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%Tapuscrit et corrigé : Denis Vergès
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies},
pdftitle = {Polynésie - 15 juin 2017},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL biotechnologies}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{15 juin 2017}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL biotechnologies   Polynésie~\decofourright\\[4pt]15 juin 2017 }}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

\medskip

\begin{enumerate}
\item Voir l'annexe.
\item  ~
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(12,-3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(12,-3)
\psaxes[axesstyle=axes,linewidth=1.25pt,Oy=-2,xlabelPos=top](12,-3)
\uput[u](11.1,-0.5){$t$ en heures}
\uput[r](0,-2.85){$y = \ln C$}
\psdots(1,-0.5)(2,-0.73)(3,-0.85)(4,-1.1)(5,-1.22)(6,-1.51)(7,-1.73)(8,-1.86)(9,-1.96)(10,-2.34)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11.2}{x 0.196 neg mul 0.3 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\item La calculatrice donne $a \approx  - 0,196$ et $b \approx -2,3$.

Une équation de la droite d'ajustement est donc :

\[y = -0,196t - 2,3.\]

Dans la suite, on retient comme droite d'ajustement la droite $\Delta$ d'équation : $y = - 0,2t - 2,3$.
\item  Voir ci-dessus.
\item  On lit au mieux au centième $\ln C \approx  -4,46$ soit $C \approx  0,012$ millimoles par litre.
\item  On a $y = \ln C - 0,2t - 2,3 \iff  C = \text{e}^{-0,2t-2,3} \iff  C = \text{e}^{-2,3} \times  \text{e}^{-0,2t}$.

Or $\text{e}^{-2,3}  \approx  \np{0,100259} \approx 0,100$ au millième près. Donc finalement l'ajustement est :

\[C = 0,1\text{e}^{-0,2t}.\]

\item  Il faut résoudre l'inéquation :

$0,1\text{e}^{-0,2t} < 0,001 \iff \text{e}^{-0,2t} < 0,01 \iff - 0,2t < \ln 0,01 \iff t > \dfrac{\ln 0,01}{- 0,2} \approx  23,02$.

La concentration sera inférieure à $0,001$ millimole après un peu plus de 23 heures.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip
   
\begin{enumerate}
\item Chaque année la masse de déchets non recyclables doit baisser de 3\,\%. On a donc pour
$n \geqslant 0$, \: $p_{n+1}= \left(1 - \frac{3}{100}\right) p_n = \frac{97}{100}p_n = 0,97p_n$.

La relation $p_{n+1} = 0,97p_n$ signifie que la suite $\left(p_n\right)$ est une suite géométrique dont le premier terme est $p_0 = 30$ et dont la raison est égale à $q = 0,97$.
\item On sait que pour tout $n \geqslant 0$, \, $p_n = p_0 \times q^n = 30 \times 0, 97^n$.
\item 2026 correspond à $n = 11$, d'où $p_{11} = 30 \times 0, 97^{11} \approx \np{21,4590}$ soit environ 21,459 tonnes  au kilo près.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Voir l'annexe.
		\item La valeur affichée en sortie représente le total des déchets non recyclables sur la période de $5$ ans.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Voir l'annexe.
		\item ~
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$& $u$ &$S$\\ \hline
1& 29,10& 59,10\\ \hline
2& 28,23& 87,33\\ \hline
3& 27,38& 114,71\\ \hline
4& 26,56& 141,27\\ \hline
5& 25,76& 167,03\\ \hline
6& 24,99& 192,82\\ \hline
7& 24,24& 216,26\\ \hline
8& 23,51& 239,77\\ \hline
9& 22,81& 262,58\\ \hline
10& 22,12& 284,7\\ \hline
\end{tabularx}		
\end{center}
		
Pour $n = 11$, le total dépassera les $300$ tonnes, soit en 2026.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
   
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}  

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,04t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \np{1000}\text{e}^{-0,04t} = 0$ et enfin $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = \np{1200}$, ce
qui montre géométriquement que la droite horizontale dont une équation est $y = \np{1200}$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ au voisinage de plus l'infini.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Voir la figure à la fin.
		
On lit au bout de 40 heures un peu moins de \np{1000} individus.
		\item Il faut résoudre l'équation
$f(t) = 5 \times f(0) = 5 \times 200 = \np{1000} \iff \np{1200} - \np{1000}\text{e}^{-0,04t} = \np{1000} \iff 200 = \np{1000}e -0,04t \iff$
		
$\dfrac{1}{5} = \text{e}^{-0,04t} \iff \ln \left(\dfrac{1}{5} \right) = - 0,04t \iff t = \dfrac{\ln \frac{1}{5}}{0,04} \iff t \approx  40,24$ soit environ 40 heures et 14 minutes.
 	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $t$ positif ou nul, $f'(t) = - \np{1000} \times (- 0, 04)\text{e}^{-0,04t} = 40\text{e}^{-0,04t}$.
		\item On a donc $f'(50) = 40\text{e}^{-0,04 \times 50} = 40\text{e}^{-2} \approx  5,41$, soit $5,4$ au dixième près.
		\item En partant du point $(50~;~f(50))$ de la tangente on retrouve un autre point de cette tangente en se déplaçant horizontalement de 1 et verticalement de 5,4 ou respectivement
de $10$ à droite et $54$ vers le haut. Voir la figure avec $f(50) \approx  \np{1065}$.
		\item On a $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} = \text{e}^{-0,04t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f'(t) = 0$ : ceci signifie que le nombre dérivé (ou la
pente de la tangente) décroit et tend vers $0$. 
		
La tangente se rapproche donc de l'horizontale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}  
\medskip

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prélève de façon indépendante $200$ flacons et la probabilité à chaque tirage d'avoir un flacon défectueux est de $0,07$ : la variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 200$ et $p = 0,07$.
\item On sait que $p(X = 10) = \binom{200}{10} \times 0,07^{10} \times 0,93^{200-10} =  \binom{200}{10} \times 0,07^{10} \times 0,93^{190} \approx 0,065$ au millième
près.
\item On sait que $E = n \times p = 200 \times 0,07 = 14$.

Ceci signifie que sur un grand nombre de tirages la moyenne de flacons défectueux se rapprochera de 14.

\item L'écart type de la variable aléatoire $X$ est $\sqrt{n \times p \times (1 - p)} = \sqrt{20 \times 0,07 \times 0,93} = \sqrt{13,02} \approx \np{3,6083}$.

L'écart type de la variable aléatoire $X$ est donc au millième près 3,608.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On retrouve les valeurs précédentes trouvées dans la partie A pour la variance et l'écart type.
\item La calculatrice donne $p(Y \leqslant 15) \approx \np{0,6091}$, donc la probabilité qu'un prélèvement de $200$ flacons contienne au moins $15$ flacons non conformes est environ $0,391$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.425cm, yunit=60cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3,algebraic=true,comma=true}
\def\xmin {0}   \def\xmax {28.2}
\def\ymin {-0.01} \def\ymax {0.125}
\begin{pspicture*}(-2.2,\ymin)(28.5,\ymax)
\psaxes[Dx=2,Dy=0.02,ticks=none](0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)
\def\m{14}% moyenne 
\def\s{3.61}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\def\inf{\xmin} \def\sup{8}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]
{
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{\xmin}{\xmax}{\f}
\multido{\n=0+2}{15}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.12)}
\multido{\n=0.00+0.02}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(28,\n)}
\end{pspicture*}
\end{center}

Par symétrie $P(Y \geqslant 20) = P(Y \leqslant 8) = 0,048$.

Donc $P(8 \leqslant y \leqslant 20) = 1 - P(Y \leqslant 8) - P(Y \leqslant 20) = 1 - 0,048 - 0,048 = 0,904$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C}
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $n = 400 \geqslant 30$,\, $np = 400 \times 0,07 = 28 > 5$ et $n(1- p) = 400 \times 0,93 = 372 > 5$.
		
On peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence
des flacons conformes dans un échantillon de $400$~flacons :

\[I = \left[p - 1,96 \sqrt{\dfrac{p(1- p)}{n}}~;~p + 1,96 \sqrt{\dfrac{p(1- p)}{n}}\right] = [0,045~;~0,095].\]

		\item La fréquence est donc $\dfrac{36}{400} = \dfrac{9}{100} =  0,09$.

Comme $0,09 \in I$ on ne peut pas remettre en question la confiance de cette enseigne
de parfumerie envers son entreprise.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire, en fonction de n, un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence de flacons conformes dans un échantillon de $n$ flacons puis vérifier que la
% longueur de cet intervalle est 
On a $I = \left[p - 1,96 \sqrt{\dfrac{0,07(1- 0,07)}{n}}~;~p + 1,96 \sqrt{\dfrac{0,07(1- 0,07)}{n}}\right] =$

$  \left[p - 1,96 \sqrt{\dfrac{0,07\times 0,93}{n}}~;~p + 1,96 \sqrt{\dfrac{0,07\times 0,93}{n}}\right]$  ; la longueur de cet intervalle est égale à :

$1,96 \sqrt{\dfrac{0,07\times 0,93}{n}} - \left(- 1,96 \sqrt{\dfrac{0,07\times 0,93}{n}}\right) = 2 \times 1,96 \sqrt{\dfrac{0,07\times 0,93}{n}}$.
		\item %Avec un logiciel de calcul formel, on a obtenu les informations suivantes:
%2 * 1,96 * sqrt((O,9 3 * 0,07)/ x) <= 0,02
%1 . JO,93 x 0,07
%21,96 x ::;; 0,02
%2(1,96)sqrt((0,93(0,07))/x) ::;; 0,02
%2 Résoudre: { x ~ 1563051 }
%625
%1563051/625
%3 ~ 2500,88
%Utiliser les résultats obtenus pour en déduire la valeur N cherchée.
Le logiciel montre que l'intervalle de fluctuation asymptotique a une longueur inférieure ou égale à $0,02$ pour $N \geqslant \np{2500,8}$

Il faut donc $N$ soit au moins égal à  \np{2501}.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
 
\textbf{\large ANNEXE 1 : Exercice 1 (à rendre avec la copie)}
 
\bigskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\small\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps $t_i$ en heures &1 	&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 		&9 		&10\\ \hline
Concentration $C_i$ en 
millimoles par litre  &0,082&0,065 	&0,058 	&0,045 	&0,040 	&0,030 	&0,024 	&0,021 	&0,019 	&0,013\\ \hline
$y_i = \ln \left(C_i\right)$&$- 2,50$&$-2,73$&$- 2,85$&$- 3,1$&$- 3,22$&$- 3,51$&$- 3,73$&$- 3,86$&$- 3,96$&$- 4,34$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\textbf{\large ANNEXE 2 : Exercice 2 (à rendre avec la copie)}
 
\textbf{4. a.}
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$& $u$ &$S$\\ \hline
1& 29,10& 59,10\\ \hline
2& 28,23& 87,33\\ \hline
3& 27,38& 114,71\\ \hline
4& 26,56& 141,27\\ \hline
5& 25,76& 167,03\\ \hline
6& 24,99& 192,82\\ \hline
7& 24,24& 216,26\\ \hline
8& 23,51& 239,77\\ \hline
9& 22,81& 262,58\\ \hline
10& 22,12& 284,7\\ \hline
\end{tabularx}		
\end{center}

\textbf{5. a.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables :}\\
$n$ entier naturel\\
$u$ et $S$ réels\\
\textbf{Initialisation :}\\
$u$ prend la valeur 30\\
$S$ prend la valeur 30\\
$n$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement :}\\
Tant que $S \leqslant 300$ faire\\
\hspace{1cm}$u$ prend la valeur $0, 97 \times u$\\
\hspace{1cm}$S$ prend la valeur $S + u$\\
\hspace{1cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\newpage
\textbf{\large ANNEXE 3 : Exercice 3} (à rendre avec la copie)

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.075cm,yunit=0.01cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-10,-20)(150,1270)
\multido{\n=0+5}{31}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,1200)}
\multido{\n=0+50}{25}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(150,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(150,1250)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=100](0,0)(0,0)(150,1250)
\uput[l](20,1265){Nombre d'individus}
\uput[u](140,0){$t$ (en heures)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{150}{1200 1000 2.71828 0.04 x mul exp div sub}
\psline[linecolor=red,ArrowInside=->]{->}(40,0)(40,998.103)(0,998.103)
\psline[linecolor=green,ArrowInside=->](50,1065)(70,1065)(70,1173)
\psline{<->}(30,957)(70,1173)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}