\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{diagbox,multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol} 
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{enumitem}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%source : Christian Samson
%Tapuscrit et corrigé : Jean-Claude Souque
\usepackage{pst-tree,pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-func,pst-math,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STAV},
pdftitle = {STAV Métropole-La Réunion 15 juin 2018},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage[np]{numprint}
\def\e{\text{e}}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S. T. A. V.}
\lfoot{\small{ Métropole-Réunion}}
\rfoot{\small{ 15 juin 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STAV Métropole--La Réunion~\decofourright\\[5pt] 15 juin 2018}}
  \end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

\textbf{Les annexes A, B et C sont à rendre avec la copie après avoir été numérotées.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip

{\footnotesize
L'escargot des haies (\emph{Cepaea nemoralis}) est caractérisé par une coquille de couleur jaune ou de couleur
rose. Certaines coquilles sont dépourvues de bandes, alors que d'autres sont décorées de bandes brunes
longitudinales.

Parmi ses nombreux prédateurs, on compte la grive musicienne, très friande d'escargots.

%Source: By Didier Descouens - Own work, CC BY-SA 3.0, https://
%commons. wikimedia.org/w/index.php?curid=25130251

\medskip

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans une haie d'arbustes, on considère une population d'escargots:
\begin{itemize}
\item  45\,\% ont une coquille de couleur rose, les autres sont jaunes;
\item Parmi les escargots à coquilles roses, 28\,\% ont des bandes brunes.
\end{itemize}

Une grive musicienne attrape un escargot de la haie d'arbustes au hasard. On considère que cela
correspond à un prélèvement aléatoire d'un escargot parmi ceux de la haie.

On définit les évènements suivants:

\begin{itemize}
\item $J$ : \og l'escargot attrapé possède une coquille jaune\fg{} ;
\item $R$ : \og l'escargot attrapé possède une coquille rose\fg{} ;
\item $B$: \og l'escargot attrapé possède une coquille pourvue de bandes brunes\fg.
\end{itemize}

Si l'escargot attrapé ne possède pas de bandes brunes, on dira dans la suite de cet exercice que sa
coquille est unie et l'on notera $\overline{B}$ cet évènement.
}

\begin{enumerate}
\item  Construisons un arbre de probabilités traduisant cette situation.% (certaines branches resteront incomplètes).

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$J$~}\taput{\np{0.55}}}
	  { 
		  \TR{$B$}\taput{}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{}	   
	  }
	\pstree{\TR{$R$~}\tbput{\np{0.45}}}
	  {
		  \TR{$B$}\taput{\np{0.28}}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{\np{0.72}}
	  }
	
}
\end{center}

\item La probabilité que l'escargot attrapé possède une coquille rose avec des bandes brunes est notée :

$p(R\cap B)$. $p(R\cap B)=p(R)\times p_R(B)=\np{0.45}\times\np{0.28}=\np{0.126}$.
\end{enumerate}
La moitié des escargots de la haie ont des coquilles comportant des bandes brunes.
\begin{enumerate}[resume]
\item \begin{enumerate}
\item  Montrons que $p(J \cap B)= 0,374$.

$p(B)=p(R\cap B)+p(J\cap B)$. Par conséquent $p(J\cap B)=p(B)-p(R\cap B)=\np{0.5}-\np{0.126}=\np{0.374}$.
\item Calculons $p\left(J \cap \overline{B}\right)$.% = $.

$p(J)=p(J\cap B)+p\left(J\cap\overline{B}\right)$. Il en résulte  $p\left(J\cap \overline{B}\right) = p(J) - p(J\cap B) = \np{0.55} - \np{0.374} - \np{0.176}$.

Nous obtenons bien $p\left(J \cap \overline{B}\right)=0,176$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item \label{unie}L'escargot attrapé par la grive est de couleur jaune. La probabilité que l'escargot ait des
bandes sur sa coquille est notée $p_{J}(B)$.  $p_{J}(B)=\dfrac{p(J\cap B)}{p(J)}=\dfrac{\np{0.374}}{\np{0.55}}\approx \np{0.68}$.
\end{enumerate}

D'après les scientifiques, les escargots à coquille unie sont plus facilement repérés et donc mangés par les
grives musiciennes, alors que les escargots avec des bandes brunes souffrent plus du soleil et de la
chaleur.
	\begin{enumerate}[resume]
		\item La probabilité calculée en \ref{unie} n'est pas cohérente avec l'affirmation des scientifiques puisque la probabilité que la grive attrape un escargot jaune à bande brune  est largement supérieure à la probabilité que la grive attrape un escargot jaune à coquille unie.

\begin{flushright}
\emph{Source : http://www.cndp.fr/evolution-des-especes/$\dots$/lescargot-des-haies.html}
\end{flushright}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip


Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

\medskip
{\footnotesize
L'escargot petit-gris (\emph{Helix aspersa aspersa}) est apprécié par certains gastronomes. En se promenant dans
la nature, on peut en ramasser mais on ne repérera que les plus gros, les plus jeunes étant souvent trop
petits à l'\oe il nu pour être distingués.

On considère la variable aléatoire $X$ qui à tout escargot petit-gris repéré par un promeneur associe le
diamètre en mm de sa coquille. On admettra que $X$ suit la loi normale de moyenne \textmu{} et d'écart type $\sigma =4$.

La courbe de Gauss associée à $X$ (ou courbe de densité de probabilité associée à $X$) est donnée en
\textbf{annexe A}.

On laissera sur le graphique tout tracé utile justifiant la démarche.
}
\begin{enumerate}
\item  Par lecture graphique, $\mu=26$ puisque la courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$. 

\item On sait que $p(X\leqslant 18) = 0,023$. À l'aide de ce résultat et du graphique ou à l'aide d'une autre
méthode que vous expliquerez, déterminons $p( 18 \leqslant X \leqslant 34)$.

$18=26-8\quad 34=26+8$.  Ce sont donc deux valeurs symétriques par rapport à 26 

donc $p(X\geqslant 34)=p(x\leqslant 18)$.
$p( 18 \leqslant X \leqslant 34)=1-2p(X\leqslant18)=1-2\times \np{0.023}=0,954$

{\footnotesize \emph{remarque : } $p(18 \leqslant X\leqslant 34)=p(\mu-2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma) \approx  0,955$.}

La valeur obtenue, dans le contexte de l'exercice, est la probabilité que le diamètre de la coquille soit compris entre 18 et \np[mm]{34}.

C'est l'aire de la partie hachurée sur le graphique donné en annexe A.

\end{enumerate}
Selon la réglementation, le petit-gris ne peut être ramassé que s'il a une coquille de \np[mm]{30}  de diamètre
minimum.
\begin{enumerate}[resume]
\item  Justifions qu'environ 15,9\,\% des escargots petit-gris repérés par des promeneurs dans la nature ont la
taille qui convient pour être ramassés. Pour ce faire, calculons $p(X\geqslant 30)$.

 À l'aide de la calculatrice, nous trouvons $p(X\geqslant 30)\approx \np{0.1587}$. Cela correspond à environ 15,9\,\%.

{\footnotesize \emph{Remarque : } $30=\mu+\sigma$.  $p(X\geqslant \mu+\sigma)=0,5 - p(\mu\leqslant X\leqslant \mu+\sigma)$ d'où $p(X\geqslant30)=\np{0.5}-\dfrac{\np{0.683}}{2}=\np{0.1585}$}

\end{enumerate}

\emph{Rappel:} Si une variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne \textmu{} et d'écart type $\sigma$,

$P(\mu-\sigma \leqslant Y \leqslant \mu+\sigma) \approx 0,683 ;  P(\mu-2\sigma \leqslant Y \leqslant \mu+2\sigma) \approx  0,955 ;  P(\mu-3\sigma \leqslant Y \leqslant \mu+3\sigma) \approx 0,997$.


\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6,5 points}  

\vspace{0.5cm}

\textbf{PARTIE A}

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = 35 \e^{- 0,053x}$.

Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminons la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .
		
		$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}35 \e^{- 0,053x}=0$ puisque $\displaystyle \lim_{x\to -\infty } \text{e}^x=0$.
		\item Graphiquement, la courbe $\mathcal{C}_f$ est asymptote à l'axe des abscisses, au voisinage de plus l’infini.
	\end{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculons $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $[0~;~+\infty[$.
		
		$f'(x)=35\times \left(-0,053\,\text{e}^{-\np{0.053}x}\right)=-1,855\,\text{e}^{-\np{0.053} x}$
		
		\item Déterminons le signe de $f'(x)$.
		
		Pour tout $x \in \R,\quad \text{e}^x >0$. Il en résulte que pour tout $x\in [0~;~+\infty[, f'(x)<0$  comme produit d'un nombre strictement positif et d'un nombre strictement négatif. 
		\item Déterminons d'abord le sens de variation 

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $[0~;~+\infty[,\:f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.


Construisons le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
 
  \begin{center}
 \scalebox{0.7}{ 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$}     \uput[u](7.73,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](4.5,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[u](1.37,1.5){$35$}\uput[dr](7.32,0.45){$0$}
\psline{->}(1.7,1.55)(7.3,0.55)
\end{pspicture}}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \label{nb} Le tableau de valeurs donné en \textbf{Annexe A} y  est complété. %Les résultats seront arrondis à $10^{-1}$ près.
		\item  $\mathcal{C}_f$ est tracée dans le repère orthogonal de l'\textbf{Annexe B}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Le hérisson européen est une espèce menacée dont l'étude de la population a été surtout menée au Royaume-Uni. Les causes de cette disparition sont le trafic automobile, ainsi que l'utilisation de certains
pesticides.

%licence cco.
La fonction $f$ étudiée dans la PARTIE A modélise l'évolution, au Royaume-Uni, du nombre de hérissons
(exprimé en millions).

Les années sont numérotées à partir de 1950 en prenant $x = 0$ pour l'année 1950, $x = 1$ pour 1951, $\dots$,
$x = 10$ pour 1960 et ainsi de suite.

\begin{enumerate}

 \item Des études statistiques britanniques démontrent que la population de hérissons est passée
d'environ 35 millions en 1950 à 1 million en 2017, au Royaume Uni.

En 1950 nous avons $x=0$ et $f(0)=35$. En 2017 nous avons $x=67$ et $f(67)=35\text{e}^{-0,053\times 67}\approx \np{1.004}$.

Nous retrouvons ces résultats.% à l'aide du modèle proposé dans cet exercice.
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Résolvons, par le calcul, l'inéquation $f(x) < 10$ %en donnant le résultat arrondi à 	l'unité près.
	\begin{multicols}{2}
	\begin{align*} 
35 \e^{- 0,053x}&<10\\
  \e^{- 0,053x}&<\dfrac{10}{35}\\
	 \e^{- 0,053x}&<\dfrac{2}{7}\\
	 \end{align*}
	 \begin{align*}
	\ln \e^{- 0,053x}&< \ln\left(\dfrac{2}{7}\right)\\
	-\np{0.053}x&<\ln\left(\dfrac{2}{7}\right)\\
	x&>-\dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{7}\right)}{\np{0.053}}
	\end{align*}
	\end{multicols}
	
	$-\dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{7}\right)}{\np{0.053}}\approx \np{23.637}$
	
	L'ensemble solution de l'inéquation est $\left[-\dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{7}\right)}{\np{0.053}}~;~+\infty\right[$
	soit en arrondissant à l'unité $[24~;~+\infty[$
	
	\item   Dans le contexte de l'exercice, ce résultat signifie qu'après 1974 (1950+24), la population de hérissons européens était inférieure strictement à dix millions.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
Dans la question 3, toute démarche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.
\begin{enumerate}[resume]
 \item {\footnotesize En ne prenant en considération que le seul critère énoncé ci-dessous et les informations suivantes,
expliquer dans quelle catégorie (vulnérable, en danger, en voie d'extinction) se situe le hérisson
européen au Royaume-Uni depuis 1950.}
\end{enumerate}

{\footnotesize
L'Union Internationale pour la Conservation de la Nature (UICN) a établi plusieurs critères pour déterminer
si une espèce est menacée ou non. En simplifiant, l'un d'entre eux précise:
\begin{itemize}
\item [--] Une espèce est \og vulnérable\fg{} lorsqu'il y a réduction constatée ou modélisée des effectifs d'au
moins 30\,\% depuis 10 ans ou trois générations, selon la plus longue des deux périodes.
\item[--]Une espèce est \og en danger\fg{} lorsqu'il y a réduction constatée ou modélisée des effectifs d'au
moins 50\,\% depuis 10 ans ou trois générations, selon la plus longue des deux périodes.
\item[--]Une espèce est \og en voie d'extinction \fg{} lorsqu'il y a réduction constatée ou modélisée des effectifs
d'au moins 80\,\% depuis 10 ans ou trois générations, selon la plus longue des deux périodes.
\end{itemize}

La durée de vie d'une génération de hérissons européens est de 4 à 5 ans et dans cet exercice, on prendra
la valeur de 5 ans.
\begin{flushright}
\emph{Sources: sauvonslesherissons.fr }\\
\emph{et uicn. fr/liste-rouge-mondiale/}
\end{flushright}
}

En calculant les différents taux d'évolution de la population  soit sur une période de dix ans soit de quinze ans,
en prenant pour éléments les calculs effectués à la question \ref{nb} nous constatons que ce taux reste strictement compris entre 30\,\%  et 80\,\%.
Par conséquent nous pouvons affirmer que la population de hérissons  est en danger au Royaume-Uni.

exemples : entre 1950 et 1965 une baisse de 54,9\,\%, entre 1955 et 1970 une baisse de 55\,\%  de même qu'entre 1965 et 1980, enfin entre 1980 et 2005 une baisse de 73,24\,\%.
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (3,5 points)}  

\vspace{0.5cm}

Au 1\up{er} mars 2018, une piscicultrice possède un bassin central qui comporte 450 truites d'élevage. Elle
estime que la population augmente de 2\,\% chaque mois grâce à des lots qu'elle achète ou des transferts
entre bassins.

On modélise le nombre de truites dans le bassin central par la suite $\left(u_n\right)$ où $n$ est le nombre de mois
écoulés depuis le 1\up{er} mars 2018. On a donc $u_0 = 450$.

\begin{enumerate}
\item  À une augmentation de 2\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{2}{100}$ soit 1,02.

 $u_1=450\times 1,02=459$ et $u_2=459\times 1,02\approx 468$ ({\footnotesize résultats donnés à l'unité près}).
\item Chaque terme se déduisant du précédent en le multipliant par 1,02, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme 450.

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est  $u_n=u_0q^n$.

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 450\times 1,02^n$.
\end{enumerate}
Pour des soucis de réglementation par rapport à la taille du bassin central, la piscicultrice doit transférer des
truites vers un autre bassin dès que la population dépasse 500 truites. Elle souhaite donc avoir une idée du
mois au cours duquel ce seuil sera atteint.
\begin{enumerate}[resume]
\item %Déterminer, par la méthode de votre choix que vous expliquerez, la réponse concrète au problème posé.

Résolvons $u_n\geqslant 500$.

\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
450\times (1,02)^n&\geqslant 500\\
1,02^n&\geqslant \dfrac{10}{9}\\
\ln (1,02^n)&\geqslant \ln\left(\dfrac{10}{9}\right)\\
\end{align*}
\begin{align*}
n\ln (1,02)&\geqslant  \ln\left(\dfrac{10}{9}\right)\\
n&\geqslant \dfrac{\ln\left(\dfrac{10}{9}\right)}{\ln(1,02)}\\
\end{align*}
\end{multicols}

$\dfrac{\ln\left(\dfrac{10}{9}\right)}{\ln(1,02)}\approx \np{5.32}$. 

Le seuil sera atteint au cours du cinquième mois soit au cours du mois d'août.  

{\footnotesize \emph{Remarque :} si elle attend le mois de septembre ($n=6$) le seuil aura été déjà dépassé }
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}


\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (4 points)}  

\vspace{0.5cm}
{\footnotesize
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple donné en \textbf{Annexe C}, dont les questions sont
indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées
est exacte.

Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte ou
l'absence de réponse n'enlève pas de point.
}
\newpage

\textbf{ANNEXE A (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)}

\vspace{1.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=95cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.0037)(37,0.12)
\multido{\n=1.+1}{38}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,0.104)}
\multido{\n=0+0.02}{6}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](0,\n)(38,\n)}
\uput[ur](0.8,0){$\scriptstyle 0$}
\psaxes[Ox=10,Dx=1,Dy=0.02]{->}(1.,0)(0,0)(38.1,0.105)
%\psaxes[xAxis=false,Oy=0,Dy=0.02,showorigin=false]{->}(1.5,0)(37.5,0.104)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.25pt,mue=17,sigma=4]{0}{38}
\uput[u](34,0){\footnotesize diamètre coquille en mm}
\psline{->}(17,0)(17,0.0997)
 \pscustom[fillstyle=hlines,hatchcolor=gray]{
\psline[linewidth=0.4pt](9,0)(9,0.013498)
  \psGauss[linecolor=blue,linewidth=1pt,mue=17,sigma=4]{9}{25}
  \psline[linewidth=0.4pt](25,0.013498)(25,0)
} 
\end{pspicture}

\medskip

{\large Courbe de Gauss associée à $X$.}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\vspace{1cm}

\renewcommand\arraystretch{1.5}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
$x$&0&5&10&15&20&30&40&55&70\\
\hline
$f(x)$&35&\np{26.9}&\np{20.6}&\np{15.8}&\np{12.1}&\np{7.1}&\np{4.2}&\np{1.9}&\np{0.9}\\\hline
\end{tabularx}
\smallskip 

{\footnotesize les résultats sont arrondis au dixième.}

\newpage

\textbf{ANNEXE B (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\psset{xunit=0.14cm,yunit=0.42cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(88,40)
\multido{\n=0+2.5}{35}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dotted](\n,-1.7)(\n,37)}
\multido{\n=-1+1}{38}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dotted](-2,\n)(87,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(88,37)
\uput[dl](0,0){$\scriptstyle 0$}
 \uput[dr](86,0){$x$}\uput[dr](0,37){$y$}
 \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{87}{2.71828  x 0.053 neg mul exp  35 mul }
  \psset{arrowscale=2}
 \def\Func{2.71828  x 0.053 neg mul exp  35 mul}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 23.63704 def \Func)(!23.63704 /x 23.63704 def \Func)(23.63704,0)
 
 
 

\end{pspicture}
\end{center} 


\newpage

\textbf{ANNEXE C (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} }  

\medskip

\textbf{Pour chaque question, entourer la réponse exacte.}

\medskip

\emph{\footnotesize remarque : l'ensemble de définition des fonctions $f$ et $g$  a été changé par rapport au texte original donnant $[0~;~+\infty[$.} 

\begin{enumerate}
\item  On considère la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f (x) = x \ln(x)$ . La fonction dérivée $f'$ est définie
sur $]0~;~+\infty[$ par:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f '(x) = \ln(x)$} &\textbf{b.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f '(x) = 1 $}  &\textbf{c.~~}\psframebox{$f '(x) = 1+\ln(x)$}& \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $ f'(x)=\ln(x)-1$}.
\end{tabularx}


\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \ln(x)$. Une équation de la tangente à la courbe
représentative de $g$ au point d'abscisse 1 est:


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\footnotesize $y=g'(1)+g(1)(x-1)$} &\textbf{b.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$y=\e x$}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$0$}& \textbf{d.~~} \psframebox{$y=x-1$}.
\end{tabularx}

\item La valeur exacte de $\displaystyle \int_1^2 \dfrac{1}{x}\mathrm{d}x$ est : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\psframebox{ $\ln(2)$} &\textbf{b.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\np{0,6931471806}$}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$-0,5$}& \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $1$}.
\end{tabularx}

\item {\footnotesize On considère l'algorithme suivant où $\dbinom{N}{K}$ est un coefficient binomial qui se lit \og $K$ parmi $N$ \fg.


\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\textbf{Variables}\\
$N$ est du type nombre entier\\
$P$ est du type nombre réel\\
$S$ est du type nombre réel\\
\textbf{Initialisation}\\
$N$ prend la valeur 12\\
$P$ prend la valeur 0,1\\
$S$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement}\\
Pour $K$ allant de 0 à 3 faire\\
\hspace{2em}$S$ prend la valeur $S +\dbinom{N}{K}\times  P^K \times (1- P)^{N-K}$\\
Fin de Pour\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $S$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Le résultat arrondi à $10^{-3}$ près de $S$ donné par l'algorithme est :
}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$0,282$} &\textbf{b.~~} \psframebox{$0,974$}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$0,999$}& \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $1$}.
\end{tabularx} 

\end{enumerate}







\end{document}