\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{xspace} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow,tablvar} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Merci à Marc Incamps %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Hache %Relecture corrigé : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} \usepackage{tikz} %\usetikzlibrary{calc} \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=1.17} %\usepackage{tkz-tab} \usepackage{esvect} \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.3cm, right=3.3cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \headheight5 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{fancyvrb} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité}, pdftitle = {Polynésie Sujet 1 16 juin 2026}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} %\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \renewcommand\arraystretch{1.} %\frenchsetup{StandardLists=true} \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ts}{\textstyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1} \lfoot{\small{Polynésie - corrigé}} \rfoot{\small{16 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat -- Polynésie 16 juin 2026~\decofourright\\[7pt] Jour 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}} \end{center} \medskip \section*{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Une école de surf travaille avec des planches en mousse pour les cours débutants, et d'autres en résine pour les cours de perfectionnement. Les planches en mousse représentent 80~\% du stock de l'école. \begin{list}{\textbullet}{La gérante observe qu'après chaque saison,} \item 75\,\% des planches en mousse sont en bon état et réutilisables la saison suivante. Les autres sont recyclées (et donc non réutilisables)~; \item 60\,\% des planches en résine sont en bon état, les autres sont soit consolidées, soit recyclées. \end{list} Après une saison, on choisit une planche au hasard et on s'intéresse aux évènements suivants~: \begin{tabular}{@{~~\textbullet~~} l @{~~~~\textbullet~~} l} $M$ : \og La planche est en mousse \fg~;& $B$ : \og La planche est en bon état \fg~;\\ $R$ : \og La planche sera recyclée \fg~;& $C$ : \og La planche sera consolidée \fg.\\ \end{tabular} \subsection*{Partie A} \begin{enumerate} \item On complète l'arbre pondéré ci-dessous avec les données de l'énoncé. %Il sera complété au fur et à mesure de l'exercice. \begin{center} %Début Tikz %\begin{tikzpicture}[ % level distance=2.8cm, % level 1/.style={sibling distance=4.5cm}, % level 2/.style={sibling distance=1.6cm}, % edge from parent/.style={draw,-}, % every node/.style={font=\small} %] %\node (root) {} % child {node (M) {$M$} % child {node (MB) {$B$} edge from parent node[above] {}} % child {node (MR) {$R$} edge from parent node[below] {}} % } % child {node (Mb) {$\overline{M}$} % child {node (MbB) {$B$} edge from parent node[above] {}} % child {node (MbR) {$R$} edge from parent node[midway] {}} % child {node (MbC) {$C$} edge from parent node[below] {}} % }; %\end{tikzpicture} %Fin Tikz %Début PSTricks \pstree[levelsep=3.5,treesep=.7,treemode=R,nodesepB=3pt,nodesepA=0pt,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$M$}\naput{$0,8$}} { \TR{$B$}\naput{$0,75$} \TR{$R$}\nbput{$1-0,75=0,25$} } \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{M}$}\nbput{$1-0,8=0,2$}} { \TR{$B$}\naput{$0,6$} \TR{$R$}%\tbput{\ldots} \TR{$C$}%\tbput{\ldots} } } %Fin PSTricks \end{center} \item On sait que $P\left(\overline{M} \cap R\right) = 0,05$. \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item% Interpréter cette égalité dans le contexte de l'exercice. Cela signifie que la probabilité que la planche choisie au hasard soit en résine et à recycler est égale à $0,05$. \item On a choisi une planche en résine. %Démontrer que la probabilité que cette planche soit consolidée pour la saison suivante est $0,15$. La probabilité que cette planche soit consolidée pour la saison suivante est: $P_{\overline{M}}\left (C\right )$. On sait que $P\left(\overline{M} \cap R\right) = 0,05$. Mais $P\left(\overline{M} \cap R\right) = P\left (\overline{M}\right )\times P_{\overline{M}}\left (R\right )$, donc $P_{\overline{M}}\left (R\right ) = \dfrac{P\left(\overline{M} \cap R\right)}{P\left (\overline{M}\right ).} = \dfrac{0,05}{0,2}= 0,25$. D'après les propriétés des probabilités, on a: $P_{\overline{M}} \left (B\right ) +P_{\overline{M}} \left (R\right ) +P_{\overline{M}} \left (C\right ) =1$ donc $0,6 + 0,25 + P_{\overline{M}} \left (C\right ) =1$ et donc $P_{\overline{M}} \left (C\right ) =1-0,6-0,25=0,15$. \end{enumerate} On peut donc compléter l'arbre pondéré. \begin{center} \pstree[levelsep=3.5,treesep=.7,treemode=R,nodesepB=3pt,nodesepA=0pt,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$M$}\naput{$0,8$}} { \TR{$B$}\naput{$0,75$} \TR{$R$}\nbput{$1-0,75=0,25$} } \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{M}$}\nbput{$1-0,8=0,2$}} { \TR{$B$}\naput{$0,6$} \TR{$R$}\ncput*{\blue $0,25$} \TR{$C$}\ncput*{\blue $0,15$} } } \end{center} \item La gérante affirme qu'après une saison, au moins $\dfrac{3}{4}$ des planches sont en bon état. %A-t-elle raison~? Il faut donc chercher $P\left (B\right )$. D'après la formule des probabilités totales: $P\left (B\right ) = P\left (M \cap B\right ) + P\left (\overline{M} \cap B\right ) = 0,8\times 0,75 + 0,2 \times 0,6=0,72<0,75$ Donc la gérante a tort. \end{enumerate} \bigskip \subsection*{Partie B} La gérante du club de surf envisage de proposer à certains clients une remise pour la saison suivante. Pour cela, elle imagine le jeu suivant qui sera proposé à chaque client~: Une urne contient 5 boules noires et un nombre $n$ de boules rouges. Les boules sont indiscernables au toucher. Le client tire simultanément deux boules dans l'urne. Si les deux boules sont de même couleur, le client gagne une remise, sinon, il perd le jeu et n'obtient pas de remise. \begin{enumerate} \item %Justifier que la probabilité $p$ de gagner une remise est~: %\[p = \dfrac{\dbinom{5}{2} + \dbinom{n}{2}}{\dbinom{n+5}{2}}.\] Le client obtient une remise dans deux cas disjoints: il tire deux boules noires, ou il tire deux boules rouges (si $n\geqslant 2$). \begin{list}{\textbullet}{} \item Il y a $n+5$ boules en tout: le nombre de façons de tirer simultanément 2 boules parmi $n+5$ est $\binom{n+5}{2}$. \item Il y a $5$ boules noires: le nombre de façons de tirer simultanément 2 boules noires parmi $5$ est $\binom{5}{2}$. Les boules sont indiscernables au toucher donc il y a équiprobabilité; la probabilité de tirer 2 boules noires est donc $p_1=\dfrac{\binom{5}{2}}{\binom{n+5}{2}}$. \item Il y a $n$ boules rouges: le nombre de façons de tirer simultanément 2 boules rouges parmi $n$ est $\binom{n}{2}$. Les boules sont indiscernables au toucher donc il y a équiprobabilité; la probabilité de tirer 2 boules rouges est donc $p_2=\dfrac{\binom{n}{2}}{\binom{n+5}{2}}$. \end{list} Les évènements \og tirer 2 boules noires \fg{} et \og tirer 2 boules rouges\fg{} sont disjoints donc la probabilité de tirer 2 boules de même couleur est: $p=p_1+p_2= \dfrac{\binom{5}{2}}{\binom{n+5}{2}} + \dfrac{\binom{n}{2}}{\binom{n+5}{2}} = \dfrac{\binom{5}{2} +\binom{n}{2}}{\binom{n+5}{2}}$. \item %En déduire que la probabilité $p$ peut s'écrire~: %\[p = \dfrac{20 + n(n-1)}{(n+5)(n+4)}.\] On sait que $\ds\binom{n}{p} = \dfrac{n\,!}{p\,! \times (n-p)\,!}$. On en déduit que: $\ds\binom{5}{2}=\dfrac{5\,!}{3\,! \times 2\,!}= \dfrac{5\times 4}{2}=10$, que: $\ds\binom{n}{2}=\dfrac{n\,!}{\left (n-2\right )\,! \times 2\,!}= \dfrac{n\left (n-1\right )}{2}$,\\ et que: $\ds\binom{n+5}{2}=\dfrac{(n+5)\,!}{\left (n+3\right )\,! \times 2\,!}= \dfrac{\left (n+5\right )\left (n+4\right )}{2}$. Donc $p= \dfrac{10 + \frac{n\left (n-1\right )}{2}}{\frac{\left (n+5\right )\left (n+4\right )}{2}} = \dfrac{\frac{20}{2} + \frac{n\left (n-1\right )}{2}}{\frac{\left (n+5\right )\left (n+4\right )}{2}} =\dfrac{20+n\left (n-1\right )}{\left (n+5\right )\left (n+4\right )}$. \item La gérante souhaite s'assurer que la probabilité de gagner est inférieure à $\dfrac{1}{2}$. %Déterminer pour cela l'ensemble des valeurs possibles du nombre $n$ de boules rouges qu'elle peut mettre dans l'urne. On cherche donc $n$ tel que $p<\dfrac{1}{2}$; on résout cette inéquation. $\aligned p<\dfrac{1}{2} & \iff \dfrac{20+n\left (n-1\right )}{\left (n+5\right )\left (n+4\right )}<\dfrac{1}{2} \iff \dfrac{20+n\left (n-1\right )}{\left (n+5\right )\left (n+4\right )} - \dfrac{1} {2} <0\\ & \iff \dfrac{2\left (20+n\left (n-1\right )\right ) - \left (n+5\right )\left (n+4\right )}{2\left (n+5\right )\left (n+4\right )}<0 \iff \dfrac{40+2n^2-2n-n^2-5n-4n-20}{2\left (n+5\right )\left (n+4\right )} < 0\\ & \iff \dfrac{n^2-11n +20}{2\left (n+5\right )\left (n+4\right )} < 0 \iff n^2-11n+20<0 \text{~~car~~} 2\left (n+5\right )\left (n+4\right )>0 \endaligned$ On étudie le signe du trinôme $x^2-11x+20$. $\Delta = (-11)^2-4\times 1 \times 20=121-80=41>0$; donc ce trinôme admet deux racines: $x'=\dfrac{-(-11) -\sqrt{41}}{2\times 1}= \dfrac{11-\sqrt{41}}{2}\approx 2,3$ et $x''= \dfrac{11+\sqrt{41}}{2}\approx 8,7$ On en déduit le signe du trinôme. \begin{center} $ \begin{tablvar}[intervalwidth=7em,stretch=1.2]{3} \hline x & -\infty & & x' & & x'' & & +\infty\\ \hline ax^2+bx+c & & \text{signe de } a & \barre[0] & \text{signe de } -a & \barre[0] & \text{signe de } a & \\ \hline x^2-11x+20 & & + & \barre[0] & - & \barre[0] & + & \\ \hline \end{tablvar}$ \end{center} L'ensemble des valeurs possibles du nombre $n$ de boules rouges qu'elle peut mettre dans l'urne pour que la probabilité de remise est donc l'ensemble des nombres entiers entre $x'\approx 2,3$ et $x''\approx 8,7$; c'est donc l'ensemble $\left \{ 3\::\: 4 \::\: 5 \::\: 6 \::\: 7 \::\: 8\strut \right \}$. \end{enumerate} \bigskip \section*{Exercice 2 \hfill 5 points} % %Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. % %Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. % %Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres. \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (x + 1)\e^{-x}$. \textbf{Affirmation 1~:} La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est $+\infty$. \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}} D'après les croissances comparées, on sait que $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{x}}{x}=+\infty$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x}{\e^{x}}=0$, autrement dit $\ds\lim_{x\to +\infty} x\,\e^{-x}=0$. De plus on sait que $\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$. Par somme; $\ds\lim_{x\to +\infty} x\,\e^{-x} + \e^{-x}=0$ et donc $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$. \hfill \textbf{Affirmation 1 fausse} \end{tabular} \medskip \item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x\e^x$. \textbf{Affirmation 2~:} La fonction $g$ est convexe sur l'intervalle $[-2~;~+\infty[$. \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}} Pour déterminer la convexité de la fonction $g$, on étudie le signe de sa dérivée seconde $g''$. $g(x)=x\e^{x}$ donc $g'(x)= 1\times \e^{x} + x \times \e^{x}=\left (x+1\right )\e^{x}$ $g''(x) = 1 \times \e^{x} + \left (x+1\right )\times \e^{x} = \left (x+2\right )\e^{x}$ Pour tout réel $x$, $\e^{x}>0$, et sur $]-2\;;\; +\infty[$, $x+2>0$. Donc $g''>0$ sur $]-2\;;\; +\infty[$, donc la fonction $g$ est convexe sur cet intervalle. \hfill \textbf{Affirmation 2 vraie} \end{tabular} \medskip \item \textbf{Affirmation 3~:} Une intégration par parties permet d'obtenir~: $\displaystyle\int_{0}^{\pi} x\sin x\,\text{d}x = -\pi$. \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}} Sur l'intervalle $]0\;;\;\pi[$, $\sin\,x>0$ donc $x\,\sin x >0$; D'après les propriétés de l'intégrale, on en déduit que $\displaystyle\int_{0}^{\pi} x\sin x\,\text{d}x>0$. \hfill \textbf{Affirmation 3 fausse} \end{tabular} \medskip \item On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' = 2y - 5$ et la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = -\dfrac{3}{2}\e^{2x} + \dfrac{5}{2}$. \textbf{Affirmation 4~:} La fonction $h$ est la solution de $(E)$ qui vaut $1$ en $0$. \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}} $h(x) = -\dfrac{3}{2}\e^{2x} + \dfrac{5}{2}$ donc $h'(x)= -\dfrac{3}{2}\times 2\e^{2x}=-3\e^{2x}$ \begin{list}{\textbullet}{} \item $2h(x)-5 = 2\left (-\dfrac{3}{2}\e^{2x}+\dfrac{5}{2}\right )-5 = -3\e^{2x}+5-5=-3\e^{2x}=h'(x)$ Donc la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E)$. \item $h(0)=-\dfrac{3}{2}\e^{0}+\dfrac{5}{2}=-\dfrac{3}{2}+ \dfrac{5}{2}=\dfrac{2}{2}=1$ \end{list} \hfill \textbf{Affirmation 4 vraie} \end{tabular} \medskip \item On considère la fonction \texttt{mystere} définie ci-dessous en Python~: \begin{center} %Début Tikz %\begin{tikzpicture} %\node[draw, align=left, inner sep=8pt] { %\texttt{def mystere(n):}\\ %\texttt{\quad f = 1}\\ %\texttt{\quad for k in range(1, n+1):}\\ %\texttt{\qquad f = f * k}\\ %\texttt{\quad return f} %}; %\end{tikzpicture} %Fin Tikz %Début PSTricks \begin{tabular}{|l|}\hline \texttt{def mystere(n):}\\ \quad \texttt{ f = 1}\\ \quad \texttt{ for k in range(1, n+1):}\\ \quad \quad \texttt{f = f * k}\\ \quad \texttt{return f}\\ \hline \end{tabular} %Fin PSTricks \end{center} \textbf{Affirmation 5~:} Le nombre renvoyé lors de l'exécution de \texttt{mystere(5)} est $120$. \medskip \begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}} On fait tourner cet algorithme: comme on lance \texttt{mystere(5)}, la variable \texttt{n} vaut 5 et on fait tourner la boucle \texttt{for} pour \texttt{k} variant entre 1 et 5. \begin{center} \begin{tabular}{| *6{c |} } \hline \texttt{n} & 1&2&3&4&5\\ \hline \texttt{f} & $1\times 1=1$ & $1\times 2=2$ & $2\times 3=6$ & $6 \times 4=24$ & $24\times 5=120$\\ \hline \end{tabular} \end{center} Pour \texttt{n=5} on obtient \texttt{f=120}; la fonction \texttt{mystere} calcule la factorielle. \hfill \textbf{Affirmation 5 vraie} \end{tabular} \end{enumerate} %\newpage \section*{Exercice 3 \hfill 5 points} On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par: $f(x) = \ln\left (3x^2 + 1\right )$. On admet que la fonction $f$ est croissante sur $[0~;+\infty[$. \subsection*{Partie A} On considère la suite $(u_n)$ définie par~: $u_0 = 2 \quad \text{et } \forall\, n \geqslant 0,\quad u_{n+1} = \ln \left(3u_n^2 + 1\right).$ \begin{enumerate} \item $u_1 = \ln\left (3u_0^2+1\right )=\ln\left (3\times 2^2+1\right )=\ln\left (13\right )$ \item La suite $(u_n)$ est représentée ci-dessous. %Émettre des conjectures sur le sens de variation et la convergence de la suite $(u_n)$. Au vu de la représentation graphique de la suite, on peut conjecturer qu'elle est croissante, et qu'elle est convergente vers une limite inférieure ou égale à 4. \begin{center} %\begin{tikzpicture} %\begin{axis}[ % width=11cm, height=7cm, % axis lines=middle, % xmin=-0.5, xmax=13.5, % ymin=-0.3, ymax=4.3, % xtick={0,2,4,6,8,10,12}, % ytick={1,2,3,4}, % xlabel={$n$}, % ylabel={$u_n$}, % ticklabel style={font=\small}, % axis line style={-stealth}, % clip=false %] %\addplot[only marks, mark=*, mark size=1.6pt] coordinates { %(0,2) (1,2.565) (2,3.040) (3,3.336) (4,3.508) (5,3.604) %(6,3.658) (7,3.687) (8,3.704) (9,3.713) (10,3.718) (11,3.721) %(12,3.722) (13,3.723) %}; %\end{axis} %\end{tikzpicture} %Fin Tikz %Début PSTricks \psset{xunit=0.8cm,yunit=1.6cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-0.7,-0.4)(13,4.5) \psgrid[xunit=1.6cm,gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.15pt,subgridcolor=lightgray!50,gridcolor=lightgray](0,0)(7,5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2]{->}(0,0)(0,0)(13,4.5) \psdots(0,2)(1,2.565)(2,3.032)(3,3.353)(4,3.547)(5,3.657)(6,3.717) (7,3.748)(8,3.765)(9,3.773)(10,3.778)(11,3.780)(12,3.781)(13,3.782) \uput[u](12.8,0){$n$}\uput[r](0,4.4){$u_n$} \end{pspicture*} %Fin PSTricks \end{center} \item On va démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$: $2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$. On appelle $\mathcal{P}_n$ cette propriété. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} Pour $n=0$, on a $u_0=2$ et $u_1=\ln\left (13\right )\approx 2,56$. Donc $2 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 4$; $\mathcal{P}_0$ est vraie. \item \textbf{Hérédité} On suppose $\mathcal{P}_n$ vraie, c'est-à-dire: $2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$. \begin{tabular}{l l } & $2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$ \\ $\iff$ & $2^2 \leqslant u_n^2 \leqslant u_{n+1}^2 \leqslant 4^2$\\ & \qquad car la fonction carré est strictement croissante sur $\R_{+}$\\ $\iff$ & $3\times 2^2 \leqslant 3 u_n^2 \leqslant 3 u_{n+1}^2 \leqslant 3\times 4^2$ \qquad on multiplie par 3 \\ $\iff$ & $12 \leqslant 3 u_n^2 \leqslant 3 u_{n+1}^2 \leqslant 48$ \\ $\iff$ & $13 \leqslant 3 u_n^2 +1 \leqslant 3 u_{n+1}^2 +1 \leqslant 49$ \qquad on ajoute 1\\ $\iff$ & $\ln\left (13\right ) \leqslant \ln\left (3 u_n^2 +1\right ) \leqslant \ln\left (3 u_{n+1}^2 +1\right ) \leqslant \ln\left (49\right )$\\ & \qquad car la fonction ln est strictement croissante sur $\R_+^*$\\ $\iff$ & $\ln\left (13\right ) \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2}\leqslant \ln\left (49\right )$ \end{tabular} $\ln\left (13\right )\approx 2,56 \geqslant 2$ et $\ln\left (49\right )\approx 3,85 \leqslant 4$ donc on a: $2\leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 4$ ce qui veut dire que la propriété est vraie au rang $n+1$ donc $\mathcal{P}_n \implies \mathcal{P}_{n+1}$. \item \textbf{Conclusion} La propriété est vraie pour $n=0$. Elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$. Donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 0$. \end{list} On a donc démontré que pour tout $n\in\N$: $2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$. \item %En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. \begin{list}{\textbullet}{D'après la question précédente:} \item $u_{n}\leqslant u_{n+1}$ pour tout $n$, donc la suite $(u_n)$ est croissante; \item $u_n \leqslant 4$ pour tout $n$, donc la suite $(u_n)$ est majorée. \end{list} La suite $(u_n)$ est croissante majorée donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente. Si on appelle $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$, d'après la question précédente, on peut déduire que $2\leqslant \ell \leqslant 4$. \end{enumerate} \subsection*{Partie B} %On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. %Le but de cette partie est de trouver une valeur approchée de la limite $\ell$. On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ par~: $g(x) = \ln(3x^2+1) - x.$ \begin{enumerate} \item %On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. % %Démontrer que pour tout réel $x \in [0~;~+\infty[$, % %\[g'(x) = \dfrac{-3x^2 + 6x - 1}{3x^2 + 1}.\] Pour tout réel $x \in [0~;~+\infty[$, on a: $g'(x)=\dfrac{6x}{3x^2+1} -1 = \dfrac{6x -3x^2-1}{3x^2+1} = \dfrac{ -3x^2 +6x -1}{3x^2+1}$ \item %Démontrer que la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[2~;~4]$. On détermine le signe de $g'(x)$. $3x^2+1>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $-3x^2+6x-1$. On étudie le signe de ce trinôme. $\Delta = 6^2 - 4\times (-3)\times (-1) = 36-12=24>0$ donc ce trinôme admet deux racines: $x'=\dfrac{-6+\sqrt{24}}{2\times (-3)}=\dfrac{-6+\sqrt{24}}{-6}=\dfrac{6-\sqrt{24}}{6}\approx 0,18$ et $x''=\dfrac{-6-\sqrt{24}}{2\times (-3)}=\dfrac{6+\sqrt{24}}{6} \approx 1,82$ On en déduit le signe du trinôme donc de $g'(x)$. \begin{center} $ \begin{tablvar}[intervalwidth=6em,stretch=1.2]{3} \hline x & -\infty & & x' & & x'' & & +\infty\\ \hline ax^2+bx+c & & \text{signe de } a & \barre[0] & \text{signe de } -a & \barre[0] & \text{signe de } a & \\ \hline -3x^2+6x-1 & & - & \barre[0] & + & \barre[0] & - & \\ \hline g'(x) & & - & \barre[0] & + & \barre[0] & - & \\ \hline \end{tablvar}$ \end{center} Sur l'intervalle $]x''\;;\;+\infty[$, $g'(x)<0$ donc $g$ est strictement décroissante. \\ Or $x''\approx 1,82<2$. \\ Donc l'intervalle $[2\;;\;4]$ est inclus dans $]x''\;;\;+\infty[$, donc $g'(x)<0$ sur cet intervalle. On peut donc conclure que $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[2\;;\;4]$. \item %Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[2~;~4]$ et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près. \begin{list}{\textbullet}{On a:} \item $g(2)\approx 0,56>0$; \item $g(4)\approx -0,11 <0$; \item $g$ est strictement décroissante sur $[2\;;\;4]$. \end{list} Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut conclure que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $[2\;;\;4]$. On appelle $\alpha$ cette solution. À la calculatrice on trouve $\alpha\approx 3,78$. \item% Justifier que $\ell = \alpha$. La suite $(u_n)$ est définie par la relation de récurrence: $u_{n+1}=f\left (u_n\right )$ pour tout $n\geqslant 0$. La fonction $f$ est dérivable donc continue. $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n=\ell$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} f\left (u_n\right )=f\left (\ell\right )$ et donc $\ds\lim_{n\to +\infty} u_{n+1}=f\left (\ell\right )$ Or la limite d'une suite est unique donc $\ds\lim_{n\to +\infty} u_{n+1}= \ds\lim_{n\to +\infty} u_{n}$. On en déduit que $f\left (\ell\right ) = \ell$ et donc que $\ell$ est une solution de l'équation $f(x)=x$ c'est-à-dire $f(x)-x=0$ ou encore $g(x)=0$. On a noté plus haut que $2 \leqslant \ell \leqslant 4$ donc $\ell$ est une solution de l'équation $g(x)=0$ appartenant à l'intervalle $[2\;;\;4]$. On en déduit donc que $\ell=\alpha$. \end{enumerate} \bigskip \section*{Exercice 4 \hfill 5 points)} L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oij. On considère les points A$(1~;2~;~-1)$, B$(0~;3~;~2)$, C$(-2~;4~;~0)$ et D$(8~;2~;~-11)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item %Démontrer que les points A, B et C définissent un plan. Les points A, B et C définissent un plan si et seulement si ils ne sont pas alignés, si et seulement si les vecteurs $\vectt{AB}$ et $\vectt{AC}$ ne sont pas colinéaires. Le vecteur $\vectt{AB}$ a pour coordonnées: $\begin{pmatrix} x_{\text B} - x_{\text A} \\ y_{\text B} - y_{\text A} \\ z_{\text B} - z_{\text A} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 1 \\ 3-2 \\ 2-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\3 \end{pmatrix}$ De même le vecteur $\vectt{AC}$ a pour coordonnées: $\begin{pmatrix} x_{\text C} - x_{\text A} \\ y_{\text C} - y_{\text A} \\ z_{\text C} - z_{\text A} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2-1 \\ 4-2 \\ 0-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ Or $x_{\vectt{AB}} \times 3 = x_{\vectt{AC}}$ et $y_{\vectt{AB}} \times 3 = 3 \neq y_{\vectt{AC}}$; donc les vecteurs $\vectt{AB}$ et $\vectt{AC}$ ne sont pas colinéaires. On en conclut que les trois points A, B et C définissent un plan. \item% Démontrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}5\\8\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC). On considère le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}5\\8\\-1\end{pmatrix}$. $\vect{n} \cdot \vectt{AB} = 5 \times (-1) + 8 \times 1 +(-1) \times 3 = -5+8-3=0$ donc $\vect{n} \perp \vectt{AB}$. $\vect{n} \cdot \vectt{AC} = 5 \times (-3) + 8 \times 2 +(-1) \times 1 = -15+16-1=0$ donc $\vect{n} \perp \vectt{AC}$. Le vecteur $\vect{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (ABC) donc $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item %En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est $5x+ 8y - z - 22 = 0$. Le plan (ABC) est l'ensemble des points M\,$(x\;;\;y\;;\;z)$ tels que $\vectt{AM} \perp \vect{n}$. $\vectt{AM}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \\ z+1 \end{pmatrix}$ $\aligned \vectt{AM} \perp \vect{n} \iff \vectt{AM} \cdot \vect{n}=0 & \iff (x-1) \times 5 + (y-2) \times 8 + (z+1) \times (-1)=0\\ & \iff 5x-5 +8y-16-z-1=0 \iff 5x+8y-z-22=0 \endaligned$ Donc le plan (ABC) a pour équation cartésienne: $5x+8y-z-22=0$. \item %Vérifier que le point D n'appartient pas au plan $(ABC)$. On regarde si les coordonnées de D vérifient l'équation du plan. $5x_{\text D}+8y_{\text D}-z_{\text D}-22 =8\times 5 + 8\times 2 - (-11) -22 = 40 +16 +11 -22 = 45 \neq 0$ Donc le point D n'appartient pas au plan (ABC). \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item On considère la droite $\Delta$, orthogonale au plan (ABC) et passant par D. %Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est~: %\[ %\begin{cases} %x = \phantom{-}8+ 5t\\ %y = \phantom{-}2+ 8t\\ %z = -11- t %\end{cases}, \quad \text{avec } t \in \R. %\] La droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC) donc elle a pour vecteur directeur n'importe quel vecteur normal au plan, en particulier le vecteur $\vect{n}$. La droite $\Delta$ est donc l'ensemble des points M\,$(x\;;\;y\;;\;z)$ tels que $\vectt{DM}$ et $\vect{n}$ soient colinéaires, c'est-à-dire tels que $\vectt{DM}=t.\vect{n}$ avec $t\in\R$. $\vectt{DM}=t.\vect{n} \iff \left \{ \begin{array}{l !{=} l} x-8 & 5t\\ y-2 & 8t\\ z-(-11) & -t \end{array} \right . \iff \left \{ \begin{array}{l !{=} l} x & 8+5t\\ y & 2+8t\\ z & -11 -t \end{array} \right .$ Donc une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est: $\left \{ \begin{array}{l !{=} l} x & 8+5t\\ y & 2+8t, \text{~~avec } t\in\R\\ z & -11 -t \end{array} \right .$ \item On appelle E le point d'intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC). %Démontrer que le point E a pour coordonnées $\left(\dfrac{11}{2}~;~-2~;~-\dfrac{21}{2}\right)$. \begin{list}{\textbullet}{} \item Le point E appartient au plan (ABC) donc $5x_{\text E}+8y_{\text E}-z_{\text E}-22=0$. \item Le point E appartient à la droite $\Delta$ donc il existe un réel $t$ tel que $\left \{ \begin{array}{l !{=} l} x_{\text E} & 8+5t\\ y_{\text E} & 2+8t\\ z_{\text E} & -11 -t \end{array} \right .$ \end{list} Le réel $t$ vérifie donc l'équation: $5\left (8+5t\right ) + 8\left (2+8t\right ) - \left (-11-t\right )-22=0$, c'est-à-dire: $40+25t+16+64t+11+t-22=0$ soit: $90t +45=0$ donc: $t=-\dfrac{1}{2}$ On a donc: $\left \{ \begin{array}{l !{=} l} x_{\text E} & 8+5 \times \left (- \frac{1}{2}\right )\\ y_{\text E} & 2+8\times \left (- \frac{1}{2}\right )\\ z_{\text E} & -11 - \left (- \frac{1}{2}\right ) \end{array} \right .$ c'est-à-dire: $\left \{ \begin{array}{l !{=} l} x_{\text E} & \frac{11}{2}\\ y_{\text E} & -2\\ z_{\text E} & - \frac{21}{2} \end{array} \right .$ \item La valeur exacte de la longueur DE, distance du point D au plan (ABC) est: $\aligned \text{DE} & =\ds\sqrt{\left (x_{\text E} - x_{\text D}\right )^2 + \left (y_{\text E} - y_{\text D}\right )^2 + \left (z_{\text E} - z_{\text D}\right )^2} =\ds\sqrt{\left (\frac{11}{2} - 8\right )^2 + \left (-2 - 2\right )^2 + \left (-\frac{21}{2} - (-11)\right )^2}\\ & = \ds\sqrt{\left (-\frac{5}{2}\right )^2 + \left (-4\right )^2 + \left (\frac{1}{2}\right )^2} = \ds\sqrt{\frac{25}{4} + 16 + \frac{1}{4} } = \ds\sqrt{\frac{90}{4}} = \dfrac{3\sqrt{10}}{2} \endaligned$ \end{enumerate} \item On note H le point de coordonnées $\left(-\dfrac{2}{3}~;\dfrac{10}{3}~;\dfrac{4}{3}\right)$. On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (BC) est~: \[ \begin{cases} x = \phantom{3}-2k\\ y = 3+k\\ z = 2-2k \end{cases}, \quad \text{avec } k \in \R. \] Avec un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats suivants~: \begin{center} \begin{tabular}{|p{8.5cm}|}\hline \textbf{Entrée 1~:} $(-2/3-1)*(-2)+(10/3-2)*1+(4/3-(-1))*(-2)$\\ \textbf{Sortie 1~:} $\rightarrow 0$\\ \hline \textbf{Entrée 2~:} RésoudreSystème$(-2k=-2/3,\ 3+k=10/3,\ 2-2k=4/3)$\\ \textbf{Sortie 2~:} $\rightarrow k = 1/3$\\ \hline \textbf{Entrée 3~:} RacineCarrée$\big((-2/3-1)^2+(10/3-2)^2+(4/3+1)^2\big)$\\ \textbf{Sortie 3~:} $\rightarrow$ RacineCarrée$(10)$\\ \hline \textbf{Entrée 4~:} RacineCarrée$\big((-2-0)^2+(4-3)^2+(0-2)^2\big)$\\ \textbf{Sortie 4~:} $\rightarrow 3$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}] \item% En utilisant les deux premiers résultats obtenus avec la feuille de calculs ci-dessus, justifier que le point H est le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC). \begin{list}{\textbullet}{} \item $\vectt{AH}$ a pour coordonnées: $\begin{pmatrix} -\frac{2}{3}-1 \\ \frac{10}{3} -2 \\ \frac{4}{3}-(-1) \end{pmatrix}$ et $\vect{BC}$: $\begin{pmatrix} -2-0 \\ 4-3 \\ 0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ Le premier résultat de la feuille de calculs signifie que le produit scalaire $\vectt{AH}\cdot \vectt{BC}$ est nul, donc que (AH) $\perp$ (BC). \item D'après le 2\ieme{} résultat de la feuille de calculs, le système $\left \{ \begin{array}{l !{=} l} -2k & -\frac{2}{3}\\ 3+k & \frac{10}{3}\\ 2-2k & \frac{4}{3} \end{array} \right .$ admet une solution unique; donc les coordonnées de H vérifient la représentation paramétrique de la droite (BC). Donc le point H appartient à la droite (BC). \end{list} De ces deux résultats, on peut déduire que le point H est le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC). \item On veut déterminer le volume du tétraèdre ABCD. %On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur relative à cette base. Le volume du tétraèdre ABCD est égal à un tiers du produit de l'aire de la base ABC par la hauteur $h$ relative à cette base. \begin{list}{\textbullet}{} \item La hauteur $h$ est la distance entre le point D et le plan (ABC), c'est-à-dire DE soit $\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$. \item D'après la question précédente, [AH] est la hauteur du triangle ABC relative au côté [BC]; donc l'aire du triangle ABC est: $\mathcal{A}= \dfrac{\text{AH} \times \text{BC}}{2}$. D'après le 3\ieme{} résultat de la feuille de calculs, on a: $\text{AH}=\sqrt{10}$. D'après le 4\ieme{} résultat de la feuille de calculs, on a: $\text{BC}=3$. On en déduit que $\mathcal{A}= \dfrac{3\sqrt{10}}{2}$. \end{list} Le volume du tétraèdre ABCD est égal à: $\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3\sqrt{10}}{2}\times \dfrac{3\sqrt{10}}{2} = \dfrac{15}{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}