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%Tapuscrit : Stéphan Grignon
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}	%%%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}	%%%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}	%%%le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D}
\lfoot{\small{Métropole Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{17 juin 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Métropole Antilles--Guyane 17 juin 2025}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large EXERCICE PCM \hfill physique-chimie et mathématiques \hfill 4 points}

\begin{enumerate}[start=6]
\item La dérivée du premier terme est :
$\left(12,25 t\right)' = 12,25.$

Le second terme est de la forme $\cos(u(x))$ dont la dérivée est :
\[(\cos(u(x)))' = u'(x) \times (-\sin(u(x))).\]

On a donc :
\begin{align*}
\left(\dfrac{13,91}{\np{12466}} \cos(\np{12466}t)\right)' &= \dfrac{13,91}{\np{12466}} \times (-\np{12466} \sin(\np{12466}t)) \\
&= -13,91 \sin(\np{12466}t).
\end{align*}

Ainsi, on a :
\[F'(t) = 12,25 - 13,91 \sin(\np{12466}t) = f(t).\]

$F$ est donc bien une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.

\item L'énergie $E_{\text{mod}}$ est donnée par l'intégrale :
\[E_{\text{mod}} = \int_{0}^{60} f(t) \, \mathrm{d}t = F(60) - F(0).\]

Calculons $F(60)$ :
\begin{align*}
F(60) &= 12,25 \times 60 + \dfrac{13,91}{\np{12466}} \cos(\np{12466} \times 60) \\
&= 735 + \dfrac{13,91}{\np{12466}} \cos(\np{747960}).
\end{align*}

Calculons $F(0)$ :
\[F(0) = 12,25 \times 0 + \dfrac{13,91}{\np{12466}} \cos(0) = \dfrac{13,91}{\np{12466}}.\]

Ainsi :
\[E_{\text{mod}} = 735 + \dfrac{13,91}{\np{12466}} \cos(\np{747960}) - \dfrac{13,91}{\np{12466}} \approx 735 \text{ mJ}.\]
\end{enumerate}

\bigskip


\textbf{\large EXERCICE Maths  \hfill mathématiques \hfill 4 points}

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item Le module est toujours positif et vaut ici $5$ (distance à l'origine),
\item L'angle est de $45^\circ$ dans le sens horaire, soit $-\frac{\pi}{4}$ (position dans le 4ème quadrant).
\end{itemize}

Donc l'affixe du point M est :
$5\e^{-\i\frac{\pi}{4}} \quad \longrightarrow \quad \text{réponse \textbf{C}.}$

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Soit l'équation différentielle $y' = 2y - 0,5$.

\begin{enumerate}
    \item Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme :
\[y' + ay = b \quad \text{avec } a = -2 \text{ et } b = -0,5.\]

La solution générale est :
\begin{align*}
f(t) &= k\e^{-at} + \dfrac{b}{a} \\
&= k\e^{2t} + \dfrac{-0,5}{-2} \\
&= k\e^{2t} + 0,25 \text{ où } k \in \mathbb{R}.
\end{align*}

    \item On a :
\[f(t) = k\e^{2t} + 0,25.\]
\[f'(t) = 2k\e^{2t}.\]

Avec la condition initiale :
\[f'(0) = 2k = -3 \Rightarrow k = -\dfrac{3}{2} = -1,5.\]

La solution est donc :
\[f(t) = -1,5\e^{2t} + 0,25.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 3}

\begin{align*}
f(x) &= 0 \\
\e^{-0,016x} - 2 &= 0 \\
\e^{-0,016x} &= 2 \\
-0,016x &= \ln(2) \\
x &= -\dfrac{\ln(2)}{0,016} \\
x &\approx -43,32 \; \text{à} \; 10^{-2} \; \text{près.}
\end{align*}

\bigskip

\textbf{Question 4}

\begin{align*}
\ln\left(\dfrac{x^4}{9}\right) - 3 \ln(x) + \ln\left(\dfrac{9}{x}\right) 	&= \ln(x^4) - \ln(9) - 3 \ln(x) + \ln(9) - \ln(x) \\
&= 4\ln(x) - 3 \ln(x) - \ln(x) \\
&= 0.
\end{align*}
Ce qui prouve l'égalité.

\bigskip


\textbf{\large Exercice MQ1}

\medskip

\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item Le module est toujours positif et vaut ici $5$ (distance à l'origine),
\item L'angle est de $45^\circ$ dans le sens horaire, soit $-\frac{\pi}{4}$ (position dans le 4ème quadrant).
\end{itemize}

Donc l'affixe du point M est :
$5\e^{-\i\frac{\pi}{4}} \quad \longrightarrow \quad \text{réponse \textbf{C}.}$

\bigskip

\textbf{\large Exercice MQ2}

\medskip

Soit l'équation différentielle $y' = 2y - 0,5$.

\begin{enumerate}
    \item Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme :
\[y' + ay = b \quad \text{avec } a = -2 \text{ et } b = -0,5.\]

La solution générale est :
\begin{align*}
f(t) &= k\e^{-at} + \dfrac{b}{a} \\
&= k\e^{2t} + \dfrac{-0,5}{-2} \\
&= k\e^{2t} + 0,25 \text{ où } k \in \mathbb{R}.
\end{align*}

    \item On a :
\[f(t) = k\e^{2t} + 0,25.\]
\[f'(t) = 2k\e^{2t}.\]

Avec la condition initiale :
\[f'(0) = 2k = -3 \Rightarrow k = -\dfrac{3}{2} = -1,5.\]

La solution est donc :
\[f(t) = -1,5\e^{2t} + 0,25.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice MQ3}

\begin{align*}
f(x) &= 0 \\
\e^{-0,016x} - 2 &= 0 \\
\e^{-0,016x} &= 2 \\
-0,016x &= \ln(2) \\
x &= -\dfrac{\ln(2)}{0,016} \\
x &\approx -43,32 \; \text{à} \; 10^{-2} \; \text{près.}
\end{align*}

\bigskip

\textbf{\large Exercice MQ4}

\begin{align*}
\ln\left(\dfrac{x^4}{9}\right) - 3 \ln(x) + \ln\left(\dfrac{9}{x}\right) 	&= \ln(x^4) - \ln(9) - 3 \ln(x) + \ln(9) - \ln(x) \\
&= 4\ln(x) - 3 \ln(x) - \ln(x) \\
&= 0.
\end{align*}
Ce qui prouve l'égalité.

\end{document}