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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{20 juin 2013}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole~\decofourright\\[4pt]20 juin 2013}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Puisque le choix de l'arbre se fait au hasard dans le stock de la jardinerie, on  assimile les proportions données à des probabilités.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item L'arbre pondéré traduisant cette situation est :
	\begin{center}
% Racine à Gauche, développement vers la droite
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[circle]
\tikzstyle{feuille}=[circle]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{1}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {Stock};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$H_1$};
\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$C$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$F$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$H_2$};
\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$C$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$F$};
\node[noeud] (Rc) at ({\NiveauB},{(4.5)*\InterFeuilles}) {$H_3$};
\node[feuille] (Rca) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$C$};
\node[feuille] (Rcb) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$F$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\begin{small}
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$0,35$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$0,8$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$0,2$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$0,25$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$0,5$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$0,5$};
\draw[fleche] (R)--(Rc) node[etiquette] {$0,4$};
\draw[fleche] (Rc)--(Rca) node[etiquette] {$0,3$};
\draw[fleche] (Rc)--(Rcb) node[etiquette] {$0,7$};
\end{small}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On cherche à calculer la probabilité de l'intersection $H_3 \cap C$, donc : $P(H_3 \cap C) = P(H_3) \times P_{H_3}(C) = 0,4 \times 0,3$. On a donc $P(H_3 \cap C) = 0,12$.

\item Puisque la jardinerie ne se fournit qu'auprès de trois horticulteurs, les événements $H_1$, $H_2$ et $H_3$ forment une partition de l'univers. On peut donc appliquer la loi des probabilités totales, et on en déduit : 

$P(C) = P(H_1) \times P_{H_1}(C) +P(H_2) \times P_{H_2}(C) +P(H_3) \times P_{H_3}(C) = $

$0,35 \times 0,8 + 0,25 \times 0,5 + 0,4 \times 0,3 =  0,525$.

\item On cherche cette fois à calculer une probabilité conditionnelle : 

$P_C(H_1) = \dfrac{P(H_1 \cap C)}{P(C)} = \dfrac{0,35 \times 0,8}{0,525} \approx  0,533$.
\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Nous avons un schéma de Bernoulli (l'arbre choisi est-il un conifère ?), avec une probabilité de succès de $0,525$ qui est répété 10 fois de façon indépendante (puisque l'on suppose que les choix successifs peuvent être assimilés à un tirage au sort avec remise), donc la variable aléatoire $X$ suit bien une loi binomiale de paramètres 10 et $0,525$.
		
		\item La probabilité demandée ici est celle de l'événement $X =5$, et donc : $P(X = 5) = \displaystyle{\binom{10}{5}} \times 0,525^5 \times (1 - 0,525)^5$
		Finalement $P(X=5) \approx 0,243$.
		
		\item Cette fois, la probabilité demandée est celle de $X \leqslant  8$, qui est l'événement contraire de la réunion des événements disjoints $X = 9$ et $X = 10$. On a alors :
		 		 
$P(X \leqslant 8) = 1 - P(X = 9) - P(X =10) \approx 0,984$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip
		
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On lit $f(1)=y_B = 2$ et pour $f'(1)$, on lit le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$, c'est à dire le coefficient directeur de la droite $(CB)$, qui est horizontale, donc $f'(1) = 0$.
		\item La fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$, en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle (le dénominateur ne s'annulant pas sur cet intervalle). On a :
					
$f'(x) = \dfrac{\left(0 + b \times \dfrac{1}x\right) \times x - (a + b \ln x) \times 1}{x^2} = \dfrac{b- (a + b \ln x) }{x^2} $
					
Soit effectivement : $f'(x) = \dfrac{(b-a)-b \ln x}{x^2}$.					
		\item On en déduit : $f(1) = \dfrac{a + b \ln(1)}1 = a + 0 = a$, or d'après le \textbf{1. a.}, 
					
$f(1)=2$, donc $a = 2$.
					
Dès lors, on a $f'(1) = \dfrac{(b-2) - b \ln(1)}{1^2} = b - 2$, or d'après le \textbf{1. a.}, $f'(1) = 0$, donc $b = 2$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On reprend la forme de $f'$ obtenue précédemment, en remplaçant $a$ et $b$ par 2, et on a :
					
$f'(x) = \dfrac{-2 \ln x}{x^2} = \dfrac2{x^2} \times(- \ln x)$.
			
Puisque pour tout $x$ élément de  $]0 ~;~+\infty[$, $ \dfrac2{x^2}$ est un nombre strictement positif, on en déduit que la dérivée de $f$ a bien le même signe que $-\ln x$ pour tout $x$ élément de $]0 ~;~+\infty[$.
			
			\item Quand $x$ tend vers 0 : $\displaystyle\lim_{x \to 0}{\ln x} = -\infty$ donc, par limite d'un produit et d'une somme : $\displaystyle\lim_{x \to 0}{2 + 2\ln x} = -\infty$. Comme par ailleurs $\displaystyle\lim_{x \to 0}{x} = 0^+$, alors, par limite d'un quotient, on a $\displaystyle\lim_{0}{f} = -\infty$.
			
Quand $x$ tend vers $+\infty$, on va utiliser la forme de $f$ présentée dans la question :
			$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\dfrac1x} = 0$, et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}{\dfrac{\ln x}x} = 0$, d'après la propriété des croissances comparées, et donc par limite d'une somme, puis par produit par 2 : $\displaystyle\lim_{+\infty}{f} = 0$.  		
		\item On peut donc dresser le tableau des variations de $f$ :
			
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Pointillés
%\def\pp#1{\draw[dashed,gray] (#1,\lignex-0.1*\HtX) -- (#1,\lignef+0.1*\HtX); \draw[dashed,gray] (#1,\lignef-0.1*\HtX) -- (#1,\bas+0.1*\HtX);}
%\pp{0*\Lrg}
%\pp{2*\Lrg}
%\pp{4*\Lrg}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$- \ln x$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$2$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$0$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin

%:>>>>> code du tableau à ré-injecter
%[
%	["x", "- \\ln x", "f(x)"],
%	["0", "", "+", "-\\infty"],
%	["1", "0", "-", "2"],
%	["+\\infty", "", "?", "0"]
%]
		\end{enumerate}	
	\item
		\begin{enumerate}
			\item La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $]0 ~;~1]$ et 1 est une valeur strictement comprise entre $\lim\limits_{0}{f}$ et $f(1)$, donc l'application du corollaire au théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'une unique solution à l'équation 
			
$f(x)=1$ sur l'intervalle $]0~;~1]$, qui sera notée $\alpha$.
			
			\item Par balayage à la calculatrice, on obtient $f(5) > 1$ et $f(6) < 1$, donc comme la fonction $f$ est continue sur $[5~;~6]$, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'au moins une solution à l'équation $f(x)=1$ sur l'intervalle $[5~;~6]$, et puisque l'on avait admis qu'il n'y avait qu'une seule solution $\beta$ à cette équation sur $]1~;~+\infty[$, cette solution est donc entre 5 et 6. Enfin, puisque ni 5 ni 6 n'ont une image exactement égale à 1, on peut dire que $\beta$ est strictement entre 5 et 6. Le nombre entier $n$ cherché est donc 5.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On obtient :			
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{1cm}*{5}{|m{1.6cm}}|} \hline
		& étape 1	& étape 2	& étape 3	& étape 4	& étape 5 \\ \hline 
		$a$&0&0&0,25&0,375&0,4375	\\ \hline
		$b$&1&0,5&0,5&0,5&0,5 \\ \hline
		$b-a$&1&0,5&0,25&0,125&0,0625\\ \hline
		$m$&0,5&0,25&0,375&0,4375&\\ \hdashline
		$f(m)$&$\approx 1,23$&$\approx - 3,09$&$\approx 0,10$&$\approx 0,79$&$\approx 1,03$\\ \hdashline
\end{tabular}
\end{center}

Le tableau a été complété par la ligne \og $f(m) \approx~~\fg{}$ pour montrer les affectations à $a$ ou à $b$.
		
Le tableau précédent sera probablement considéré comme correct, mais si on interprète la question très rigoureusement, d'un point de vue algorithmique, on doit supposer que l'étape 1 est l'initialisation, et les étapes de 2 à 5 correspondant aux itérations de 1 à 4. Dans ce cas, pour l'étape 1 n'a pas de valeur $m$, et la valeur $b-a$ va servir à savoir si l'itération suivante va être utile ou non. Dans ce cas, on va écrire dans la colonne les valeurs en mémoire à la fin de l'itération de la boucle \og Tant que \fg, ce qui donne le tableau suivant : 
			
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{1cm}*{5}{|m{1.6cm}}|} \hline
		& étape 1	& étape 2	& étape 3	& étape 4	& étape 5 \\ \hline 
		$a$&0&0&0,25&0,375&0,4375	\\ \hline
		$b$&1&0,5&0,5&0,5&0,5 \\ \hline
		$b-a$&1&0,5&0,25&0,125&0,0625\\ \hline
		$m$&&0,5&0,25&0,375&0,4375\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
			
			\item Cet algorithme renvoie les deux bornes obtenues pour encadrer le nombre $\alpha$ par dichotomie, avec une amplitude au plus égale à 0,1.
			
			\item Pour que l'algorithme donne un encadrement de $\beta$ avec la même précision, il faut modifier l'initialisation, en mettant :
			
Affecter à $a$ la valeur 5.
			
Affecter à $b$ la valeur 6.
			
Puis, dans le traitement, modifier le test \og Si \fg{} pour qu'il soit : \og Si $f(m) > 1$ \fg, afin de prendre en compte la décroissance de $f$ sur l'intervalle $[5~;~6]$.
			
(Une autre possibilité serait d'affecter 6 à $a$ et 5 à $b$, et de modifier le \og tant que \fg{} pour avoir \og tant que $a - b > 0,1$\fg{} et alors $a$ serait la borne haute de l'encadrement, et $b$ la borne basse).			
	\end{enumerate}		
		\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour répondre à cette question, on commence par déterminer l'aire du rectangle, de largeur 1 et de hauteur 2 : son aire est donc de 2 unités d'aire. Il faut ensuite déterminer l'aire délimitée par la courbe $\mathcal{C}$ dans le rectangle $OABC$, et pour cela, il faut commencer par déterminer qu'elle est l'abscisse de l'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses, et donc résoudre :
			
$f(x) = 0 \iff 2(1 + \ln x) = 0$, c'est à dire résoudre : $\ln x = -1$, qui par application de la fonction exponentielle, donne une unique solution, qui est $\text{e}^{-1} = \dfrac1{\text{e}}$.
			
Sur l'intervalle $\left[\dfrac1{\text{e}}~;~1\right]$, la fonction $f$ est positive et continue, et donc l'aire délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=\dfrac1{\text{e}}$ et $x=1$ est donnée par : 
			$\displaystyle{\int_{\frac1{\text{e}}}^1{f(x)\text{ d}x}}$, en unités d'aire.
			
Pour que la courbe $\mathcal{C}$ partage le rectangles en deux domaines d'aires égales, il faut alors que l'aire sous cette courbe soit la moitié de l'aire du rectangle, c'est à dire une unité d'aire.
			
La résolution du problème reviendra bien à démontrer :
			
$\displaystyle{\int_{\frac1{\text{e}}}^1{f(x)\text{ d}x}}=1$.
			
	\item On a $f(x) = 2 \times \dfrac1x + 2 \times \dfrac1x \times \ln x$. En posant $u = \ln$, on reconnait alors :
	
$f = 2u'+2u'u$.
			
Une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ est donc : $F = 2u + u^2$, c'est à dire 

$F(x) = 2\ln x + (\ln x)^2$.
			
On a alors $\displaystyle{\int_{\frac1{\text{e}}}^1{f(x)\text{ d}x}} = \left[F(x)\rule[-0.3cm]{0cm}{0.6cm}\right]_{\frac1{\text{e}}}^1 = F(1) - F\left(\dfrac1{\text{e}}\right) $
			
$\displaystyle{\int_{\frac1{\text{e}}}^1{f(x)\text{ d}x}} = 2 \ln 1 + (\ln 1)^2 - \left[2 \ln\left(\dfrac1{\text{e}}\right) + \left(\ln\left(\dfrac1{\text{e}}\right)\right)^2\right]=0 -(-2 + 1) = 1$. 
			
On arrive donc bien à la conclusion que le rectangle $OABC$ est bien partagé en deux domaines de même aire par la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Vrai :} Si on pose $A$, le point d'affixe $\text{i}$ et $B$ le point d'affixe $-1$ dans le plan complexe, alors puisque $M$ est le point d'affixe $z$, on a : $|z - \text{i}| = |z_M - z_A| = AM$. De même $|z + 1| = MB$, et donc l'ensemble des points $M$ recherché est l'ensemble des points équidistants de $A$ et de $B$, c'est à dire la médiatrice du segment $[AB]$, c'est donc bien une droite.
\item \textbf{Faux :} On remarque que $1 + \text{i} \sqrt3 = 2 \times \left(\dfrac{1}{2} + \text{i} \dfrac{\sqrt3}{2}\right) = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} \right) = 2 \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{3}}$. En utilisant les propriétés des modules et des arguments des nombres complexes, on a  : $\left(1 + \text{i} \sqrt3\right)^4 = 2^4  \times \text{e}^{\frac{4\text{i} \pi}{3}}$. Un argument du nombre complexe étudié est donc $\dfrac{4\pi}{3}$ qui n'est congru ni a $0$ ni à $\pi$ modulo $2\pi$, donc le nombre n'est pas réel.
\item ~
	
\emph{Méthode}  1 \textbf{Vrai :} Après avoir choisi un repère orthonormé, calculons le produit scalaire $p$ des deux vecteurs :
	
$p = \vect{EC}\cdot \vect{BG} = \left(\vect{EF}+\vect{FC}\right)\cdot \vect{BG}$, d'après la relation de Chasles.
	
$p = \vect{EF}\cdot \vect{BG} + \vect{FC} \cdot \vect{BG}$, par  distributivité du produit scalaire sur l'addition de vecteurs.
	
Par ailleurs, les vecteurs $\vect{BG}$ et $\vect{EF}$ sont orthogonaux, car ce dernier est orthogonal à la face $BCGF$ qui contient le premier vecteur.
	
De plus les vecteurs $\vect{BG}$ et $\vect{FC}$ sont également orthogonaux, car ils sont construits sur les diagonales d'un carré $BCGF$, qui sont perpendiculaires entre elles (comme toutes les diagonales de losanges).
	
Finalement, $p$ est la somme de deux produits scalaires nuls, donc $p$ est lui même nul, ce qui, par définition signifie que les droites $(BC)$ et $(CG)$ sont orthogonales.

\emph{Méthode}  2 : Les faces $BCGF$ et $AEHD$ sont des carrés, donc les segments $[BG]$ et $[FC]$ d'une part, $[ED]$ et $[AH]$ d'autre part sont perpendiculaires.

Le plan médiateur de $[BG]$ contient donc les points $E, D, C, F$.

Donc en particulier  $(BC)$ et $(CG)$ sont orthogonales

\emph{Méthode}  3 : En prenant le repère $\left(A~;~\vect{AB},~\vect{AD},~\vect{AE}\right)$, on trouve que 

$\vect{EC}\begin{pmatrix}1\\1\\- 1 \end{pmatrix}$ et $\vect{BG}\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix}$. D'o\`u $\vect{EC} \cdot \vect{BG} = 0$ et la conclusion.
 	
	\item \textbf{Vrai :} La droite dont on nous propose  une représentation paramétrique est dirigée par un vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(1~;~1~;~3)$, c'est à dire par un vecteur qui est normal à $\mathcal{P}$, d'après l'équation de celui-ci.
	
Comme de plus, le point $S$ est sur cette droite dont on nous donne la représentation paramétrique (c'est le point de paramètre $-1$ sur cette droite), on peut en déduire que la représentation paramétrique donnée est bien celle de la droite décrite.

\emph{Autre méthode} : Avec $t \in \R$, \: $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2 + t\\
y&=& - 1 + t\\
z&=& 1 + 3t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1 + 1 + t\\
y&=&- 2 +  1 + t\\
z&=&- 2 + 3 + 3t
\end{array}\right.$

$ \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1 + (1 + t)\\
y&=&- 2 +  (1 + t)\\
z&=&- 2 + 3(1 + t)
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1 + t'\\
y&=&- 2 +  t'\\
z&=&- 2 + 3t'
\end{array}\right.$ (en posant

$t' = 1 + t$) qui traduit bien la relation $\vect{SM} = t'\vect{n}$ soit une équation de la perpendiculaire à $\mathcal{P}$ contenant $S$.

\end{enumerate}

\newpage

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item On calcule les premiers termes, par exemple en utilisant le mode récurrence de la calculatrice, et on obtient :

\begin{tabular}{@{}*{2}{p{5cm}}}
$u_1 = 2+\dfrac13 \approx2,33$&$u_2 = 2+\dfrac89 \approx 2,89$\\
$u_3 = 3+\dfrac{16}{27} \approx 3,59$&$u_4 = 4+\dfrac{32}{81} \approx 4,40$
\end{tabular}			
						
			\item On peut donc émettre la conjecture que la suite est croissante. On pourra en tout cas affirmer qu'elle n'est pas décroissante.			
		\end{enumerate}			
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Nous allons procéder par récurrence : 
				
\emph{Identification de la propriété} : Pour tout entier naturel $n$, posons la propriété $\mathcal{P}_n$ suivante : $u_n \leqslant n+3$.
				
\emph{Initialisation} : Puisque l'on a $u_0 = 2$ et $0 + 3 = 3$, on vérifie bien :
				
$u_0 \leqslant 0 + 3$ : \emph{la propriété }$\mathcal{P}_0$\emph{ est bien vraie.}
				
\emph{Hérédité :} Pour  $k$  entier naturel quelconque, on suppose la propriété $\mathcal{P}_k$ vraie.
				
On a $u_{k+1} = \dfrac23 u_k + \dfrac13 k+1$.
				
Par hypothèse de récurrence : $u_k \leqslant k+3$
				
En multipliant par un nombre positif : $\dfrac23 u_k \leqslant \dfrac23 (k+3)$
				
Soit $\dfrac23 u_k \leqslant \dfrac23 k + 2$
				
Puis, en ajoutant un même nombre dans chaque membre :
				
$\dfrac23 u_k + \dfrac13 k + 1\leqslant \dfrac23 k  +2+ \dfrac13 k + 1$
				
Ce qui donne : $u_{k+1} \leqslant k + 3 \leqslant k+4$

On a donc $u_{k+1} \leqslant (k+1) + 3$, c'est à dire que la propriété $\mathcal{P}_{k+1}$ est vraie.
				
\emph{Nous avons donc démontré le caractère héréditaire de la véracité des propriétés }$\mathcal{P}_n$.
				
\emph{Conclusion :}  Puisque la propriété $\mathcal{P}_0$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $\mathcal{P}_n$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$, on a bien $u_n \leqslant n+3$.			
			\item $u_{n+1}-u_n = \dfrac23 u_n + \dfrac13 n +1 - u_n = -\dfrac13 u_n + \dfrac13 n + \dfrac33 $
			
On a donc bien $u_{n+1}-u_n = \dfrac13 \times (- u_n + n +3) = \dfrac13(n+3 - u_n)$.
Comme on l'a montré à la question précédente, pour tout $n$ naturel, on a $u_n \leqslant n+3$ ce qui équivaut à dire que la différence $n+3 - u_n$ est positive, et elle le reste en étant multipliée par $\dfrac13$, donc la différence entre deux termes consécutifs étant  positive, on confirme bien que notre conjecture était correcte : la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est bien croissante, dès le rang 0.
	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimons, pour un entier $n$ naturel quelconque, $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ :
			
$v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1) = \dfrac23 u_n + \dfrac13 n +1 - n - 1 = \dfrac23 u_n - \dfrac23 n = \dfrac23 (u_n - n) $
			
Donc $v_{n+1} = \dfrac23 v_n$.
			
La relation de récurrence obtenue confirme que la suite $(v_n)_{n \in \N}$ est bien géométrique de raison $q=\dfrac23$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 0 = 2$.
		\item On peut donc en déduire une expression explicite du terme général de la suite $v$ : $v_n = v_0 \times q^n = 2\left(\dfrac23\right)^n$.
			
Enfin, puisque l'on a, pour tout $n$, $v_n = u_n - n$, on en déduit :
			
$u_n = v_n + n$, et donc on aboutit bien à l'expression demandée : 
			
$u_n = 2\left(\dfrac23\right)^n + n$.			
		\item Puisque la raison $q$ est strictement comprise entre $-1$ et $1$, on en déduit que la limite de la suite $v$ est 0, et donc par limite d'une somme de suites, la limite de la suite $u$ est donc $+\infty$, et la suite $u$ est donc divergente.			
		\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $S_n$ est la somme de $n+1$ termes de la suite $u_n$. Mais, comme par ailleurs, on peut considérer que chaque terme $u_n$ est la somme de $v_n$ et de $n$, donc en réordonnant les termes, $S_n$ est la somme de deux \og sous-sommes \fg{} : celle des $n+1$ premiers termes de la suite $v$ et celle des $n+1$ premier entiers naturels.
			
La première sous-somme est une somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique, et vaut donc : 
			
$v_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 2\dfrac{1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}}{1 - \left(\dfrac23\right)} = 6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right)$.
			
La seconde sous-somme est la somme des $n+1$ premiers entiers naturels, c'est à dire la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1, donc elle vaut : 
			
$\dfrac{0 + n}2 \times (n + 1) = \dfrac{n(n+1)}2$ (résultat classique).
			
Finalement, on a $S_n = 6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) + \dfrac{n(n+1)}2$.
		\item On en déduit : 
			$T_n = \dfrac{6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) + \dfrac{n(n+1)}2}{n^2}$
			
			$T_n = \dfrac{6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) }{n^2}+\dfrac{\dfrac{n(n+1)}2}{n^2}$
			
			$T_n =\dfrac{6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) }{n^2}+\dfrac{n^2 + n}{2n^2} =  \dfrac{6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) }{n^2}+\dfrac12 + \dfrac{1}{2n}$.
		
Puisque, une fois encore, $q$ est entre $-1$ et 1, on a : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}{\left(\dfrac23\right)^{n+1} } = 0$.
		
Donc par limite d'une somme de suites, puis d'un produit de suites : 

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}{6\times \left(1 -\left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) } = 6$.
		
Par ailleurs, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}{n^2} = +\infty$, donc par limite d'un quotient de suites, 

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}{\dfrac{6\times \left(1 -\left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) } {n^2}}= 0$.
		
De plus $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}{\dfrac12 } = \dfrac12$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}{\dfrac1{2n} } = 0$, et donc finalement, par limite d'une somme de suites, on arrive à conclure que la suite $T$ converge vers $\dfrac12$.
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} %\section{exo 4 spé}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

%On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1\up{er} janvier 2013, cette région comptait \np{250000}~habitants dont 70\,\% résidaient à  la campagne et 30\,\% en ville.
 
%L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à  choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à  venir de la façon suivante : 

%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] l'effectif de la population est globalement constant,
%\item[$\bullet~~$] chaque année, 5\,\% de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à  la campagne et 1\,\% de ceux qui résident à  la campagne choisissent d'aller habiter en ville.
%\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
%Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1\up{er}~janvier de l'année $(2013 + n)$ et $c_{n}$ le nombre de ceux qui habitent à  la campagne à  la même date.

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$,

$v_{n+1} = 0,95\times v_n + 0,01\times c_n$ et
 $c_{n+1}=0,05v_n+0,99c_n$.  
\item Si $A = \begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}$ et $X =\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ alors

\begin{tabular}{cc}
$\times$ & $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ \\ 
$\begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}$ & $= \begin{pmatrix}0,95a+0,01b\\0,05a+0,99b \end{pmatrix}$ 
\end{tabular} 
 
\vskip 0.5 cm
 
Les réels $c$ et $d$ tels que $A\times X = Y$  sont :

$c = 0,95a + 0,01b$ et $d = 0,05a + 0,99b$
\end{enumerate}
 
Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel $n$, 

$X_{n+1} = AX_{n}$ où $X_{n} = \begin{pmatrix}v_{n}

c_{n}\end{pmatrix}$. On peut donc en déduire que pour tout entier naturel $n,\: X_{n} = A^n X_{0}$. 

\begin{enumerate}
\item[\textbf{3.}] 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons $P\times Q$: 
	\begin{tabular}{cc}
$\times  $ & $\begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}$ \\ 
$\begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}$ &$=\begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}$ \\ 
\end{tabular}
 
Calculons $Q\times P$:
	\begin{tabular}{cc}
$\times  $ & $\begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}$ \\ 
$\begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}$ &$=\begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}$ \\ 
	\end{tabular} 

		
\vskip 0.5 cm

On constate que les deux produits donnent $(6I_2)$  donc si au lieu de multiplier $P$ par $Q$ on multiplie $P$ par $\frac{1}{6}Q$ on obtient $I_2$, donc $\frac{1}{6}Q=P^{-1}$.
		\item Calculons $P^{-1}AP=\frac{1}{6}QAP $\\ d'abord , on calcule $QA$:
		
\vskip 0.5 cm
		
	\begin{tabular}{cc}
$\times  $ & $\begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}$ \\ 
$\begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}$ &$=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$\end{tabular} 

$a = 0,95 + 0,05 = 1 \:;\: b = 0,01 + 0,99 = 1 \:;\: c = -5\times 0,95 + 0,05 = -4,7,$

$\: d = -0,05 + 0,99 = 0,94$

$QA = \begin{pmatrix}1&1\\-4,7&0,94\end{pmatrix}$

ensuite on fait $(QA)P$ c'est  \begin{tabular}{cc}
$\times$ & $\begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}$\\ 
$\begin{pmatrix}1&1\\-4,7&0,94\end{pmatrix}$ &$=\begin{pmatrix}6&0\\
0&5,64\end{pmatrix}$ 
\end{tabular}

\medskip
 
Reste à multiplier ce produit par $\frac{1}{6}$ ;  on obtient $P^{-1}AP =\begin{pmatrix}1&0\\0&0,94\end{pmatrix}$ qui est bien une matrice diagonale $D$.
\item Démontrons, par récurrence  que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à  $1$, 

\[A^n = P D^n P^{- 1}.\]

Pour $n = 1$ il s'agit de démontrer que $A = P D P^{- 1}$ ;  or $P^{-1}AP = D$ donc en multipliant à gauche par $P$, on a :

$P(P^{-1}AP)=PD$, or par associativité cela s'écrit encore $(P(P^{-1})AP=PD$ donc $I_2AP=PD$ donc $AP=PD$,  en multipliant à droite par $P^{- 1}$,on obtient: $(AP)P^{- 1}=PDP^{- 1}$, donc 

$A=PDP^{- 1}$ : l'initialisation est prouvée.
		
Supposons que pour tout entier naturel $n$, on ait $A^n = P D^n P^{- 1}$,
 alors multiplions à droite par $A$ :
 
 $A^{n+1} = P D^n P^{- 1}A$,
 
mais  ce dernier $A$ c'est $A = PDP^{- 1}$ donc

$A^{n+1} = P D^n P^{- 1}PDP^{- 1}$, or  $P^{- 1}P = I_2$ donc $A^{n+1} = P D^n I_2DP^{- 1}$, 

$A^{n+1}=P D^n DP^{- 1}$ et enfin

$A^{n+1} = P D^{n+1}P^{- 1}$ ce qui prouve l'hérédité.

Conclusion : la relation est vraie  pour $n = 1$ et est héréditaire à partir de ce rang : d'après le principe de récurrence  pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à  $1$, $A^n = P D^n P^{- 1}$.	
	\end{enumerate} 
\item[\textbf{4.}] Les résultats des questions précédentes permettant d'établir que 
 
\[v_{n} = \dfrac{1}{6}\left(1 + 5 \times  0,94^n\right)v_{0} + \dfrac{1}{6}\left(1 - 0,94^n\right)c_{0}.\] 

et comme la suite géométrique $\left(0,94^n\right)_{n\in\N}$ tend vers $0$ vu que $q = 0,94$  donc $- 1 < q < 1$
 
la suite $\left(v_n\right)_{n\in\N}$ tend vers $\dfrac{1}{6}\left(1 + 5 \times  0\right)v_{0} + \dfrac{1}{6}\left(1 - 0\right)c_{0}$ donc vers 

$\dfrac{1}{6}(v_0 + c_0) = \dfrac{\np{250000}}{6}$ et donc par stabilité de la population totale, la suite $\left(v_n\right)_{n\in\N}$ tend vers  $\dfrac{5}{6}\left(v_0 + c_0\right) = \dfrac{\np{1250000}}{6}$.
\end{enumerate}
\end{document} 