0 \iff \left(z - \sqrt{3} \right)^2 - 3 + 4 = 0 \iff \left(z - \sqrt{3} \right)^2  + 1 = 0 \iff \left(z - \sqrt{3} \right)^2 - \text{i}^2 = 0$ qui donne en factorisant les deux solutions $z_{1} = \sqrt{3} + \text{i}$ et $e_{2} =  \sqrt{3} - \text{i}$. 
		\item $\left|z_{1} \right|^2 = \left|z_{2} \right|^2 = 3 + 1 = 4$, donc $\left|z_{1} \right| = \left|z_{2} \right| = 2$.\\
$z_{1}$ peut donc s'écrire $z_{1} = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}  \right) = 2 \left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\frac{\pi}{6} \right) = 2\text{e}^{\frac{\pi}{6}}$. Son conjugué $z_{2}$ s'écrit donc $z_{2} = 2\text{e}^{-\frac{\pi}{6}}$.\\
Pour  placer M on construit la droite $y = 1$ qui coupe le cercle de centre O et de rayon $2$ au point d'abscisse positive M.

Pour N, on utilise la droite d'équation $y = -1$.
		\item De fa\c{c}on évidente  Q a pour affixe $\sqrt{3} - 2 + \text{i}$ et P a pour affixe $\sqrt{3} - 2 - \text{i}$.
		 
La construction est évidente.

\begin{itemize}
\item On sait déjà que $\vect{\text{MQ}} = \vect{\text{NP}} = -2\vect{u} \iff $ (MQPN) est un parallélogramme.
\item De plus M et N étant symétriques autour de (O$x$), la droite (MN) est verticale et la droite (MQ) horizontale : donc (MQ) est perpendiculaire à (MN), ce qui montre que le quadrilatère est un rectangle.
\item Enfin MQ = MN = 2, ce qui montre que le quadrilatère est un losange, donc finalement un carré.
\end{itemize}
\end{enumerate} 

\item Soit R le symétrique de P par rapport à O, E l'image de P 
par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$,~ S l'image de E par l'homothétie de centre O et de rapport $\sqrt{3}$. 

\begin{itemize}
\item Affixe de R : on a $z_{\text{R}} + z_{\text{P}} = 0 \iff z_{\text{R}} = - z_{\text{P}} = 2 - \sqrt{3} + \text{i}$.
\item Affixe de E : on a $z_{\text{E}} = \text{i}z_{\text{P}} = \text{i}\left(\sqrt{3} - 2 - \text{i}  \right) = 1 +\text{i}\left(\sqrt{3} - 2 \right)$.
\item Affixe de S : on a $z_{\text{S}} = \sqrt{3}z_{\text{E}}  =  \sqrt{3}\left [1 +\text{i}\left(\sqrt{3} - 2 \right) \right] = \sqrt{3} + \text{i}(3 - 2\sqrt{3})$.

Le point S a la même partie réelle que M et N, donc il appartient à la droite (MN).

Comme $1,7 < \sqrt{3} < 1,8 \Rightarrow 3,4 < 2\sqrt{3} < 3,6 \Rightarrow -3,6 < - 2\sqrt{3} < - 3,4 \Rightarrow - 0,6 < 3 - 2\sqrt{3} < - 0,4 \Rightarrow -1 < 3 - 2\sqrt{3} < 1$. La partie imaginaire de S est comprise entre celle de M et celle de N. Donc S appartient au segment [MN].
\end{itemize}

\item On pose $\alpha = 2 - \sqrt{3}$. 

	\begin{enumerate}
		\item  $1 + \alpha^2 = 1 + \left(2 - \sqrt{3} \right)^2 = 1 + 4 + 3 - 4\sqrt{3} = 8 - 4\sqrt{3} = 4\left( 2 - \sqrt{3}\right) = 4\alpha$.
		
$1 - \alpha^2 = 1 - \left(2 - \sqrt{3} \right)^2 = 1 - 4 - 3 + 4\sqrt{3} = -6 +4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) =   2\alpha \sqrt{3}$.

		\item  $Z = 2 - \sqrt{3} + \text{i} - \left(\sqrt{3} - 2 - \text{i} \right) = \alpha + \text{i}+ \alpha + \text{i} = 2\alpha + 2\text{i}$.
		
 $Z' = \sqrt{3} + \left(3 - 2\sqrt{3}\right)\text{i} - \left( \sqrt{3} - 2 - \text{i}\right) = 2 + \text{i}\left(4 - 2\sqrt{3}\right) = 2 + 2\text{i}\alpha.$
		\item Montrer que $|Z|^2 = 4\alpha^2 + 4$ et   $| Z'|^2 = 4 + 4\alpha^2$, donc $|Z| = \left|Z'\right|$.\\
$\dfrac{Z}{Z'} = \dfrac{2\alpha + 2\text{i}}{2 + 2\text{i}\alpha} = \dfrac{\alpha + \text{i}}{1 + \text{i}\alpha} = \dfrac{(\alpha + \text{i})(1 - \text{i}\alpha)}{(1 + \text{i}\alpha)(1 - \text{i}\alpha)} = \dfrac{2\alpha + \text{i}\left(1 - \alpha^2\right)}{1 + \alpha^2} = \dfrac{2\alpha + 2\text{i}\alpha\sqrt{3}}{4\alpha}$ (d'après la question précédente) $ = \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} = 
\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
		\item $|Z| = \left|Z'\right| \Rightarrow$ PR = PS, donc PRS est isocèle en P ;\\
$\dfrac{Z}{Z'} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ entraine en prenant les arguments que $\left(\vect{\text{PS}}~;~\vect{\text{PR}}\right) = \frac{\pi}{3}$.  Le triangle isocèle en P ayant un angle au sommet de mesure $\frac{\pi}{3}$, ses trois angles ont la même mesure : il est donc équilatéral.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{1cm} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

\noindent \textbf{Problème \hfill 11 points}\\ 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\[d(x) = \text{e}^{\frac{x}{x+ 1}}.\] 

\begin{enumerate}
 \item En posant $u(x) = \dfrac{x}{x+ 1}$ qui est définie et dérivable sur $] - 1 ~;~ + \infty[,~d(x) = \text{e}^{u(x)}$.
 
 $d$ est donc dérivable et $d'(x) = u'(x)\text{e}^{u(x)} = \dfrac{x+1  -x}{(x+1)^2}\text{e}^{u(x)} = \dfrac{1}{(x + 1)^2}\text{e}^{\frac{x}{x+ 1}} > 0$ car produit de deux nombres supérieurs à zéro. \\
 La fonction $d$ est donc croissante sur $] - 1~;~+ \infty[$.
 \item Comme $\displaystyle\lim_{x \to -1} \dfrac{x}{x+ 1} = - \infty$, alors par composition $\displaystyle\lim_{x \to -1}d(x) = 0$.
 
 Comme $\dfrac{x}{x+ 1} = \dfrac{1}{1 + \frac{1}x}$,~$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x}{x+ 1} = 1$, d'o\`u  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}d(x) = \text{e}^1 = \text{e}$. 
\item D'après la question précédente la fonction $d$ cro\^{\i}t de $0_{+}$ à e  donc  pour tout $x > - 1$, on a : $0 < d(x) <$~e. 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit= 3cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(2.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-1.5)(2.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\pspolygon[linecolor=blue](1.73205,1)(-0.267949,1)(-0.267949,-1)(1.73205,-1)%MQPN
\uput[ur](1.73205,1){M} \uput[ul](-0.267949,1){Q} \uput[dl](-0.267949,-1){P} \uput[dr](1.73205,-1){N}
\pspolygon(-0.267949,-1)(0.267949,1)(1.73205,-0.464102) %PRS
\uput[u](0.267949,1){R} \uput[r](1.73205,-0.464102){S} \uput[ul](0,0){O}
\psline(0,0)(1.73205,-0.464102)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-0.267949)
\psarc[linestyle=dashed](0,0){1.03528}{-15}{75}
\uput[d](1,-0.267949){E}
\end{pspicture}
 \end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\noindent \textbf{Partie B}

$\star~$ \textbf{Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\[f(x) = x + 1 - \text{e}^{\frac{x}{x+ 1}}.\] 


\begin{enumerate}
\item On a vu dans la partie A que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}d(x) =  = \text{e}$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) -  (x - \text{e} + 1) = 0$. Ceci montre que la droite (D) d'équation $y = x - \text{e} + 1$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+ \infty$. 

On a $f(x) -  (x - \text{e} + 1)  = x + 1 - \text{e}^{\frac{x}{x+ 1}} - x - 1 + \text{e} = - \text{e}^{\frac{x}{x+ 1}} + \text{e} $.

D'après la question \textbf{A. 3.} $0 < \text{e}^{\frac{x}{x+ 1}} < \text{e}$ donc $\text{e} - \text{e}^{\frac{x}{x+ 1}} >0$. Ce qui montre que la courbe $(\mathcal{C})$ est au dessus de  son asymptote au voisinage de $+ \infty$.  
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Pour $x \in ] - 1 ~;~ +~\infty[,~f(x) = x + 1 - d(x)$, donc $f$ est dérivable et
		
$f'(x) = 1 - d'(x) = 1 - \dfrac{1}{(x + 1)^2}\text{e}^{\frac{x}{x+ 1}}$. Cette fonction est elle-même  dérivable et     $f''(x) = \text{e}^{\frac{x}{x+ 1}}\dfrac{2(x + 1) - 1}{(x + 1)^4} = \dfrac{2x + 1}{(x + 1)^4}\text{e}^{\frac{x}{x+ 1}}$. Le signe de $f''$ est donc celui de $2x + 1$, négatif pour $-1 < x < - \dfrac{1}{2}$, positif pour $x > - \dfrac{1}{2}$.
\item  D'où le tableau de variations :

\begin{center}

\begin{pspicture}(7.5,4)
\psframe(7.5,4)
\psline(0,2.5)(7.5,2.5) \psline(0,3)(7.5,3) 
\psline(1.5,0)(1.5,4)
\uput[u](0.75,3){$x$} \uput[u](1.75,3){$-1$} \uput[u](4.5,3){$-\dfrac{1}{2}$} \uput[u](7.1,3){$+ \infty$}
\rput(0.75,2.8){$f''(x)$}  \rput(0.75,1.25){$f'(x)$} \rput(2,2.3){$1$} 
\rput(4.5,0.4){$1 - \frac{4}{\text{e}}$} \rput(7.3,2.3){$1$}
\psline{->}(2,2.1)(4,0.5) \psline{->}(4.9,0.5)(7.2,2.2)
\psline(1.6,0)(1.6,3)\psline(1.7,0)(1.7,3)
\rput(3,2.75){$-$} \rput(4.5,2.75){$0$} \rput(6,2.75){$+$}  
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate} 

\item Équation $f'(x) = 0$ :

On a $f'\left( - \dfrac{1}{2}\right) < 0$ (calculatrice).

Par continuité la fonction $f'$ s'annule deux fois : en $\alpha $ tel que $- 1 < \alpha < - \dfrac{1}{2}$ et aussi en $0$, avec $ - \dfrac{1}{2} < 0  $ admet sur $]- 1~ ;~ + \infty[$.

la calculatrice donne une valeur approchée de $\alpha \approx -0,72$ à $10^{-2}$ près.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après la question précédente, on peut déterminer le signe de $f'$ et donc les varaitions de $f$ :
		\begin{itemize}
\item sur $]-1~;~\alpha],~f$ est croissante ;
\item sur $[\alpha~;~0],~f$ est décroissante ;
\item sur $[0~;~+ \infty[,~f$ est croissante.
\end{itemize}
		\item 
		\begin{itemize}
\item Limite en $-1$ : on a vu que l'exponentielle a pour limite $0$, donc la limite de $f$ est $0$ ;
\item Limite en $+ \infty$ : l'exponentielle a pour limite e, donc la limite de $f$ en $+ \infty$ est $+ \infty$.
\end{itemize}
		\item D'où  le tableau de variations de $f$ :
		
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,4)
\psframe(9,4)
\psline(0,2.5)(9,2.5) \psline(0,3)(9,3) 
\psline(1.5,0)(1.5,4)
\uput[u](0.75,3){$x$} \uput[u](1.75,3){$-1$} \uput[u](4,3){$\alpha$} \uput[u](8.5,3){$+ \infty$} \uput[u](6.5,3){$0$}
\rput(0.75,2.8){$f'(x)$}  \rput(0.75,1.25){$f(x)$} \rput(1.85,0.3){$0$} 
\rput(4,2.2){$-\alpha(\alpha + 1)$} \rput(6.5,0.3){$0$}\rput(8.5,2.2){$+ \infty$}
\psline{->}(2,0.4)(3.7,2) \psline{->}(4.4,2)(6.25,0.4)  \psline{->}(6.7,0.4)(8.4,2)
\psline(1.6,0)(1.6,3)\psline(1.7,0)(1.7,3)
\rput(2.75,2.75){$+$} \rput(4,2.75){$0$} \rput(5.25,2.75){$-$} \rput(7.75,2.75){$+$}  
\end{pspicture}
\end{center}

Calcul de $f(\alpha) = \alpha + 1  - \text{e}^{\frac{\alpha}{\alpha + 1}}$ : on sait que $f'(\alpha) = 0 \iff 1 - \dfrac{1}{(\alpha + 1)^2}\text{e}^{\frac{\alpha}{\alpha + 1}} = 0 \iff \text{e}^{\frac{\alpha}{\alpha + 1}} = (\alpha + 1)^2$.

Donc $f(\alpha) = \alpha + 1  - \text{e}^{\frac{\alpha}{\alpha + 1}} = \alpha + 1 - (\alpha + 1)^2 = - \alpha(\alpha + 1).$		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\noindent \textbf{Partie C}

$\star~$ \textbf{Prolongement de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath  en $- 1$

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $]- 1~;~+ \infty[$ par : 
\[ \left\{ \begin{array}{l c l} 
g(- 1)	& =& 0\\ 
g(x)	& =& f(x)~\text{pour tout}~x > -~1.\\ 
\end{array}\right.\] 

On appelle ($\mathcal{C'}$) la courbe représentative de la fonction $g$ dans le repère de la \textbf{partie B}. 

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Si $x \in ]-1~;~+ \infty[,~\dfrac{g(x) - g( - 1)}{x - (-1)} = \dfrac{f(x) - 0}{x - (-1)} = \dfrac{x + 1 - \text{e}^{\frac{x}{x+1}}}{x+1} = 1 - \dfrac{\text{e}^{\frac{x}{x+1}}}{x+1} = 1 - \dfrac{1}{x}\left( \dfrac{x}{x+ 1}\text{e}^{\frac{x}{x+1}}\right)$.

\[\dfrac{g(x) - g( - 1)}{x - (-1)} = 1 -  \dfrac{1}{x}\left(\dfrac{x}{x + 1}\text{e}^{\frac{x}{x + 1}}\right).\] 

		\item Pour $x \in ]- 1 ~;~ + \infty[$, on a déjà vu que  la limite lorsque $x$ tend  vers $-1$ de $\dfrac{x}{x + 1}$ est $- \infty$. En posant $u(x) = \dfrac{x}{x+1}, ~\dfrac{x}{x+1}\text{e}^{\frac{x}{x + 1}} =u\text{e}^u = - \dfrac{-u}{\text{e}^{-u}}$, dont la limite quand $u$ tend vers $+ \infty$ est égale à zéro.			
		\item La limite de  $\dfrac{g(x) - g(- 1)}{x - (-1)}$ lorsque $x $ tend vers $-1$ est donc finie : c'est la définition du nombre dérivé $g'(-1) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item Construire (D) La courbe ($\mathcal{C'}$) est la réunion de la courbe ($\mathcal{C}$) et du point $(0~;~-1)$.

La tangente à ($\mathcal{C'}$) au point $(0~;~-1)$ a pour équation : 

$y - (-1) = g'(-1)(x - (-1) \iff y = x + 1$.

La tangente  à ($\mathcal{C'}$) au point d'abscisse $\alpha$ est horizontale : elle a pour équation $y = f(\alpha) = - \alpha (\alpha + 1)$.

La tangente  à ($\mathcal{C'}$) au point d'abscisse $0$ est horizontale : 
elle a pour équation $y = f(0) = 0$ (axe des abscisses). D'où les graphes :

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1.4,-2)(2.6,1.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,subticks=5,tickcolor=red]{->}(0,0)(-1.4,-2)(2.6,1.2)
\psplot{-1.4}{0.2}{x 1 add} \rput{45}(0.3,1.1){$y = x+1$}
\psplot{-0.29}{2.4}{x 1 add 2.71828 sub}\rput{45}(1,-1){$y = x+ 1 - \text{e}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-0.99}{2.2}{x 1 add 2.71828 x x 1 add div exp sub}
\rput(1,0.5){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](2.4,0){$x$} \uput[l](0,1.2){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate} 
\end{document} 