\documentclass[10pt] {article}
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\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19,5cm \textheight 27.2cm \hoffset 
-1,7cm \voffset -4cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
%Corrig\'e et tapuscrit{Jean-Paul GOUALARD}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}

\begin{center}\section*{\fbox{\textcolor{red}{Correction du sujet bac ES France juin 2009}}}\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1}}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année&2000&2001&2002&2003&2004&2005&2006&2007\\
\hline
Rang de l'année : $x_{i}$&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
Indice : $y_{i}$&100&108,5&120,7&134,9&154,8&176,4&193,5&213,6\\
\hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item $213,6-100=113,6$.\\
\fbox{\textcolor{red}{Le pourcentage d'augmentation de ces indices entre l'année 200 et l'année 2007 est de 113,6\:\%}}.

\item Nuage de points :
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.075cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-20)(9,120)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=10,Oy=100]{->}(0,0)(8,120)
\psdots(0,0)(1,8.5)(2,20,7)(3,34.9)(4,54.8)(5,76.4)(6,93.5)(7,113.6)
\psplot[linecolor=red]{0}{8}{16.75238*x-8.333333}
\psdots[dotstyle=square](3.5,50.3)\uput[l](3.5,50.3){$G$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\item Les moyennes des deux séries sont respectivement : \\
$\overline{x}=3,5$ et $\overline{y}=150,3$.\\
Les coordonnées du point moyen sont : $\textcolor{blue}{\boxed{\textcolor{red}{G(3,5~;~150,3)}}}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, on trouve que l'équation déduite de $(d)$ est : $ \boxed{\textcolor{red}{y = 16,75x+91,67}}$.

\item voir graphique
\end{enumerate}

\item 2009 correspondrait à un rang égal à 9.\\
L'indice de prix vaudrait alors : $16,75\times 9+91,67=242,42$.\\
\fbox{\textcolor{red}{L'indice des prix en 2009 sera environ égal à 242,4}}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2}}
\emph{(Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item On a : $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=4}}$\\
$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\Gamma$ en C, (CF) : $f'(1)=\dfrac{y_{F}-y_{C}}{x_{F}-x_{C}}=\dfrac{6-4,5}{3-1}=\dfrac{1,5}{2}=\boxed{\textcolor{red}{0,75}}$\\
$\boxed{\textcolor{red}{f'(2)=0}}$. (tangente à $\Gamma$ parallèle à $(Ox)$ en B et en D)

\item $f'(x)$ est négatif sur l'intervalle $[-2~;~0]$, positif sur $[0~;~2]$ et négatif sur $[2~;~5]$.

\item Sur l'intervalle $[-2~;~2]$, $f$ a un minimum en 0 qui vaut 4, donc $f(x)$ est positif sur $[-2~;~2]$.\\
Sur $[2~;~5]$, $f$ est décroissante avec $f(4)=0$ : on en déduit que $f(x)$ est positif sur $[2~;~4]$, nul pour $x=4$ et négatif sur $[4~;~5]$.\\
\textbf{Résumé :}
\begin{center}
$\begin{array}{|l|l*{3}{c}r|}
\hline
x&-2&&4&&5\\
\hline
\text{Signe de }f(x)&&+&0&-&\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
\end{enumerate}

%Avec le package Variations
%\begin{center}
%\begin{variations}
%x&-2&&&\dr 4&&\dr5\\
%\filet
%\text{Signe de }f(x)&&\dr +&\dr\z&\dr -\\
%\end{variations}
%\end{center}

\item On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=\ln(f(x))$.
\begin{enumerate}
\item  $g(x)$ est définie si, et seulement si, $f(x)>0$, c'est-à-dire pour $\boxed{\textcolor{red}{x\in[-2~;~4]}}$.

\item $g(-2)=\ln(f(-2))=\ln 9=2\ln 3$ ; $g(0)=\ln(f(0))=\ln 4=2\ln 2$ et $g(2)=\ln(f(2))=\ln 5$.

\item Sur $[-2~;~0]$, $f$ est décroissante  positive et $\ln$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$ ; on en déduit que $g$ est décroissante (la composée d'une fonction décroissante avec une fonction croissante est décroissante).\\
Sur $[0~;~2[$, $f$ est croissante et $\ln$ aussi, donc leur composée $g$ est aussi croissante.\\
Sur $[2~;~4[$, $f$ est décroissante et $\ln$ est croissante, donc leur composée $g$ est aussi décroissante.\\

\item $\lim_{x\rightarrow 4}g(x)=\lim_{x\rightarrow 4}\ln(f(x))=\lim_{X\rightarrow 0}\ln(X)=-\infty$ (d'après la limite des fonctions composées).\\
On en déduit que la droite d'équation $x=4$ est \textbf{\textcolor{red}{asymptote}} à la courbe représentative de $g$.

\item Tableau de variation de $g$ : 
\begin{center}
$\begin{array}{|c|l*6{c}||}
\hline
x&-2&&0&&2&&4\\
\hline
&2\ln 3&&&&\ln 5&&\\
g(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\
&&&2\ln 2&&&&-\infty\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

%Avec le package Variations
%\begin{center}
%\begin{variations}
%x&-2&&0&&2&&4&\bb\\
%\filet
%\m{g(x)}&\h{2\ln 3}&\d&2\ln 2&\c&\h{\ln 5}&\d&\mI&\bb\\
%\end{variations}
%\end{center}


\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2}}
\emph{(Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité)}
\textbf{Partie 1 :}\\

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Ce graphe est \textbf{\textcolor{red}{connexe}} (deux sommets quelconques sont reliés par un chemin).

\item Ce graphe n'est \textbf{\textcolor{red}{pas complet}} (A et E ne sont pas adjacents).

\item Regardons les degrés de chaque sommet :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{8}{c|}}
\hline
Sommet&A&B&C&D&E&F&G\\
\hline
Degré&2&4&5&5&4&4&2\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Le graphe est connexe et deux sommets seulement ont un degré impair (C et D), donc le graphe \textbf{\textcolor{red}{admet une chaîne eulérienne}} (entre C et D).

\item Comme tous les sommets ne sont pas degré pair, le graphe \textbf{\textcolor{red}{n'admet pas de cycle eulérien}}.
\end{enumerate}

\item CDEF est un sous-graphe complet d'ordre 4, donc le nombre chromatique de ce graphe est supérieur ou égal à 4.\\
Utilisons l'algorithme de Welsh-Powell :
\begin{center}
$\begin{array}{|*{8}{c|}}
\hline
\text{Sommet}&C&D&B&E&F&A&G\\
\hline
\text{Couleur}&\text{Rouge}&\text{Vert}&\text{Bleu}&\text{Jaune}&\text{Bleu}&\text{Vert}&\text{Rouge}\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
On voit que quatre couleurs suffisent ; le \textbf{\textcolor{red}{nombre chromatique du graphe est 4}}.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\textbf{Partie II}\\
On cherche un trajet minimum reliant A à G en utilisant l'algorithme de Dijkstra.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
A&B&C&D&E&F&G&choix&coefficient\\
\hline
0&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&A&0\\
\hline
&$0+2=2$ (A)&$0+1=1$ (A)&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&C&1\\
\hline
&$1+2=3>2\rightarrow 2$(A)&&$1+4 = 5$ (C)&$1+3=4$ (C)&$1+5 = 6$ (C)&$\infty$&B&2\\
\hline
&&&$2+1=3$ (B)&$2+3=5>4\rightarrow 4$ (C)&6 (C)&$\infty$&D&3\\
\hline
&&&&$3+3=6>4\rightarrow 4$ (C)&$3+6=9>6 \rightarrow 6$ (C)&$3+5=8$ (D)&E&4\\
\hline
&&&&&$4+1=5$ (E)&8(D)&F&5\\
\hline
&&&&&&$5+2=7$ (F)&G&7\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
Le trajet à l'envers est G-F-E-C-A.\\
\textbf{\textcolor{red}{Le trajet comportant un minimum de feux tricolores est  A-C-E-F-G avec sept feux tricolores}}.

\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3}}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item \textcolor{red}{Arbre complété :}
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$D$}\taput{\small $0,5$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G$}\taput{\small $0,7$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G}$}\tbput{\small $0,3$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{D}$}\tbput{\small $0,5$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G$}\taput{\small $0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G}$}\tbput{\small $0,8$}
}
}
\end{center}


\item $p(D\cap G)=p_{D}(G)\times p(D)=0,7\times 0,5=\boxed{\textcolor{red}{0,35}}$.

\item $p(\overline{D}\cap G)=p_{\overline{D}}(G)\times p(\overline{D})=0,2\times 0,5=\boxed{\textcolor{red}{0,1}}$.

\item $G=(G\cap D)\cup (G\cap \overline{D})$ (réunion d'événements incompatibles).\\
On en déduit que : $p(G)=p(D\cap G)+p(\overline{D}\cap G)=0,35+0,1=\boxed{\textcolor{red}{0,45}}$.

\item On veut calculer $p_{G}(D)$ :\\
$p_{G}(D)=\dfrac{p(D\cap G)}{p(G)}=\dfrac{0,35}{0,45}=\dfrac{35}{45}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{9}}}$
\end{enumerate}

\item La probabilité cherchée est :\\
$p((G\cap G\cap\overline{G})\cup (G\cap \overline{G}\cap G)\cup(\overline{G}\cap G\cap G))=3\left[p(G)\right]\times (1-p(G))=3\times 0,45^2\times 0,55~\boxed{\textcolor{red}{\approx 0,334}}$.
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4}}
\textbf{Partie A}\\
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~8] par : $f(x)=20(x-1)\mathrm{e}^{-0,5x}$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $f=20u\mathrm{e}^{v}$ avec $u(x)=x-1$ et $v(x)=-0,5x$.\\
$f$ est dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables.\\
$f'=\left(20u\mathrm{e}^{v}\right)'= 20\times \left(u\mathrm{e}^{v}\right)'=20\times \left(u'\times \mathrm{e}^{v}+u\times v'\mathrm{e}^{v}\right)=20(u'+uv')\mathrm{e}^{v}$ avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=-0,5$.\\
On en déduit que : $f'(x)=20(1-0,5(x-1))\mathrm{e}^{-0,5x}=20(1,5-0,5x)\mathrm{e}^{-0,5x}=10\times 2(1,5-0,5x)\mathrm{e}^{-0,5x}=10(3-x)\mathrm{e}^{-0,5x}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=10(-x+3)\mathrm{e}^{-0,5x}}}$ .

\item 10 >0 ; pour tout $x$, $\mathrm{e}^{-0,5x}>0$.\\
$f'(x)=0\Leftrightarrow -x+3=0\Leftrightarrow x=3$.\\
$f'(x)$ est du signe de $-x+3$, donc positif pour $x\leqslant 3$ et négatif pour $x\geqslant 3$.\\
\fbox{\textcolor{red}{$f$ est croissante sur $[0,5~;~3]$ puis décroissante sur $[3~;~8]$}}.\\
On en déduit le tableau de variations de $f$ :
\begin{center}
$\begin{array}{|c|l*{3}{c}r|}
\hline
x&0,5&&3&&8\\
\hline
f'(x)&&+&0&-&\\
\hline
&&&f(3)&&\\
f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\
&f(0,5)&&&&f(8)\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
%Avec le package Variations :
%\begin{center}
%\begin{variations}
%x&0,5&&3&&8\\
%\filet
%f'(x)&&+&\z&-&\\
%\filet
%\m{f(x)}&f(0,5)&\c&\h{f(3)}&\d&f(8)\\
%\end{variations}
%\end{center}


$f(0,5)=-10\mathrm{e}^{-0,25}\approx -7,8$ ; $f(3)=40\mathrm{e}^{-1,5}\approx 8,9$ et $f(8)=140\mathrm{e}^{-4} \approx 2,6$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Courbe  (échelle non respectée) :}}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-13.5)(9,10)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0,-13)(8,9)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=200]{-0.5}{8}{20*(x-1)*2.718281828^(-(0.5)*x)}
\psline{<->}(2.5,8.93)(3.5,8.93)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](-1,-13)(8,9)%grille
\end{pspicture*}
\end{center}

\item Soit $F(x)=\dfrac{-40(x+1)}{\mathrm{e}^{0,5}x}=-40(x+1)\mathrm{e}^{-0,5x}$.\\
$F$ est dérivable et $F=-40w\mathrm{e}^{v}$ avec $w(x)=x+1$ et $v(x)=-0,5x$.\\
$F'=-40(w'+wv')\mathrm{e}^{v}$ avec $w'(x)=1$ et $v'(x)=-0,5x$.\\
lors : $F'(x)=-40(1-0,5(x+1))\mathrm{e}^{-0,5x}=-40(0,5-0,5x)\mathrm{e}^{-0,5}=20(x-1)\mathrm{e}^{-0,5x}=f(x)$.\\
Pour tout $x$ de $[0,5~;~8]$, $F'=f$ donc \fbox{\textcolor{red}{$F$ est une primitive de $f$}}.

\item $I=\int_{1,5}^5f(x)\text{ d}x=F(5)-F(1,5)$.\\
$F(5)=-240\mathrm{e}^{-2,5}$ et $F(1,5)=-100\mathrm{e}^{-0,75}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{I=-240\mathrm{e}^{-2,5}+100\mathrm{e}^{-0,75}}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\textbf{Partie B}\\

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item 220 bicyclettes correspondent à 2,2 centaines, donc à $x=2,2$. Le bénéfice correspondant est alors $f(2,2)=24\mathrm{e}^{-1,1}\approx 7,989$ milliers d'euros, donc environ \fbox{\textcolor{red}{\nombre{7989} euros}}.

\item Pour 408 bicyclettes ($x=4,08$), le bénéfice vaut $f(4,08)$ milliers d'euros, soit \fbox{\textcolor{red}{\nombre{8010} euros}}.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour ne pas travailler à perte, l'entreprise doit réaliser un bénéfice positif. Il est clair que $f(1) = 0$ et que $f(x) \geqslant 0$ pour $x \geqslant 1$.\\
\fbox{L'entreprise doit donc produire au moins 100 bicyclettes.}

\item D'après la partie A,  le bénéfice est maximum pour $\boxed{\textcolor{red}{x=3}}$, c'est-à-dire pour une production de 300 bicyclettes. Ce bénéfice est alors $f(3)\approx 8,923$ milliers d'euros, donc de \fbox{\textcolor{red}{\nombre{8925} euros}}.

\item Le bénéfice est supérieur à \nombre{8000} euros si $f(x)\geqslant 8$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La résolution algébrique de l'inéquation est impossible.

\item Si l'on utilise les résultats précédents en a. et b., on ne sait pas trop quoi prendre : $f(2,2)<8$ donc $x=2,2$ est trop petit ; $f(4,08)>8$ donc 4,08 est lui aussi trop petit.

\item Une résolution graphique précise est impossible.

\item Reste le théorème des valeurs intermédiaires :\\
Sur [0,5~;~3], $f$ est continue strictement croissante ; $f(1)=0$ et $f(3)>8$ donc l'équation $f(x)=8$ a une solution unique $\alpha$ sur $[1~;~3]$ ; à la calculatrice, on trouve $2,20<\alpha<2,21$.\\
De même, sur $[3~;~8]$, $f$ est continue strictement décroissante ; cette équation a une solution unique $\beta$ avec $4,08<\beta<4,09$.\\
\textbf{Conclusion :} \\
\fbox{\textcolor{red}{il faut que l'entreprise produise entre 221 et 408 bicyclettes pour obtenir un bénéfice supérieur à \nombre{8000} euros.}}

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  