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\begin{document}
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\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{décembre 2002}}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  S Amérique du Sud~\decofourright\\décembre 2002}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%Dans le plan complexe, rapporté à  un repère orthonormé direct \Ouv{}~ on appelle A et B les points d'affixes respectives 2 et - 2. À  tout point $M$ d'affixe $z,~ z$ différent de 2, on associe le point $N$ d'affixe $\overline{z}$ et $M'$ d'affixe $z'$ tel que 

\[ z' = \dfrac{2z - 4}{\overline{z} - 2} \]

\begin{enumerate}
\item %Calculer $z'$ et $|z'|$ lorsque $z = 5$ puis lorsque $z = 1 + \text{i}$.
$\bullet~~$ Pour $z = 5$, \:$z' = \dfrac{6}{3} = 2$ ; $\left|z'\right| = 2$ ;

$\bullet~~$ Pour $z = 1 + \text{i}$, \:$z' = \dfrac{2 + 2\text{i} - 4}{1 - \text{i} - 2} = \dfrac{- 2 + 2\text{i}}{- 1 - \text{i}} = \dfrac{(- 2 + 2\text{i})(- 1 + \text{i})}{(- 1 - \text{i})(- 1 + \text{i})} = \dfrac{2 - 2 - 2\text{i} - 2\text{i}}{1 + 1} = - 2\text{i}$. Donc $\left|z'\right| = 2$.
\item  
	\begin{enumerate}
		 \item %Interpréter géométriquement $|z - 2|$ et  $|\overline{z} - 2|$.
On a $|z - 2| = \text{A}M$ et $\left|\overline{z} - 2\right| = \text{A}N$.
		\item %Montrer que, pour tout $z$ distinct de $2, ~|z'| = 2$. En déduire une information sur la position de $M'$.
De  $z' = \dfrac{2z - 4}{\overline{z} - 2}$, on déduit pour les modules que $|z'| = \left|\dfrac{2z - 4}{\overline{z} - 2} \right] = \dfrac{\left|2z - 4 \right|}{\left|\overline{z} - 2 \right|} = \dfrac{2|z - 2|}{\left|\overline{z} - 2 \right|} = \dfrac{2\text{A}M}{\text{A}N}$.

Or $M$ et $N$ sont les points d'affixes conjuguées et comme A appartient à l'axe des abscisses on a A$M$ = A$N$.

On a donc finalement $|z'| = 2$. Ce résultat montre que les points $M'$ appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z~ (z ­\neq 2)$ tels que $M'$ = B.
Si $z = x + \text{i}y$, alors $z' = - 2 \iff \dfrac{2z - 4}{\overline{z} - 2} = - 2 \iff \dfrac{2x + 2\text{i}y - 4}{ x - \text{i} - 2} = - 2 \iff 2x + 2\text{i}y - 4 = - 2( x - \text{i} - 2) \iff 4x - 8 = 0 \iff x = 2$. Comme $z \ne 2$, l'ensemble $\mathcal{E}$ est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ avec $y \ne 0$ autrement dit la droite d'équation $x = 3$ privée du point A.
\item %On note $Z_{\vect{\text{A}M}}$ et $Z_{\vect{\text{B}M'}}$, les affixes respectives des vecteurs $\vect{\text{A}M}$ et $\vect{\text{B}M'}$.

%Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A et n'appartenant pas  $\mathcal{E}$, le quotient  $\dfrac{Z_{\vect{\text{A}M}}}{Z_{\vect{\text{B}M'}}}$ est un nombre réel.
% Interpréter géométriquement ce résultat.
$\dfrac{Z_{\vect{\text{A}M}}}{Z_{\vect{\text{B}M'}}} = \dfrac{z - 2}{z' - (- 2)} = \dfrac{z - 2}{z' + 2} = \dfrac{z - 2}{\frac{2z - 4}{\overline{z} - 2} + 2} = $

$\dfrac{z - 2}{\frac{2z - 4 + 2(\overline{z} - 2)}{\overline{z} - 2}} =
 \dfrac{(z - 2)\left(\overline{z} - 2\right)}{2z - 4 + 2\overline{z} - 4} = 
\dfrac{(z - 2)\left(\overline{z} - \overline{2}\right)}{2(z + \overline{z}) - 8} = \dfrac{(z - 2)\overline{(z - 2)}}{2(z + \overline{z}) - 8}$.

Si $z = x + \text{i}y$, avec $z \ne 2$, alors $(z - 2)\overline{(z - 2)} = (x - 2)^2 + y^2 \in \R$ et $z + \overline{z} = 2x \in \R$, ce qui montre que $\dfrac{Z_{\vect{\text{A}M}}}{Z_{\vect{\text{B}M'}}} \in \R$.

Géométriquement si ce que quotient est un réel c'est que les termes complexes ont le même argument, c'est-à-dire que les droites (A$M$) et (B$M'$) sont parallèles. 
\item %Un point $M$ distinct de A, n'appartenant pas  $\mathcal{E}$, étant donné, proposer une méthode géométrique pour construire le point $M'$. On illustrera par une figure.
Le point $M'$ appartient au cercle de centre O de rayon et à la parallèle à (A$M$) contenant le point B. On peut construire pour la parallèle le symétrique de A autour du milieu de [B$M$].

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
\psdots(2,0)(-2,0)(2.8,1.4)(-1.2,1.6)%ABMM'
\uput[ul](2,0){A} \uput[ul](-2,0){B}\uput[dr](0,0){O}\uput[dr](2.8,1.4){$M$}
\uput[ul](-1.2,1.6){$M'$}
\psline(2,0)(2.8,1.4)\psline(-2,0)(-0.6,2.8)
\pscircle(0,0){2}

\end{pspicture}

\end{center}
 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidat ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%On considère la suite d'entiers définie par $a_n = 1 1 1 \ldots 1 1$ (l'écriture décimale de $a_n$ est composée de $n$ chiffres 1). On se propose de montrer que l'un, au moins, des termes de la suite est divisible par \np{2001}.

\begin{enumerate} 
\item %En écrivant $a_n$ sous la forme d'une somme de puissances de 10, montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_n = \dfrac{10^n - 1}{9}$.
On a $a_n = 10^0 + 10^1 + 10^2 + \cdots + 10^{n-1} = \dfrac{10^n - 1}{10 - 1} = \dfrac{10^n - 1}{9}$ (somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de raison 10).
\item %On considère la division euclidienne par \np{2001} : expliquer pourquoi parmi les \np{2002} premiers termes de la suite, il en existe deux, au moins, ayant le même reste.
Les restes sont des naturels inférieurs à 2001 : il n'existe que \np{2001} naturels différents inférieurs à  \np{2001}, donc parmi les \np{2002} premiers termes de la suite, il en existe deux, au moins, ayant le même reste.
%Soit $a_n$ et $a_p$ deux termes de la suite admettant le même reste $(n < p)$.
On a $a_n = \np{2001}q_n + r$ et $a_p = \np{2001}q_p + r$, d'où par différence :

$a_n - a_p = \np{2001}\left(q_n - q_p \right) + 0$. Le reste est nul ; $a_n - a_p$ est multiple de \np{2001}.
%Quel est le reste de la division euclidienne de $a_p - a_n$ par \np{2001} ?
\item %Soit $k$ et $m$ deux entiers strictement positifs vérifiant $k < m$.
$a_m - a_k = \dfrac{10^m - 1}{9} - \dfrac{10^k - 1}{9} = \dfrac{10^m - 10^k}{9} = 10^k\left(\dfrac{10^{m-k} - 1}{9} \right) = 10^k \times a_{m-k}$.
%Démontrer l'égalité $a_m - a_k = a_{m - k} \times 10^k$.

\item %Calculer le PGCD de \np{2001} et de 10.
$10 = 2\times 5$ ; comme 2 et 5 ne divisent pas \np{2001}, \np{2001} et 10 sont premiers entre eux. leur PGCD est égal à 1.

%Montrer que si \np{2001} divise $a_m - a_k$, alors \np{2001} divise $a_{m - k}$.
On a vu que $a_m - a_k = 10^k \times a_{m-k}$.

Donc si \np{2001} divise $a_m - a_k$, il divise $10^k \times a_{m-k}$. Comme \np{2001} est premier avec $10^k = (2\times 5)^k$, il divise donc d'après Gauss, $a_{m - k}$
\item %Démontrer alors que l'un, au moins, des termes de la suite est divisible par \np{2001}.
On a vu à la question 2 que parmi les \np{2002} premiers termes de la suite $\left(a_n\right)$ il en existe deux $a_m$ et  $a_k$ qui ont même reste dans la division par \np{2001} et leur différence est divisible par \np{2001}.

Donc d'après la question précédente le terme $a_{m-k}$ est divisible par \np{2001}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Une urne A contient une boule rouge et trois boules vertes. 
%
%Une urne B contient deux boules rouges et deux boules noires. 
%
%Les boules sont indiscernables au toucher.

\begin{enumerate} 
\item %On dispose d'un dé à   6 faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. On le lance une fois ; si l'on obtient un multiple de 3, on tire au hasard une boule de l'urne A, sinon on tire au hasard une boule de l'urne B.
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer la probabilité d'obtenir une boule noire.
Il y a deux nombres multiple de 3 : 3 et 6.

Si $A$ est l'évènement : \og on tire une boule dans l'urne A \fg, on a 

$p(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. Donc $p\left(\overline{A}\right) = \dfrac{2}{3}$.

Pour tirer une boule noire, il faut tirer dans l'urne B, donc que l'évènement $A$ ne soit pas réalisé.

La probabilité de tirer une boule noire est donc $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}$.
		\item %Quelle est la couleur qui a la plus grande probabilité de sortir ?
Soit $R$ l'évènement : \og on tire une boule rouge \fg.

On peut dresser un arbre pondéré des probabilités :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$}\naput{$\frac{1}{3}$}}
	{\TR{$R$}\naput{$\frac{1}{4}$}
	\TR{$\overline{R}$}\nbput{$\frac{3}{4}$}	
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$}\nbput{$\frac{2}{3}$}}
	{\TR{$R$}\naput{$\frac{1}{2}$}
	\TR{$\overline{R}$}\nbput{$\frac{1}{2}$}	
	}
}
\end{center}

$\bullet~~$La probabilité de tirer une rouge est égale :

$\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{5}{12}$.
		\item %Quelle est la probabilité que la boule tirée provienne de l'urne B sachant qu'elle est rouge ?
		Il faut trouver :
		
		$p_{R}\left(\overline{A} \right) = \dfrac{p\left(R \cap \overline{A}\right)}{p(R)} = \dfrac{\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}}{\frac{5}{12}} = \dfrac{1}{3} \times \frac{12}{5} = \dfrac{4}{5}$. 
	\end{enumerate}
\item %On réunit toutes les boules dans une seule urne et on tire successivement trois boules que l'on pose  chaque fois devant l'urne.
	\begin{enumerate}
		 \item %Montrer que la probabilité de l'évènement \og la $3^{\text{e}}$ boule tirée est noire \fg{} vaut $\dfrac{1}{4}$.
On a donc 3 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules noires.

Soit $N$ l'évènement : \og la boule tirée est noire \fg.

On peut construire un arbre pour les trois tirages successifs :

\bigskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{%
	\pstree{\Tr{$N$}\naput{$\frac{2}{8}$}}
	{
		\pstree{\Tr{$N$}\naput{$\frac{1}{7}$}}
			{ 
			\Tr{$\overline{N}$\naput{1}}
			}
		\pstree{\Tr{$\overline{N}$}\nbput{$\frac{6}{7}$}}
			{\Tr{$N$}\naput{$\frac{1}{6}$} 
			\Tr{$\overline{N}$}\nbput{$\frac{5}{6}$}
			}
	}
\pstree{\Tr{$\overline{N}$}\nbput{$\frac{6}{8}$}}
	{
		\pstree{\Tr{$N$}\naput{$\frac{2}{7}$}}
		{\Tr{$N$}\naput{$\frac{1}{6}$} 
		\Tr{$\overline{N}$}\nbput{$\frac{5}{6}$}
		}
		\pstree{\Tr{$\overline{N}$}\nbput{$\frac{5}{7}$}}
		{\Tr{$N$}\naput{$\frac{2}{6}$} 
		\Tr{$\overline{N}$}\nbput{$\frac{4}{6}$}
		}
}
}
\end{center}

\bigskip

La probabilité de tirer une troisième boule noire est donc égale à la somme :

$\dfrac{2}{8}\times \dfrac{6}{7}\times \dfrac{1}{6} + \dfrac{6}{8}\times \dfrac{2}{7}\times \dfrac{1}{6} + \dfrac{6}{8}\times \dfrac{5}{7}\times \dfrac{2}{6} = \dfrac{12 + 12 + 60}{8 \times 7 \times 6} = \dfrac{84}{8 \times 7 \times 6} = \dfrac{12}{48} = \dfrac{1}{4}$.
 
		\item %Certains pensent que l'évènement \og la première boule tirée est noire \fg{} a une probabilité supérieure à l'évènement \og la troisième boule tirée est noire \fg. Est-ce vrai ? Justifier.
La probabilité de tirer une première boule noire est $\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$. Les probabilités sont donc égales. La probabilité de tirer une noire en deuxième est aussi de 1/4 ! 
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{A. Étude d'une fonction auxiliaire.}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\boldmath\[g(x) = \text{e}^x(1 - x) + 1. \]\unboldmath

\begin{enumerate} 
\item %Étudier le sens de variation de $g$.
$g$ est dérivable sur $\R$ et :

$g'(x) = \text{e}^x(1 - x) - \text{e}^x = - x\text{e}^x$ qui est du signe $- x$ ; donc 

$\bullet~~$Sur $]- \infty~;~0[$, \: $g'(x) > 0$, donc $g$ est croissante ;

$\bullet~~$Sur $]0~;~+ \infty[$, \: $g'(x) < 0$, donc $g$ est décroissante.

$\bullet~~$$g'(0) = 0$ ; $g$ a donc un maximum en $0$ : $g(0) = 1 + 1 = 2$.
\item %Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle [1,27~;~1,28 ] ; on note $\alpha$ cette solution.
l'intervalle [1,27~;~1,28] est inclus dans $]0~;~+ \infty[$, donc $g$ est décroissante sur cet intervalle et 

$g(1,27) \approx 0,039$ et $g(1,28) \approx -0,007$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires $g$ étant continue sur l'intervalle s'annule une seule fois en $\alpha \in [1,27~;~1,28]$. Donc $g(\alpha) = 0$.
\item %Déterminer le signe de $g(x)$ sur $]- \infty~;~0[$.
On a $g(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x + 1$.

On sair que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = 1$.

Donc $g$ est croissante de 1 à $g(0) = 2$ : $g$ est donc positive sur $]- \infty~;~0[$. 
%Justifier que $g(x) > 0$ sur $[0~;~\alpha[$ et $g(x) < 0$ sur $]\alpha~;~+ \infty[$.
D'après la question précédente $g(x) > 0$ sur $[0~;~\alpha[$ et $g(x) < 0$ sur $]\alpha~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{B. Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath 
définie sur \boldmath $\R$ \unboldmath par : \boldmath $ f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x + 1} + 2$.  \unboldmath}

\medskip

On désigne par $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} ; unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées.
\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ et interprter graphiquement ce résultat.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
On a $f(x) = \dfrac{1}{\frac{\text{e}^x}{x} + \frac{1}{x}} + 1$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x + 1 = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x + 1} = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
		\item %Démontrer que la droite (d) d'équation $y = x + 2$ est une asymptote pour $\mathcal{C}_f$.
Calculons $d(x) = f(x) - (x + 2) = \dfrac{x}{\text{e}^x + 1} + 2 - (x + 2) = \dfrac{x}{\text{e}^x + 1} - x = x \left[\dfrac{1}{\text{e}^x + 1} - 1\right] = \dfrac{x - x\text{e}^x - x}{\text{e}^x + 1} = \dfrac{- x\text{e}^x}{\text{e}^x + 1} = \dfrac{- x}{1 + \text{e}^{-x}}$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\dfrac{- x}{\text{e}^{-x}} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} d(x) = 0$, ce qui montre que la droite (d) dont une équation est $y = x + 2$ est asymptote à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de moins l'infini.

		\item %Étudier la position de $\mathcal{C}_f$  par rapport à (d).
On a vu que $d(x) = \dfrac{- x}{1 + \text{e}^{-x}}$. Pour $x < 0$, le numérateur et le dénominateur sont positifs, donc $d(x) > 0$, ce qui signifie que la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de son asymptote.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que la fonction dérivée de $f$ a même signe que la fonction $g$ étudiée dans la partie  \textbf{A)}.
Sur $\R$, $f$ est dérivable et :
		
		$f'(x) = \dfrac{\text{e}^x + 1 - x\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} = \dfrac{\text{e}^x(1 - x) + 1}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} = \dfrac{g(x)}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2}$.
		
Le dénominateur est supérieur à 1, donc supérieur à $0$ : le signe de $f'(x)$ est celui de $g$ vu dans la partie A.

On a donc $f'(x) > 0$ sur $]- \infty~;~\alpha[$ et $f'(x) < 0$ sur $]\alpha~;~+ \infty[$.
		\item %Montrer qu'il existe deux entiers $p$ et $q$ tels que $f(\alpha) =  p\alpha + q$.
On sait que $g(\alpha) = 0 \iff \text{e}^{\alpha}(1 - \alpha) + 1 = 0 \iff \text{e}^{\alpha}(1 - \alpha) = - 1 \iff \text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$.

Donc $f(\alpha) = \dfrac{\alpha}{\text{e}^{\alpha} + 1} + 2 = \dfrac{\alpha}{\dfrac{1}{\alpha - 1} + 1} + 2 = \dfrac{}{}\alpha(\alpha - 1)}{1 + \alpha - 1} + 2 = \alpha - 1 + 2 = \alpha + 1$.

Conclusion : $f(\alpha) =  p\alpha + q$, avec $p = 1$ et $q = 1$.
		\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
Des questions précédentes on déduit que $f$ est croissante sur $]- \infty~;~\alpha[$ de moins l'infini à $\alpha + 1$ et décroissante sur $]\alpha~;~+ \infty[$ de $\alpha + 1$ à 2.
	\end{enumerate}
\item ~%Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ dans le repère avec ses asymptotes et sa tangente au point d'abscisse $\alpha$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-3.1)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-3.1)(6,5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{6}{x 2.71828 x exp 1 add div 2 add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.05}{6}{x 2.71828 x exp  div}
\psline(-5,-3)(3,5)
\psline[linestyle=dashed](1.275,0)(1.275,2.275)(0,2.275)
\psline[linecolor=red]{<->}(0.27,2.275)(2.27,2.275)
\uput[d](1.275,0){$\alpha$}\uput[l](0,2.275){$\alpha + 1$}
\uput[u](4.8,2){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[dr](0,0){O}
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{6}{x 2.71828 x exp 1 add div 2 add}
\psline(5,2)(2,2)(2,2.265)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}

\textbf{C. Encadrements d'aires}

\medskip

%Pour tout entier naturel $n$, tel que $n \geqslant 2$, on note $\mathcal{D}_n$ l'ensemble des points $M (x~;~y)$ du plan , dont les coordonnées vérifient : $2 \leqslant x  \leqslant  n$ et $2 \leqslant  y \leqslant f(x)$ et on appelle $\mathcal{A}_n$ son aire, exprimée en unités d'aire.

\begin{enumerate} 
\item %Faire apparaître $\mathcal{D}_5$ sur la figure.
Voir plus haut.
\item %Démontrer que pour tout $x$, tel que $x \geqslant 2$, on a : 

%\[ \dfrac{7}{8}x\text{e}^{-x} \leqslant \dfrac{x}{\text{e}^x + 1} \leqslant x\text{e}^{-x}.\]
On a  $\text{e}^x + 1 > \text{e}^x \iff \dfrac{1}{\text{e}^x} > \dfrac{1}{\text{e}^x + 1 } \iff \dfrac{x}{\text{e}^x} > \dfrac{x}{\text{e}^x + 1 }$. 

D’autre part $x \geqslant 2 \Rightarrow \text{e}^x \geqslant \text{e}^2$

Or $\text{e}^2 \approx 7,38$, donc $x \geqslant 2 \Rightarrow  \text{e}^x \geqslant 7 \iff 8\text{e}^x \geqslant 7 + 7\text{e}^x \iff 8\text{e}^x \geqslant 7\left(1 +  \text{e}^x\right) \iff \dfrac{1}{\text{e}^x + 1} \geqslant \dfrac{7}{8\text{e}^x} \iff \dfrac{7}{8}x\text{e}^{-x} \leqslant \dfrac{x}{\text{e}^x + 1}$.

On a donc pour $x \geqslant 2$, \:\dfrac{7}{8}x\text{e}^{-x} \leqslant \dfrac{x}{\text{e}^x + 1} \leqslant x\text{e}^{-x}$.
\item %On pose $I_n = \displaystyle\int_2^n  x\text{e}^{-x}\:\text{d}x$.

%À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_n$ en fonction de $n$.
On pose $u(x) = x$ et $v’(x) = \text{e}^{-x}$, d’où :

$u’(x) = 1$ et $v(x) = - \text{e}^{-x}$.

Toutes ces fonctions étant continues car dérivables sur $\R$, on peut intégrer par parties :

$I_n = \left[- x \text{e}^{-x}\right]_2^n - \displaystyle\int_2^n  - \text{e}^{-x}\:\text{d}x = \left[- x \text{e}^{-x}\right]_2^n - \left[\text{e}^{-x} \right]_2^n =$

$ \left[- \text{e}^{-x}(x + 1) \right]_2^n = - (n + 1)\text{e}^{-n} +\text{e}^{-2}(2 + 1) = 3\text{e}^{-2} -  (n + 1)\text{e}^{-n}$.
\item %Écrire un encadrement de $\mathcal{A}_n$ en fonction de $I_n$.
On a $\mathcal{A}_n = \displaystyle\int_2^n \left[f(x) - 2\right]\:\text{d}x = \displaystyle\int_2^n \dfrac{x}{\text{e}^x + 1}\text{d}x$.

En utilisant l’encadrement de la question 2, on a :

$\displaystyle\int_2^n \dfrac{7}{8}x\text{e}^{-x} \;\text{d}x \leqslant \mathcal{A}_n \leqslant \displaystyle\int_2^n x\text{e}^{-x} \;\text{d}x $ soit :

$\dfrac{7}{8}I_n \leqslant \mathcal{A}_n \leqslant I_n$
\item %On admet que $\mathcal{A}_n$ a une limite lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
 
%Déterminer la limite de $I_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
$I_n =  3\text{e}^{-2} -  (n + 1)\text{e}^{-n}$.

On a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{n+1}{\text{e}^{n}} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_n = 3\text{e}^{-2}$.
%Que peut-on en déduire pour la limite de $\mathcal{A}_n$ 
%lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
On en déduit : 

$\dfrac{21}{8} \text{e}^{-2} \leqslant \displaystyle\lim_{n \to + \infty} \mathcal{A}_n \leqslant 3\text{e}^{-2}$.

%Donner une interprétation géométrique de ce dernier résultat.
\end{enumerate}
\end{document}