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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{mai 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Liban mai 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-3,-5.5)(7,6.5)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange,gridwidth=1.pt](0,0)(-3,-5)(7,6)
%%\pscurve(-0.6,-5)(0,-2.75)(0.5,-1)(1,0)(2,0.84)(3,1)(4,0.88)(5,0.68)(5.5,1)(6,4)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-5)(7,6)
%\psplot{-0.5}{2.5}{x 2 mul 2 sub}
%\psline{<->}(2.25,1)(3.75,1) \psline{<->}(4.25,0.6)(5.75,0.6)
%\psset{linewidth=1.5pt,linecolor=blue}
%\psbezier(-0.6,-5)(-.2,-3.5)(.5,-1)(1,0)
%\psbezier(1,0)(1.5,1)(2.5,1)(3,1)
%\psbezier(3,1)(3.8,1)(4.5,.6)(5,.6)
%\psbezier(5,.6)(5.5,.6)(5.7,1)(6,4)
%\uput[ul](1,0){A} \uput[dr](6,4){$C$} \uput[dr](2,3){T}
%\uput[d](6.9,0){$x$} \uput[l](0,5.9){$y$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%On considère la représentation graphique $C$ de la fonction $f$ définie et dérivable sur $]- \infty~;~6]$. La fonction dérivée de $f$ est notée $f'$. La droite T est la tangente à $C$ au point d'abscisse 1. On admet que la courbe $C$ est située sous cette tangente T sur $]-\infty~;~6]$. \par
%
%On répondra au QCM ci-après en s'appuyant sur les informations données par le graphique. \par
%
%\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification. Une bonne réponse apporte $0,5$ point, une mauvaise enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à $0$.}
%\newpage
%
%\textbf{COMPLÉTER LE DOCUMENT RÉPONSE EN ANNEXE.}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%\begin{tabular}{|p{7cm}|p{4,25cm}|}\hline
%Questions& \\ \hline
%\multirow{3}{6cm}{\textbf{1.} L'équation réduite de la tangente T à C au point A d'abscisse 1 est}&$\Box~$~~ $y = x - 1$\\ \cline{2-2}
%&$\Box~$~~$y=x - 2$\\ \cline{2-2}
%&$\Box~$~~$y = 2(x - 1)$\\ \hline
%\multirow{3}{6cm}{\textbf{2.} L'équation $f'(x) = 0$ admet}&$\Box~$~~1 solution\\ \cline{2-2}
%&$\Box~$~~2 solutions\\ \cline{2-2}
%&$\Box~$~~0 solution\\ \hline 
%\multirow{3}{6cm}{\textbf{3.} La limite de $f(x)$ en $-\infty$ est}&$\Box~$~~$-\infty$\\ \cline{2-2}
%&$\Box~$~~ $-5$\\ \cline{2-2}
%&$\Box~$~~$6$\\ \hline 
%\multirow{3}{6cm}{\textbf{4.} La fonction $\ln f$ est définie sur}&$\Box~$~~	$[- \infty~ ;~ 6]$\\ \cline{2-2}
%&$\Box~$~~]0~;~6]\\ \cline{2-2}
%&$\Box~$~~]1~;~6]\\ \hline 
%\multirow{3}{6cm}{\textbf{5.} La fonction $\ln f$ s'annule exactement}&$\Box~$~~1 fois\\ \cline{2-2}
%&$\Box~$~~ 2 fois\\ \cline{2-2}
%&$\Box~$~~ 0 fois\\ \hline 
%\end{tabular}
\begin{enumerate}
\item L'ordonnée à l'origine est égale à $- 2$ et le coefficient directeur à 2 : une équation de T est donc $y = 2(x - 1)$.
\item Il y deux tangentes horizontales en 3 et 5  qui correspondent à deux annulations du nombre dérivé : donc deux solutions.
\item On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) =  - \infty$.

On sait que $f(x) < 2x - 2$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 2x - 2 =  - \infty$.
\item La fonction $\ln f$ est définie quand $f(x) > 0$, soit quand $x > 1$. Réponse $]1~;~6]$.
\item On a $\ln f(x) = 0  \iff f(x) = 1$ : cette équation a deux solutions.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Dans cette partie du QCM, on appelle $g$ la fonction définie sur $]- \infty~;~6]$ par son expression $g(x) = \text{exp}[f(x)]$.
%
%\medskip
%
%\begin{tabular}{|p{7cm}|p{4,25cm}|}\hline
%Questions& \\ \hline
%\multirow{3}{6cm}{\textbf{6.} La fonction $g$ est strictement crois\-sante sur	}&$\Box~$~~$]-\infty~;~3]$\\ \cline{2-2}
%&$\Box~$~~] 1 ; 6]\\ \cline{2-2}
%&$\Box~$~~$]- \infty~ ;~6]$\\ \hline
%\multirow{3}{6cm}{\textbf{7.} $g'(1)$ est égal à}&$\Box~$~~2\\ \cline{2-2}
%&$\Box~$~~0\\ \cline{2-2}
%&$\Box~$~~2e\\ \hline
%\multirow{3}{6cm}{\textbf{8.} La fonction $g$ s'annule exactement}&$\Box~$~~1 fois\\ \cline{2-2}
%&$\Box~$~~ 2 fois\\ \cline{2-2}
%&$\Box~$~~ 0 fois\\ \hline
%\end{tabular}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{6.}] La fonction exponentielle est croissante, donc $g$ est croissante quand $f$ l'est aussi soit sur $]- \infty~;~3]$.
\item[\textbf{7.}]  On a $g'(x) = f'(x) \text{e}^{f(x)}$, donc $g'(1) = f'(1) \text{e}^{f(1)} = 2 \times \text{e}^0 = 2$.
\item[\textbf{8.}]  Une fonction exponentielle a des valeurs supérieures à zéro : la fonction $g$ ne s'annule pas.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes.}

\medskip

%Les places d'une salle de cinéma sont toutes occupées. Le film proposé est une rediffusion d'une comédie à grand succès. Dans cette salle, les hommes représentent 25\:\%
% des spectateurs, les femmes $\dfrac{2}{5}$ des spectateurs et les autres spectateurs sont des enfants.
% 
%$\dfrac{1}{5}$	des hommes et 30\,\%  des femmes ont déjà vu ce film au moins une fois. À la fin de la projection, on interroge au hasard une personne sortant de la salle.
%
%On appelle :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[]  $H$ l'évènement: \og la personne interrogée est un homme \fg
%\item[]  $F$ l'évènement: \og la personne interrogée est une femme \fg
%\item[]  $E$ l'évènement: \og la personne interrogée est un enfant \fg
%\item[]  $V$ l'évènement: \og la personne interrogée avait déjà vu le film avant cette projection \fg
%\item[]  $\overline{V}$ l'évènement: \og  la personne interrogée n'avait jamais vu le film avant cette projection \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%La notation $p(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$.
%
%La notation $p_{B}(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que $B$ est réalisé.
%
%\bigskip
   
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%À l'aide des notations ci-dessus, traduire la situation décrite en recopiant et en complétant l'arbre pondéré dont le départ est proposé ci-dessous. On prendra soin de le compléter au fur et à mesure.

\medskip

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$H$~}\taput{0,25}}
	{
	\TR{$V$}\taput{0,20}  
	\TR{$\overline{V}$}\tbput{0,80}
	}
\pstree{\TR{$F$~}\taput{0,40}}
	{
	\TR{$V$}\taput{0,3}  
	\TR{$\overline{V}$}\tbput{0,7}
	}
\pstree{\TR{$E$~}\tbput{0,35}}
	{
	\TR{$V$}  
	\TR{$\overline{V}$}
	}
}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement $H \cap V$.
$H \cap V$ désigne l'évènement : \og   la personne interrogée est un homme ayant déjà vu le film \fg.
		\item  %Donner $p_{H}(V)$ et en déduire $p(H \cap V)$.
$p_{H}(V) = 0,2$. Il en résulte que :

$p(H \cap V) = p(H) \times p_{H}(V) = 0,25 \times 0,2 = 0,05$.
	\end{enumerate}
\item  La probabilité que l'évènement $V$ soit réalisé est égale à $0,345$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $p\left(\overline{V}\right)$.
$p\left(\overline{V}\right) = 1 - p(V) = 1 - 0,345 = 0,655$.		
		\item %Déterminer la probabilité que si l'on interroge un enfant, il ait déjà vu ce film au moins une fois avant cette projection.
		D'après la loi des probabilités totales :
		
$p(V) = p(H \cap V) + p(F \cap V) + p(E \cap V)$.

Or $p(F \cap V) = p(F) \times p_F(V) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$.

Donc $p(V) = p(H \cap V) + p(F \cap V) + p(E \cap V) \iff $

$p(E \cap V) = p(V) - p(H \cap V) - p(F \cap V) = 0,345 - 0,05 - 0,12 = 0,175$.

Or $p_E(V) = \dfrac{E \cap V)}{p(E)} = \dfrac{0,175}{0,35} = 0,5.$
	\end{enumerate}
\item  %On interroge au hasard et successivement quatre personnes sortant de la salle. On suppose que le nombre de spectateurs est suffisamment grand pour assimiler l'interrogation au hasard d'un spectateur à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité arrondie à $10^{-3}$ près, qu'au moins une personne ait déjà vu le film avant cette projection ?
La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de personnes ayant déjà vu le film avant cette projection suit une loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0,435$.

La probabilité qu'aune des quatre personnes n'ait vu le film est égale à $(1 - 0,435)^4$, donc la probabilité demandée est égale à :

$1 - (1 - 0,435)^4 = 1 - 0,655^4 \approx \np{0,8159} \approx 0,816$ au millième près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%À la fin de l'année, une étude nationale a été réalisée sur le nombre de fois qu'un spectateur sortant de la salle est allé voir ce film. Le tableau ci-dessous, pour lequel il manque une valeur notée $q$ représente la loi de probabilité du nombre de fois que le spectateur est allé voir ce film.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Nombre de fois	&1		&2		&3		&4		&5 	&6\\ \hline
%probabilité		&0,55	&0,15	&0,15	&0,05	&$q$&0,05\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer $q$.
$q = 1 - (0,55	+ 1  + 0,15	+ 0,15	+ 0,05	+ 0,05) = 1 - 0,95 = 0,05$.
\item %En déduire l'espérance mathématique, arrondie à l'unité de cette loi de probabilité et interpréter le résultat obtenu.
On a $E = 1 \times 0,55 + 2\times 0,15 + 3 \times  0,15 + 4 \times  0,05 + 5 \times  0,05 + 6\times  0,05 =$

$ 0,55 + 0,3 + 0,45 + 0,2 +  0,25 +  0,3 = 1,95$ soit environ 2.

Cela signifie qu'en moyenne un spectateur sortant de la salle  a vu deux fois le film. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Une grande ville a créé un jardin pédagogique sur le thème de l'écologie, jardin qui doit être visité par la suite par la majorité des classes de cette ville.
%
%Ce jardin comporte six zones distinctes correspondant aux thèmes :
%
%\medskip
%
%\hspace{-0.5cm} \begin{tabular}{*{3}{l}}
%A. Eau&	B. économie d'énergies&	C. Plantations et cultures locales\\
%D. Développement durable& E. Biotechnologies& 		F. Contes d'ici (et d'ailleurs)\\
%\end{tabular}
%
%\medskip
%
%Ces zones sont reliées par des passages (portes) où sont proposés des questionnaires.
%
%Le jardin et les portes sont représentés par le graphe ci-dessous (chaque porte et donc chaque questionnaire est représenté par une arête).
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(8,6)
%\uput[d](2,0){C} \uput[l](0,2){B} \uput[l](0,4){A}
%\uput[dr](5,1){D} \uput[dr](8,2.5){E} \uput[r](6.5,5){F}
%\psline(0,4)(0,2)(6.5,5)(0,4)(5,1)(8,2.5)(0,2)(2,0)(5,1)%ABFADEBCD
%\psline(0,2)(5,1)%BD
%\psline(0,4)(2,0)%AC
%\end{pspicture}
%\end{center}
\emph{Question préliminaire :}

%Si un visiteur répond à tous les questionnaires, à combien de questionnaires aura-t-il répondu ?
Il y a 11 arêtes, donc 11 questionnaires.
\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner la matrice G associée à ce graphe.
En respectant l'ordre alphabétique on a :

$G =  \begin{pmatrix}
0&1&1&1&1&0\\
1&0&1&1&1&1\\
1&1&0&1&0&0\\
1&1&1&0&1&0\\
0&1&0&1&0&0\\
1&1&0&0&0&0\\
\end{pmatrix}$.

\item %Le graphe est-il complet ? Est-il connexe ? Justifier.
Il n'y a pas d'arête entre E et F : le graphe n'est pas complet. 
\item %Peut-on parcourir le jardin en répondant à tous les questionnaires et sans repasser deux fois devant le même questionnaire :
	\begin{enumerate}
		\item %en commençant la visite par n'importe quelle zone ?
Le graphe est connexe et seuls B et C ont des degrés impairs (5 et 3 respectivement) : il existe donc une chaîne eulérienne. On peut parcourir le jardin et répondre à tous les questionnaires en partant de n'importe quel sommet.
		\item %en commençant la visite par la zone C (plantations et cultures) ? Dans ce cas, si la réponse est positive, quelle sera la dernière zone visitée.
C est l'un des sommets d'ordre impair, donc la visite se terminera par l'autre sommet de degré impair soit B.
		
%(Dans les deux cas, \textbf{a} et \textbf{b}, justifiez votre réponse.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

%Pour illustrer chaque zone et présenter légendes et commentaires, les enfants ont décidé d'utiliser des supports de couleurs différentes.
%Pour limiter le nombre de couleurs, on utilise des couleurs différentes seulement si les zones sont limitrophes (avec un passage entre les deux).

%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Donner et justifier un encadrement du nombre chromatique de ce graphe.
Soit $\gamma$ le nombre chromatique de ce graphe ; le plus haut degré est égal à 5, donc $\gamma \leqslant 6$ ; de plus le sous-graphe \{A~;~B~;~C~;D\} est complet, donc $\gamma \geqslant 4$.

Conclusion : $4 \leqslant \gamma \leqslant 6$.
\item  %Déterminer alors en utilisant un algorithme adapté le nombre chromatique de ce graphe et proposer une répartition des couleurs.
En rangeant les sommets par degrés décroissants on peut donner :

la couleur rouge à B ;

la couleur bleue à A et E ;

la couleur jaune à D et F ;

la couleur verte à C.

On peut donc faire un coloriage à 4 couleurs : on a donc $\gamma = 4$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(7,4)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot{1}{4}{4 x sub x ln mul}
\psline(1,0)(4,0)}
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-1,-5)(7,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-5)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ul](1,0){A} \uput[ul](2,3){B}\uput[dl](0,0){O}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1,0)(2,3)
\psplot{-.67}{2.333}{3 x mul 3 sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.263}{6.63}{4 x sub x ln mul}
\rput(2.5,0.5){S}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

%On considère la fonction $f$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est représentée ci-dessus dans le plan muni d'un repère orthonormal.
%
%La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A(1~;~0) et admet la droite (AB) pour tangente à la courbe $\mathcal{C}$.
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[,~f(x) = (ax + b)\ln x$ où $a$ et $b$ sont deux réels.

\begin{enumerate}
\item  %Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
Pour tout réel $x$ de $]0~;~+ \infty[$, \: $f$ est dérivable et sur cet intervalle  :

$f'(x) = a\ln x + (ax + b) \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{ax\ln x + ax + b}{x}$.
\item  %Sans justifier et par lecture graphique, donner $f(4)$ et  $f'(1)$.
On lit $f(4) = 0$ et $f'(1) = \dfrac{3}{1} = 3$.
\item  %Justifier que $a$ et $b$ sont solutions du système d'équations suivant : 
D'après les deux résultats précédents :

$\left\{\begin{array}{l c l}
f(4)&=&0\\
f'(1)&=&3
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
(4a + b)\ln 4&=&0\\
\dfrac{a\ln 1  + b}{1}&=&3
\end{array}\right.\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
4a + b&=&0\\
a + b&=&3
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
3a&=&- 3\\
a + b&=&3
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a&=&- 1\\
b&=&4
\end{array}\right.$
%Déterminer $a$ et $b$. 
Donc $f(x) = (4 - x)\ln x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On admet que la fonction précédente est définie pour tout $x$ de $]0~;~ + \infty[$ par $f(x) = (4 - x)\ln x$.
%
%On appelle S l'aire hachurée sous la courbe $\mathcal{C}$.

\begin{enumerate}
\item  %Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ par 
%\[F(x) = - \dfrac{1}{2}\left(x^2\ln x - \dfrac{x^2}{2} -  8x\ln x + 8x\right).\]

%Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
La fonction $F$ est dérivable sur $]0~;~ + \infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle et :

$F'(x) = - \dfrac{1}{2}\left(2x\ln x + x^2 \times \frac{1}{x} - x - 8\ln x - 8x \times \frac{1}{x} + 8 \right) =$

$ - \dfrac{1}{2}\left(2x\ln x + x - x - 8\ln x - 8 + 8\right) = - \dfrac{1}{2}(2x\ln x - 8\ln x) = - x\ln x + 4\ln x = (4 - x)\ln x = f(x)$.

Conclusion $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\item  %En déduire la valeur exacte de I $= \displaystyle\int_{1}^4 f(x)\:\text{d}x.$
I $= \displaystyle\int_{1}^4 f(x)\:\text{d}x = \left[F(x)\right]_1^4 = F(4) - F(1) =$

$ \left(- \dfrac{1}{2}\left(4^2\ln 4 - \dfrac{4^2}{2} -  8\times 4\ln 4 + 8\times 4\right) \right) - \left(- \dfrac{1}{2}\left(1^2\ln 1 - \dfrac{1^2}{2} -  8\ln 1 + 8\right) \right) =$

$ - \dfrac{1}{2}\left(16\ln 4 - 8 -  32\ln 4 + 32\right) + \dfrac{1}{2}\left( - \dfrac{1}{2}    + 8\right)  = 8\ln 4 - 12 + \dfrac{15}{4} = 8\ln 4 - \dfrac{33}{4} = 16\ln 2 - \dfrac{33}{4}$.
\item  %Donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ de S exprimée en unités d'aire. Justifier.
La fonction $f$ est positive sur l'intervalle [1~;~4], donc I est la mesure en unités d'aire de la surface S ; on a donc I $ = 16\ln 2 - \dfrac{33}{4} \approx 2,84$ soit environ 2,8~u.a (ce que l'on vérifie approximativement sur la figure).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}
%
%\medskip
%
%Le tableau ci-dessous donne le nombre de ménages (en milliers) équipés d'un ordinateur entre les années 1986 et 1996.
%
%\medskip
%
%{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.6cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année			&1986	&1987	&1988	&1989	&1990	&1991	&1992	&1993	&1994	&1995	&1996\\ \hline
%Rang $x_{i}$	&0		&1		&2		&	3	&4		&5		&6		&7		&8		&9		&10\\ \hline
%Nombre de  
%ménages $y_{i}$	&160	&235	&345	&510	&760	&\np{1160}&\np{1780}&\np{2600}&\np{3850}&\np{5400}&\np{7300}\\ \hline
%\end{tabularx}}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Calculer le pourcentage d'évolution du nombre de ménages équipés d'un ordinateur entre les années 1986 et 1987.
De 1986 à 1987 le pourcentage d'évolution du nombre de ménages équipés d'un ordinateur a été de $\dfrac{235 - 160}{60}\times 100 = 46,875$ soit environ 47\,\%.
\item  %Si ce pourcentage était resté le même d'année en année jusqu'en 1996, quel aurait été le nombre de ménages équipés en 1996 ? (on arrondira en millier).
Augmenter de 46,875\,\% c'est multiplier par $1,46875$ chaque année, donc en 10 ans par $1,46875^{10}$ ; le nombre de ménages aurait été à ce rythme en 1996 : $160 \times \np{1,46875}^{10} \approx \np{7474,8}$ soit environ \np{7475} milliers de ménages.
\item  %On pose $z = \ln y$.
	\begin{enumerate}
		\item %Compléter le tableau donné en ANNEXE 2 (arrondir les valeurs au centième).
Voir à la fin.
		\item %Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~ z_{i}\right)$ pour $i$ allant de $0$ à $10$ dans le repère donnée en ANNEXE 2.
Voir l’annexe.
		\item %Donner une équation de la droite $d$ d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième). 
La calculatrice donne comme équation $z = 0,39x + 5,08$.		
%Tracer cette droite dans le repère précédent.
\item 	%Déduire de ce qui précède que l'on peut modéliser l'expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = a\text{e}^ {bx},\:a$ étant un réel arrondi à l'entier le plus proche et $b$ un réel arrondi au centième.
On a donc $z = \ln y = 0,39x + 5,08$, on déduit que $y = \text{e}^{0,39x + 5,08} = \text{e}^{0,39x} \times \text{e}^{5,08}$.

Comme $\text{e}^{5,08} \approx 160,7$ soit 161 à 1 près, on a donc $y \approx 161\text{e}^{0,39x}$.
%En déduire dans ce cas, une estimation arrondie au millier du nombre des ménages qui auraient dû être équipés en 2000.
2000 correspond à $x = 14$, d’où $y \approx 161\text{e}^{0,39 \times 14} \approx \np{37851}$ milliers de foyers équipés. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%En fait le nombre de ménages équipés en 2000 est de \np{15400000}.\\
%On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

%\[f(t) = \dfrac{20}{1 + \np{2000}\text{e}^{-0,44t}}\]
%
%On estime alors que sur la période de 1980 à 2015 l'équipement des ménages en ordinateur peut être modélisé par la fonction $f$ définie ci-dessus. Ainsi, le nombre de ménages équipés en $1980 + n$, exprimé en millions, est donné par $f(n)$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer une estimation arrondie au millier du nombre des ménages équipés en 2002 puis en 2003.
2002 correspond à $n = 2$, d’où $f(2) = \dfrac{20}{1 + \np{2000}\text{e}^{-0,44\times 2}} = \dfrac{20}{1 + \np{2000}\text{e}^{-0,88}} \approx \np{0,02408}$~millions de ménages soit \np{24080}~foyers.

2003 correspond à $n = 3$, d’où $f(3) = \dfrac{20}{1 + \np{2000}\text{e}^{-0,44\times 3}} = \dfrac{20}{1 + \np{2000}\text{e}^{-0,132}} \approx \np{0,037364}$~millions de ménages soit \np{37364}~foyers.
\item %Prouver que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$.
$f$ est de la forme $\dfrac{20}{u(x)}$ avec $u(x) = 1 + \np{2000}\text{e}^{-0,44x}$.

Sa dérivée est donc $f’(x) = - \dfrac{20 u’(x)}{(u(x))^2}$.

Or $u’(x) = - 0,44 \times \np{2000}\text{e}^{- 0,44x} = - 880\text{e}^{- 0,44x}$.

Comme $\text{e}^{- 0,44x} > 0$ quel que soit le réel $x$, $u’(x) < 0$ et par conséquent 

$f’(x) > 0$ : la fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$.

 
	\begin{enumerate}
		\item %En quelle année le nombre de ménages équipés a-t-il atteint 18 millions selon l'estimation ?
Il faut résoudre l’équation : $f(x) = 18$ soit $\dfrac{20}{1 + \np{2000}\text{e}^{- 0,44x}}$ d’où 

$18\left(1 +  = 20\np{2000}\text{e}^{- 0,44x}\right) = 20$, puis $18 + 18 \times \np{2000}\text{e}^{- 0,44x} = 20$ et $\np{36000}\text{e}^{- 0,44x}  = 2$ et enfin $\text{e}^{-0,44x}  = \dfrac{2}{\np{36000}} = \dfrac{1}{\np{18000}}$  ; en prenant le logarithme népérien : $- 0,44x = - \ln \np{18000}$ d’où $x = \dfrac{\ln \np{18000}}{0,44} \approx 22,3$

Il faut donc attendre la 23\up{e} année soit 2003. 
		\item %Déterminer la limite de $f$  en $+ \infty$. Interpréter le résultat obtenu.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-0,44x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 20$.

Ceci signifie qu’à terme le nombre de foyers équipés va plafonner à 20 millions.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 à RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{tabular}{|p{7cm}|p{4,25cm}|}\hline
Questions& \\ \hline
\multirow{3}{6cm}{\textbf{1.} L'équation réduite de la tangente T à C au	point A d'abscisse 1 est}&$\Box~$~~ $y = x - 1$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~$y=x - 2$\\ \cline{2-2}
&\rule[0pt]{7pt}{7pt}~~$y = 2(x - 1)$\\ \hline
\multirow{3}{6cm}{\textbf{2.} L'équation $f'(x) = 0$ admet}&$\Box~$~~1 solution\\ \cline{2-2}
&\rule[0pt]{7pt}{7pt}~~	 2 solutions\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~	0 solution\\ \hline 
\multirow{3}{6cm}{\textbf{3.} La limite de $f(x)$ en $-\infty$ est}&\rule[0pt]{7pt}{7pt}~~$-\infty$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~ $-5$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~$6$\\ \hline 
\multirow{3}{6cm}{\textbf{4.} La fonction $\ln f$ est définie sur}&$\Box~$~~	$[- \infty~ ;~ 6]$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~]0 ; 6]\\ \cline{2-2}
&\rule[0pt]{7pt}{7pt}~~]1 ; 6]\\ \hline 
\multirow{3}{6cm}{\textbf{5.} La fonction $\ln f$ s'annule exactement}&$\Box~$~~1 fois\\ \cline{2-2}
&\rule[0pt]{7pt}{7pt}\~~ 2 fois\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~ 0 fois\\ \hline 
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie du QCM, on appelle $g$ la fonction définie sur $]- \infty~;~6]$ par son expression $g(x) = \text{exp}[f(x)]$.

\medskip

\begin{tabular}{|p{7cm}|p{4,25cm}|}\hline
Questions& \\ \hline
\multirow{3}{6cm}{\textbf{6.} La fonction $g$ est strictement crois\-sante sur	}&\rule[0pt]{7pt}{7pt}~~$]-\infty~;~3]$\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~] 1 ; 6]\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~$]- \infty~ ;~6]$\\ \hline
\multirow{3}{6cm}{\textbf{7.} $g'(1)$ est égal à}&\rule[0pt]{7pt}{7pt}~~2\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~0\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~2e\\ \hline
\multirow{3}{6cm}{\textbf{8.} La fonction $g$ s'annule exactement}&$\Box~$~~1 fois\\ \cline{2-2}
&$\Box~$~~ 2 fois\\ \cline{2-2}
&\rule[0pt]{7pt}{7pt}~~ 0 fois\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 à RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\textbf{Exercice 4\\ Commun à tous les candidats}

\bigskip

{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.6cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année				&1986 	&1987	&1988	&1989	&1990	&1991	&1992 	&1993	&1994 	&1995	&1996\\ \hline
Rang $x_{i}$		&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8		&9		&10\\ \hline
Nombre de  ménages $z_{i}
 = \ln y_{i}$		&5,08	&5,46	&5,84	&6,23	&6,63	&7,06	&7,48	&7,86	&8,26	&8,59		&8,90\\ \hline
\end{tabularx}}

\bigskip

\begin{pspicture}(-1,-1)(10,12)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10,gridwidth=1.5pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(10,10)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(10.5,10.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](10.4,0){$x$} \uput[dl](0,0){O}
\uput[l](0,10.4){$y$}
\psdots(0,5.08)(1,5.46)(2,5.84)(3,6.23)(4,6.63)(5,7.06)(6,7.48)(7,7.86)(8,8.26)(9,8.59)(10,8.90)
\psplot{0}{10}{0.39 x mul 5.08 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}