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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2012}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Polynésie ~\decofourright\\
septembre 2012}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Activités numériques \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip 

%On donne le programme de calcul suivant :
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|@{~$\bullet~~$}l l|}\hline
%&Choisir un nombre.\\ 
%&Lui ajouter 1.\\ 
%&Calculer le carré de cette somme.\\ 
%&Enlever 16 au résultat obtenu.\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center} 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 4,  on obtient comme résultat $9$.
$4  \to 4 + 1 = 5 \to 5^2 = 25 \to 25 - 16 = 9$.
		\item %Lorsque le nombre de départ est $(- 3)$. quel résultat obtient-on ? 
$- 3 \to -3 + 1 = - 2 \to (- 2)^2 = 4 \to 4 - 16 = - 12$.
		\item %Le nombre de  départ étant, exprimer le résultat final en fonction de $x$, 
		
%On appelle $P$ cette expression.
$x \to x + 1 \to (x + 1  )^2 \to (x + 1)^2 - 16 = P$ 
		\item %Vérifier que $P = x^2 + 2x - 15$.
		$P = (x + 1)^2 - 16 = x^2 + 2x + 1 - 16 = x^2 + 2x - 15$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $(x - 3)(x + 5) = P$.
on a $P =  (x + 1)^2 - 16 = (x + 1)^2 - 4^2 = (x + 1 + 4)(x + 1 - 4) = (x + 5)(x - 3)$.
		\item %Quels nombres peut-on choisir au départ pour que le résultat final soit $0$ ?
Avec la forme factorisée on voit que $P = 0$ si $x + 5 = 0$ ou si $x - 3 = 0$, soit pour $x = - 5$ ou $x = 3$. 		
%Justifier votre réponse. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 :}

\medskip 

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
% 
%Pour chaque question quatre réponses sont proposées mais \textbf{une seule est exacte}.
% 
%Pour chacune des questions, écrire sur votre copie le numéro de la question et la lettre A,  B,  C ou D correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
% 
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Question &Réponse A &Réponse B &Réponse C &Réponse D\\ \hline 
%\textbf{1.} L'écriture sous forme scientifique de  $10^2 \times 21 \times  10^{- 7}$ est :&
%$21 \times 10^{-3}$& $2,1 \times 10^{9}$& $2,1 \times 10^{- 4}$& \small $0,21 \times 10^{- 3}$\\ \hline 
%\textbf{2.} Le premier quartile Q$_{1}$ de la série de valeurs : 58 ; 55 ; 61 ; 70 ; 
%61 ; 65 ; 58 ; 55 ; 72 est :& 61&58&55&2\\ \hline 
%\textbf{3.} $\sqrt{500}$ est égale à :& 
%$10\sqrt{5}$&$100\sqrt{5}$&$22,36$& $50$\\ \hline 
%\textbf{4.} Les solutions de l'inéquation 
%$- 2x + 5 \geqslant  7$ sont les nombres $x$ tels que : &$x \geqslant 1$&$x \leqslant 1$&$x \geqslant - 1$&$x \leqslant - 1$\\ \hline
%\end{tabularx} 
\begin{enumerate}
\item $10^2 \times 21 \times  10^{- 7} = 21 \times 10^{- 5} = 2,1 \times 10^{- 4}$. Réponse C.
\item  Réponse B.
\item $\sqrt{500} = \sqrt{100 \times 5} = \sqrt{100} \times \sqrt{5} = 10\sqrt{5}$. Réponse A.
\item $- 2x + 5 \geqslant  7$ d’où $5 - 7 \geqslant 2x$ ou $- 2 \geqslant 2x$ et $- 1 \geqslant x$ ou encore $x \leqslant - 1$. Réponse D.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 :}

\medskip 

%Une usine de Moorea fabrique du jus de fruits.
% 
%Soit $C$ une fonction qui, à une quantité de jus fabriquée en litre(s) associe le coût de fabrication en F.
% 
%On a représenté ci-dessous la fonction $C$ pour une quantité de jus comprise entre $0$ et 130 litres. 
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.085cm,yunit=0.0085cm}
%\begin{pspicture}(-5,-50)(135,800)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(-5,-50)(135,800)
%%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{130}{x 3 exp 3 div x dup mul 67.5 mul sub x 2525 mul add 0.019017 neg mul 600 add}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,600)(10,660)(20,678)(30,680)(40,662)(50,628)(60,575)(70,525)(80,470)(90,430)(100,400)(110,395)(120,410)(130,455)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes :
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner le coût de fabrication de 100 litres de jus. 
La droite d’équation $x = 100$ coupe la courbe en un point d’ordonnée 400. 
		\item %Pour quelle(s) quantité(s) de jus, le coût de fabrication est-il  supérieur à 550~F ?
Le coût de fabrication est  supérieur à 550~F pour $0 \leqslant x \leqslant 65$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Donner l'image de 85 par la fonction $C$.
		On lit à peu près $C(85) = 450$.
		\item On lit  $C(75) = 500$. 
		\item %Donner le(s) antécédent(s) de $600$ par la fonction $C$.
		Les antécédents de 600 semblent être 0 et 50.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Activités géométriques \hfill 12 points}

\medskip 

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip
  
Un sculpteur fabrique un \og umete \fg{} en bois (récipient) ayant la forme d'une demi-sphère de rayon 15~cm (\emph{l'épaisseur du umete est supposée négligeable}).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Vérifier que la valeur exacte du volume du umete est égale à \np{2250}$\pi$~ cm$^3$. 
Le volume d’une boule étant $\dfrac{4}{3}\pi R^3$, celle de l’umete est $\dfrac{2}{3}\pi \times 15^3 =  2 \times  15 \times 15 \times 5\pi = \np{2250}\pi$~cm$^3$.
\item %Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
 
%Pourra-t-on verser dans ce umete 7 litres de lait de coco sans déborder ? Justifier.
$\np{2250}\pi \approx \np{7068,58}$~cm$^3$ soit plus de 7,06~dm$^3$ ou 7,06~L. L’umete ne débordera pas. 
%\begin{tabular}{l l l}
%\textbf{Rappels}&$\bullet~~$&Le volume d'une boule de rayon $r$ est : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.\\  
%&$\bullet~~$&1 litre = 1 dm$^3$\\
%\end{tabular} 
\end{enumerate}
 
\medskip 

\textbf{Exercice 2 :}

\medskip

%\textbf{Dans tout cet exercice,  les figures ne  sont pas à l'échelle.}
% 
%Moana décide de participer à un  triathlon. Il prend connaissance des parcours des. trois épreuves : natation, cyclisme et course à pied.
%
%\medskip
\begin{enumerate}
\item 1\up{re} épreuve :  la natation
 
%Le départ se fait sur la plage au point D, Les triathlètes doivent  contourner une bouée située au point B, puis rejoindre la plage au point  A.
% 
%On donne AB = 800~m et AD = \np{2341}~m et (AB) $\perp$ (BD). 
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8,4)
%\def\vague{\pscurve(0,0)(0.5,0.2)(1,-0.2)(1.5,0.2)}
%\psline[linestyle=dashed](1,1)(5,3.5)(6.5,1)%DBA
%\psline(1,1)(6.5,1)
%\uput[d](1,1){D} \uput[ur](5,3.5){B} \uput[d](6.5,1){A}
%\rput(3.75,0.5){Plage}
%\rput(7,1.8){\vague} 
%\rput(1,2){\vague} \rput(1.8,3.5){\vague} \rput(1.8,1.3){\vague} \rput(3.7,2){\vague}\rput(6.5,3){\vague} \rput(7,4){\vague}
%\end{pspicture}
%\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la longueur du parcours \og natation \fg{} représenté par DB + BA. Donner la réponse arrondie au mètre. 
Le triangle ABD est rectangle en B ; le théorème de Pythagore permet d’écrire :

$\text{AD}^2 = \text{AB}^2  + \text{BD}^2$ d’où $\text{BD}^2 = \text{AD}^2 - \text{AB}^2 = \np{2341}^2 - 800^2 = \np{4840281}$.

Donc BD $ = \sqrt{4840281} \approx \np{2200,06}$ soit \np{2200} au mètre près.

Le parcours natation fait donc AB + BD = 800 + \np{2200} = \np{3000}~m, soit 3~km. 		
		\item %Calculer $\sin \widehat{\text{ADB}}$ ; en déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{ADB}}$ arrondie au degré.
Dans le triangle ABD rectangle en B, on a  $\sin \widehat{\text{ADB}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AD}} = \dfrac{800}{\np{2341}} \approx 0,342$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{ADB}} \approx 19,98$ soit 20\degres au degré près.
	\end{enumerate}
	 
\item 2\up{e} épreuve : 

%\parbox{0.55\linewidth}{Le circuit \og vélo \fg{} est un arc de cercle de centre O.\\
%Le  départ a lieu au point M et l'arrivée au point N.\\ 
%Un spectateur situé en O voit le premier tronçon $\widearc{\text{MC}}$ 
%parcouru par le cycliste sous un angle de $81,5~\degres$).\\
% On souhaite déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{MNC}}$.}\hfill
%\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
%\SpecialCoor
%\psarc(0,0){2}{-180}{55}
%\psline[linestyle=dashed](0;0)(2;180)(2;55)(2;-95)(0;0)
%\SpecialCoor
%\uput[u](2;180){M}\uput[ur](2;55){N}\uput[dl](2;-95){C}\uput[ur](0;0){O}
%\psarc(2;55){0.3}{-155}{-105}\psarc(0;0){0.3}{-180}{-101}
%\rput(0.7;-134){81,5~\degres}
%\end{pspicture}
%} 
%
\begin{enumerate}
		\item 
\textbf{Dans cet exercice}, pour déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{MNC}}$,  laquelle des quatre propriétés suivantes faut-il utiliser ? Choisir et \textbf{recopier la propriété sur votre copie}. 
%
%\medskip
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc,  alors ils ont la même mesure, 
%\item[$\bullet~~$] Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors c'est un triangle rectangle. 
%\item[$\bullet~~$] Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, alors la mesure de l'angle inscrit est la moitié de la mesure de l'angle au centre, 
%\item[$\bullet~~$] Dans un triangle isocèle,  les angles à la base ont la même mesure.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, alors la mesure de l'angle inscrit est la moitié de la mesure de l'angle au centre.
		\item %Donner alors la mesure de l'angle $\widehat{\text{MNC}}$.
D’après la propriété précédente, on a  $\widehat{\text{MNC}} = \dfrac{\widehat{\text{MOC}}}{2} = 40,75$\degres.
	\end{enumerate}

\item 3\up{e} épreuve : la course à pied

%\begin{center}
%\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.5)(8.5,2)
%\psline{->}(0,1)(4,1)\psline{->}(4,1)(8,1)
%\psline{->}(8,0)(4,0)\psline{->}(4,0)(0,0)
%\psarc(8,0.5){0.25}{-90}{90}
%\uput[u](4,1){10~km}\uput[d](4,0){10~km}
%\end{pspicture}
%\end{center}
% 
%Le circuit \og course à pied \fg{)} est un aller-retour de 20~km (10 km à l'aller et 10 km au retour).
% 
%Pour le trajet aller, qui s'effectue dans le sens du vent,  Moana estime que sa vitesse moyenne sera de 16 km/h.
% 
%Pour le trajet retour,à cause du vent de face et de la fatigue Moana pense courir à la vitesse moyenne de 10 km/h.
% 
%Peut-on affirmer que sa vitesse moyenne sera de 13 km/h sur l'ensemble du circuit \og course à pied \fg ? Justifier votre réponse.

%\medskip
% 
%\emph{L'évaluation de cette question  tiendra compte des observations et étapes de recherche, même incomplètes ;  les faire apparaître sur votre copie.} 
Le temps $t_a$ de l’aller est égal à $\dfrac{10}{16} = \dfrac{5}{8} = 0,625$~(h).

Le temps $t_r$ du retour est égal à $t_r = \dfrac{10}{10} = 1$~(h).

Il pense donc faire les 20 km en 1,625~h, soit à une vitesse moyenne de $\dfrac{20}{1,625} \approx 12,3$ km/h donc moins que les 13 km/h espérés.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Problème \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

%Un bijoutier achète un lot de 220 perles de Tahiti.
% 
%Un contrôleur qualité s'intéresse à leurs formes (ronde ou baroque) et à leurs couleurs (grise ou verte).
%
%\medskip
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 35\,\% des perles sont de couleur verte, et parmi celles~ci $13$ sont de forme ronde. 
%\item[$\bullet~~$] Il y a 176 perles de forme baroque,
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%Il  note les résultats dans la feuille de calcul ci-dessous 
%
%\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 			&B 			&C 			&D\\ \hline 
1	&				&Rondes 	&Baroques&Total\\ \hline 
2 	&Grises	&31			&112		&143\\ \hline
3 	&Vertes	&13			&64			&77\\ \hline
4 	&Total		&44			&176		& 220\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item %Pour obtenir le nombre de perles vertes à partir des informations données dans l'énoncé, quelle formule doit-il saisir en D3 ? Parmi les quatre formules proposées, recopier sur votre copie la bonne formule : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%\fbox{=D4*1,35}&\fbox{220*35 / 100}&\fbox{=D4 * 0,35}&\fbox{=B3 + C3}\\
%\end{tabularx}
\fbox{=D4 * 0,35}
\item %Compléter le tableau ci-dessus. 
Voir au dessus.
\item %On choisit au hasard une perle de ce lot. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité pour que cette perle soit de forme baroque ? 
La probabilité est égale à $\dfrac{176}{220} = \dfrac{16 \times 11}{20 \times 11} = \dfrac{16}{20} = \dfrac{4}{5} = 0,8 = 80\,\%$.
		\item %Quelle est la probabilité de tirer une perle baroque verte ?
La probabilité est égale à $\dfrac{77}{220} = \dfrac{7 \times 11}{20 \times 11} = \dfrac{7}{20} = 0,35 = 35\,\%$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	 
\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

%Ce bijoutier se fournit chez un perliculteur de l'archipel des Gambier.
% 
%L'acheminement vers Tahiti des lots de perles, s'effectue selon deux tarifs :
%
%\medskip
% 
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Tarif \og  Ho' \fg{} : \np{2300}~F par lot. 
%\item[$\bullet~~$] Tarif \og Piti \fg{} : \np{7000}~F fixe et $900$~F par lot
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer, pour chaque tarif, le montant de l'acheminement de 4 lots. 
Tarif Ho’ : $4 \times \np{2300} = \np{9200}$~F ;

Tarif Piti : $\np{7000} + 4 \times 900 = \np{10600}$~F.
\item %On note $x$ le nombre de lots de perles expédié(s). 
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer, en fonction de $x$, le montant de l'acheminement avec le tarif Ho'. 
Le tarif est égal à $\np{2300}x$
		\item %Exprimer, en fonction de $x$, le montant de l'acheminement avec le tarif  Piti.
Le tarif est égal à $\np{7000} + 900x$
	\end{enumerate}

\newpage 
\begin{center}\textbf{Cette page  est à rendre avec la copie}
\end{center} 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $f$ et $g$ les deux fonctions définies par :
		 
%\[f : x \longmapsto  \np{2300}x \quad \text{et}\quad  g \longmapsto 900x + \np{7000}.\]
% 
%\textbf{Dans le repère ci-dessous} (à rendre avec la copie), construire les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$. 
		\item %Par lecture graphique, déterminer à partir de combien de lots expédiés, le tarif Piti est plus avantageux pour le bijoutier que le tarif  Ho'e.
On constate que pour $x >5$ le tarif Piti devient le moins onéreux.		
		\medskip
		
%\emph{Vous ferez apparaître, sur le dessin, les tracés nécessaires pour justifier votre réponse.} 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.00085cm,arrowsize=3pt 4}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.67,-500)(9,14000)
\multido{\r=0.000+0.333}{28}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\r,0)(\r,14000)}
\multido{\n=0+500}{29}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=15000]{->}(0,0)(-0.67,-500)(9,14000)
\multido{\n=0+1000}{14}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\uput[d](8,-400){Nombre de lots}\uput[r](0,13800){Frais d'envoi (en F)}
\uput[d](9,0){$x$}\uput[l](0,14000){$y$}
\uput[dr](0,0){O}
\psplot{0}{6.086}{2300 x mul}
\psplot{0}{7.77}{900 x mul 7000 add}
\psline[ArrowInside=->](0,11500)(5,11500)(5,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}