% LaTeX Document by Patrice Houlet
% 2013-07-04 CC BY SA License
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% suggested by Claudio Beccari on p. 10 of TeX and TUG News 1993 (Vol. 2, No. 3).
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pdftitle={Corrigé Bac ES Maths juin 2013 Métropole}, 
pdfauthor={Patrice Houlet},   
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\begin{document}

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\lhead{\small Corrigé du  baccalauréat ES}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small Métropole}
\cfoot{\small \thepage{}/\pageref{LastPage}}
\rfoot{\small juin 2013}
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\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du  baccalauréat ES Maths juin 2013 Métropole~\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : généralités}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après les données de l'énoncé, on a :
	\begin{enumerate}
		\item [$p_A(D)$] est la probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure (évènement $D$) sachant qu'il est produit par l'unité A (évènement $A$), avec $\boxed{p_A(D)=0,014}$.
		\item [$p_B(D)$] est la probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure (évènement $D$) sachant qu'il est produit par l'unité B (évènement $B$), avec $\boxed{p_B(D)=0,024}$.
	\end{enumerate}
\item Le nombre total de composants électriques fabriqués par l'usine est $900 + 600 = \np{1500}$ par jour. On en déduit
		\begin{align*}
			p(A)&=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}=
			\frac{600}{\np{1500}}=0,4\\
			\Aboxed{p(A)&=40\p}\\
			\intertext{et} 
			p(B)&=\frac{900}{\np{1500}}=0,6\\
			\Aboxed{p(B)&=60\p}
		\end{align*}

Arbre de probabilité traduisant la situation de l'énoncé.
	
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ 
		grow=right, 
		parent anchor=east,child anchor=west,
		level 1/.style={sibling distance=6em}, 
		level 2/.style={sibling distance=3em}, level distance=3cm,
		every node/.style={anchor=west},
		draw=blue!80
		]
\node[text width=5em, text centered] {Composant électrique} % root 
child { node {$B$} 
	child { node {$\overline{D}$} edge from parent node[below] {$0,976$}} 
	child { node {$D$} edge from parent node[above] {$0,024$}} 
	edge from parent node[below] {$0,6$}
}
child { node {$A$} 
	child { node {$\overline{D}$} edge from parent node[below] {$0,986$}} 
	child { node {$D\quad:\:p(A\cap D)=0,4\times0,014$} edge from parent node[above] {$0,014$}} 
	edge from parent node[above] {$0,4$}
};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item
	\begin{enumerate}
		\item De la lecture de l'arbre de probabilité, on en déduit
		\begin{align*}
			p(A\cap D)& = p(A)\times p_A(D)=0,4\times0,014 = \np{0,0056} \\			
			\Aboxed{p(A\cap D)& = 0,56\p} \\
			p(B\cap D)& = p(B)\times p_B(D)=0,6\times0,024 = \p{0,0144} \\
			\Aboxed{p(B\cap D)& = 1,44\p}
		\end{align*}
	
		\item D'après la formule des probabilités totales, on en déduit
		\begin{align*}
			p(D) 	&= p(A)\times p_A(D) + p(B)\times p_B(D) \\
					&= p(A\cap D) + p(B\cap D) \\
					&= \np{0,0056} + \np{0,0144} = 0,02 \\
	\Aboxed{p(D) 	&= 2\p}
		\end{align*}
	\end{enumerate}
\item On prélève dans la production totale un composant présentant un défaut de soudure, la probabilité que ce composant provienne de l'unité A est $p_D(A)$.
	\begin{align*}
		p_D(A) &= \frac{p(A\cap D)}{p(D)} = \frac{\np{0,0056}}{0,02}= 0,28 \\
		\Aboxed{p_D(A) &= 28\p}
	\end{align*}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : contrôle de qualité}

\medskip

La variable aléatoire $R$ qui, à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale $\mathscr{N}(200,5~;~3,5^2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité $p_1$ de l'évènement \og La résistance du composant est supérieure à 211 ohms\fg{} est 

\begin{align*}
	p_1&= P(R\geqslant211)= 1 - P(R \leqslant 211)= 1 - \np{0,9987} = \np{0,0013}\\
	\Aboxed{p_1& \approx 0,13\p}
\end{align*}

\item La probabilité $p_2$ de l'évènement \og La résistance du composant est comprise dans l'intervalle $[195~;~205]$ ohms\fg~est 
\begin{align*}
	p_2&= P(195\leqslant R\leqslant205)= P(R\leqslant205)-P(R\leqslant195) = \np{0,9007} - \np{0,0580} = \np{0,8427}\\
	\Aboxed{p_2&\approx 84,27\p}
\end{align*}
\item On effectue le prélèvement de trois composants dans la production de manière indépendante. La production journalière étant de \np{1500} composants, ce prélèvement de 3 composants peut être assimilé à un tirage avec remise.

Alors la variable aléatoire $X$, qui associe à ce prélèvement le nombre de composants acceptés, suit une loi binomiale $\mathscr{B}(3~;~0,84)$.

La probabilité $p$ qu'exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés est
\begin{align*}
	p&= P(X=2)= \dbinom{3}{2}0,84^2(1-0,84)^{3-2}= 3\times0,84^2\times0,16 = \np{0,338688} \\
	\Aboxed{p&\approx 33,87\p}
\end{align*}

\begin{moreinfo}
	\textbf{Remarque:} tous les résultats de cet exercice sont exacts et aucun arrondi n'est effectué.
\end{moreinfo}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumquest}
\item Au 1\up{er} septembre 2013, le capital de l'étudiant est le premier terme de la suite $\left(c_n\right)$, soit $c_0 = \np{2500}$. Au 1\up{er} octobre 2013, le capital de l'étudiant est $c_1$, et au 1\up{er} mars 2014, le capital de l'étudiant est $c_6$.

Si l'étudiant est à découvert au début du mois de mars 2014, cela signifie que $c_6<0$. La suite $(c_n)$ étant définie par récurrence, il faut calculer tous les termes jusqu'à $c_6$.
\begin{align*}
	c_{n+1} &= 1,002c_n - 425 \\
	c_1 &= 1,002c_0- 425 = 1,002 \times \np{2500} - 425 = \np{2080}\\
	c_2 &= 1,002c_1- 425 = 1,002 \times \np{2080} - 425 \approx \np{1659}\\
	c_3 &= 1,002c_2- 425 \approx \np{1237}\\
	c_4 &= 1,002c_3- 425 \approx 815\\
	c_5 &= 1,002c_4- 425 \approx 392\\
	\Aboxed{c_6 &= 1,002c_5 - 425 \approx - 33}
\end{align*}

Au 1\up{er} mars 2014, le solde du compte de l'étudiant est de $-33$€ : le compte est à découvert.

\fbox{La proposition est \textsc{Vraie}.}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $I=]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 2x + 1 - \ln x$.

Alors $f$ est dérivable sur $I$ et 
\begin{align*}
	f'(x) &= 2-\frac1{x}\\
	f''(x) &= -\left(-\frac1{x^2}\right)\\
	\Aboxed{f''(x) &=\frac1{x^2}}
\end{align*} 

On en déduit que $f''(x)>0$ sur $I$, donc $f$ est convexe sur $I$.

\fbox{La proposition est \textsc{Vraie}.}

\item Soit $F$ la fonction définie sur $I = ]0~;~+\infty[$ par $F(x) = x\ln x - 2x + 5$.
Soit $f$ la fonction définie sur 

$I = ]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 2\ln x$. 

Le logiciel de calcul formel donne 
\begin{align*}
	F'(x)&=2\ln x + \frac{2x}{x} \\
	F'(x)&=\ln x^2 \\
	\intertext{or $\ln x^2=2\ln x$, donc}
	F'(x)&=2\ln x \\
	\Aboxed{F'(x)&=f(x)}
\end{align*}
Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $I$.

\fbox{La proposition est \textsc{Vraie}.}

\item Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $\mu=0$ et d'écart-type $\sigma=0,6$, alors
\begin{equation*}
	P(- 0,6\leqslant X\leqslant0,6) = P(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant\mu+\sigma)\approx0,68
\end{equation*}
68\p des issues d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi de probabilité normale $\mathscr{B}(\mu~;~\sigma^2)$ sont dans l'intervalle $[\mu-\sigma~;~\mu+\sigma]$. 

\fbox{La proposition est \textsc{Vraie}.}

\begin{moreinfo}
C'est un résultat utile à connaître par cœur. On peut aussi retrouver ce résultat par le calcul avec une calculatrice par
	\begin{align*}
		P(- 0,6\leqslant X\leqslant0,6) & = P(X\leqslant0,6) - P(X\leqslant-0,6)\\
		&\approx 0,84 - 0,16\\
		&\approx0,68
	\end{align*}
\end{moreinfo}

\end{enumquest}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\textbf{Partie A : étude graphique}] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après le graphique, on observe que $B(x)>13$ pour $x \in[2,5~;~3,4]$. Donc pour obtenir un bénéfice supérieur à 13\,000~\euro, l'entreprise doit fabriquer entre \np{2500} et \np{3400} poulies par semaine, à cent poulies près.

\fbox{Le nombre de poulies doit varier dans l'intervalle $[\np{2500}~;~\np{3400}]$}. 

Voir les traits de construction sur le graphique.
\item D'après le graphique, la valeur maximum de $B(x)$ est $15,1$. Cette valeur est atteinte pour $x=3$.

Le \fbox{bénéfice maximum envisageable pour l'entreprise est \np{15100}~\euro} sur l'intervalle $[0~;~\np{3600}]$. 

Ce bénéfice maximum est atteint pour \fbox{$N = \np{3000}$ poulies fabriquées}.

Voir les traits de construction sur le graphique.

\bigskip
\hbox to \hsize{\hfil{  % used to center large pictures inside enumerate environment
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
	x=3.2cm, y=0.8cm,
	axis lines=middle,
	grid=both,
	major grid style={thick},
	xmin=-0.1,xmax=3.7,ymin=-1.5,ymax=15.8,
	xlabel=$x$, xlabel style={anchor=west},
	ylabel=$y$, ylabel style={anchor=south},
	major tick style={thick, black},
	minor x tick num=1, minor y tick num=1,
	after end axis/.code={\path (axis cs:0,0) 
		node [anchor=north east, yshift=-0.075cm] {0};}
	]

	% function (curve)
	\addplot[domain=0:3.6, samples=200, thick, blue, name path=curve] {-5+(4-x)*exp(x)} 
		node[above, yshift=2.4cm, fill=white] {$B(x)$};
	
	% maximum benefit
	\pgfmathsetmacro{\ym}{-5+(4-3)*exp(3)};
	\addplot [mark=*, mark size=2pt, blue] coordinates {(3,\ym)} 
		node[above, yshift=2pt, fill=white] {bénéfice maximum};
	\draw[dashed, thick, blue] (axis cs:0,\ym) -| (axis cs:3,0); 
	
	% y=13 line (y13)
    \draw [red, thick, name path=y13] (axis cs:0,13) -- (axis cs:3.6,13) 
    	node[above, midway, red, yshift=2pt, fill=white] 
    	{Bénéfice égal à $13\,000$\E};

	% intersections points of curve and y13
	\fill [red, opacity=0.5, name intersections={of=curve and y13}] 
		(intersection-1) circle (2pt) 
		(intersection-2) circle (2pt);

	% vertical lines for y>13
	\coordinate (i1) at (intersection-1);
	\coordinate (i2) at (intersection-2);
	\draw[dashed, thick, red] let \p1 = (i1), \p2 = (i2), \p3 = (axis cs: 0,0) in 
		coordinate (i10) at (\x1,\y3) 
		coordinate (i20) at (\x2,\y3) 
		(i1) -- (i10) (i2) -- (i20);
	
	% interval draw
	\fill[pattern=north east lines, pattern color=red] 
		let \p1 = (i10), \p2 = (i20), \p3 = (axis cs: 0,0.2) in
		(i10) -- (\x1,\y3) -- (\x2,\y3) -- (i20)
		node[above, xshift=-1.9cm, yshift=5cm, align=center, text width=3.2cm, color=red, fill=white] 
		{zone de bénéfice supérieur à $\np{13000}$\,\euro};
	
\end{axis}
\end{tikzpicture}
}\hfil}
\begin{center} \emph{Annexe 2 à rendre avec la copie} \end{center}
\bigskip
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude théorique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le bénéfice hebdomadaire exprimé en milliers d'euros est représenté par la fonction $B$ définie par $B(x)= - 5 + (4 - x)\e^x$ sur l'intervalle $I = [0~;~3,6]$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calcul de la fonction dérivée $B'$.
	
	On peut noter que $B$ est du type $k+uv$, avec $k=- 5$, $u(x) = 4 - x$, et $v(x) = \e^x$.
	\begin{align*} 
		B(x) 	&= -5 + (4 - x)\e^x \\
		B(x) 	&= k+uv \\
		B'(x) 	&= 0+ (u'v + uv') \\
		B'(x) 	&= 0+[(-1)\e^x + (4 - x)\e^x] \\
		B'(x) 	&= (-1 + 4 - x)\e^x \\
\Aboxed{B'(x) 	&= (3 - x)\e^x}
	\end{align*}
		\item  Étude du signe de $B'$ sur $I$.
	
$B'(x) = (3 - x)\e^x$ 
	
$\e^x$ est  positif quel que soit le réel $x$, donc $B'$ est du signe de $(3 - x)$.
	
$(3-x) > 0$ pour $x < 3$.
	
Donc $B'(x) > 0$ pour $x \in [0~;~3[$, $B'(x) = 0$ pour $x=3$, et $B'(x) < 0$ pour $x\in]3~;~3,6]$.
		\item Tableau de variation de la fonction $B$.
	
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,3)
\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.15,2.5){$0$} \uput[u](5.5,2.5){$3$} \uput[u](8.7,2.5){$3,6$}
\rput(1,2.25){$B'(x)$}\rput(3.75,2.25){+}\rput(5.5,2.25){$0$}\rput(6.75,2.25){$-$}
\rput(1,1){$B(x)$}\uput[u](2.4,0){$- 1$}\uput[d](5.5,2){15,1}\uput[u](8.6,0){$0,6$}
\psline{->}(2.5,0.5)(5,1.5)
\psline{->}(6,1.5)(8.5,0.5) 
\end{pspicture}
%		\begin{tikzpicture}
%			\tkzTabSetup[doubledistance = 2pt]
%			\tkzTabInit{$x$/1,$B'(x)$/1,$B(x)$/2}{$0$, $3$, $3\text{,}6$}
%			\tkzTabLine{,+,z,-}
%			\tkzTabV
%			
%		\end{tikzpicture}
		\end{center}

	\begin{align*} 
		B(0)&=-5+(4-0)\e^0	& B(3)&=-5+(4-3)\e^3 		& B(3,6)&=-5+(4-3,6)\e^{3,6}\\
		B(0)&=-5+4			& \Aboxed{B(3)&=-5+\e^3}	& \Aboxed{B(3,6)&=-5+0,4\e^{3,6}}\\
		\Aboxed{B(0)&=-1}	& B(3)&\approx15,1			& B(3,6)&\approx9,6
	\end{align*}
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $B$ est continue et strictement croissante sur $[0\,;3]$, avec 
	$B\left([0\,;3]\right)=[-1\,;15,1]$ et $13\in[-1\,;15,1]$, alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe une unique solution $x_1\in[0\,;3]$ tel que $B(x_1)=13$.
		
De la même façon, la fonction $B$ est continue et strictement décroissante sur $[3\,;3,6]$, avec $B\left([3~;~3,6]\right) = [9,6~;~15,1]$ et $13 \in [9,6~;~15,1]$, alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe une unique solution $x_2\in[3~;~3,6]$ tel que $B(x_2) = 13$.
		\item On peut déterminer un encadrement de $x_1$ et $x_2$ à l'aide de la fonction \textsc{Table} de la calculatrice.
	\begin{flalign*}
		&\text{Avec un pas de $0,1$:} & 2,4 < &x_1 < 2,5		&	3,3 < &x_2 < 3,4. \\
		&\text{Avec un pas de $0,01$:} & 2,45 < &x_1 < 2,46	&	3,39 < &x_2 < 3,40. \\
		&\text{Avec un pas de $0,001$:} & 2,455 < &x_1 < 2,456	&3,398 < &x_2 < 3,399. 
	\end{flalign*}
Les valeurs approchées à $0,01$ près sont $\boxed{x_1=2,46}$ et $\boxed{x_2=3,40}$.

	\begin{moreinfo}
		\textbf{Remarque:} le pas à $0,001$ est nécessaire afin de pouvoir déterminer laquelle des bornes inférieures ou supérieures les racines sont le plus proche à $0,01$ près.
	\end{moreinfo}

	\begin{moreinfo}		
		\textbf{Méthode plus rapide:} on peut utiliser la fonction \textsc{Solve} de la calculatrice pour obtenir directement les racines d'une équation.
		
Entrer l'équation $-5 + (4 - x)\e^x=13$ à l'invite du solveur d'équation.

Entrer l'intervalle auquel appartiennent les racines : 0 et $3,6$.
		
Entrer une valeur approchée de la première racine : $2,4$.
		
La calculatrice affiche alors $2,45598667826$.
		
Entrer une valeur approchée de la seconde racine : $3,4$.
		
La calculatrice affiche alors $3,3981971698$.
	\end{moreinfo}
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5points}

\textbf{Candidats de ES non spécialistes et candidats de L}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = \np{- 0,0032}x^3 + 0,06x^2 + 5$.

On modélise la dépense, exprimée en milliards d'euros, des ménages français en programmes audiovisuels au cours de l'année $1995 + n$ par $f(n)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a 
\begin{align*}
	f(5) &= \np{-0,0032}\times5^3 + 0,06 \times 5^2 + 5 = \np{- 0,0032} \times 125 + 0,06 \times 25 + 5 \\
	\Aboxed{f(5) &= 6,1}
\end{align*}

La dépense des ménages français en programmes audiovisuels en 2000 est de $6,1$ milliards d'euros.
\item Le pourcentage $p$ de l'erreur commise en remplaçant la donnée $D_5$ par la valeur modélisée $f(5)$ est
\begin{align*}
	p &= \frac{\text{valeur réelle}-\text{valeur estimée}}{\text{valeur réelle}}=\frac{6,3-6,1}{6,3}
		=\frac{0,2}{6,3} \\
	\Aboxed{p &= 3,2\p\quad\text{à $0,1\p$ près.}}
\end{align*}

Le taux d'erreur est inférieur à $5\p$, la modélisation par $f$ est acceptable.
\item L'estimation de la dépense totale en 2013 en utilisant la modélisation par $f$ est donnée par $f(18)$.
\begin{align*}
	f(18) &= -0,0032\times18^3+0,06\times18^2+5 \\
	\Aboxed{f(18) &\approx 5,78}
\end{align*}

La dépense totale estimée en 2013 est de $5,78$ milliards d'euros (arrondi au centième).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calcul d'une primitive $F$ de $f$ sur $[0\,;20]$.
	\begin{align*}
		f(x) &=-0,0032x^3+0,06x^2+5 \\
		F(x) &=-0,0032\frac{x^4}{4}+0,06\frac{x^3}{3}+5x \\
		\Aboxed{F(x) &= -0,0008x^4+0,02x^3+5x}
	\end{align*}
		\item La dépense moyenne des ménages entre le 1\up{er} janvier 1995 et le 1\up{er} janvier 2005 est exprimée par 
	\begin{align*}
		M &=\frac1{20}\int_0^{20}f(x)\dx =\frac1{20}\left[F(x)\right]_0^{20} 
			=\frac1{20}\left[F(20)-F(0)\right]  \\
		  &=\frac1{20}\left[\np{-0,0008}\times 20^4 + 0,02\times 20^3 + 5 \times 20\ -\ 0\right] 
			=\frac{132}{20}\\
		\Aboxed{M &= 6,6}
	\end{align*}

La dépense moyenne des ménages en 20 ans sur la période 1995--2005 est de $6,6$ milliards d'euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité en ES}

\medskip

\textbf{Partie A : étude du trajet}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Utilisons l’algorithme de Dijkstra pour calculer le trajet le plus court 
entre Aoste et Florence.

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\textwidth}{l *{7}{Y}}\toprule
\textbf{choix} & \textbf{à T} & \textbf{à M} & \textbf{à P} & \textbf{à LS} & \textbf{à G} 
& \textbf{à B} & \textbf{à F} \\\toprule 
	
A & 120A & 174 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ \\\midrule 
		
T(120A) & -- &  \sout{260} 174A & 366 & $\infty$ & 288 & $\infty$ & $\infty$ \\\midrule

M(174A) & -- &  -- & 300M & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ \\\midrule

P(300M) & -- &  -- & -- & 419 & $\infty$ & 398P & $\infty$ \\\midrule

B(398P) & -- &  -- & -- & -- & -- & -- & 502B \\\midrule

F(502B) & -- &  -- & -- & -- & -- & -- & -- \\\bottomrule 
\end{tabularx}
\end{center}

Par lecture de la première colonne de bas en haut, on détermine le chemin inverse F--B--P--M--A.

La chaîne la plus courte entre les sommets A et F est A--M--P--B--F et a pour longueur 502.

Le plus court trajet entre Aoste et Florence effectue l'itinéraire 

\begin{center}
	\fbox{Aoste, Milan, Parme, Bologne et Florence pour une distance de 502\,km.}
\end{center}

\begin{moreinfo}
		\textbf{Remarque:} à part pour les sommets de départ et arrivée, l'ordre des sommets dans le tableau n'a pas d'importance, donc chacun peut obtenir un tableau différent. Mais le résultat est le même.
	\end{moreinfo}
\item Un trajet en camion coûte en carburant $0,51$ euro au kilomètre. Donc quatre trajets aller-retour Aoste -- Florence coûtent $502\times0,51\times2\times4=2\,048$ euros.

\fbox{Le budget carburant est de 2\,048 euros} pour les quatre voyages aller-retour du mois.

Le montant de la prime versée en fin de mois est donc \fbox{$P=2\,200-2\,048=152$ euros}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B  : traversée de Parme}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La traversée de Parme est modélisée par deux états probabilistes \og Le feu est vert\fg{} $(V)$ et \og Le feu est rouge \fg~$(R)$, et les probabilités de transition de l'un vers l'autre de ces états. Cette situation est représentée par le graphe probabiliste suivant

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[->, >=stealth', node distance=6cm,
  thick,main node/.style={circle,fill=blue!15,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]

  \node[main node] (1) {V};
  \node[main node] (2) [right of=1] {R};

  \path[every node/.style={font=\sffamily\small}]
    (1) edge [bend left] node [above] {0,15} (2)
        edge [loop left] node[left] {0,85} (1)
    (2) edge [bend left] node [below] {0,30} (1)
        edge [loop right] node {0,70} (2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item La matrice de transition $M$ du graphe, en considérant les sommets dans l'ordre $(V, R)$, s'écrit 

\begin{equation*}
	\boxed{M = \begin{pmatrix} 0,85&0,15\\0,30&0,70 \end{pmatrix}}
\end{equation*}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le premier feu rencontré est vert, donc $P_1=\begin{pmatrix} 1&0 \end{pmatrix}$ et
	
	\begin{align*}
		P_2 &= P_1\times M= \begin{pmatrix} 1&0 \end{pmatrix} 
			\begin{pmatrix} 0,85&0,15\\0,30&0,70 \end{pmatrix} &\qquad 
			P_3 &= P_2\times M= \begin{pmatrix} 0,85&0,15 \end{pmatrix} 
			\begin{pmatrix} 0,85&0,15\\0,30&0,70 \end{pmatrix} \\
		\Aboxed{P_2 &= {\begin{pmatrix} 0,85&0,15 \end{pmatrix}}} &\qquad
			\Aboxed{P_3 &= {\begin{pmatrix} 0,7675&0,2325 \end{pmatrix}}} 
	\end{align*}
		\item La probabilité $p$ de l'évènement \og Le chauffeur doit s'arrêter au troisième feu\fg~est indiquée par l'élément de la deuxième colonne de $P_3$, soit \fbox{$p=23,25\p$}.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}