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%\tapuscrit Jean-Paul GOUALARD
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%
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\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~ Correction du Baccalauréat S Antilles-Guyane 19 juin 2018 
~\decofourright}}
\end{center}

\def\labelitemi{$\bullet$}

%: EXERCICE 1
\vspace{0,5cm}\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\smallskip
\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

L'exploitant d'une forêt communale décide d'abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants, soit à des entreprises. On admet que:
\begin{itemize}
\item
parmi les arbres abattus, 30~\% sont des chênes, 50~\% sont des sapins et les autres sont des arbres d'essence secondaire (ce qui signifie qu'ils sont de moindre valeur);
\item \np{45,9}~\% des chênes et 80~\% des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune;
\item les trois quarts des arbres d'essence secondaire abattus sont vendus à des entreprises. 
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard.

On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $C$: \og l'arbre abattu est un chêne\fg{};
\item $S$: \og l'arbre abattu est un sapin\fg{};
\item $E$: \og l'arbre abattu est un arbre d'essence secondaire\fg{};
\item $H$: \og l'arbre abattu est vendu à un habitant de la commune\fg{}.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item %Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
Arbre :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\taput{ $0,3$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$H$}\taput{ $0,459$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{H}$}\tbput{ $0,541$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S$}\taput{ $0,5$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$H$}\taput{ $0,8$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{H}$}\tbput{ $0,2$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$E$}\tbput{ $0,2$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$H$}\taput{ $0,25$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{H}$}\tbput{ $0,75$}
}
}


\end{center}

\item %Calculer la probabilité que l'arbre abattu soit un chêne  vendu à un habitant de la commune.
$m(C \cap H)=p_C(H)\times p(C)=0,459\times 0,3=\np{0,1377}$.

La probabilité que l'arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune est \np{0,1377}.

\item %Justifier que la probabilité que l'arbre abattu soit vendu à un habitant de la commune est égale à \np{0,5877}.
On applique la formule des probabilités totales :

$p(H)=p_C(H)\times p(C)+p_S(H)\times p(S)+p_E(H)\times p(E)=\np{0,1377}+0,8\times 0,5+0,25\times 0,2=\boxed{\textcolor{red}{\np{0,5877}}}$

\item %Quelle est la probabilité qu'un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin~?\\On donnera le résultat arrondi  à $10^{-3}$.
$p_H(S)=\dfrac{p(S \cap H)}{p(H)}=\dfrac{0,4}{\np{0,5877}}\boxed{\textcolor{red}{\approx 0,681}}$ à 10$^{-3}$ près.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

Le nombre d'arbres sur un hectare de cette forêt peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d'espérance $\mu=\np{4000}$ et d'écart-type $\sigma=300$.

\begin{enumerate}

\item %Déterminer la probabilité qu'il y ait entre \np{3400} et \np{4600} arbres sur un hectaure donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
$p(3400\leqslant X\leqslant 4600)=p(\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant \mu+2\sigma)\boxed{\textcolor{red}{\approx 0,954}}$.

\item %Calculer la probabilité qu'il y ait plus de \np{4500} arbres sur un hectare donné de cette forêt.
%On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
$p(X\geqslant \np{4500})=1-p(X<\np{4500})\boxed{\textcolor{red}{\approx 0,048}}$ arrondi à $10^{-3}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\smallskip

L'exploitant affirme que la densité de sapins dans cette forêt communale est de 1 sapin pour 2 arbres.

\smallskip

%Sur une parcelle, on a compté 106 sapins dans un échantillon de 200 arbres.\
%Ce résultat remet-il en cause l'affirmation de l'exploitant~?
La proportion théorique  de sapins est $p=0,5$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La taille de l'échantillon est $n=200\geqslant 25$.

\item $np=0,5\times 200=100\geqslant 25$

\item $n(1-p)=100\geqslant 25$
\end{enumerate}
Les conditions sont réunies pour qu'on puisse utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95.

Cet intervalle est $I_{0,95}=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]=\left[0,5-1,96\dfrac{0,5}{\sqrt{200}}~;~0,5+1,96\dfrac{0,5}{\sqrt{200}}\right]\\
\approx \boxed{\textcolor{red}{[0,430~;~0,570]}}$.

La fréquence observée dans cet échantillon est $f=\dfrac{106}{200}=0,53$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f\in I_{0,95}}}$.

Ce résultat ne remet pas en cause l'affirmation de l'exploitant.

%: EXERCICE 2
\vspace{0,5cm}\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\smallskip
\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d'un tétraèdre posé sur un cube de 6 mètres d'arête.

Ces deux solides sont représentés par le cube $ABCDEFGH$ et par le tétraèdre $SELM$ ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(8,8)
\pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){B}
\pstGeonode[PosAngle=135](0,4){F}
\pstGeonode[PosAngle=-45](4,0){C}
\pstGeonode[PosAngle=0](4,4){G}
\pstGeonode[PosAngle=45](2,2){A}
\pstTranslation[PosAngle=-45]{B}{A}{C}[D]
\pstTranslation[PosAngle=45]{B}{A}{G}[H]
\pstTranslation[PosAngle=45]{B}{A}{F}[E]
\pstHomO[HomCoef=0.166666666667,PosAngle=-45]{A}{B}[I]
\pstHomO[HomCoef=0.166666666667,PosAngle=-45]{A}{D}[J]
\pstHomO[HomCoef=0.166666666667,PosAngle=135]{A}{E}[K]

\psline(B)(C)(G)(F)(B)
\psline[linestyle=dashed](B)(A)(E)
\psline[linestyle=dashed](A)(D)
\psline(G)(H)(D)(C)
\pstHomO[HomCoef=.3333333,PosAngle=45]{E}{H}[M]
\pstHomO[HomCoef=.3333333,PosAngle=135]{E}{F}[L]
\pstInterLL[PosAngle=90]{B}{L}{M}{D}{S}
\psline(S)(L)(M)(S)
\psline(F)(L)
\psline(M)(H)
\psline[linestyle=dashed](L)(E)(S)
\psline[linestyle=dashed](E)(M)
\psline[linestyle=dashed](L)(B)(D)(M)
\psline[linecolor=red]{->}(A)(I)
\psline[linecolor=red]{->}(A)(J)
\psline[linecolor=red]{->}(A)(K)

\end{pspicture}

\end{center}

On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{AI},\vect{AJ},\vect{AK}\right)$ tel que: $I\in[AB]$, $J\in[AD]$, $K\in[AE]$ et 

$AI=AJ=AK=1$, l'unité graphique représentant 1 mètre.

Les points $L$, $M$ et $S$ sont définis de la façon suivante:
\begin{itemize}
\item $L$ est le point tel que $\vect{FL}=\frac23\vect{FE}$;
\item $M$ est le point d'intersection du plan $(BDL)$ et de la droite $(EH)$;
\item $S$ est le point d'intersection des droites $(BL)$ et $(AK)$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item %Démontrer, sans calcul de coordonnées, que les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
Les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont \textbf{\textcolor{red}{coplanaires}} (dans le plan $(BDS)$) et contenues respectivement dans les plans $(ABD)$ et $(EFH)$ qui sont \textbf{\textcolor{red}{parallèles}}, donc elles sont \textbf{\textcolor{red}{parallèles}}.

\item %Démontrer que les coordonnées du point $L$ sont $(2~;~0~;~6)$.
$\vect{AL}=\vect{AE}+\vect{EL}=6\vect{AK}+\dfrac{1}{3}\vect{AB}=6\vect{AK}+2\vect{AI}=2\vect{AI}+0\vect{AJ}+6\vect{AK}$ donc les coordonnées de $L$ sont $\boxed{\textcolor{red}{L(2~;~0~;~6)}}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une représentation paramétrique de la droite $(BL)$.
$\vect{BL}\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}$ et $B(6~;~0~;~0)$.

Un représentation paramétrique de $(BL)$ est alors : $\boxed{\textcolor{red}{(BL)\begin{cases}x=6-4t\\y=0\\z=6t\end{cases},~t\in\mathbb{R}}}$.

		\item %Vérifier que les coordonnées du point $S$ sont $(0~;~0~;~9)$.
$S$ appartient au plan $(BDL)$ et à la droite $(AE)$ donc :

$\begin{cases}x=6-4t\\y=0\\z=6t\\x=y=0\end{cases}$. On en déduit $t=\dfrac{3}{2}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{S(0~;~0~;~9)}}$.
	\end{enumerate}

\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}3\\3\\2\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $\vect{n}$ est normal au plan $(BDL)$.
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item $\vect{BD}\begin{pmatrix}-6\\6\\0\end{pmatrix}$ donc $\vect{n}\cdot \vect{BD}=3\times (-6)+3\times 6+2\times 0=0$ donc $\vect{n}\perp \vect{BD}$.

				\item $\vect{BL}\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}$ donc $\vect{n} \cdot \vect{BL}=3\times (-4)+3\times 0+2\times 6=0$ donc $\vect{n} \perp \vect{BL}$.

		\item $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $BDL$ donc est normal à ce plan.
\end{enumerate}
\item %Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est:
%\[
%3x+3y+2z-18=0.
%\]

Une équation du plan $BDL$ est alors :
$3\left(x-x_B\right)+3\left(y-y_B\right)+2\left(z-z_B\right)=0\\
\Leftrightarrow 3(x-6)+3y+2z=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{3x+3y+2z-18=0}}$.

\item On admet que la droite $(EH)$ a pour représentation paramétrique:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&0\\
y&=&s~~~~(s\in\R)\\
z&=&6
\end{array}
\right.
\]
%Calculer les coordonnées du point $M$.
$M$ est l'intersection du plan $(BDL)$ et de la droite $EH$ donc ses coordonnées vérifient l'équation du plan et la représentation paramétrique de la droite.

On doit avoir : $\begin{cases}x=0\\y=s\\z=6\\3x+3y+2z-18=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=0\\y=s\\z=6\\3x+12-18=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}s=2\\x=0\\y=z\\z=6\end{cases}$.

$M$ a donc pour coordonnée $\boxed{\textcolor{red}{M(0~;~2~;~6)}}$.
\end{enumerate}

\item %Calculer le volume du tétraèdre $SELM$. On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule suivante:
%\[
%V=\frac13\times\text{Aire de la base}\times\text{Hauteur}.
%\]
L'aire du triangle $ELM$ est $\mathscr{A}(ELM)=\dfrac{EL\times EM}{2}=\dfrac{2\times 2}{2}=2$.\\
La hauteur $SE$ vaut $SE=AS-AE=9-6=3$.\\
Le volume du tétraèdre $SELM$ est alors : $\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times 2\times 3=2$ m$^3$.

\item L'artiste souhaite que la mesure de l'angle $\widehat{SLE}$ soit comprise entre 55\up{o} et 60\up{o}.\\
%Cette contrainte d'angle est-elle respectée~?
Le triangle $SLE$ est rectangle en E : $\cos\left(\widehat{SLE}\right)=\dfrac{LE}{LS}$.

Or $LS=\sqrt{\left(x_S-x_E\right)^2+\left(y_S-y_L\right)^2+\left(z_S-z_L\right)^2}=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$.

Donc $\cos\left(\widehat{SLE}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ ; on en déduit que $\widehat{SLE}\approx 56,3\text{\degre}$  ; la contrainte est respectée.
\end{enumerate}
	
%: EXERCICE 3
\vspace{0,5cm}\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\smallskip
\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt:

\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-2.)(5.,1.)
\pscustom[linewidth=0.8pt,fillcolor=lightgray!60,fillstyle=solid]{\psplot{-1.57}{4.6}{EXP(-x)*(-COS(x)+SIN(x)+1.0)}\lineto(4.6,0)\psplot{4.6}{-1.57}{-EXP(-x)*COS(x)}\lineto(-1.57,0)\closepath}
\psplot[linewidth=2.pt,plotpoints=200]{-1.57}{4.6}{EXP(-x)*(-COS(x)+SIN(x)+1.0)}
\psplot[linewidth=2.pt,plotpoints=200]{-1.57}{4.6}{-EXP(-x)*COS(x)}
\end{pspicture*}
\end{center}

Il dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par:
\[
f(x)=\e^{-x}(-\cos x+\sin x+1)\text{~~et~~}
g(x)=-\e^{x}\cos x.
\] 
On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\R$.

\medskip
 
\textbf{Partie A — Étude de la fonction $f$}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que, pour tout $x\in\R$:\[-\e^{-x}\leqslant f(x)\leqslant 3\e^{-x}.\]
Pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $\begin{cases}-1\leqslant -\cos x\leqslant 1\\-1\leqslant \sin x\leqslant 1\\1\leqslant 1\leqslant 1\end{cases}$ donc par somme : $\boxed{\textcolor{red}{-1\leqslant -\cos x+\sin x\leqslant 3}}$.

Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$, on en déduit :\[\boxed{\textcolor{red}{-\mathrm{e}^{-x}\leqslant f(x)\leqslant 3\mathrm{e}^{-x}}}\].

\item %En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$ donc, d'après le théorème des gendarmes, \[\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}\].

\item %Démontrer que, pour tout $x\in\R$, $f'(x)=\e^{-x}(2\cos x-1)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
$f$ est le produit de deux fonctions :

$\forall x\in\mathbb{R}$ : $f'(x)=-\mathrm{e}^{-x}\left(-\cos x+\sin x+1\right)+\mathrm{e}^{-x}\left(\sin x+\cos x\right)=\mathrm{e}^{-x}\left(2\cos x-1\right)$ donc \[\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\e^{-x}(2\cos x-1)}}\].

\item Dans cette question, on étudie la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$ $f'(x)$ est du signe de $u(x)=2\cos x-1$. $u(x)=0\Leftrightarrow \cos x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{\pi}{3}$.

$2\cos x-1>0\Leftrightarrow \cos x>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x\in\left]-\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{\pi}{3}\right[$.

Signe de $f'(x)$ : 

\begin{center}
\begin{variations}
x&\-\pi&&-\dfrac{\pi}{3}&&\dfrac{\pi}{3}&&\pi\\
\filet
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\filet
\end{variations}
\end{center}

		\item %En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$.
On en déduit les variations de $f$ sur $\left[-\pi~;~\pi\right]$ :

\begin{center}
\begin{variations}
x&-\pi&&-\dfrac{\pi}{3}&&\dfrac{\pi}{3}&&\pi\\
\filet
\m{f(x)}&\h{2\mathrm{e}^{\pi}}&\d&\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{e}^{\frac\pi3}&\c&\h{\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\mathrm{e}^{-\frac\pi3}}&\d&2\mathrm{e}^{-\pi}&\\
\filet
\end{variations}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B — Aire du logo}

\smallskip

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé \Oij. L'unité graphique est de 2 centimètres. Ces deux courbes sont tracées en ANNEXE.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Étudier la position relative dela courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la courbre $\mathcal{C}_g$ sur $\R$.
$\forall x\in\mathbb{R}$, $f(x)-g(x)=\mathrm{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1)-\left(-\mathrm{e}^{-x}\cos x\right)=\mathrm{e}^{-x}(\sin x+1)$.

Or, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\sin x\geqslant -1$ donc $\sin x+1\geqslant 0$ donc $f(x)-g(x)\geqslant 0$ donc $f(x)\geqslant g(x)$.

La courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de la courbe $\mathscr{C}_f$ (avec points communs pour $\sin x=-1$, donc pour $x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$).

\item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par:
\[
H(x)=\left(-\frac{\cos x}{2}-\frac{\sin x}{2}-1\right)\e^{-x}.
\]
On admet que $H$ est une primitive de la fonction $x\mapsto (\sin x+1)\e^{-x}$ sur $\R$.

On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la courbe $\mathcal{C}_g$ est les droites d'équation $x=-\frac{\pi}{2}$ et $x=\frac{3\pi}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurons le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique en annexe à rendre avec la copie.

\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-2.)(5.,1.)
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\multips(0,-2)(0,1.0){4}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-2.,0)(5.,0)}
\multips(-2,0)(1.0,0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-2.)(0,1.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.,-2.)(5.,1.)
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot{-1.57}{4.712}{EXP(-x)*(-cos(x)+sin(x)+1)},
\psplot{4.712}{-1.57}{-EXP(-x)*cos(x)}}
\end{pspicture*}
		\item %Calculer, une unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm\up{2}.
L'aire vaut $\mathscr{A}=H\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)-H\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac{3\pi}{2}}+\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{\frac\pi2}}}$.

$\mathscr{A}\approx 2,4$ u.a., donc $\mathscr{A}\approx 9,6$ cm\up{2}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%: EXERCICE 4
\vspace{0,5cm}\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\smallskip
\textsc{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip


Le directeur d'une réserve marine a recensé \np{3000} cétacés dans cette réserve au 1\up{er} juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en \og réserve marine\fg{} ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à \np{2000}.

\smallskip

Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année:
\begin{itemize}
\item entre le 1\up{er} juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine;
\item entre le 1\up{er} novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5~\% de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.
\end{itemize}

On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1\up{er} juin de l'année $2017+n$. On a donc $u_0=\np{3000}$.
\begin{enumerate}
\item
% Justifier que $u_1=\np{2926}$.
$u_1=\left(u_0+80\right)\times 0,95=0,95\times \np{3080}=\np{2926}$.

 \item %Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\np{0,95}u_n+76$.
 Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\left(u_n+80\right)\times 0,95=\boxed{\textcolor{red}{0,95u_n+76}}$.
 
 \item À l'aide d'un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite $(u_n)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\rowcolor{lightgray!50}&A&B&C&D&E&F&G&H&I\\
\hline
\cellcolor{lightgray!50}1&$n$&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
\cellcolor{lightgray!50}2&$u_n$&\np{3000}&\np{2926}&\np{2856}&\np{2789}&\np{2725}&\np{2665}&\np{2608}&\np{2553}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
%Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $(u_n)$~?
En C2, on doit taper \og{}=0.95*B2+76\fg{}

\item \begin{enumerate}
\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant\np{1520}$.
Montrons par récurrence que, pour tout $n$, $u_n\geqslant\np{1520}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : $u_0=3000\geqslant \np{1520}$ donc la propriété est vraie au rang 0.

\item On suppose que $u_n\geqslant \np{1520}$ pour un entier $n$ quelconque.

Alors : $0,95u_n\geqslant 0,95\times 1520$ d'où $0,95u_n+76\geqslant 0,95\times 1520+76= \np{1520}$ donc la propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

\item %Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=0,95u_n+76-u_n=-0,05u_n+76=-0,05\left(u_n-\np{1520}\right)\leqslant 0$ car on a montré que $u_n\geqslant \np{1520}$.

La suite $\left(u_n\right)$ est bien décroissante.

\item %Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minée par \np{1250}, donc convergente.
\end{enumerate}

\item On désigne par $(v_n)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-\np{1520}$.
\begin{enumerate}

\item %Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison \np{0,95} dont on précisera le premier terme.
Pour tout $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-1520=0,95u_n+76-\np{1520}=0,95u_n-\np{1444}=0,95\left(u_n-\np{1520}\right)\\
=\boxed{\textcolor{red}{0,95v_n}}$.

La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique, de raison $q=0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-\np{1520}=\np{3000}-\np{1520}=\np{1480}$.

\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{1480}\times\np{0,95}^n+\np{1520}$.
Par conséquent, puisque $\left(v_n\right)$ est géométrique, $v_n=v_0q^n=\np{1480}\times 0,95^n$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{u_n=\np{1480}\times\np{0,95}^n+\np{1520}}}$.

\item %Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
$-1<0,95<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,05^n=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=1520}}$.
\end{enumerate}

\newpage


\item Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à \np{2000}.
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{4cm}
$n\leftarrow 0$\\
$u\leftarrow\np{3000}$\\
Tant que {\red $u > \np{2000}$}\\
\phantom{xxxx}$n\leftarrow {\red n+1}$\\
\phantom{xxxx}$u\leftarrow {\red 0,95*u + 76}$\\
Fin de Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}
%La notation \og $\leftarrow$\fg{} correspond à une affectation de valeur, ainsi \og $n\leftarrow 0$\fg{} signifie \og Affecter à $n$ la valeur $0$\fg{}.
\item %La réserve marine fermera-t-elle un jour~? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.
On a vu que la limite de la suite est \np{1520} donc il y a une valeur de la suite pour laquelle \\
$u_n<1200$.

On trouve $\boxed{\textcolor{red}{n=22}}$.
\end{enumerate}

%: EXERCICE 4
\vspace{0,5cm}\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\smallskip
\textsc{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip


Le droit de pêche dans une réserve marine est réglementé : chaque pêcheur doit posséder une carte d'accréditation annuelle. Il existe deux types de cartes :
\begin{itemize}
\item une carte de pêche dite « libre » entre parenthèse le pêcheur mais pas limité en nombre de poissons pêchés);
\item une carte de pêche dite « avec quota »(le pêcheur ne doit pas dépasser une certaine quantité hebdomadaire de poisson).
\end{itemize}
On suppose que le nombre total de pêcheurs reste constant d'année en année.\\
On note, pour l'année $2017+n$:
\begin{itemize}
\item $\ell_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche libre ;
\item $q_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche avec quota.
\end{itemize}

On observe que:
\begin{itemize}
\item chaque année, 65~\% des possesseurs de la carte de pêche libres achètent de nouveau une carte de pêche libre l'année suivante;
\item Chaque année, 45~\% des possesseurs de la carte de pêche avec quota achètent une carte de pêche libre l'année suivante ;
\item En 2017, 40~\% des pêcheurs ont acheté une carte de pêche libre. On a donc $\ell_0=\np{0,4}$ et $q_0=\np{0,6}$.
\end{itemize}

On note, pour tout entier naturel $n$, $P_n=\begin{pmatrix}
\ell_n\\q_n
\end{pmatrix}$.


\begin{enumerate}
\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=MP_n$, où $M$ est la matrice carrée $\begin{pmatrix}
%\np{0,65}&\np{0,45}\\
%\np{0,35}&\np{0,55}
%\end{pmatrix}$.
Il est clair que $P_{n+1}=MP_n$, où $M$ est la matrice carrée $\begin{pmatrix}
\np{0,65}&\np{0,45}\\
\np{0,35}&\np{0,55}
\end{pmatrix}$.

\item %Calculer la proportion de pêcheurs achetant une carte de pêche avec quota en 2019.
2019 correspond à $n=2$.

$P_2=M^2P_0=\begin{pmatrix}
\np{0,65}&\np{0,45}\\
\np{0,35}&\np{0,55}
\end{pmatrix}^2\times \begin{pmatrix}0,4\\0,6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,556\\0,444\end{pmatrix}$ (à la calculatrice).

La proportion de pêcheurs achetant une carte de pêche avec quota en 2019 est donc $\boxed{\textcolor{red}{q_2=0,444}}$.


\newpage


\item Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{|c|l|}
\hline
\cellcolor{lightgray!50}\begin{tabular}{c}1\\$\circ$\end{tabular} & 
\begin{tabular}{l}
$M:=\{\{\np{0.65},\np{0,45}\},\{\np{0.35},\np{0.55}\}\}$\\
$\checkmark~~ M:=\begin{pmatrix}
0.65&0.45\\0.35&0.55
\end{pmatrix}$
\end{tabular}
\\
\hline
\cellcolor{lightgray!50}\begin{tabular}{c}2\\$\circ$\end{tabular} & 
\begin{tabular}{l}
$P_0:=\{\{ 0.4 \},\{ 0.6 \}\}$\\
$\checkmark~~ P_0:=\begin{pmatrix}
0.4\\0.6
\end{pmatrix}$
\end{tabular}
\\
\hline
\cellcolor{lightgray!50}\begin{tabular}{c}3\\$\circ$\end{tabular} & 
\begin{tabular}{l}
$Q:=\{\{ 9,1 \},\{ 7,$-1$ \}\}$\\
$\checkmark~~ Q:=\begin{pmatrix}
9&1\\7&-1
\end{pmatrix}$
\end{tabular}
\\
\hline
\cellcolor{lightgray!50}\begin{tabular}{c}4\\$\circ$\end{tabular} & 
\begin{tabular}{l}
$T:=\{\{ 1/16,1/16 \},\{ 7/16,$-9/16$ \}\}$\\
$\checkmark~~ T:=\begin{pmatrix}
\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{7}{16}&-\frac{9}{16}
\end{pmatrix}$\\[-0.5ex]\quad
\end{tabular}
\\
\hline
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{|c|l|}
\hline
\cellcolor{lightgray!50}\begin{tabular}{c}5\\$\circ$\end{tabular} & 
\begin{tabular}{l}
$TQ$\\
$\rightarrow~~ \begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}$
\end{tabular}
\\
\hline
\cellcolor{lightgray!50}\begin{tabular}{c}6\\$\circ$\end{tabular} & 
\begin{tabular}{l}
$QT$\\
$\rightarrow~~ \begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}$
\end{tabular}
\\
\hline
\cellcolor{lightgray!50}\begin{tabular}{c}7\\$\circ$\end{tabular} & 
\begin{tabular}{l}
$D:=TMQ$\\
$\rightarrow~~ D:=\begin{pmatrix}
1&0\\0&\frac15
\end{pmatrix}$
\\[-0.5ex]\quad
\end{tabular}
\\
\hline
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{center}

%En vous appuyant sur les résultats précédents, répondre aux deux questions suivantes :
\begin{enumerate}
\item %Justifier que $Q$ est une matrice inversible et préciser sa matrice inverse.\\
%On notera $Q^{-1}$ la matrice inverse de $Q$.
Le déterminant de $Q$ est $9\times (-1)-7\times 1=-16\neq 0$ donc $Q$ est inversible.

Alors $Q^{-1}=\dfrac{1}{-16}\begin{pmatrix}-1&-1\\-7&9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{16}&\dfrac{1}{16}\\\dfrac{7}{16}&-\dfrac{9}{16}\end{pmatrix}$

\item %Justifier que $M=QDQ^{-1}$ et démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul :
%\[M^n=QD^nQ^{-1}.\]
$QDQ^{-1}=\begin{pmatrix}9&1\\7&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{16}&\dfrac{1}{16}\\\dfrac{7}{16}&-\dfrac{9}{16}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&\dfrac{1}{5}\\7&-\dfrac{1}{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{16}&\dfrac{1}{16}\\\dfrac{7}{16}&-\dfrac{9}{16}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,65&0,45\\0,35&0,55\end{pmatrix}=M$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M=QDQ^{-1}}}$.
\end{enumerate}

\item On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
\[
M^n=\frac{1}{16}\begin{pmatrix}
9+7\times\np{0,2}^n&9-9\times\np{0,2}^n\\
7-7\times\np{0,2}^n&7+9\times\np{0,2}^n
\end{pmatrix}.
\]
\begin{enumerate}
\item
%Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $P_n=M^nP_0$.
Démontrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $P_n=M^nP_0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item initislisation : Pour $n=0$, $M^0P_0=P_0$ donc la propriété est vraie au rang $0$.

\item On suppose que $P_n=M^nP_0$  pour un entier $n$ quelconque.

Alors : $P_{n+1}=MP_n=MM^nP_0=M^{n+1}P_0$ donc la propriété est héréditaire.
\end{enumerate}`D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

\item %Justifier que, pour tout entier naturel $n$:
%\[
%\ell_n=\frac{9}{16}-\frac{13}{80}\times\np{0,2}^n.
%\]
Par conséquent : $M_n=\begin{pmatrix}l_n\\q_n\end{pmatrix}=M^nP_0=\frac{1}{16}\begin{pmatrix}
9+7\times\np{0,2}^n&9-9\times\np{0,2}^n\\
7-7\times\np{0,2}^n&7+9\times\np{0,2}^n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,4\\0,6\end{pmatrix}$.

On en déduit que $\ell_n=\dfrac{1}{16}\left[9\times 0,4+7\times 0,2^n\times 0,4+9\times 0,6-9\times 0,6\times 0,2^n\right]=\dfrac{1}{16}\left(9-2,6\times 0,2^n\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{16}-\dfrac{13}{16}\times 0,2^n}}$.
\end{enumerate}
\item %La proportion de pêcheurs achetant la carte de pêche libre dépassera-t-elle 60~\%~?
Pour tout $n$, $\ell_n\leqslant \dfrac{9}{16}=0,5625=\dfrac{56,25}{100}=56,25\:\%$ donc la proportion de pêcheurs achetant la carte de pêche libre ne dépasse pas 60\:\%.
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}





