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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small 5 juin 2017}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Liban  juin 
2017~\decofourright}} 

\vspace{0,25cm} 
\end{center}

\textbf{Exercice 1} \hfill 3 points

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Réponse c.}
\medskip

Soit $\mu$ la valeur moyenne de $g$ sur $[1~;~\text{e}]$, on a :

$\mu=\dfrac{1}{\e-1}\ds\int_{1}^{\e}\dfrac{2}{x}\dd x=\dfrac{2}{\e-1}\ds\int_{1}^{\e}\dfrac{1}{x}\dd x=\dfrac{2}{\e-1}\left[\ln x\right]_{1}^{\e}=\dfrac{2}{\e-1}\left(\ln \e-\ln 1\right)=\dfrac{2}{\e-1}$.\medskip

\item \textbf{Réponse d.}
\medskip

D'après le graphique, on lit que l'espérance $\mu=1$.

On sait par ailleurs que $P(\mu - 2\sigma<X < \mu + 2\sigma) \approx 0,95$ donc par lecture graphique, on en déduit que :

$\begin{cases}
1-2\sigma	& = 0,6 	 \\
1+2\sigma	& = 1,4	
\end{cases}$ qui donnent toutes les deux $2\sigma=0,4$, soit $\sigma=0,2$.
\medskip

\item \textbf{Réponse a.}
\medskip

Pour une proportion théorique $p=0,15$ et une taille $n$ de l'échantillon de 50, on a :

$n=50 \geqslant 30$, $np=50 \times 0,15=7,5 \geqslant 5$, $n(1-p)=50 \times 0,85=42,5$.

Les conditions de validité de calcul de l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95 \% sont remplies et on a :

\[I=\left[p-1,96\dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}~;~p-1,96\dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\right]\]

La borne inférieure :

$p-1,96\dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}=0,15-1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,15(1-0,15)}}{\ds\sqrt{50}} \approx 0,051$ par défaut.
\medskip

La borne supérieure :

$p+1,96\dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}=0,15+1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,15(1-0,15)}}{\ds\sqrt{50}} \approx 0,249$ par excès.

Ainsi, l'intervalle de fluctuation cherché est $I=[0,051~;~0,249]$.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}
\medskip

\begin{enumerate}
\item La réduction des GES de 8 \% correspond à un c\oe fficient multiplicateur de $1-\dfrac{8}{100}=0,92$.

Il vient donc que si la France a respecté ses engagements, alors la quantité de GES émise en 2012 doit être inférieure à :
\[559 \times 0,92=514,28\]
Or, en 2011 (donc avant la date buttoir) la quantité de GES était déjà inférieure à 514,2 mégatonnes.

En 2011, la France respectait déjà cet engagement.
\item Soit $Q$ la quantité émise en 2010. On sait que la quantité atteinte de 486 mégatonnes en 2011 représentait déjà une baisse de 5,6 \% par rapport à 2010. Soit :
\[Q \times \left(1-\dfrac{5,6}{100}\right)=486\]
D'où $Q=\dfrac{486}{0,944} \approx 514,8$ mégatonnes.\medskip

La quantité émise de GES en équivalent $\mathrm{CO}_{2}$ en 2010 était d'environ 514,8 mégatonnes.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B}
\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_{0}$ est la quantité émise en 2005, soit $u_{0}=41$.

$u_{1}$ est la quantité émise en 2006 qui représente une réduction de 2 \% par rapport à 2005 à laquelle on doit rajouter les 200 tonnes (soit 0,2 millier de tonnes) dues à l'implantation des nouvelles entreprises ::

$u_{1}=41 \times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)+0,2=40,38$ milliers de tonnes.
\item Lors de l'année $u_{n+1}$ la quantité émise représente 98 \% de la quantité émise l'année $n$, soit $0,98u_{n}$.

On rajoute à cette quantité celle émise par les nouvelles entreprises, d'où :

\[\text{Pour tout } n,~u_{n+1}=0,98u_{n}+0,2\]
\item
	\begin{enumerate}
	\item Pour tout $n$,
	\begin{align*}
	v_{n+1}	&	=	u_{n+1}-10 \\
			&	=	0,98u_{n}+0,2-10	\\
			&	=	0,98u_{n}-9,8	\\
			&	=	0,98\left(u_{n}-\dfrac{9,8}{0,98}\right)	\\
			&	=	0,98(u_{n}-10)	\\
			&	=	0,98v_{n}
	\end{align*}
	Par définition, la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $q=0,98$ et de premier terme $v_{0}=u_{0}-10=31$.
	\item Puisque $(v_{n})$ est une suite géométrique, on a :
	
	Pour tout $n$, $v_{n}=v_{0}q^{n}=31\times 0,98^n$.
	\item En remplaçant $v_{n}$ par son expression dans la relation précédente, on obtient :
	
	Pour tout $n$, $u_{n}-10=31\times 0,98^n$, soit $u_{n}=31\times 0,98^n+10$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	\item $0<0,98<1$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty}0,98^n=0$ et par conséquent $\ds\lim_{n\to +\infty}u_{n}=10$.
	\item Au bout d'un certain nombre d'années, la quantité de GES en équivalent $\mathrm{CO}_{2}$ émise chaque année sera de 10 milliers de tonnes.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	\item \hfill
	
	\begin{center}
	\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline
1& Variables\\
2&\quad $U$ est du type nombre\\
3&\quad  $n$ est du type nombre entier\\
4& Début Algorithme\\
5&\quad  $U$ prend la valeur $41$\\
6&\quad  $n$ prend la valeur $0$\\
7&\quad  Tant que \textcolor{red}{$U>20,5$} faire\\
8&\quad \quad  Début Tant que\\
9&\quad \quad  $U$ prend la valeur \textcolor{red}{$0,98\times U+0,2$} \emph{ou bien} \textcolor{red}{$31 \times 0,98^n+10$}\\
10&\quad \quad  $n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
11&\quad \quad  Fin Tant que\\
12&\quad  Afficher $n$\\
13& Fin Algorithme\\ \hline
\end{tabularx}
	\end{center}
	\item Le résultat affiché permet de dire que la zone industrielle émettra moins de 20,5 milliers de tonnes au bout de 54 ans, soit en 2059.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L.}

\medskip

\textbf{Partie A}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 18 \% des demandeurs d'emploi sont sans expérience, donc $p(S)=0,18$.

Parmi les hommes demandeurs d'emploi, 17,5 \% sont sans expérience, donc $p_{\overline{F}}(S)=0,175$.
\item \hfill

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=2.5cm,nrot=:U]{\Tp}{%
\pstree{\TR{$F$}\naput{0,52}}{%
\TR{$S$}\naput{}
\TR{$\overline{S}$}\nbput{}}
\pstree{\TR{$\overline{F}$}\nbput{0,48}}{%
\TR{$S$}\naput{0,175}
\TR{$\overline{S}$}\nbput{0,825}}
}
\end{center}
\item $p\left(\overline{F}\cap S\right) = p\left(\overline{F}\right)\times p_{\overline{F}}(S) = 0,48 \times 0,175 = 0,084$.

La probabilité qu'un demandeur d'emploi choisi au hasard soit une femme et sans expérience est de 0,084. (8,4 \% des demandeurs d'emploi sont des femmes sans expérience).
\item On cherche $p_{S}\left(\overline{F}\right) = \dfrac{p\left(\overline{F}\cap S\right)}{p(S)} =\dfrac{0,084}{0,18} = \dfrac{7}{15}\approx 0,467$.\medskip

Sachant que le demandeur d'emploi est sans expérience, la probabilité que ce soit un homme est d'environ 0,467.
\item On cherche $p_{F}(S)=\dfrac{p(F\cap S)}{p(F)}$. Il faut déterminer $p(F\cap S)$, pour cela on sait que $F$ et $\overline{F}$ forment une partition de l'univers composé par les demandeurs d'emploi, par conséquent :

$p(S)=p(S\cap F) + p\left(S\cap \overline{F}\right)$ soit $0,18 = p(S\cap F) + 0,084$. Par conséquent :

\[p(S\cap F) = 0,18 - 0,084 = 0,096\]

On en déduit $p_{F}(S) = \dfrac{p(F\cap S)}{p(F)} =\dfrac{0,096}{0,52}\approx 0,185$.
\medskip

Sachant que le demandeur d'emploi est une femme, la probabilité qu'elle soit sans expérience est d'environ $0,185$.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B}
\medskip

On choisi au hasard une fiche d'un demandeur d'emploi, c'est celle d'une personne sans expérience ou non. Il s'agit donc d'une épreuve de Bernoulli donc le succès est \og le demandeur d'emploi est sans expérience \fg{} de probabilité $p=0,18$.
\medskip

On répète de manière identique et indépendante (situation assimilée à un tirage avec remise) 5 fois de suite cette épreuve. Il s'agit d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n=5$ et $p = 0,18$.
\medskip

Soit $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de succès dans ce schéma, $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5~;~0,18)$.\medskip

On cherche $p5X\geqslant 1)=1 - p(X = 0) = 1 - \ds\binom{5}{0}0,18^0\times (1-0,18)^{5-0} = 1 - 0,82^5\approx 0,629$.\medskip

La probabilité que parmi les 5 fiches tirées, au moins une soit celle d'un demandeur d'emploi sans expérience est de 0,418.
\bigskip

\textbf{Exercice 3} Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité.
\medskip

\textbf{Partie A}
\medskip

\begin{enumerate}
\item \hfill

\begin{center}
$\begin{psmatrix}[mnode=circle,colsep=3]
A & B \\
\end{psmatrix}$
\psset{nodesep=0pt,arrows=->,shortput=nab}
\ncarc[arcangle=20]{1,1}{1,2}^{0,12}
\nccircle[angleA=90]{1,1}{0.5}_{0,88}
\ncarc[arcangle=20]{1,2}{1,1}^{0,14}
\nccircle[angleA=-90]{1,2}{0.5}_{0,86}
\end{center}

\medskip

\item On sait qu'en 2015, Alpha possède 30\,\% du marché et donc que Bravo possède 70~\% du marché, d'où :

\[a_0 = 0,3 \qquad \qquad b_0 = 0,7\]

\item En 2018, on a $n=3$, on recherche donc $P_3$ qui est donné par $P_3=P_0\times M^3$.

À la calculatrice, $P_3 = \begin{pmatrix} 0,442&0,558\end{pmatrix}$ où les valeurs sont arrondies à $10^{-3}$.

En 2018, la part de marché pour l'opérateur Alpha sera d'environ 44,2 \% selon ce modèle.
\item 
	\begin{enumerate}
	\item L'état stable vérifie la relation $P=P\times M$, soit :
	\begin{align*}
	\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}	&	=	\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,88&0,12\\0,14&0,86\end{pmatrix} \\
	\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}	&	=	\begin{pmatrix}0,88x+0,14y&0,12x+0,86y\end{pmatrix}
	\end{align*}
	
	Si deux matrices sont égales alors leurs c\oe fficients sont égaux deux à deux, d'où :
	
	$\begin{cases}
	0,88x+0,14y	&	=x \\
	0,12x+0,86y	&	=y	\\
	\end{cases} \iff
	\begin{cases}
	-0,12x+0,14y	&	=0 \\
	0,12x-0,14y	&	=0
	\end{cases}$
	
Ces deux équations sont les mêmes, on n'en garde qu'une : $0,12x - 0,14y = 0$ mais par ailleurs l'état stable est un état probabiliste donc $x+y=1$, d'où le nouveau système :
	
	\[\begin{cases}
	0,12x-0,14y	&	=0 \\
	x+y	&	=	1
	\end{cases} \]
\item
	$\begin{cases}
	0,12x-0,14y	&	=0 \\
	x+y	&	=	1
	\end{cases} \iff \begin{cases}
	y	&	=1-x \\
	0,12x-0,14(1-x)	& = 0	
	\end{cases} \iff$
	
$\begin{cases}
	y	&	=1-x \\
	0,12x-0,14+0,14x	& = 0	
	\end{cases} 
	\iff
	\begin{cases}
	x	& = \dfrac{0,14}{0,26}=\dfrac{7}{13}	\\
	y	&	=1-\dfrac{7}{13}=\dfrac{6}{13} \\
	\end{cases} $
	 L'état stable est donc $P=\begin{pmatrix}\dfrac{7}{13}&\dfrac{6}{13} \end{pmatrix}$.
	 \item Au bout d'un grand nombre d'années, la répartition du marché entre les deux opérateurs sera de :
	 \begin{center}
	 53,8 \% pour Alpha et 46,2 \% pour Bravo
	 \end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B}
\medskip

\begin{enumerate}
\item \hfill

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
C	&	A	&	B	&D	&	E	&	F	&	H 	&	I	&	G	\\\hline
0	&25(C)	&30(C)	&20(C)	&	$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$&$\infty$\\\hline
\vr	&25(C)	&30(C)	&20(C)	&	40(D)		&$\infty$	&$\infty$	&35(D)	&$\infty$\\\hline
\vr	&25(C)	&30(A)	&\vr		&40(D)		&$\infty$	&35(A)		&35(D)	&$\infty$\\\hline
\vr	&\vr	&30(A-C)&\vr		&40(D)		&$\infty$	&35(A)		&35(D)	&$\infty$\\\hline
\vr	&\vr	&\vr	&\vr		&40(D)		&45(H)		&35(A)		&35(D)	&55(H)	\\\hline
\vr	&\vr	&\vr	&\vr		&40(D)		&45(H)		&\vr		&35(D)	&55(H)	\\\hline
\vr	&\vr	&\vr	&\vr		&40(D)		&45(H)		&\vr		&\vr	&55(H)	\\\hline
\vr	&\vr	&\vr	&\vr		&\vr		&45(H)		&\vr		&\vr	&50(F)	\\\hline
\vr	&\vr	&\vr	&\vr		&\vr		&\vr		&\vr		&\vr	&50(F)	\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Le trajet le moins cher à déployer entre C et G est C -- A -- H -- F -- G.
\item Il coûtera \np{50000}\euro .
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 4 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}
\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~10]$ et pour tout $x \in [0~;~10]$, on a :

$f'(x)=-\dfrac{(0,5+100\e^{-x})'}{(0,5+100\e^{-x})^2}=-\dfrac{-100\e^{-100x}}{(0,5+100\e^{-x})^2}=\dfrac{100\e^{-x}}{(0,5+100\e^{-x})^2}$.
\item
	\begin{enumerate}
	\item Pour tout $x\in [0~;~10]$,
	\begin{align*}
	100\e^{-x}-0,5	&	\iff \geqslant 0	\\
	\e^{-x}	&	\geqslant \dfrac{0,5}{100}	\\
	\intertext{La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $[0~;~10]$}
	-x	&	\geqslant \ln0,005\\
	x	&	\leqslant -\ln 0,005	\\
	\end{align*}
	\item Pour tout $x \in [0~;~10]$, $\dfrac{100\e^{-x}}{(0,5+100\e^{-x})^3}>0$ donc $f''(x)$ est du signe de 
	
	$100\e^{-x}-0,5$.
	
	D'après le 2) a. on sait que $f''(x) \geqslant 0$ équivalent à $x\leqslant -\ln0,005$, donc :
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture} 
	\tkzTabInit{$x$/1,$f''(x)$/1}{$0$,$-\ln 0.005$,$10$}
	\tkzTabLine{,+,z,-}
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\end{enumerate}
\item D'après la question 2), on sait que $f''(x)$ s'annule en changeant de signe en 

$-\ln 0,005$ donc la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion $I$ d'abscisse $-\ln 0,005$.
\item On a vu que :	
	$f''(x) \geqslant 0 \iff x \leqslant -\ln 0,005$ soit $f''(x) \leqslant 0 \iff x \geqslant -\ln 0,005$
	
	Or, la fonction $f$ est concave si et seulement si $f''(x) \leqslant 0$.
	
	On en déduit que $f$ est concave sur $[-\ln 0,005~;~10]$.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item $f(10) = \dfrac{1}{0,5+100\e^{-10}}\approx 1,98$.
	\item $x = 10$ représente 250 années en plus par rapport à 1900, donc d'après la question 1), on en déduit que la température ce sera élevée de 1,98 °C en 2150 selon ce modèle. L'accord de Paris sera donc respecté.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item On a vu que l'abscisse du point d'inflexion est $-\ln 0,005$. Or, ici pour ce modèle l'unité vaut 25 ans donc, le point d'inflexion de la courbe de température aura pour abscisse $-\ln0,005 \times 25 \approx -132,47$.
	
L'année correspondant à l'abscisse du point d'inflexion est à l'unité près 2032.
	\item Calculons $f(-\ln 0,005)$ :
	
$f(-\ln 0,005)=\dfrac{1}{0,5+100\e^{\ln 0,005}}=\dfrac{1}{0,5+100\times 0,005}=1$.
	
L'élévation en température depuis 1900 s'élèvera de 1°C en 2032 au point d'inflexion.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	\item En 2033, la température terrestre continuera d'augmenter car au vu du graphique la fonction est croissante sur $[0~;~10]$.
	
On peut aussi utiliser le fait que pour tout $x \in [0~;~10]$, 

$f'(x)=\dfrac{100\e^{-x}}{(0,5+100\e^{-x})^2}>0$ comme rapport de deux expressions strictement positives.
	\item En 2033, la vitesse du réchauffement climatique commencera à diminuer car la fonction $f$ est concave sur $[-\ln 0,005~;~10]$.
	\end{enumerate}
\item Il faut résoudre l'équation $f(x)=1,5$
\begin{align*}
f(x)=	1,5	&	\iff	\dfrac{1}{0,5+100\e^{-x}}=\dfrac{3}{2}	\\
			&	\iff	\dfrac{1}{2}+100\e^{-x} =\dfrac{2}{3}	\\
			&	\iff	100\e^{-x}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}	\\
			&	\iff	\e^{-x}=\dfrac{1}{600}	\\
			&	\iff	-x=\ln\dfrac{1}{600}	\\
			&	\iff	-x=-\ln 600	\\
			&	\iff	x=\ln 600
\end{align*}

L'année où ce seuil sera atteint selon ce modèle est $1900 + 25 \times \ln 600 \approx 2060$.
\end{enumerate}
\label{Lastpage}
\newpage
\end{document}