%% A compiler DEUX FOIS à la première ouverture pour prise en compte des renvois hyperref
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\setlist[itemize,3]{label=\rule[0.5ex]{0.6ex}{0.6ex}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% PREAMBULE TIKZ                  %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Paquets de base %%%
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%%% Triangle algorithme %%%
\newcommand{\trianglefin}{\tikz \fill[black] (0,0) -- (0.15,0) -- (0.15,0.15) -- cycle;}

%%% Commande pour arc de cercle à partir du centre %%%
\newcommand{\centerarc}[5]{\draw[#1] ($(#2)+({#5*cos(#3)},{#5*sin(#3)})$) arc (#3:#4:#5);}

%%% Couleurs personnalisées %%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ENVIRONNEMENTS             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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  }\prepnext@tok}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ENCADRES DE CORRECTION     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Astuce %%%
\newenvironment{gbar}[1]{%
\def\FrameCommand{{\color{#1}\vrule width 3pt}\colorbox{fbase}}%
\MakeFramed {\advance\hsize - \width \FrameRestore}}%
{\endMakeFramed}

\newcommand{\astuce}[1]{
\begin{center}
\begin{bclogo}[logo=\bclampe,barre=none,noborder=true]{\hspace{1pt} Point méthode}%
\begin{gbar}{yellow}
#1
\end{gbar}
\end{bclogo}
\end{center}
}

%%% Attention %%%
\newcommand{\attention}[1]{
\begin{center}
\begin{bclogo}[logo=\bcattention,barre=none,noborder=true]{~\textcolor{rougechelou}{Attention!}}
\begin{gbar}{rougechelou}
#1
\end{gbar}
\end{bclogo}
\end{center}
}

%%% Exercice %%%
\newcounter{exo}
\renewcommand\theexo{\textbf{\arabic{exo}}}
\newenvironment{exo}[2][]{\refstepcounter{exo}
{\Large\textbf{\textsc{Exercice \theexo. #1}}}\hfill \ifstrempty{#2}{\textcolor{white}{juin}}{\textit{(#2)}}
\hrule\vspace{\baselineskip}
}{\bigskip}

%%% Problème %%%
\newenvironment{probleme}[2][]{\setcounter{partie}{0}
{\Large\textbf{\textsc{Problème. #1}}}\hfill \ifstrempty{#2}{\textcolor{white}{juin}}{\textit{(#2)}}
\hrule\vspace{\baselineskip}
}{\bigskip}

%%% Roc %%%
\newenvironment{roc}[1][]{\setcounter{partie}{0}
{\Large\textbf{\textsc{Restitution Organisée de Connaissances}}}\hfill \ifstrempty{#1}{\textcolor{white}{juin}}{\textit{(#1)}}
\hrule\vspace{\baselineskip}
}{\bigskip}

%%% Partie %%%
\makeatletter
\newcounter{partie}[exo]
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\newenvironment{partie}[1][]{
\refstepcounter{partie}
\renewcommand{\p@enumi}{\textbf{\thepartie}}
\renewcommand{\p@enumii}{\textbf{\thepartie\theenumi}}
\begin{center}
\strut{\bfseries Partie \thepartie{}}\ifstrempty{#1}{\relax\relax}{\textbf{: #1}}
\end{center}
}{}
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%%% Théorème %%%
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backgroundcolor=thmBgColor,
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\newenvironment{theo}[1][]{
\ifstrempty{#1}{\mdfsetup{frametitle={{\large\textsc{Théorème}}},}}{\mdfsetup{frametitle={{\large\textsc{Théorème }}{\normalsize (#1)}},}}
\begin{mdframed}[style=MDFStyGrayScreen]
}{\end{mdframed}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% RENOMMAGE SECTION             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\titlecontents{lsection}[0em]
{\addvspace{1em plus 0pt}\bfseries}
{\thecontentslabel~~}
{}
{\hfill\contentspage}
%[\addvspace{5pt}]

\titleformat{\section}[hang]
{\sffamily\bfseries\Large\color{rougechelou}}
{\colorbox{rougechelou}{\Large{\textcolor{white}{{\textbf{\thesection}}}}}}
{0.5em}
{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% COMMANDES PERSONNELLES          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\DeclareMathOperator\sinc{sinc}
\let\det\undefined
\DeclareMathOperator{\det}{det}
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\def\SayEq#1#2{\noindent\rlap{#1}\hfill$\displaystyle#2$\hfill\mbox{}\par}
\newcommand{\renvoi}[1]{\mbox{\ref{#1}\strut}}
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\newcommand{\yp}{y_{\text{part}}}

\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       ALGORITMITIQUE         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{algorithm}
\usepackage{algpseudocode}

\newenvironment{cadrecode}{%
\def\FrameCommand{{\color{fond}\vrule width 5pt}\fcolorbox{fond}{white}}%
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{\end{footnotesize}\endMakeFramed}

\makeatletter
\algrenewcommand{\alglinenumber}[1]{\makebox[2em][r]{\footnotesize #1:}}
\def\therule{\makebox[\algorithmicindent][l]{\hspace*{.5em}\color{fond} \vrule width 1pt height .75\baselineskip depth .25\baselineskip}}%
\newtoks\therules
\therules={}
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 \def\thickhrulefill{\leavevmode \leaders \hrule height 1pt\hfill \kern \z@}
 
\newenvironment{algo}%
{%
\begin{ttfamily}
\begin{algorithmic}[1]
\begin{cadrecode}
}
{%
\end{cadrecode}
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}

%%%%%%%%%%%%%
% STYLE ITEM     %
%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}.}}

\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EN-TETES/PIEDS DE PAGE    %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pagestyle{fancy}
\lhead{\textsl{Terminale S}}
\chead{Proposition de correction}
\rhead{\textbf{A.P.M.E.P.}}
\lfoot{Pondichéry, avril 1998}
\cfoot{Page \thepage/\textbf{\pageref{LastPage}}}
\rfoot{Baccalauréat}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%   DOCUMENT    %%%%     %%%%   DOCUMENT    %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%     %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\begin{center}
\shadowbox{%
\begin{minipage}{0.85\linewidth}
\begin{center}
\vspace{0.2cm}
\huge{\textbf{Proposition de correction}} \\ \LARGE{\textsc{Sujet de Bac S,  Pondichéry, avril 1998}}
\vspace{0.2cm}
\end{center}
\end{minipage}
}
\end{center}

%%% EXERCICE 1 %%%
\begin{exo}[]{Commun à tous les candidats}
\begin{enumerate}
\item Réalisons un petit schéma de l'urne $U_1$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
% Urne
\draw (-3,-1.5) rectangle (3,1.5);

% Boules rouges
\foreach \k in {-2.4,-1.6,-0.8} {\filldraw[draw=rougechelou, fill=rougetransp] (\k,-0.8) circle (0.3);}

% Boules noires
\foreach \k in {0,0.8,1.6,2.4} {\filldraw[draw=black, fill=gray!50] (\k,-0.8) circle (0.3);}
\foreach \k in {0.8,1.6,2.4} {\filldraw[draw=black, fill=gray!50] (\k,0) circle (0.3);}

% Nom urne
\draw (0,1.5) node[below]{Urne $U_1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
On tire deux boules simultanément de cette urne. Déterminons le nombre total $n$ de tirages possibles. Cette quantité va nous permettre de calculer les probabilités demandées dans cette question. L'ordre n'important pas ici, le nombre total de tirages simultanés est le nombre de combinaisons de 2 boules parmi les $7 + 3 = 10$ disponibles. Ainsi:
\begin{displaymath}
n = \binom{10}{2} = 45
\end{displaymath}
L'univers $\Omega$ associé à cette expérience est tel que: $\Card{(\Omega)} = n = 45$.

\begin{enumerate}
\item Comme précisé, l'urne contient 2 boules rouges et tous les tirages sont équiprobables. En notant $R_{U_1}$ l'événement \og tirer deux boules rouges de $U_1$ \fg, il suffit donc, pour déterminer $p_1=\Prob(R_{U_1})$, de dénombrer tous les tirages favorables, c'est-à-dire $\Card{(R_{U_1})}$. On aura alors: 
\begin{displaymath}
p_1 = \dfrac{\Card{(R_{U_1})}}{\Card{(\Omega)}}
\end{displaymath}
Dans un tirage, il y a $\dps \binom{3}{2} = 3$ possibilités d'obtenir deux boules rouges. Ainsi:
\begin{displaymath}
p_1 = \dfrac{3}{45} \Longleftrightarrow \ovalbox{\text{$p_1 = \dfrac{1}{15} \approx 6,7\%$}}
\end{displaymath}

\item Par un raisonnement analogue, en notant $N_{U_1}$ l'événement \og tirer deux boules noires \fg, il suffit de déterminer $\Card{(N_{U_1})}$. Il y a $\dps \binom{7}{2} = 21$ possibilités d'obtenir deux boules noires. Ainsi:
\begin{displaymath}
p_2 = \dfrac{21}{45} \Longleftrightarrow \ovalbox{\text{$p_2 = \dfrac{7}{15} \approx 46,7\%$}}
\end{displaymath}

\item Pour que les deux boules tirées sont de mêmes couleurs, soit elles sont rouge (c'est l'événement $R_{U_1}$ qui est réalisé), soit elles sont noires (c'est l'événement $N_{U_1}$ qui est réalisé). Ainsi $p_3 = \Prob(R_{U_1} \cup N_{U_1})$. Comme $R_{U_1}$ et $N_{U_1}$ sont incompatibles (on ne peut avoir deux boules rouges et deux boules noires en même temps), alors:
\begin{displaymath}
p_3 = \Prob(R_{U_1}) + \Prob(N_{U_1}) = p_1 + p_2 = \dfrac{1}{15} + \dfrac{7}{15} \Longleftrightarrow \ovalbox{\text{$p_3 = \dfrac{8}{15} \approx 53,3\%$}}
\end{displaymath}

\item Pour que les deux boules soient de couleurs différentes, il ne faut pas avoir tiré deux boules de couleurs identiques: c'est donc l'événement contraire de celui de la question précédente. Ainsi:
\begin{displaymath}
p_4 = 1 - p_3 = 1 - \dfrac{8}{15} \Longleftrightarrow \ovalbox{\text{$p_4 = \dfrac{7}{15} \approx 46,7\%$}}
\end{displaymath}
\end{enumerate}

\item\label{quest:quest2exo1} Réalisons un petit schéma de la situation:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
% Urne
\draw (-3,-1.5) rectangle (3,1.5);

% Boules rouges
\foreach \k in {-2.4,-1.6,-0.8} {\filldraw[draw=rougechelou, fill=rougetransp] (\k,-0.8) circle (0.3);}

% Boules noires
\foreach \k in {0,0.8,1.6,2.4} {\filldraw[draw=black, fill=gray!50] (\k,-0.8) circle (0.3);}
\foreach \k in {0.8,1.6,2.4} {\filldraw[draw=black, fill=gray!50] (\k,0) circle (0.3);}

% Nom urne
\draw (0,1.5) node[below]{Urne $U_1$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=6.25cm]
% Urne
\draw (-3,-1.5) rectangle (3,1.5);

% Boules rouges
\foreach \k in {-2.4,-1.6,-0.8,0} {\filldraw[draw=rougechelou, fill=rougetransp] (\k,-0.8) circle (0.3);}

% Boules noires
\foreach \k in {0.8,1.6,2.4} {\filldraw[draw=black, fill=gray!50] (\k,-0.8) circle (0.3);}
\foreach \k in {0.8,1.6,2.4} {\filldraw[draw=black, fill=gray!50] (\k,0) circle (0.3);}

% Nom urne
\draw (0,1.5) node[below]{Urne $U_2$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
On tire deux boules simultanément de l'urne $U_1$ et une boule de l'urne $U_2$. Déterminons le nombre total $n'$ de tirages possibles. Cette quantité va nous permettre de calculer les probabilités demandées dans cette question. L'ordre n'important pas ici, le nombre total de tirages simultanés est le produit du nombre de combinaisons de 2 boules parmi les $7 + 3 = 10$ disponibles de l'urne $U_1$ par le nombre de combinaisons de 1 boule parmi les $6 + 4 = 10$ de l'urne $U_2$. Ainsi:
\begin{displaymath}
n' = \binom{10}{2}\times \binom{10}{1} = 45 \times 10 = 450
\end{displaymath}
L'univers $\Omega'$ associé à cette expérience est tel que: $\Card{(\Omega')} = n' = 450$.

On note les événements:
\begin{itemize}
\item $R$: \og les trois boules tirées sont rouges \fg
\item $D$: \og Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur \fg
\item $B$: \og la boule tirée dans l'urne $U_2$ est rouge \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Pour déterminer $\Prob(R)$, il nous suffit de dénombrer tous les tirages favorables, c'est-à-dire $\Card{(R)}$. On aura alors: 
\begin{displaymath}
\Prob(R) = \dfrac{\Card{(R)}}{\Card{(\Omega')}}
\end{displaymath}
Dans un tirage, élément de $R$, on a donc 2 boules de l'urne $U_1$ et une boule de l'urne $U_2$.
\begin{itemize}
\item Il y a donc $\dps \binom{3}{2} = 3$ possibilités d'obtenir 2 boules rouges de $U_1$
\item Il y a donc $\dps \binom{4}{1} = 4$ possibilités d'obtenir 1 boule rouge de $U_2$.
\end{itemize}

L'ensemble $R$ comporte donc $4 \times 3 = 12$ éléments: $\Card{(R)} = 12$. On en déduit donc:
\begin{displaymath}
\Prob(R) = \dfrac{\Card{(R)}}{\Card{(\Omega')}} = \dfrac{12}{450}
\end{displaymath}
Ainsi: \ovalbox{$\Prob(R) = \dfrac{2}{75} = 2,67\%$}.

\item Par un raisonnement analogue, en notant $N$ l'événement \og les trois boules tirées sont noires \fg:
\begin{itemize}
\item Il y a $\dps \binom{7}{2} = 21$ possibilités d'obtenir 2 boules noires de $U_1$
\item Il y a $\dps \binom{6}{1} = 6$ possibilités d'obtenir 1 boule noire de $U_2$.
\end{itemize}
Donc la probabilité d'obtenir 3 boules noires vaut $\Prob(N) = \dfrac{6 \times 21}{450}=\dfrac{21}{75}$.

Ainsi, pour que les trois boules tirées soient de mêmes couleurs, soit elles sont rouge (c'est l'événement $R$ qui est réalisé), soit elles sont noires (c'est l'événement $N$ qui est réalisé). Ainsi la probabilité cherchées vaut $\Prob(R \cup N)$. Comme $R$ et $N$ sont incompatibles (on ne peut avoir trois boules rouges et trois boules noires en même temps), alors:
\begin{displaymath}
\Prob(R \cup N) = \Prob(R) + \Prob(N) = \dfrac{2}{75} + \dfrac{21}{75} \Longleftrightarrow \ovalbox{\text{$\Prob(R \cup N) = \dfrac{23}{75} \approx 30,67\%$}}
\end{displaymath}

\item Par définition des probabilités conditionnelles, on peut écrire que:
\begin{displaymath}
p_D(B) = \dfrac{\Prob(B \cap D)}{\Prob(D)}
\end{displaymath}

\begin{itemize}
\item \textbf{Calcul de $\Prob(D)$}. Pour que les trois boules soient de couleurs différentes, il ne faut pas avoir tiré trois boules de couleurs identiques: c'est donc l'événement contraire de celui de la question précédente. Ainsi:
\begin{displaymath}
\Prob(D) = 1 - \Prob(R \cup N) = 1 - \dfrac{23}{75} = \dfrac{52}{75}
\end{displaymath}

\item \textbf{Calcul de $\Prob(B \cap D)$}. On peut dire que l'événement $B \cap D$ est la réunion des deux événements suivants:
\begin{itemize}
\item $D_1$: \og on a tiré deux boules noires de $U_1$ et une boule rouge de $U_2$ \fg
\item $D_2$: \og on a tiré une boule rouge et une boule noire de $U_1$ et une boule rouge de $U_2$ \fg.
\end{itemize}
Ainsi, on a: $\Prob(B \cap D) = \Prob(D_1 \cup D_2) = \Prob(D_1) + \Prob(D_2)$ car ces événements sont incompatibles. En réitérant les raisonnements réalisés précédemment, on écrit directement:
\begin{displaymath}
\Prob(D_1) = \dfrac{\overbrace{\dps\binom{7}{2}}^{\text{2 boules noires de $U_1$}} \times \overbrace{\dps\binom{4}{1}}^{\text{1 boule rouge de $U_2$}}}{450} = \dfrac{21 \times 4}{450} = \dfrac{14}{75}
\end{displaymath}
Et:
\begin{displaymath}
\Prob(D_2) = \dfrac{\overbrace{\dps\binom{3}{1} \times \dps\binom{7}{1}}^{\text{1 boule rouge et 1 boule noire de $U_1$}} \times \dps\binom{4}{1}}{450} = \dfrac{3 \times 7 \times 4}{450} = \dfrac{14}{75}
\end{displaymath}
D'où: $\Prob(B \cap D) = \dfrac{14}{75} + \dfrac{14}{75} = \dfrac{28}{75}$.

\item \textbf{Conclusion}. On en déduit donc la probabilité cherchée:
\begin{displaymath}
p_D(B) = \dfrac{\dfrac{28}{75}}{\dfrac{52}{75}} = \dfrac{28}{52} \Longleftrightarrow \ovalbox{\text{$p_D(B) = \dfrac{7}{13}$}}
\end{displaymath}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\ovalbox{\textbf{Complément}}
\end{center}
La question \renvoi{quest:quest2exo1} peut entièrement s'effectuer grâce à un arbre de probabilité. Rappelons l'ensemble des événements et complétons les:
\begin{itemize}
\item $R_{U_1}$: \og tirer deux boules rouges de $U_1$ \fg
\item $N_{U_1}$: \og tirer deux boules noires de $U_1$ \fg
\item $B_{U_1}$: \og tirer une boule rouge et une boule noire de $U_1$ \fg
\item $D_1$: \og on a tiré deux boules noires de $U_1$ et une boule rouge de $U_2$ \fg
\item $D_2$: \og on a tiré une boule rouge et une boule noire de $U_1$ et une boule rouge de $U_2$ \fg.
\item Et les événements de l'énoncé
\end{itemize}

Avec les probabilités calculées dans la première questions et ce qu'on peut déduire de l'équiprobabilité des tirages de l'unique boule de $U_2$, on obtient l'arbre suivant:
\begin{center}
% Racine à Gauche, développement vers la droite
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick,rougechelou]
\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,text=rougechelou]
\tikzstyle{feuille}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=rougetransp,ellipse,minimum height=0.65cm, minimum width=2cm,inner sep=0pt,text=blue,draw]

% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{3}

% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(3)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauD{(4)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{\DistanceInterFeuilles}

% Etapes
\draw[dashed,gray] ({\NiveauA},{-1.75-\InterFeuilles}) -- (({\NiveauA},{2+\InterFeuilles});
\node[gray] at ({(\NiveauA+\NiveauB)/2},{2+\InterFeuilles}) {Tirage de l'urne $U_1$};
\draw[dashed,gray] ({\NiveauB},{-1.75-\InterFeuilles}) -- (({\NiveauB},{2+\InterFeuilles});
\node[gray] at ({(\NiveauB+\NiveauC)/2},{2+\InterFeuilles}) {Tirage de l'urne $U_2$};
\draw[dashed,gray] ({\NiveauC},{-1.75-\InterFeuilles}) -- (({\NiveauC},{2+\InterFeuilles});

% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(0)*\InterFeuilles}) {};

\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{\InterFeuilles}) {$R_{U_1}$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{0}) {$N_{U_1}$};
\node[noeud] (Rc) at ({\NiveauB},{-\InterFeuilles}) {$B_{U_1}$};

\node[noeud] (Raa) at ({\NiveauC},{\InterFeuilles+1}) {$B$};
\node[blue, right] at ({\NiveauC},{\InterFeuilles+0.97}) {\:\:: $\Prob(R)$};
\node[noeud] (Rab) at ({\NiveauC},{\InterFeuilles-1}) {$\overline{B}$};
\node[noeud] (Rba) at ({\NiveauC},{1}) {$B$};
\node[blue, right] at ({\NiveauC},{0.97}) {\:\:: $\Prob(D_1)$};
\node[noeud] (Rbb) at ({\NiveauC},{-1}) {$\overline{B}$};
\node[blue, right] at ({\NiveauC},{-1.06}) {\:\:: $\Prob(N)$};
\node[noeud] (Rca) at ({\NiveauC},{-\InterFeuilles+1}) {$B$};
\node[blue, right] at ({\NiveauC},{-\InterFeuilles+0.97}) {\:\:: $\Prob(D_2)$};
\node[noeud] (Rcb) at ({\NiveauC},{-\InterFeuilles-1}) {$\overline{B}$};

% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$1/15$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$7/15$};
\draw[fleche] (R)--(Rc) node[etiquette] {$7/15$};

\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$4/10$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$6/10$};

\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$4/10$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$6/10$};

\draw[fleche] (Rc)--(Rca) node[etiquette] {$4/10$};
\draw[fleche] (Rc)--(Rcb) node[etiquette] {$6/10$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item[]
\begin{enumerate}
\item De l'arbre, on lit: $\Prob(R) = \dfrac{1}{15} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{75}$.
\item De l'arbre, on lit: $\Prob(R) + \Prob(N) = \dfrac{2}{75} + \dfrac{7}{15} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{23}{75}$.
\item Le calcul porte essentiellement sur $\Prob(B \cap D)$, qu'on déduit de l'arbre grâce à $\Prob(D_1) + \Prob(D_2)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\newpage
%%% EXERCICE 2 %%%
\begin{exo}[]{Enseignement obligatoire}
On considère le polynôme $P(z) = z^4 + 17z^2 - 28z + 260$, où $z$ est un nombre complexe.
\begin{enumerate}
\item On cherche ici deux réels $a$ et $b$ tels que:
\begin{equation}
\forall z \in \C,\:P(z) = z^4 + 17z^2 - 28z + 260 = (z^2+az+b)(z^2+4z+20)
\end{equation}
Développons, on a:
\begin{displaymath}
(z^2+az+b)(z^2+4z+20) = z^4 + (4+a)z^3 + (20+4a+b)z^2 + (20a + 4b)z + 20b
\end{displaymath}
Ainsi:
\begin{displaymath}
(1) \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}
4+a = 0 \\
20+4a+b = 17 \\
20a + 4b = -28 \\
20b = 260
\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}
a = -4 \\
20+4\times (-4)+13 = 17 \\
20 \times (-4) + 4 \times 13 = -28 \\
b = 13
\end{array}\right.
\end{displaymath}
Les seules valeurs possibles sont donc $a=-4$ et $b=13$. En conclusion:
\begin{center}
\ovalbox{$\forall z \in \C,\:P(z) = z^4 + 17z^2 - 28z + 260 = (z^2-4z+13)(z^2+4z+20)$}
\end{center}

\item D'après ce qui précède, on a:
\begin{displaymath}
P(z)=0 \Longleftrightarrow (z^2-4z+13)(z^2+4z+20) = 0
\end{displaymath}
On a donc deux équations à résoudre, notée respectivement:
\begin{displaymath}
(\mathcal{E}_1)\::\:z^2-4z+13 = 0 \hspace{30pt} \text{et} \hspace{30pt} (\mathcal{E}_2)\::\:z^2+4z+20 = 0
\end{displaymath}
\begin{itemize}
\item \textbf{Résolution de l'équation \boldmath$(\mathcal{E}_1)$}. Posons $a_1 = 1$, $b_1 = -4$ et $c_1 = 13$. Le discriminant $\Delta_{(\mathcal{E}_1)}$ vaut:
\begin{displaymath}
\Delta_{(\mathcal{E}_1)} = b_1^2 - 4a_1c_1 = (-4)^2 - 4\times 1 \times 13 = -36
\end{displaymath}
Le discriminant est négatif, donc l'équation $(\mathcal{E}_1)$ admet deux solutions complexes et conjuguées:
\begin{displaymath}
\left\lbrace\begin{array}{l}
z_{1.1} = \dfrac{-b_1 - \text{i}\sqrt{|\Delta_{(\mathcal{E}_1)}|}}{2a_1} = \dfrac{-(-4) - \text{i}\sqrt{36}}{2} = \dfrac{4 - 6\text{i}}{2} = 2-3\text{i}\\
\\
z_{1.2} = \dfrac{-b_1 + \text{i}\sqrt{|\Delta_{(\mathcal{E}_1)}|}}{2a_1} = \dfrac{-(-4) + \text{i}\sqrt{36}}{2} = \dfrac{4 + 6\text{i}}{2} = 2+3\text{i}\\
\end{array}\right.
\end{displaymath}

\item \textbf{Résolution de l'équation \boldmath$(\mathcal{E}_2)$}. Posons $a_2 = 1$, $b_2 = 4$ et $c_2 = 20$. Le discriminant $\Delta_{(\mathcal{E}_2)}$ vaut:
\begin{displaymath}
\Delta_{(\mathcal{E}_2)} = b_2^2 - 4a_2c_2 = 4^2 - 4\times 1 \times 20 = -64
\end{displaymath}
Le discriminant est négatif, donc l'équation $(\mathcal{E}_2)$ admet deux solutions complexes et conjuguées:
\begin{displaymath}
\left\lbrace\begin{array}{l}
z_{2.1} = \dfrac{-b_2 - \text{i}\sqrt{|\Delta_{(\mathcal{E}_2)}|}}{2a_2} = \dfrac{-4 - \text{i}\sqrt{64}}{2} = \dfrac{-4 - 8\text{i}}{2} = -2-4\text{i}\\
\\
z_{2.2} = \dfrac{-b_2 + \text{i}\sqrt{|\Delta_{(\mathcal{E}_2)}|}}{2a_2} = \dfrac{-4 + \text{i}\sqrt{64}}{2} = \dfrac{-4 + 8\text{i}}{2} = -2+4\text{i}\\
\end{array}\right.
\end{displaymath}
\end{itemize}
Finalement: \ovalbox{$P(z)=0 \Longleftrightarrow z \in \Big\lbrace 2-3\text{i}\:;\:2+3\text{i}\:;\:-2-4\text{i}\:;\:-2+4\text{i}\Big\rbrace$}.

\item On place les points sur la figure positionnée en fin d'exercice, puisque complétée au fur et à mesure. Le lien avec les questions y est indiqué.

\item
\begin{enumerate}
\item On cherche $z$ tel que $\dfrac{z-p}{z-m}=\text{i}$. On a:
\begin{displaymath}
\dfrac{z-p}{z-m}=\text{i} \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}
z\neq m \\
z-p = \text{i}(z-m)
\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}
z\neq m \\
z(1-\text{i})=p-\text{i}m
\end{array}\right.
\end{displaymath}
D'où:
\begin{displaymath}
\dfrac{z-p}{z-m}=\text{i} \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}
z\neq m \\
z = \dfrac{p-\text{i}m}{1-\text{i}}
\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}
z\neq m \\
z=\dfrac{(p-\text{i}m)(1+\text{i})}{2}
\end{array}\right.
\end{displaymath}
C'est-à-dire:
\begin{displaymath}
\dfrac{z-p}{z-m}=\text{i} \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}
z\neq m \\
z =\dfrac{p+m +\text{i}(p-m)}{2}
\end{array}\right.
\end{displaymath}
Ainsi, en remplaçant $m$ et $p$ par leur écriture algébrique, on obtient:
\begin{displaymath}
z =\dfrac{2+3\text{i} + 4\text{i}-2 +\text{i}(2+3\text{i}+2-4\text{i})}{2} = \dfrac{7\text{i} + 4\text{i} + 1}{2} = \dfrac{1+11\text{i}}{2}
\end{displaymath}
On a bien $z \neq m$, donc \ovalbox{$\dfrac{z-p}{z-m}=\text{i} \Longleftrightarrow z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{11}{2}\text{i}$}.

\item Notons $k$ l'affixe du point $K$. On a donc, d'après ce qui précède:
\begin{equation}\label{eq:eq2}
\dfrac{k - p}{k - m} = \text{i}
\end{equation}
Montrons que $MPK$ est isocèle rectangle:
\begin{itemize}
\item \textbf{$\bm{MPK}$ isocèle}. Prenons les modules de l'ensemble de cette égalité. Par propriété des modules, on obtient:
\begin{displaymath}
\left|\dfrac{k-p}{k -m}\right| = |i| \Longleftrightarrow \dfrac{|k-p|}{|k-m|} = 1 \Longleftrightarrow \dfrac{PK}{MK} = 1
\end{displaymath}
Autrement écrit, on a donc $PK = MK$, le triangle $MPK$ est donc isocèle en $K$.

\item \textbf{$\bm{MPK}$ rectangle}. Prenons maintenant les arguments de l'ensemble de l'égalité \eqrenvoi{eq:eq2}. Par propriété des arguments, on obtient:
\begin{displaymath}
\arg{\left(\dfrac{k-p}{k-m}\right)} = \arg{(\text{i})} \Longleftrightarrow \big(\vv{MK},\vv{PK}\big) = \dfrac{\pi}{2}\:[2\pi]
\end{displaymath}
Autrement écrit, on a donc: $\big(\vv{KM},\vv{KP}\big)= \dfrac{\pi}{2}\:[2\pi]$. Le triangle $MPK$ est donc rectangle en $K$.
\end{itemize}
En conclusion, on a montré que \ovalbox{$MPK$ est rectangle et isocèle en $K$}.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Pour déterminer l'affixe du point $L$, il faut que $MKPL$ soit un carré et donc que $\vv{ML} = \vv{KP}$. Autrement écrit, en notant $\ell$ l'affixe du point $L$:
\begin{displaymath}
\ell - m = p - k \Longleftrightarrow \ell = m + p - k 
\end{displaymath}
Ainsi: $\ell = -2+4\text{i} + 2 + 3\text{i} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{11}{2}\text{i}$. D'où:
\begin{center}
\ovalbox{$\ell = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$}
\end{center}

\item Soit $x$ l'abscisse du point $R$. Dès lors $R\coord{x}{0}$, puisque $R$ est le point de la droite ($KL)$ qui intercepte l'axe des abscisses.

Les points $K$, $L$ et $R$ sont donc alignés et les vecteurs $\vv{KL}$ et $\vv{KR}$ sont colinéaires. On a donc:
\begin{displaymath}
\det{(\vv{KL}\:;\:\vv{KR})} = 0
\end{displaymath}
À partir des coordonnées de $K$, $L$ et $R$, on a:
\begin{displaymath}
\vv{KL}\coord{-1}{-4} \hspace{30pt} \text{ et } \hspace{30pt}\vv{KR}\coord{x - \dfrac{1}{2}}{-\dfrac{11}{2}}
\end{displaymath}
D'où:
\begin{displaymath}
\det{(\vv{KL}\:;\:\vv{KR})} = 0 \Longleftrightarrow \dfrac{11}{2} + 4\left(x-\dfrac{1}{2}\right) = 0
\end{displaymath}
On trouve alors $x = -\dfrac{7}{8}$, d'où \ovalbox{$R\left(-\dfrac{7}{8}\:;\:0\right)$}.

\item D'une part, les points $P$ et $Q$ ont des affixes conjuguées de même que $M$ et $N$ puisqu'on a:
\begin{displaymath}
p = \overline{q} \hspace{30pt} \text{et} \hspace{30pt} m = \overline{n}
\end{displaymath}
Géométriquement, cela signifie que l'axe des abscisses est la médiatrice à la fois du segment $[PQ]$ et du segment $[MN]$. D'après la définition du point $R$, se trouvant sur l'axe des abscisses, on en tire $RP = RQ$ et $RM = RN$.

Par ailleurs $R \in (KL)$ et $(KL)$ est l'une des deux diagonales du carré $MKPL$. C'est donc la médiatrice du segment $[MP]$. On en déduit donc $RM = RP$.

Par transitivités des égalités \ovalbox{$RQ=RP=RM=RN$}. On en conclut que les points $M$, $N$, $P$ et $Q$ appartiennent à un même cercle de centre $R$ (voir figure ci-après).

\medskip

\textbf{Complément}: on peut calculer le rayon de ce cercle en calculant par exemple la distance $RP$. On a:
\begin{displaymath}
\vv{RP}\coord{x_P - x_R}{y_P - y_R} \quad \text{c'est-à-dire} \quad \vv{RP}\coord{\dfrac{23}{8}}{3}
\end{displaymath}
D'où:
\begin{displaymath}
RP = \left\Vert\vv{RP}\right\Vert = \sqrt{\left(\dfrac{23}{8}\right)^2 + 3^2} =  \sqrt{\dfrac{529}{64} + \dfrac{9 \times 64}{64}} =\dfrac{1}{8}\sqrt{1105}
\end{displaymath}
Le rayon de cercle de centre $R$ passant par les points $M$, $P$, $Q$ et $N$ vaut donc \ovalbox{$r = \dfrac{1}{8}\sqrt{1105}$}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\ovalbox{\textbf{Figure de l'exercice}}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
% Quadrillage
\draw [thin, color = gray!40] (-6.5,-4.5) grid[step=0.5] (6.5,6);
\draw [color=gray!60] (-6.5,-4.5) grid[step=1] (6.5,6);

% Coordonnées des points
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (M) at (-2,4);
\coordinate (N) at (-2,-4);
\coordinate (P) at (2,3);
\coordinate (Q) at (2,-3);

% Axes
\draw[line width = 0.5pt] (-6.5,0) -- (6.5,0);
\draw[line width = 0.5pt] (0,-4.5) -- (0,6);
\draw[->, >=stealth, line width = 1pt] (O) -- (1,0) node[midway,below]{$\vv{u}$};
\draw[->, >=stealth, line width = 1pt] (O) -- (0,1) node[midway,left]{$\vv{v}$};

% Question 5
\coordinate (L) at (-0.5,1.5);
\coordinate (R) at (-0.875,0);
\draw[rougechelou] (L) node{$\bullet$} node[below left]{$L$};
\draw[rougechelou] (R) node{$\bullet$} node[below left]{$R$};
\draw[rougechelou] (M) -- (L)node[midway, rotate=-26.565]{$||$} -- (P)node[midway]{$||$};
\draw[rougechelou] (-1.871376,3.785627) -- (-1.657002,3.914250) -- (-1.785627,4.128624);
\draw[rougechelou] (-0.285627,1.628624) -- (-0.414250,1.842997) -- (-0.628624,1.714373);
\draw[rougechelou] (1.871376,3.214373) -- (1.657002,3.085749) -- (1.785627,2.871376);
\draw[dashed] (R) circle (4.1552);

% Question 4
\coordinate (K) at (0.5,5.5);
\draw[rougechelou] (K) -- (R);
\draw[rougechelou] (K) node{$\bullet$} node[above right]{$K$};
\draw[rougechelou] (M) -- (K)node[midway]{$||$} -- (P)node[midway,rotate=-26.565]{$||$} -- cycle;
\draw[rougechelou] (0.285627,5.371376) -- (0.414251,5.157003) -- (0.628624,5.285627);

% Question 3
\draw (O) node[below left]{$O$};
\draw[blue] (M) node{$\bullet$} node[above left]{$M$};
\draw[blue] (N) node{$\bullet$} node[below left]{$N$};
\draw[blue] (P) node{$\bullet$} node[above right]{$P$};
\draw[blue] (Q) node{$\bullet$} node[below right]{$Q$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exo}

\newpage
%%% EXERCICE 2 %%%
\setcounter{exo}{1}
\begin{exo}[]{Enseignement de spécialité}
On note $A$ le point d'affixe 1, $B$ le point d'affixe $\text{i}$, $(C)$ le cercle de centre $O$ et de rayon 1 et $(D)$ la droite d'équation $y = 1$.

À tout point $M$ du plan, d'affixe $z$ distincte de $\text{i}$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$, telle que:
\begin{displaymath}
z' = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}
\end{displaymath}
où $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$.

\begin{enumerate}
\item Déterminons l'ensemble des points $M(z)$ du plan, avec $z$ distinct de $\text{i}$, tel que $z' = 1$. Cet ensemble sera donc privé du point $B$. Pour $M \neq B$ ($z \neq \text{i}$), on a:
\begin{displaymath}
z'=1 \Longleftrightarrow \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}} = 1 \Longleftrightarrow z - \text{i} = \overline{z} + \text{i} \Longleftrightarrow z - \overline{z} = 2\text{i}
\end{displaymath}
Or, par propriété, pour un complexe $z$ quelconque $z - \overline{z} = 2\text{i}\mathfrak{I}m(z)$. On déduit donc:
\begin{displaymath}
z'=1 \Longleftrightarrow \mathfrak{I}m(z) = 1
\end{displaymath}
L'ensemble cherché des points $M(z)$ tel que $z' = 1$ est la droite \ovalbox{$(D)$ privée du point $B$}.

\item 
\begin{enumerate}
\item\label{quest:quest2aexo2spe} Soit $z \neq \text{i}$, donc $z' \neq 1$. Montrons que $z'\overline{z'}=1$. On a:
\begin{displaymath}
z'\overline{z'} = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}} \times \overline{\left(\dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}\right)} = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}} \times \dfrac{\overline{z - \text{i}}}{\overline{\overline{z} + \text{i}}} = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}} \times \dfrac{\overline{z} - \overline{\text{i}}}{\overline{\overline{z}} + \overline{\text{i}}} 
\end{displaymath}
En appliquant les propriétés du conjugué $\overline{\overline{z}} = z$ et $\overline{\text{i}} = -\text{i}$, il vient:
\begin{displaymath}
z'\overline{z'} = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}} \times \dfrac{\overline{z} - (-\text{i})}{z - \text{i}} = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}} \times \dfrac{\overline{z} + \text{i}}{z - \text{i}} = 1
\end{displaymath}
Ainsi, on a bien montré que \ovalbox{$z'\overline{z'}=1$}.

De plus, pour un nombre complexe qui s'écrit $z' = x'+\text{i}y'$, avec $x'$ et $y'$ réels, on a:
\begin{displaymath}
z'\overline{z'} = x'^2 + y'^2
\end{displaymath}
Or, d'après ce que l'on a démontré, $z'\overline{z'}=1$, donc: $x'^2 + y'^2 = 1$. 

Ainsi, pour tout point $M$ distinct de $B$, $M'$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon 1, c'est-à-dire \ovalbox{$M' \in (C)$}.

\item\label{quest:quest2bexo2spe} Soit $M \notin (D)$, c'est-à-dire $z' \neq 1$ et $z \neq \text{i}$. On a:
\begin{displaymath}
\dfrac{z' - 1}{z - \text{i}} = \dfrac{\dfrac{z-\text{i}}{\overline{z} + \text{i}}-\dfrac{\overline{z} + \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}}{z-\text{i}} = \dfrac{z - \text{i} - \overline{z} - \text{i}}{(z-\text{i})(\overline{z} + \text{i})} = \dfrac{(z - \overline{z}) - 2\text{i}}{z\overline{z} + \text{i}(z - \overline{z}) + 1} 
\end{displaymath}
Or, par propriété $z - \overline{z} = 2\text{i}\mathfrak{I}m(z)$. On a donc:
\begin{displaymath}
\dfrac{z' - 1}{z - \text{i}} = \dfrac{2\text{i}\mathfrak{I}m(z) - 2\text{i}}{\overline{z} + 2\text{i}^2\mathfrak{I}m(z) + 1} = \dfrac{2\text{i}\big(\mathfrak{I}m(z) - 1\big)}{z\overline{z} - \mathfrak{I}m(z) + 1}
\end{displaymath}
Sur la même base que le raisonnement en question précédente, on peut écrire que $z\overline{z} \in \R$. De plus, par définition, $\mathfrak{I}m(z) \in \R$. 

Ainsi, en posant $k = \dfrac{2\big(\mathfrak{I}m(z) - 1\big)}{z\overline{z} - \mathfrak{I}m(z) + 1}$, on a bien $k \in \R$ et:
\begin{displaymath}
\dfrac{z' - 1}{z - \text{i}} = k \text{i} \Longleftrightarrow \text{\ovalbox{$\dfrac{z' - 1}{z - \text{i}} \in \text{i}\R$}}
\end{displaymath}
On remarque que:
\begin{displaymath}
\dfrac{z' - 1}{z - \text{i}} = \dfrac{z_{M'} - z_A}{z_M - z_B} = \dfrac{z_{\vv{AM'}}}{z_{\vv{BM}}}
\end{displaymath}
C'est-à-dire $\dfrac{z_{\vv{AM'}}}{z_{\vv{BM}}} \in \text{i}\R$. Or, par propriété:
\begin{displaymath}
\dfrac{z_{\vv{AM'}}}{z_{\vv{BM}}} \in \text{i}\R \Longleftrightarrow \text{$\vv{AM'}$ et $\vv{BM}$ sont orthogonaux}
\end{displaymath}
Ainsi, les droites \ovalbox{$(AM')$ et $(BM)$ sont perpendiculaires}.

\item\label{quest:quest2cexo2spe} On considère $M \notin (D)$, donc, $M \neq B$. Dès lors:
\begin{itemize}
\item D'après la question \renvoi{quest:quest2aexo2spe}, $M' \in (C)$.
\item D'après la question \renvoi{quest:quest2bexo2spe}, $(AM')\bot (BM)$.
\end{itemize}
\textbf{1\iere{} méthode}. Pour trouver $M'$ par construction, il suffit donc de tracer le cercle $(C)$, puis la droite $(BM)$. Ensuite, il faut tracer la perpendiculaire à $(BM)$ passant par $A$. L'intersection de cette dernière droite avec le cercle $(C)$ est donc le point $M'$. 

Lorsque $M \in (D)\:/\:B$, alors $z' = 1$, donc $M' = A$.

\newpage
On illustre, à titre d'exemple, la construction ci-dessous:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5, extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1}, extended line/.default=2.5cm]
% Quadrillage
\draw [thin, color = gray!40] (-3,-1.5) grid[step=0.5] (3,3);
\draw [color=gray!60] (-3,-1.5) grid[step=1] (3,3);

% Coordonnées de M pour tests
\def\xM{2};
\def\yM{1.5};

% Coordonnées des points
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (M) at (\xM,\yM);
\coordinate (A) at (1,0);
\coordinate (B) at (0,1);

% Axes
\draw[line width = 0.5pt] (-3,0) -- (3,0);
\draw[line width = 0.5pt] (0,-1.5) -- (0,3);
\draw[->, >=stealth, line width = 1pt] (O) -- (1,0);
\draw[->, >=stealth, line width = 1pt] (O) -- (0,1);

% Cercle C
\draw[name path=C] (O) circle (1cm);

% Droite (BM)
\draw[blue, shorten >=-1cm,shorten <=-2cm, name path=BM] (B) -- (M);

% Construction de la perpendiculaire à (BM) passant par A
\path [extended line, name path=AMprime] ($(B)!(A)!(M)$) -- (A);
\draw[rougechelou, shorten >=-2.25cm,shorten <=-2.5cm] ($(B)!(A)!(M)$) -- (A);

% Déduction de M'
\path [name intersections={of = C and AMprime, by={Mprime}}];

% Etiquettes
\draw (O) node[below left]{$O$};
\draw (A) node[above right]{$A$};
\draw (B) node[above left]{$B$};
\draw[blue] (M) node{$\bullet$} node[above left]{$M$};
\draw[rougechelou] (Mprime) node{$\bullet$} node[above right]{$M'$};

% Marquage
\path [name intersections={of = BM and AMprime, by={Q}}];
\draw[gray] ($(Q)!5pt!(M)$) --  ($($(Q)!5pt!(M)$)!5pt!90:(M)$) -- ($(Q)!-5pt!(A)$);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\textbf{2\ieme{} méthode}. Un tracé à l'équerre n'est pas forcément très précis. Comme $(BM)$ et $(AM')$ sont perpendiculaires, notons $H$ leur point d'intersection. Le triangle $ABH$ est donc rectangle en $H$. Pour trouver $M'$ par construction, il suffit de tracer le cercle de diamètre $[AB]$, on obtient $H$, qui est l'intersection de ce cercle avec $(BM)$. On trace enfin la droite $(AH)$ pour obtenir $M'$, intersection de $(AH)$ avec le cercle $(C)$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5, extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1}, extended line/.default=2.5cm]
% Quadrillage
\draw [thin, color = gray!40] (-3,-1.5) grid[step=0.5] (3,2.5);
\draw [color=gray!60] (-3,-1.5) grid[step=1] (3,2.5);

% Coordonnées de M pour tests
\def\xM{2};
\def\yM{1.5};

% Coordonnées des points
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (M) at (\xM,\yM);
\coordinate (A) at (1,0);
\coordinate (B) at (0,1);
\coordinate (I) at (0.5,0.5); % milieu de [AB]

% Axes
\draw[line width = 0.5pt] (-3,0) -- (3,0);
\draw[line width = 0.5pt] (0,-1.5) -- (0,2.5);
\draw[->, >=stealth, line width = 1pt] (O) -- (1,0);
\draw[->, >=stealth, line width = 1pt] (O) -- (0,1);

% Cercles
\draw[name path=C] (O) circle (1cm);
\draw[color=black!70, dashed] (A) -- (B);
\draw[color=black!70, name path=C1] (I) circle (0.7071cm);

% Droite (BM)
\draw[blue, shorten >=-1cm,shorten <=-2cm, name path=BM] (B) -- (M);

% Déduction de H
\path [name intersections={of = C1 and BM, by={H}}];

% Tracé de la droite (AH)
\draw[rougechelou, shorten >=-2.25cm,shorten <=-1.75cm, name path=AH] (H) -- (A);

% Déduction de M'
\path [name intersections={of = C and AH, by={Mprime}}];

% Etiquettes
\draw (O) node[below left]{$O$};
\draw (A) node[below right]{$A$};
\draw (B) node[above left]{$B$};
\draw[color=black!70] (H)node{$\bullet$} node[above left]{$H$};
\draw[blue] (M) node{$\bullet$} node[above left]{$M$};
\draw[rougechelou] (Mprime) node{$\bullet$} node[above right]{$M'$};

% Marquage
\draw[gray] ($(H)!5pt!(M)$) --  ($($(H)!5pt!(M)$)!5pt!90:(M)$) -- ($(H)!-5pt!(A)$);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item\label{quest:quest3aexo2spe} Soit $P \in (C)\:/\:A$. On trace la droite $(AM') = (AP)$. La droite  perpendiculaire à $(AM') = (AP)$ passant par $B$ est l'ensemble $E$ cherché.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5, extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1}, extended line/.default=3cm]
% Quadrillage
\draw [thin, color = gray!40] (-3,-2) grid[step=0.5] (3,3);
\draw [color=gray!60] (-3,-2) grid[step=1] (3,3);

% Angle pour cercle
\def\angle{145};

% Coordonnées des points
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (P) at ({cos(\angle)},{sin(\angle)});
\coordinate (A) at (1,0);
\coordinate (B) at (0,1);

% Axes
\draw[line width = 0.5pt] (-3,0) -- (3,0);
\draw[line width = 0.5pt] (0,-2) -- (0,3);
\draw[->, >=stealth, line width = 1pt] (O) -- (1,0);
\draw[->, >=stealth, line width = 1pt] (O) -- (0,1);

% Cercle C
\draw[name path=C] (O) circle (1cm);

% Droite (AP)
\draw[shorten >=-1cm,shorten <=-2cm, name path=AP] (A) -- (P);

% Construction de la perpendiculaire à (AP) passant par B
\path [extended line, name path=PERP] ($(P)!(B)!(A)!-2cm!(B)$) -- ($(P)!(B)!(A)$);
\draw[blue, line width=1pt, extended line] ($(P)!(B)!(A)$) -- (B);

% Etiquettes
\draw (O) node[below left]{$O$};
\draw (A) node[above right]{$A$};
\draw (B) node[above left]{$B$};
\draw (P) node{$\bullet$} node[below left]{$P=M'$};

% Marquage
\path [name intersections={of = AP and PERP, by={L}}];
\draw[gray] ($(L)!-5pt!(A)$) -- ($($(L)!-5pt!(A)$)!5pt!90:(A)$) -- ($(L)!5pt!(B)$);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Résolvons dans $\C$ l'équation $z^3 = 1$. Notons $\omega_k$ les solutions de cette équation. Par théorème:
\begin{displaymath}
\exists k \in [\![0\:;\:2]\!],\:\omega_k = \text{e}^{\text{i}\frac{2k\pi}{3}} \Longleftrightarrow \exists k \in [\![0\:;\:2]\!],\:\omega_k = \left(\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\right)^k
\end{displaymath}
Ainsi, les solutions de cette équation s'écrivent:
\begin{itemize}
\item $\omega_0 = \left(\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\right)^0 = 1$.
\item $\omega_1 = \left(\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\right)^1 = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} = j$.
\item $\omega_2 = \left(\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\right)^2 = \text{e}^{\text{i}\frac{4\pi}{3}} = j^2$
\end{itemize}
Finalement \ovalbox{$\mathbb{U}_3 = \Big\{1\:;\:j\:;\:j^2\Big\}$}.

\item L'équation proposée se réécrit:
\begin{displaymath}
\left(\dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}\right)^3 = 1 \Longleftrightarrow z'^3 = 1
\end{displaymath}
D'après ce qui précède, on a 3 solutions pour $z'$:
\begin{itemize}
\item Pour $z' = 1$, alors $M' = A$ et $M \in (D)\:/\:B$ (voir \renvoi{quest:quest2cexo2spe}).
\item Pour $z' = j$, $M' \in (C)$, on déduit l'ensemble des points $M$ associés grâce à la question \renvoi{quest:quest3aexo2spe}.
\item De même, pour $z' = j^2$, $M' \in (C)$ et la construction géométrique présentée en question \renvoi{quest:quest3aexo2spe} permet d'obtenir l'ensemble des points $M$.
\end{itemize}

On déduit l'ensemble $F$ cherché, en bleu sur la représentation ci-contre. Il s'agit de la réunion des 3 droites ainsi construites.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2.2, extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1}, extended line/.default=3cm]
% Quadrillage
\draw [thin, color = gray!40] (-3,-2) grid[step=0.5] (3,3);
\draw [color=gray!60] (-3,-2) grid[step=1] (3,3);

% Angle pour cercle
\def\anglea{120};
\def\angleb{240};

% Coordonnées des points
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (P1) at ({cos(\anglea)},{sin(\anglea)});
\coordinate (P2) at ({cos(\angleb)},{sin(\angleb)});
\coordinate (A) at (1,0);
\coordinate (B) at (0,1);

% Axes
\draw[line width = 0.5pt] (-3,0) -- (3,0);
\draw[line width = 0.5pt] (0,-2) -- (0,3);
\draw[->, >=stealth, line width = 1pt] (O) -- (1,0);
\draw[->, >=stealth, line width = 1pt] (O) -- (0,1);

% Cercle C
\draw[name path=C] (O) circle (1cm);

% Droite (AP)
\draw[shorten >=-1cm,shorten <=-2cm, name path=AP1] (A) -- (P1);
\draw[shorten >=-1cm,shorten <=-2cm, name path=AP2] (A) -- (P2);

% Construction de la perpendiculaire à (AP1) et (AP2) passant par B
\path [extended line, name path=PERP1] ($(P1)!(B)!(A)!-2cm!(B)$) -- ($(P1)!(B)!(A)$);
\path [extended line, name path=PERP2] ($(P2)!(B)!(A)!-2cm!(B)$) -- ($(P2)!(B)!(A)$);
\draw[blue, line width=1pt, shorten >=-5cm,shorten <=-6.5cm] ($(P1)!(B)!(A)$) -- (B);
\draw[blue, line width=1pt, shorten >=-5cm,shorten <=-4.5cm] ($(P2)!(B)!(A)$) -- (B);
\draw[blue, line width=1pt] (-3,1) -- (3,1);

% Etiquettes
\draw (O) node[below left]{$O$};
\draw (A) node[above right]{$A$};
\draw (B) node[above left]{$B$};
\draw (P1) node{$\bullet$} node[left=4pt]{$M'(j)$};
\draw (P2) node{$\bullet$} node[below=4pt]{$M'(j^2)$};

% Marquage
\path [name intersections={of = AP1 and PERP1, by={L1}}];
\draw[gray] ($(L1)!-3pt!(A)$) -- ($($(L1)!-3pt!(A)$)!3pt!-90:(A)$) -- ($(L1)!-3pt!(B)$);
\path [name intersections={of = AP2 and PERP2, by={L2}}];
\draw[gray] ($(L2)!-3pt!(A)$) -- ($($(L2)!-3pt!(A)$)!3pt!-90:(A)$) -- ($(L2)!-3pt!(B)$);
\filldraw[draw=blue, fill=white] (B) circle(1pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exo}

\newpage
%%% PROBLEME %%%
\begin{probleme}[]{Enseignement obligatoire et de spécialité}
On considère la fonction $f$ définie sur $I = [0\:;\:+\infty[$ par:
\begin{displaymath}
f(x) = \dfrac{\text{e}^x-1}{x\text{e}^x+1}
\end{displaymath}

\begin{partie}[étude d'une fonction auxiliaire]
Soit la fonction $g$ définie sur $I$ par $g(x) = x + 2 - \text{e}^x$.

\begin{enumerate}
\item $g$ est dérivable sur $I$ en tant que somme de fonctions usuelles dérivables sur $I$. Ainsi:
\begin{displaymath}
\forall x \in I,\:g'(x) = 1 - \text{e}^x
\end{displaymath}
De plus, sur $I$, $x \geq 0$, donc, comme la fonction $x \mapsto \text{e}^x$ est strictement croissante sur $I$, alors:
\begin{displaymath}
x \geq 0 \Longleftrightarrow \text{e}^x \geq 1 \Longleftrightarrow g'(x) \leq 0
\end{displaymath}
On déduit donc que \ovalbox{$g$ est strictement décroissante sur $I$.}.

De plus, on peut écrire:
\begin{displaymath}
\forall x \in I,\:g(x) = x\left(1 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{\text{e}^x}{x}\right)
\end{displaymath}
$\dps \lim_{x \to +\infty}\dfrac{2}{x} = 0$ et, par croissance comparée $\dps \lim_{x \to +\infty}-\dfrac{\text{e}^x}{x} = -\infty$. 

Donc, par somme: $\dps \lim_{x \to +\infty}\left(1 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{\text{e}^x}{x}\right)= -\infty$. Finalement, par produit:
\begin{center}
\ovalbox{$\dps \lim_{x \to +\infty} x\left(1 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{\text{e}^x}{x}\right) = \dps \lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item\label{quest:quest2apartApb} On se place sur $I$. Raisonnons par étapes:
\begin{itemize}
\item $g$ est dérivable sur $I$ donc continue sur $I$.
\item $g$ est strictement décroissante sur $I$ (d'après la question précédente).
\item De plus, on a:
\begin{displaymath}
g(I) = g\big([0\:;\:+\infty[\big) = \Big]\dps\lim_{x\to + \infty}g(x)\:;\:g(0)\Big] = ]-\infty\:;\:1]
\end{displaymath}
Donc $0 \in g(I)$.
\item \textbf{Conclusion}: d'après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut donc conclure que l'équation \ovalbox{$g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $I$}.
\end{itemize}

\item\label{quest:quest2bpartApb} Par itérations successives, on trouve avec un pas de $0,01$: 
\begin{displaymath}
\left\lbrace\begin{array}{l}
g(1,14)\approx 0,013 > 0 \\
g(1,15)\approx -0,008 < 0
\end{array}\right.
\end{displaymath}
Donc \ovalbox{$1,14 < \alpha < 1,15$}.
\end{enumerate}

\item\label{quest:quest3partApb} Pour conclure sur le signe, il suffit de se servir de la stricte décroissance de $g$:
\begin{center}
\ovalbox{
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{itemize}
\itemindent=-13pt
\item $\forall x \in [0\:;\:\alpha],\:g(x) \geq 0$.
\item $\forall x \in [\alpha\:;\:+\infty[,\:g(x) \leq 0$.
\end{itemize}
\end{minipage}
}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}[étude de la fonction $f$ et tracé de la courbe $\mathscr{C}$]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Soit $x \in I$. $f$ est dérivable sur $I$ en tant que somme et quotient de fonctions usuelles dérivables sur $I$. Posons:
\begin{displaymath}
\left\lbrace\begin{array}{l}
t(x) = \text{e}^x - 1\\
p(x) = x\text{e}^x + 1
\end{array}\right.
\end{displaymath}

$t$ et $p$ sont dérivables sur $I$, donc:
\begin{displaymath}
\left\lbrace\begin{array}{l}
t'(x) = \text{e}^x\\
p'(x) = (x+1)\text{e}^x
\end{array}\right.
\end{displaymath}
Ainsi, d'après les formules de dérivation, il vient:
\begin{displaymath}
f'(x) = \dfrac{t'(x)p(x) - t(x)p'(x)}{\big(p(x)\big)^2} = \dfrac{\text{e}^x(x\text{e}^x + 1) - (\text{e}^x - 1)(x+1)\text{e}^x}{(x\text{e}^x + 1)^2}
\end{displaymath}
Ou encore, en mettant $\text{e}^x$ en facteur:
\begin{displaymath}
f'(x) = \dfrac{\text{e}^x(x\text{e}^x + 1 - x\text{e}^x - \text{e}^x + x + 1)}{(x\text{e}^x + 1)^2} = \dfrac{\text{e}^x(x + 2 - \text{e}^x)}{(x\text{e}^x + 1)^2}
\end{displaymath}
On en déduit donc: \ovalbox{$f'(x) = \dfrac{\text{e}^xg(x)}{(x\text{e}^x + 1)^2}$}.

\item\label{quest:quest1bpartBpb} On a clairement $\forall x \in I,\:\text{e}^x > 0$ et $(x\text{e}^x + 1)^2 > 0$. Donc le signe de $f'(x)$ ne dépend que du signe de $g(x)$. D'après la question \renvoi{quest:quest3partApb}, on connaît le signe de $g$ par rapport à $\alpha$. On peut donc écrire:
\begin{center}
\ovalbox{
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{itemize}
\itemindent=-13pt
\item $f$ est croissante sur $[0\:;\:\alpha]$.
\item $f$ est décroissante sur $[\alpha\:;\:+\infty[$.
\end{itemize}
\end{minipage}
}
\end{center}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item\label{quest:quest2apartBpb} Soit $x \in I$. On a:
\begin{displaymath}
f(x) = \dfrac{\text{e}^x-1}{x\text{e}^x+1} = \dfrac{\text{e}^x\left(1-\dfrac{1}{\text{e}^x}\right)}{\text{e}^x\left(x+\dfrac{1}{\text{e}^x}\right)}
\end{displaymath}
Comme $\dfrac{1}{\text{e}^x} = \text{e}^{-x}$, on déduit: \ovalbox{$f(x) = \dfrac{1 - \text{e}^{-x}}{x+\text{e}^{-x}}$}.

\item\label{quest:quest2bpartBpb} On a $\dps \lim_{x \to +\infty}\text{e}^{-x} = 0$, donc par somme:
\begin{displaymath}
\dps \lim_{x \to +\infty}1 - \text{e}^{-x} = 1 \hspace{20pt} \text{ et } \hspace{20pt} \dps \lim_{x \to +\infty}x + \text{e}^{-x} = +\infty
\end{displaymath}
Donc, par quotient: \ovalbox{$\dps \lim_{x \to +\infty}f(x) = 0$}.

$f$ admet donc \ovalbox{l'axe des abscisses comme asymptote horizontale} en $+\infty$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item D'après la question \renvoi{quest:quest2apartApb}, $g(\alpha) = 0$, autrement dit:
\begin{displaymath}
\alpha + 2 - \text{e}^{\alpha} = 0 \Longleftrightarrow \text{e}^{\alpha} = \alpha + 2
\end{displaymath}
De plus:
\begin{displaymath}
f(\alpha) = \dfrac{\text{e}^{\alpha} -1}{\alpha\text{e}^{\alpha} +1}  = \dfrac{\alpha + 2 - 1}{\alpha(\alpha + 2) + 1}= \dfrac{\alpha + 1}{\alpha^2 +2\alpha + 1} = \dfrac{\alpha + 1}{(\alpha + 1)^2}
\end{displaymath}
Comme $\alpha \neq -1$, on peut donc simplifier par $\alpha +1$ et on obtient:
\begin{center}
\ovalbox{$f(\alpha) = \dfrac{1}{\alpha + 1}$}
\end{center}

\item D'après la question \renvoi{quest:quest2bpartApb}, on a:
\begin{displaymath}
1,14 < \alpha < 1,15 \Longleftrightarrow 2,14 < \alpha + 1 < 2,15 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2,15} < \dfrac{1}{\alpha + 1} < \dfrac{1}{2,14}
\end{displaymath}
D'où finalement \ovalbox{$0,46 < f(\alpha) < 0,47$}.
\end{enumerate}

\item Soit $x \in I$. $(T)$ est la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 0. Une équation de cette tangente s'écrit alors:
\begin{displaymath}
(T)\::\:y(x) = f'(0)(x - 0) + f(0)
\end{displaymath}
Or $f'(0) = \dfrac{\text{e}^0g(0)}{(0\times\text{e}^0+1)^2} = \dfrac{1}{1^2} =1$ et $f(0) = \dfrac{\text{e}^0-1}{0\times\text{e}^0+1} = 0$. D'où:
\begin{center}
\ovalbox{$(T)\::\:y(x) = x$}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item\label{quest:quest5apartBpb} Soit $x \in I$. On a:
\begin{displaymath}
f(x) - x = \dfrac{\text{e}^x-1}{x\text{e}^x+1} - x = \dfrac{\text{e}^x-1}{x\text{e}^x+1} - \dfrac{x^2\text{e}^x+x}{x\text{e}^x+1} = \dfrac{\text{e}^x-1 - x^2\text{e}^x - x}{x\text{e}^x+1}
\end{displaymath}
L'astuce est d'ajouter et de soustraire la quantité $x\text{e}^x$:
\begin{align*}
f(x) - x &= \dfrac{x\text{e}^x - x\text{e}^x + \text{e}^x-1 - x^2\text{e}^x - x }{x\text{e}^x+1} \\
&=\dfrac{x(\text{e}^x - x\text{e}^x - 1) + \text{e}^x-1 - x\text{e}^x}{x\text{e}^x+1} \\
&= \dfrac{(x+1)(\text{e}^x - x\text{e}^x - 1)}{x\text{e}^x+1}
\end{align*}
D'où \ovalbox{$f(x) - x = \dfrac{(x+1)u(x)}{x\text{e}^x+1}$} avec $u(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x - 1$.

\item Soit $x \in I$. Réécrivons $u(x)$:
\begin{displaymath}
u(x) = \text{e}^x(1 - x) - 1
\end{displaymath}
$u$ est dérivable sur $I$ en tant que somme et produit de fonctions usuelles dérivables sur $I$. Posons:
\begin{displaymath}
\left\lbrace\begin{array}{l}
h(x) = \text{e}^x\\
k(x) = 1-x
\end{array}\right.
\end{displaymath}

$h$ et $k$ sont dérivables sur $I$, donc:
\begin{displaymath}
\left\lbrace\begin{array}{l}
h'(x) = \text{e}^x\\
k'(x) = -1
\end{array}\right.
\end{displaymath}
Ainsi, d'après les formules de dérivation, il vient:
\begin{displaymath}
u'(x) = h'(x)k(x) + h(x)k'(x) - 0 = \text{e}^x(1 - x) - \text{e}^x = \text{e}^x(1-x-1)
\end{displaymath}
D'où $\forall x \in I,\:u'(x) = -x\text{e}^x$. Comme $x \geq 0$, on déduit aisément que $u'(x) \leq 0$ sur $I$.

Ainsi, \ovalbox{$u$ est décroissante sur $I$}. De plus, on remarque que:
\begin{displaymath}
u(0) = \text{e}^0(1 - 0) - 1 = 1\times 1 - 1 = 1 - 1 = 0
\end{displaymath}
Comme $u$ est décroissante sur $I$, on déduit que \ovalbox{$u(x) \leq 0$ sur $I$}.

\item De l'expression obtenue en question \renvoi{quest:quest5apartBpb}, on peut déduire que le signe ne dépend que de celui de $u$ puisque $x\in I$ et que nécessairement:
\begin{displaymath}
x+1 > 0 \hspace{30pt} \text{et} \hspace{30pt} x\text{e}^x+1 > 0
\end{displaymath}
Or, d'après ce qui précède, $\forall x \in I,\:u(x) \leq 0$, donc $f(x) - x \leq 0$ pour tout $x$ élément de $I$. Autrement dit:
\begin{displaymath}
\forall x \in I,\:f(x) \leq x
\end{displaymath}
De cette inégalité, on déduit que \ovalbox{$\mathscr{C}$ est en-dessous de $(T)$}.
\end{enumerate}

\item Pour construire la courbe représentative de $f$, exploitons les résultats obtenus:
\begin{itemize}
\item $f'$ s'annule en $\alpha$. Donc $\mathscr{C}$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $\alpha$.
\item En $x = 0$, on trace la tangente d'équation $y = x$.
\end{itemize}

On obtient donc la courbe ci-contre.

\newpage
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale = 2]
\draw [thin, color = gray!40] (-1,-1) grid[step=0.5] (5,1.5);
\draw [color=gray!60] (-1,-1) grid[step=1] (5,1.5);
\draw [ultra thin,color = gray!20] (-1,-1) grid[step=0.1] (5,1.5);

\draw[line width = 0.5pt] (-1,0) -- (5,0);
\draw[line width = 0.5pt] (0,-1) -- (0,1.5);
\draw (0,0) node[rougechelou]{$\bullet$} node[below left]{$O$};
\draw[->,>=latex,line width = 1pt] (0,0) -- (1,0) node[midway, below]{$\vv{u}$};
\draw[->,>=latex,line width = 1pt] (0,0) -- (0,1) node[left]{$\vv{v}$};

\foreach \x in {1,2,3,4} {\draw (\x,-0.04)node[below]{$\x$} -- (\x,0.04);}
\foreach \y in {-1,1} {\draw (-0.04,\y) -- (0.04,\y);}

\draw[variable=\x,color = blue, line width=0.8pt,smooth, domain=0:4.9, samples=2000] plot (\x,{(exp(\x)-1)/(\x*exp(\x)+1)});

\draw[dashed, rougechelou] (1.1462,0) node[below]{$\alpha$} -- (1.1462,0.4659) -- (0,0.4659)node[left]{$f(\alpha)$};

\draw[<->,>=stealth,rougechelou] (0.8962,0.4659) -- (1.3962,0.4659);
\draw[rougechelou] (1.1462,0.4659) node{$\bullet$};

\draw[rougechelou] (0,0) -- (1.5,1.5);

\draw[blue] (3.17,0.38) node[above right]{$\mathscr{C}$};
\draw[rougechelou] (1,1) node[above left]{$(T)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{partie}

\begin{partie}[calcul d'aire et étude d'une suite]
\begin{enumerate}
\item $f$ est continue sur $I$, donc $f$ admet bien des primitives sur $I$. D'après la question \renvoi{quest:quest2apartBpb}, on a:
\begin{displaymath}
\forall x \in I,\:f(x) = \dfrac{1 - \text{e}^{-x}}{x + \text{e}^{-x}}
\end{displaymath}
On pose $v(x) = x + \text{e}^{-x}$. $v$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée vaut:
\begin{displaymath}
\forall x \in I,\:v'(x) = 1 - \text{e}^{-x}
\end{displaymath}
Ainsi, on peut écrire que $f = \dfrac{v'}{v}$. Comme $v(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$, alors une primitive $F$ de $f$ s'écrit:
\begin{displaymath}
\forall x \in I,\:F(x) = \ln{\big(v(x)\big)} \Longleftrightarrow \text{\ovalbox{$\forall x \in I,\:F(x) = \ln{(x + \text{e}^{-x})}$}}
\end{displaymath}

\item On représente en jaune l'aire $\mathscr{A}$ du domaine $\mathscr{D}$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale = 2]
\fill[yellow!40] (0,0) -- plot[domain=0:1] (\x,{(exp(\x)-1)/(\x*exp(\x)+1)}) -- (1,1) -- cycle;

\draw [thin, color = gray!40] (-1,-0.5) grid[step=0.5] (5,1.5);
\draw [color=gray!60] (-1,-0.5) grid[step=1] (5,1.5);
\draw [ultra thin,color = gray!20] (-1,-0.5) grid[step=0.1] (5,1.5);

\draw[line width = 0.5pt] (-1,0) -- (5,0);
\draw[line width = 0.5pt] (0,-0.5) -- (0,1.5);
\draw (0,0) node[rougechelou]{$\bullet$} node[below left]{$O$};
\draw[->,>=latex,line width = 1pt] (0,0) -- (1,0) node[midway, below]{$\vv{u}$};
\draw[->,>=latex,line width = 1pt] (0,0) -- (0,1) node[midway,left]{$\vv{v}$};

\foreach \x in {1,2,3,4} {\draw (\x,-0.04)node[below]{$\x$} -- (\x,0.04);}
\foreach \y in {1} {\draw (-0.04,\y) -- (0.04,\y);}

\draw[variable=\x,color = blue, line width=0.8pt,smooth, domain=0:4.9, samples=2000] plot (\x,{(exp(\x)-1)/(\x*exp(\x)+1)});

\draw[rougechelou] (0,0) -- (1.5,1.5);

\draw[blue] (3.17,0.38) node[above right]{$\mathscr{C}$};
\draw[rougechelou] (1,1) node[above left]{$(T)$};
\draw (0.85,0.65) node{$\mathscr{A}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
D'un point de vue mathématique, on peut écrire cette aire comme suit:
\begin{displaymath}
\mathscr{A} = \dps \int_0^1\big(y(x) - f(x)\big)\:\mathrm{d}t
\end{displaymath}
Par linéarité de l'intégrale, on déduit:
\begin{displaymath}
\mathscr{A} = \dps \int_0^1 y(x)\:\mathrm{d}t - \dps \int_0^1 f(x)\:\mathrm{d}t
\end{displaymath}
La droite $y(x) = x$ permet de calculer l'aire entre 0 et 1, qui vaut $\dfrac{1}{2}$, d'où:
\begin{displaymath}
\mathscr{A} = \dfrac{1}{2} - \dps \int_0^1 f(x)\:\mathrm{d}t
\end{displaymath}
Enfin, d'après le théorème fondamental du calcul intégral: 
\begin{displaymath}
\dps \int_0^1 f(x)\:\mathrm{d}t = F(1) - F(0)
\end{displaymath}
Ainsi:
\begin{displaymath}
\mathscr{A} = \dfrac{1}{2} - F(1) + F(0) = \dfrac{1}{2} - \ln{\left(1 + \text{e}^{-1}\right)} + \ln{(0+1)}
\end{displaymath}
D'où: $\mathscr{A} = \dfrac{1}{2} - \ln{\left(1 + \text{e}^{-1}\right)}$. Or, comme une unité graphique vaut 4 cm, l'aide en cm$^2$ vaut alors:
\begin{center}
\ovalbox{$\mathscr{A} = 16\left(\dfrac{1}{2}- \ln{\left(1 + \text{e}^{-1}\right)}\right)$ cm$^2$}
\end{center}
Au mm$^2$ près, on trouve \ovalbox{$\mathscr{A} = 2,99$ cm$^2$}.

\item Pour $n \in \N$, on pose: $v_n = \dps\int_n^{n+1}f(x)\:\mathrm{d}x$.
\begin{enumerate}
\item\label{quest:quest3apartCpb} Calculons:
\begin{itemize}
\item $v_0 = \dps\int_0^{1}f(x)\:\mathrm{d}x = F(1) - F(0) = \ln{\left(1 + \text{e}^{-1}\right)}$. D'où \ovalbox{$v_0 = 0,31$}.

\item $v_1 = \dps\int_1^{2}f(x)\:\mathrm{d}x = F(2) - F(1) = \ln{\left(2 + \text{e}^{-2}\right)} - \ln{\left(1 + \text{e}^{-1}\right)}$. 

D'où \ovalbox{$v_1 = 0,45$}.

\item $v_2 = \dps\int_2^{3}f(x)\:\mathrm{d}x = F(3) - F(2) = \ln{\left(3 + \text{e}^{-3}\right)} - \ln{\left(2 + \text{e}^{-2}\right)}$. 

D'où \ovalbox{$v_2 = 0,36$}.
\end{itemize}

\item D'après les résultats obtenus précédemment, on peut déduire que $f$ est positive sur l'intervalle $[0\:;\:+\infty[$. Comme $n \in \N$, $n \geq 0$ et $n+1 > n$, donc:
\begin{center}
\ovalbox{\begin{minipage}{0.9\linewidth}
\begin{center}
$v_n$ correspond à l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=n$ et $x = n+1$.
\end{center}
\end{minipage}}
\end{center}
On représente, en jaune, $v_2$, à titre d'exemple:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale = 2]
\fill[yellow!40] (2,0.40493) -- plot[domain=2:3] (\x,{(exp(\x)-1)/(\x*exp(\x)+1)}) -- (3,0) -- (2,0) -- cycle;

\draw [thin, color = gray!40] (-1,-0.5) grid[step=0.5] (5,1.5);
\draw [color=gray!60] (-1,-0.5) grid[step=1] (5,1.5);
\draw [ultra thin,color = gray!20] (-1,-0.5) grid[step=0.1] (5,1.5);

\draw[line width = 0.5pt] (-1,0) -- (5,0);
\draw[line width = 0.5pt] (0,-0.5) -- (0,1.5);
\draw (0,0) node[rougechelou]{$\bullet$} node[below left]{$O$};
\draw[->,>=latex,line width = 1pt] (0,0) -- (1,0) node[midway, below]{$\vv{u}$};
\draw[->,>=latex,line width = 1pt] (0,0) -- (0,1) node[midway,left]{$\vv{v}$};

\foreach \x in {1,2,3,4} {\draw (\x,-0.04)node[below]{$\x$} -- (\x,0.04);}
\foreach \y in {1} {\draw (-0.04,\y) -- (0.04,\y);}

\draw[variable=\x,color = blue, line width=0.8pt,smooth, domain=0:4.9, samples=2000] plot (\x,{(exp(\x)-1)/(\x*exp(\x)+1)});

\draw[rougechelou] (0,0) -- (1.5,1.5);

\draw[blue] (3.17,0.38) node[above right]{$\mathscr{C}$};
\draw[rougechelou] (1,1) node[above left]{$(T)$};
\draw (2.5,0.15) node{$v_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
 
\item Soit $n \geq 2$. Par définition de $v_n$, on peut écrire que:
\begin{displaymath}
n \leq x \leq n+1
\end{displaymath}
Or, d'après la question \renvoi{quest:quest2bpartApb}, on peut déduire que $2 > \alpha$. De plus, d'après \renvoi{quest:quest1bpartBpb}, comme $f$ est décroissante sur $[\alpha\:;\:+\infty[$, on déduit, pour $n \geq 2$:
\begin{displaymath}
f(n+1) \leq f(x) \leq f(n)
\end{displaymath}
Puis, comme $n < n+1$, on peut intégrer membre à membre:
\begin{displaymath}
\dps\int_n^{n+1}f(n+1)\:\mathrm{d}x \leq \dps\int_n^{n+1}f(x)\:\mathrm{d}x \leq \dps\int_n^{n+1}f(n)\:\mathrm{d}x
\end{displaymath}
$f(n)$ et $f(n+1)$ étant indépendants de $x$, on a donc:
\begin{displaymath}
f(n+1)\dps\int_n^{n+1}1\:\mathrm{d}x \leq \dps\int_n^{n+1}f(x)\:\mathrm{d}x \leq f(n)\dps\int_n^{n+1}1\:\mathrm{d}x
\end{displaymath}
De plus, aisément: $\dps\int_n^{n+1}1\:\mathrm{d}x = \big[x\big]_n^{n+1} = n+1-n = 1$. D'où:
\begin{center}
\ovalbox{$\forall n\geq 2,\:f(n+1) \leq \dps\int_n^{n+1}f(x)\:\mathrm{d}x \leq f(n)$}
\end{center}
Cette relation signifie que $f(n+1) \leq v_n \leq f(n)$. On peut donc déduire, au rang $n+1$:
\begin{displaymath}
f(n+2) \leq v_{n+1} \leq f(n+1)
\end{displaymath}
En associant ces deux inégalités, il vient:
\begin{displaymath}
f(n+2) \leq v_{n+1} \leq v_n \leq f(n)
\end{displaymath}
On retient en particulier que, pour $n \geq 2$, $v_{n+1} \leq v_n$, ce qui signifie que:
\begin{displaymath}
v_{n+1} - v_n \leq 0
\end{displaymath}
La suite $(v_n)$ est donc décroissante à partir du rang $n = 2$. De plus, d'après la question \renvoi{quest:quest3apartCpb}, on remarque que $v_2 \leq v_1$. Ainsi $v_{n+1} - v_n \leq 0$ est vérifiée pour $n = 1$.

\ovalbox{La suite $(v_n)$ est donc décroissante à partir du rang $n = 1$}.

\item On a $\dps\lim_{n \to +\infty} n = \dps\lim_{n \to +\infty} n+1 = +\infty$. De plus, d'après la question \renvoi{quest:quest2bpartBpb}:
\begin{displaymath}
\dps\lim_{X \to +\infty}f(X) = 0
\end{displaymath}
Ainsi, par composition: $\dps\lim_{n \to +\infty} f(n) = \dps\lim_{n \to +\infty} f(n+1) = 0$. 

D'après la question précédente, $f(n+1) \leq v_n \leq f(n)$, donc par théorème d'encadrement:
\begin{center}
\ovalbox{$\dps\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{probleme}

\vfill

\begin{center}
\Large{\textbf{Fin du corrigé}}
\end{center}
\end{document}