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%Corrigé et tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.} 
\lhead{\small C. G. R. H.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 23 juin 2009}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Métropole ~\decofourright\\
23 juin 2009}}

\bigskip

éléments de correction

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans une usine, la production d'un produit a augmenté de 250\:\%. Elle a donc été multipliée par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.} \quad\cancel{2,5}&\textbf{b.} \quad 3,5& \textbf{c.} \quad\cancel{ 250}
\end{tabularx}

\medskip

Le coefficient multiplicateur est $1+t$ donc $1+\dfrac{250}{100}=1+2,5=3,5$

\medskip

\item Le prix d'un article a augmenté de 12\:\% en 3 ans. Le taux d'évolution annuel moyen, en pourcentage, arrondi à 0,1\:\% près est alors de : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.} \quad 3,8\:\%&\textbf{b.} \quad \cancel{5,8\:\%}&\textbf{c.} \quad \cancel{ 4\:\%}
\end{tabularx}

\medskip

Le taux d'évolution moyen est $(1,12)^{\frac{1}{3}}-1\approx 3,8~\%$. En efffet en 3 ans il aura été multiplié par 1,12. Si $t_m$ est le taux moyen des trois augmentations sucessives on a $(1+t_m)^3=1,12$ d'où le résultat.

\medskip

\item En appliquant une réduction de 5\:\%, un article coûte \nombre{1140}~\euro, son prix avant réduction était de: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.} \quad \nombre{1200} ~\euro& \textbf{b.} \quad  \cancel{\nombre{1197} ~\euro}&\textbf{c.} \quad \cancel{\nombre{1140,5} ~\euro}
\end{tabularx}

\medskip

Si $V_I$ est la valeur initiale, en subissant une baisse de 5~\% , elle a été multipliée par 0,95 donc $1140= 0,95\times V_I$ d'où $V_I=1200$

\medskip

\item Le nombre de membres d'une association est passé de \nombre{1150} en 2006 à \nombre{1221} en 2007 puis à \nombre{1503} en 2008. En prenant pour indice de référence 100 en 2006, l'indice, arrondi au centième pour l'année 2008 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.} \quad\cancel{ 123,10}&\textbf{b.} \quad \cancel{1,31}& \textbf{c.} \quad 130,70
\end{tabularx}

\medskip
On a les données suivantes :

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
2006&2007&2008\\\hline
1150&1221&1503\\\hline
100&&$x$\\\hline
\end{tabular}

Les deux dernières lignes forment un tableau de proportionnalité d'où \mbox{
$x=\dfrac{1503\times 100}{1150}\approx 130,70$}

\medskip

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

Une entreprise fabriquant des montures de lunettes veut créer un nouveau modèle. Pour choisir les matériaux à utiliser, elle mène une enquête auprès de porteurs de lunettes, en proposant dix prix différents. Les résultats sont reportés dans le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix de vente proposé pour la monture (en \euro) : $x_{i}$& 240 &320 &400 &480 &560 &640 &720 &800\\ \hline 
Nombre de personnes disposées à acheter à ce prix : $y_{i}$& 402 &390 &340 &230 &210 &130 &70 &60\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item voir annexe

\item  Les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points sont $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$ où $\overline{x}$ est la moyenne des $x_i$ et $\overline{y}$ est la moyenne des $y_i$. On trouve G(520~;~229)
\item On donne le point A de coordonnées (260~;~409). Voir annexe pour   A et G sur le graphique et la droite (AG). 
\item Équation de  la droite (AG)  :  (AG) est non parallèle à l'axe des ordonnées donc elle a une équation de la forme $y=mx+p$ 
\[m=\dfrac{y_{\text{G}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{G}}-x_{\text{A}}}=\dfrac{229-409}{520-260}=\dfrac{-180}{260}=-\dfrac{9}{13}\]
Écrivons qu'elle passe par A : $409=260\times \dfrac{-9}{13}+p$  d'où $p=589$ et par conséquent l'équation de (AG) est $y = - \dfrac{9}{13}x + 589$. 
\item En utilisant l'ajustement précédent, si le prix de vente est 500~\euro{} une estimation du nombre de montures vendues est : $y=-0,7\times 500+589=239$. 
\item \begin{enumerate}
\item $x$ étant le prix unitaire, le nombre de montures vendues est alors $-0,7x+589$
le coût global de fabrication est la somme des coûts liés à la quantité et des frais fixes d'où  :$150\times -0,7x+589+ \nombre{10000}=-105x + 98350$. 
La recette est le prix de vente par la quantité donc la recette s'élève à $x\times (-0,7x+589)$. Le bénéfice étant la différence entre les recettes et les coûts, on a donc : 
\begin{align*}
B(x)&=x\times(-0,7x+589)-(-105x+98350)\\
& = -0,7x^2+589x+105x-98350\\
& = -0,7x^2+694x-\nombre{98350}
\end{align*}

	\item  Pour $x$ appartenant à [240~;~ 800], on considère la fonction $B$ qui à $x$ associe $B(x)$.  la fonction dérivée $B'$ de $B$ sur [240~;~800] est définie par  $B'(x)= -0,7(2x)+694=-1,4x+694.$
	\item  Étudions les variations de la fonction $B$, pour $x$ appartenant à l'intervalle [240~;~ 800],
$-1,4x+694>0$  si et seulement si $x<\frac{694}{1,4}$ or $\frac{3470}{7}\approx 495,71$ valeur que l'on prendra par la suite.\\
Si pour tout $x\in I, \quad f'(x) \SE 0$ alors $f$ est croissante sur $I$. \\
$B'(x)\SE 0$ pour $x\in [240~;~495,71]$ donc $B$ est croissante sur cet intervalle.\\
Si pour tout $x\in I, \quad f'(x) \IE 0$ alors $f$ est décroissante sur $I$. \\
$B'(x)\IE 0$ pour $x\in [495,71~;~800]$ donc $B$ est décroissante sur cet intervalle. d'où le tableau :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$&240&  &495,71& &800\\[1.5pt]
\hline
$B'(x)$& &$+$&0&$-$&\\
\hline
& & &\nombre{73662,86} & & \\
$B$& &$\nearrow $& &$\searrow$&\\
&\nombre{27890}& &&&\nombre{8850}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

En lisant le tableau de variation le bénéfice $B(x)$ est maximal lorsque $x= 495,71$. Par conséquent, le prix de vente de la monture est de 495,71 \euro{}.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}


\begin{enumerate}
\item  Pour l'entreprise CHAUFECO, il s'agit d'un contrat sur 10~ ans avec un versement de 150~\euro{} la première année puis une augmentation du versement de 3,25~\euro par an jusqu'à la fin du contrat.

	\begin{enumerate}
		\item  Une formule qui, entrée dans la cellule B3, a permis par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules B3: B11 est \fbox{=B2+3,25} ou \fbox{=\$B 2+3,25}. 
		\item  La plage de cellules C3:C11 a été obtenue par recopie vers le bas à partir de la cellule C3. La formule que contient la cellule C6 est :
		\fbox{=\$C5+\$ B6}
		\item L'information concernant le contrat de l'entreprise CHAUFECO donne à monsieur ELIOT le résultat affiché dans la cellule C11 est le montant total des versements pendant la durée du contrat. 
	\end{enumerate}
\item Pour l'entreprise CHAUFMAX, il s'agit d'un contrat sur 10~ans avec un versement de 150~\euro{} la première année puis une augmentation de 2\:\% par an jusqu'à la fin du contrat. 


	\begin{enumerate}
		\item   Le résultat obtenu dans la cellule E4 est le versement après une augmentation de 2~\%. $150\times1,02=153$
	\item Une formule qui, entrée dans la cellule E4, permet par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules E4:E12 est :\fbox{=\$ E3*1,02}. 
	On pourrait aussi écrire \fbox{=\$E 3*(1+\$F\$1} ou \fbox{E3*1,02}
	\item On pose $u_{0} = 150$ et on note $\left(u_{n}\right)$ le versement, en euros, de l'année $(2009 + n)$ avec l'entreprise CHAUFMAX.
	 À une augmentation de 2~\% correspond un coefficient multiplicateur de 1,02. Passant d'un terme au suivant en multipliant par un même nombre 1,02, la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique. Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $b$ est : $u_n=u_0\times b^n$ donc pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = 150 \times  1,02^n$. 
	\item Dans la cellule E12, on a la valeur correspondant à 2018 c'est à dire pour $n= 9$. On a $150 \times 1,02^9=179,26$ 
	\item Pour déterminer  le résultat qui va s'afficher dans la cellule F12, on a utilisé le formulaire donnant la somme des termes d'une suite géométrique $ u_{0} \times \dfrac{1 -  b^{n+1}}{1 - b}$ soit $150 \times \dfrac{1 -  1,02^{9+1}}{1 - 1,02}$. Le résultat  est \nombre{1642,46}.
	\end{enumerate} 
\item Le contrat le plus intéressant pour Monsieur ELIOT est le second. $\nombre{1642,46} <\nombre {1646,25} $
\item  La formule à la question 2. b. permet d'y répondre s'il est fait usage du contenu de la cellule F1 en la notant \$F\$1; Si la formule ne fait pas appel à la cellule F1 alors non et dans ce cas il faudrait écrire : \fbox{=\$ E 3+\$F\$1}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{landscape}
{\textbf{\large{ANNEXE } exercice 2}}

\psset{yunit=0.02cm,xunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(940,650)
\psline{->}(0,0)(900,0)
\multido{\n=0+50}{17}{\psline(\n,3.1)(\n,-3.1)}
\multido{\n=50+50}{17}{\uput[d](\n,-0.1){\n}}
\multido{\n=0+50}{13}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.4pt,](0,\n)(850,\n)}
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\psline{->}(0,0)(0,600)
\multido{\n=0+50}{12}{\psline(3.5,\n)(-3.5,\n)}
\multido{\n=50+50}{11}{\uput[l](-0.9,\n){\n}}
\psdots[dotstyle=square*](240,402)(320,390)(400,340)(480,230)(560,210)(640,130)(720,70)(800,60)
\psdots[dotstyle=*](260,409)(520,229)
\rput(250,409){A}
\rput(510,229){G}
\psline(0,589)(841.429,0)
\end{pspicture}

\end{landscape}

\end{document}