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%Tapuscrit : Arié Yallouz
%Corrigé : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI2D/STL}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{8 septembre 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\[4pt]
Métropole--La Réunion 8 septembre 2016\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\medskip

%\emph{Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps $t$ est exprimé en minutes.}

Dans une entreprise de fabrication de pièces métalliques, un ouvrier doit manipuler des plaques chaudes pendant une dizaine de secondes. À la sortie du four, les plaques sont à une température de 300~°C et disposées dans une pièce dont la température ambiante est maintenue à 26~\degres C par un système de ventilation.

La commission de sécurité prescrit qu'avec les gants actuels, l'ouvrier doit attendre 10 minutes pour manipuler les plaques à leur sortie du four. Afin de réduire ce délai d'attente, le directeur s'interroge sur l'achat de nouveaux gants dont les caractéristiques techniques établies par la commission de sécurité sont les suivantes :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{.75\linewidth}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Sans couture.
\item[$\bullet~~$] Très doux et confortables.
\item[$\bullet~~$] Température maximale d'utilisation : 240~\degres C.
\end{itemize}
\end{minipage}
}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Dans cette question, on ne demande pas de justification.
\begin{enumerate}
\item La température des plaques à la sortie du four est de 300\,\degres{}C.
\item À la sortie du four, la température des plaques diminue au cours du temps.
\item La température des plaques devrait se stabiliser à la température ambiante, soit 26\,\degres{}C.
\end{enumerate}
\item La température d'une plaque depuis sa sortie du four, est modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en minutes, par la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $\cd 0~;~+\infty \cd$ par 

$g(t) = 274\e^{at} + 26$ où $a$ est un nombre réel.
\begin{enumerate}
\item $g(0) = 274\e^{0}+26 = 274+26+300$. Ce résultat est conforme aux données puisque 300\,\degres{}C est la température à la sortie du four, soit au temps $t=0$.

\item D'après la question 1, la fonction $g$ doit être décroissante sur $\cd 0~;~+\infty \cd$ donc le réel $a$ doit être négatif.

\item On sait que 3 minutes après sa sortie du four la température de la plaque, arrondie à l'unité, est de 262~\degres C; cela veut dire que $g(3)= 262$. On cherche $a$ pour que $g(3)= 262$:

$g(3)= 262
\iff
274\e^{3a}+ 26 = 262
\iff
274\e^{3a} = 236
\iff
\e^{3a} = \dfrac{236}{274}
\iff
3a=\ln\left ( \dfrac{236}{274}\right )\\
\phantom{g(3)= 262}
\iff
a=\dfrac{1}{3}\ln\left ( \dfrac{236}{274}\right )$
donc $a\approx -0,05$.

%Montrer que la valeur approchée à $10^{-2}$ près du coefficient $a$ est $-0,05$.
\end{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $\cd 0~;~+\infty \cd$ :
$ g(t)=274\e^{-0,05t}+26 $.

	\begin{enumerate}
		\item Avec les gants actuellement utilisés, l'ouvrier manipule les plaques au bout de 10 minutes donc à la température:
$g(10)= 274\e^{-0,5} + 26 \approx 192,2$\,\degres{C}.
		
		\item Si  les ouvriers sont équipés avec les nouveaux gants, ils pourront sortir les plaques dès qu'elles atteignent la température de 240\,\degres{C}. On cherche donc $t$ tel que $g(t) \pp 240$:
		
$g(t) \pp 240
\iff
274\e^{-0,05t} + 26 \pp 240
\iff
274\e^{-0,05t} \pp 214
\iff
\e^{-0,05t} \pp \dfrac{214}{274}\\
\phantom{g(t) \pp 240}
\iff
-0,05t \pp \ln\left (\dfrac{214}{274} \right )
\iff
t \pg -\dfrac{1}{0,05} \ln\left (\dfrac{214}{274} \right )$
donc $t\pg 4,9$ minutes. 

Les ouvriers pourront manipuler les plaques 4,9 minutes après leurs sorties du four.
		
		\item% En déduire le gain de temps, en pourcentage, dû à l'utilisation de ces nouveaux gants.
Passer de 10 min à 4,9 min représente un gain de 5,1 min sur 10 min, soit un gain de 51\,\%.		
			
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip

%\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}
%
%\emph{Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$.}
%
%\medskip

Une usine métallurgique fabrique des boîtes de conserve pour des entreprises spécialisées dans le conditionnement industriel de légumes.

La probabilité qu'une boîte prélevée au hasard soit non conforme est 0,04.

Un lot de 200 boîtes choisies au hasard est livré à une entreprise spécialisée dans le conditionnement des légumes. Le nombre de boîtes fabriquées par cette usine métallurgique est assez important pour pouvoir assimiler un tel prélèvement à un tirage avec remise de 200 boîtes.

\medskip

\subsection*{\textbf{\textsc{Partie a}}}

\medskip

La variable aléatoire $X$ désigne le nombre de boîtes non conformes dans un tel lot.

\begin{enumerate}
\item% Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
On est dans le cas d'une répétition de 200 épreuves indépendantes qui n'ont que 2 issues; donc la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0,04$.

\item La probabilité qu'un tel lot contienne exactement quatre boîtes non conformes est:

$P(X=4)=\ds\binom{200}{4}\; 0,04^{4}\; (1-0,04)^{200-4}\approx 0,055$.

\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{\textbf{\textsc{Partie b}}}

\medskip

On décide d'approcher la loi binomiale suivie par $X$ par la loi normale d'espérance $\mu = 8$ et d'écart type $\sigma = 2,77$.

\begin{enumerate}
\item% Justifier le choix de ces paramètres.
La moyenne est $\mu = np = 200\times 0,04 = 8$ et l'écart-type $\sigma = \ds\sqrt{np(1-p)} = \ds\sqrt{7,68} \approx 2,77$.

\item À l'aide de la loi normale de paramètres $\mu=8$ et $\sigma=2,77$:
	\begin{enumerate}
		\item $P(6 \leqslant X \leqslant 10) \approx 0,530$. 
		
		La probabilité que, sur 200 boîtes, il y en ait entre 4 et 10 de non conformes est de $0,530$.
		
		\item% déterminer une approximation de la probabilité qu'il y ait au maximum 4 boîtes non conformes.
$P(X \pp 4) \approx 0,074$

	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{\textbf{\textsc{Partie c}}}

\medskip 

Dans le lot livré de 200 boîtes, on compte 11 boîtes non conformes soit une fréquence de $f=\dfrac{11}{200} = 0,055$.

$n=200 \pg 30$, $np=8 \pg 5$ et $n(1-p) = 192 \pg 5$ donc on peut déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\%:

\smallskip

$I= \left [ p-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}~;~p+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right ]
= \left [ 0,04-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,04\times 0,96}{200}}~;~ 0,04+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,04\times 0,96}{200}}\right ]\\
\phantom{I}
\approx \left [ 0,012~;~0,068 \rule{0pt}{10pt} \right ]
$

\smallskip

La fréquence $f$ des boîtes non conformes est de $0,055$; or $f$ appartient à l'intervalle de fluctuation donc le fabriquant n'a pas de raison de s'inquiéter.

%\emph{On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.}

\pagebreak

\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}
 
\medskip

%\emph{Pour chacune des 3 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en \textbf{justifiant} la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la proposition, la réponse correspondante et la justification.}

\begin{enumerate}
 \item  \textbf{Proposition 1 :} $\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}4{}}+\e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}4{}}=\mathrm{i}\sqrt{2}$.
 
\medskip

$\e^{\i\frac{\pi}{4}} = \cos \dfrac{\pi}{4} + \i \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \i \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
et
$\e^{\i\frac{3\pi}{4}} = \cos \dfrac{3\pi}{4} + \i \sin \dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \i \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

donc $\e^{\i\frac{\pi}{4}}  + \e^{\i\frac{3\pi}{4}} =  
 \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \i \dfrac{\sqrt{2}}{2} +\left (-  \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \i \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )
 = \i\sqrt{2}$.
 
\smallskip
 
\textbf{Proposition 1 vraie}

\medskip
  
 \item La durée de vie, en heures, d'un composant électronique est une variable aléatoire $T$
qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 5,5 \times 10^{-4}$ et dont la fonction de densité de probabilité est représentée ci-dessous.
\begin{center}
\scalebox{.8}{
\psset{xunit=.75cm,yunit=1cm,algebraic}
\begin{pspicture}(-1,-.5)(18,6.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
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\closepath
}
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\uput[dl](8600,0){$t$} \uput[dl](0,6.5){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[l](0,5){\footnotesize{0,0005}}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{8500}{\f}
\end{pspicture}
}
\end{center}

\textbf{Proposition 2 :} la probabilité, arrondie à 0,01 près, qu'un composant électronique pris au hasard ait une durée de vie inférieure à \np{1000} heures est 0,35.

\medskip

On peut justifier la réponse de deux façons.% On veut savoir si $P(T \pp \np{1000})$ vaut environ $0,35$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item On sait que $P(T \pp 1000)$ est égale à l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses, et les deux droites verticales d'équations $t=0$ et $t=\np{1000}$; c'est l'aire de la partie grisée sur la figure.

La partie hachurée sur la figure représente 7 rectangles dont chacun a une aire de 

$\np{0,0001}\times 500 = 0,05$; l'aire de la partie hachurée est donc $7\times 0,05 = 0,35$.

Cette partie hachurée a une aire inférieure à la partie grisée donc $0,35$ n'est pas la valeur arrondie à $10^{-2}$ près de $P(T \pp \np{1000})$.

\item On sait que si une variable aléatoire $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors
$P( T \pp t) = 1 - \e^{-\lambda t}$.

Donc $P(T \pp \np{1000}) = 1-\e^{-5,5\times 10^{-4}\times \np{1000}} \approx 0,42$.

\end{list}

\textbf{Proposition 2 fausse}

\medskip

\item \textbf{Proposition 3 :} la valeur moyenne de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right]$  par 

$f (x) = \cos(x)$ est $-\dfrac{2}{\pi}$.
%\emph{On rappelle que la valeur moyenne µ d'une fonction $f$ définie et continue sur un intervalle $[a ; b]$ est donnée par la formule :\[\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d} x.\]}

\medskip
 
La fonction cosinus a pour primitive la fonction sinus donc la valeur moyenne de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right]$ est:
$\dfrac{1}{\pi - \frac{\pi}{2}} \ds\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos(x) \d x 
= \dfrac{2}{\pi} \left [ \sin(x)\rule{0pt}{10pt}\right ]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}
= \dfrac{2}{\pi} \left ( \sin \pi - \sin \frac{\pi}{2} \right )
= \dfrac{2}{\pi} \left ( 0 - 1 \rule{0pt}{10pt}\right )
= -\dfrac{2}{\pi}$.

\smallskip

\textbf{Proposition 3 vraie}

\end{enumerate}  

\pagebreak

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}
 
\medskip

%\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes.}
%
%\medskip

Dans une municipalité, la collecte des déchets des particuliers s'effectue, depuis 2012, à l'aide de camions équipés de capteurs. Une tarification \og incitative \fg{} permet aux habitations de diminuer leur facture en réduisant la masse de leurs ordures ménagères résiduelles par un choix de produits comportant moins d'emballages, une réduction du gaspillage alimentaire et un meilleur tri.


Le document 1 présente la masse moyenne de déchets, en kilogrammes, collectés par année depuis 2012 et par habitation de la ville.

Le document 2 présente les tarifs pratiqués en 2015 par la ville pour la collecte des ordures ménagères résiduelles (on suppose que ces tarifs resteront identiques les années suivantes).
\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{document 1}}}

\medskip 
\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
\begin{center}
\textbf{Années 2012 à 2015}

\medskip

\begin{tabularx}{.9\linewidth}{|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline
\textbf{Année} 	&\textbf{2012} 		& \textbf{2013} & \textbf{2014} & \textbf{2015}\\ \hline
\textbf{Déchets recyclables} 			& 261 & 275 & 289 & 305\\ \hline
\textbf{Ordures ménagères résiduelles} 	& 274 & 269 & 262 & 256\\ \hline
\textbf{Total} 							& 535 & 544 & 551 & 561\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}
\end{minipage}}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{document 2}}}

\medskip 

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
\begin{center}
\textbf{Année 2015}

\medskip

\begin{tabularx}{.9\linewidth}{|m{2.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Tranches} 

\textbf{tarifaires} & \textbf{Tranche 1} & \textbf{Tranche 2} & \textbf{Tranche 3}\\ \hline
\textbf{Masse $M$ en} 

\textbf{kilogrammes} & $0 \leqslant M < 100$ & $100 \leqslant M < 300$ & $300 \leqslant M$\\ \hline
\textbf{Forfait} & 200 \euro & 300 \euro & 420 \euro\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}
\end{minipage}}

\medskip

\subsection*{\textbf{\textsc{Partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Commenter l'évolution de la masse moyenne des déchets collectés par habitation depuis 2012.
Depuis 2012, la masse moyenne de déchets collectés par habitant est en augmentation régulière; cela est dû exclusivement à l'augmentation de la masse des déchets recyclables, tandis que la masse des ordures ménagères est en diminution.

\item Une famille a jeté 320 kg d'ordures ménagères résiduelles en 2015 et elle diminue la masse de ses ordures ménagères résiduelles (OM) de 1\,\% par an.

Avec 320 kg d'OM, cette famille est dans la tranche 3; elle passera dans la tranche 2 quand elle produira moins de 300 kg d'OM.

Le tableau suivant donne la masse de ses OM (arrondie au kg) en tenant compte de cette diminution:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année & 2015 & 2016 & 2017 & 2018 & 2019 & 2020 & 2021 & 2022\\
\hline
OM en kg & 320 & 317 & 314 & 310 & 307 & 304 & 301 & \textcolor{red}{298}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Cette famille changera de tranche en 2022.

\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{\textbf{\textsc{Partie b}}}

\medskip

En 2015, la municipalité comptait \np{10000} habitations.

Dans le cadre de l'aménagement d'un nouveau quartier un constructeur garantit la livraison de 300 nouvelles habitations chaque année au 1\up{er} janvier, de 2016 à 2024. En raison de la demande, ces logements seront immédiatement occupés dès le 1\up{er} janvier.

La municipalité a souscrit avec un centre d'incinération un contrat de 9 ans qui a pris effet au 1\up{er} janvier 2016. Le contrat prévoit de fortes pénalités financières dès que la masse annuelle d'ordures ménagères résiduelles à incinérer vient à dépasser \np{2800} tonnes.
L'objectif de la municipalité est d'éviter ces pénalités.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Vérifier que cet objectif ne sera pas atteint si la masse annuelle moyenne d'ordures ménagères résiduelles par habitation reste constante égale à 256 kg.
Chaque année, il y a 300 habitations de plus donc $256\times 300= \np{76800}$ ~kg d'OM en plus, soit $76,8$ tonnes.

Le tableau suivant donne le nombre d'habitations et la masse des OM en tonnes à partir de 2015:

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année & Rang & Nb habitations & Masse OM\\
\hline
2015 & 0&\np{10000} & \np{2560}\\
\hline
2016 & 1&\np{10300} & \np{2636,80}\\
\hline
2017 & 2&\np{10600} & \np{2713,60}\\
\hline
2018 & 3&\np{10900} & \np{2790,40}\\
\hline
2019 & 4&\np{11200} & \textcolor{red}{\np{2867,20}}\\
\hline
2020 & 5&\np{11500} & \textcolor{red}{\np{2944,00}}\\
\hline
2021 & 6&\np{11800} & \textcolor{red}{\np{3020,80}}\\
\hline
2022 & 7&\np{12100} & \textcolor{red}{\np{3097,60}}\\
\hline
2023 & 8&\np{12400} & \textcolor{red}{\np{3174,40}}\\
\hline
2024 & 9& \textcolor{blue}{\np{12700}} & \textcolor{red}{\np{3251,20}}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Donc, à partir de l'année 2019, la masse des OM dépassera $\np{2800}$ tonnes.

\item Afin d'atteindre cet objectif, il convient donc de diminuer la masse moyenne d'ordures ménagères résiduelles à incinérer. La municipalité souhaite déterminer le pourcentage annuel minimal de réduction de la masse moyenne d'ordures ménagères résiduelles par habitation, pendant toute la durée du contrat.

On admet que l'algorithme ci-dessous détermine ce pourcentage.

\begin{center}
\begin{tabular}{|@{\hspace*{1cm}} l @{\hspace*{1cm}} l @{\hspace*{1cm}}|}
\hline
&\\[-5pt]
\textbf{Variables}   	& $N$: un nombre entier\\
										& $m$: un nombre réel\\
										& $q$: un nombre réel\\
\textbf{Initialisation} & $q$ prend la valeur 1\\
										& $N$ prend la valeur $\np{12700}$\\
										& $m$ prend la valeur $0,246$\\
\textbf{Traitement	}	& Tant que $N\times m \geqslant \np{2800}$\\
										& \hspace*{1cm} $q$ prend la valeur $q-0,001$\\
										& \hspace*{1cm} $m$ prend la valeur $0,256 \times q^9$\\
										& Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}				& Afficher $(1-q)\times 100$\\
&\\[-5pt]
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Cet algorithme affiche 1,7.
\begin{enumerate}
\item% Expliquer la ligne \og $N$ prend la valeur \np{12700} \fg
Pour que la masse des OM soit inférieure à $\np{2800}$ tonnes sur toute la période du contrat, il faut qu'elle soit inférieure à $\np{2800}$ tonnes lors de l'année pour laquelle il y a le plus d'habitations; comme le nombre d'habitations augmente chaque année, c'est en 2024 qu'il y aura le plus d'habitations. 

Le nombre d'habitations en 2024 est de $\np{10000} + 9\times 300 = \np{12700}$.

\item% Expliquer la ligne \og $m$ prend la valeur $0,256 \times q^9$ \fg
Pour diminuer de $p$\,\% de la masse des OM, on multiplie par $q=1-p$; on part de $256$ kg, soit $0,256$ tonne en 2015 et on multiplie chaque année par $q$. Donc en 2024, au rang 9, on multiplie la masse de départ $m$ par $q^9$ ce qui donne $m\times q^9$ comme masse d'OM.

\end{enumerate}

\item On considère que la masse annuelle moyenne d'ordures ménagères résiduelles par habitation va baisser chaque année de 1,7\,\%, à partir du 1\up{er} janvier 2016 sur une période de 9 ans.

On note $u_n$ cette masse, exprimée en tonnes, pour l'année $2015 + n$ où $n$ est un entier naturel. On a donc $u_0 = 0,256$.
\begin{enumerate}
\item% Calculer les termes $u_1$, $u_2$ et vérifier que $u_3\approx 0,243$.
Diminuer de $1,7$\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{1,7}{100} = 0,983$.

$u_1=u_0\times 0,983 \approx 0,252$;
$u_2=u_1\times 0,983 \approx 0,247$;
$u_3=u_2\times 0,983 \approx 0,243$

%Interpréter $u_3$.
Le rang 3 correspond à l'année $2015+3=2018$ donc selon ce modèle, en 2018 la masse moyenne d'OM par habitation sera de $0,243$ tonne.

\item% Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
On passe de $u_n$ à $u_{n+1}$ en multipliant par $0,093$, donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $r=0,983$ et de premier terme $u_0=0,256$.

\item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
On peut donc dire que $u_n=u_0\times r^n = 0,256 \times 0,983^n$.

\item% Vérifier que l'objectif fixé par la municipalité est atteint en fin de 2024.
L'année 2014 correspond au rang $n=9$: $u_9= 0,256 \times 0,983^9 \approx \np{0,21939}$.

En 2024 il y aura $\np{12700}$ habitations donc la masse totale d'OM en 2024 sera:
$\np{12700}\times \np{0,21939} \approx \np{2786}$~tonnes.

On reste donc dans l'objectif fixé par la municipalité, en dessous des $\np{2800}$ tonnes par an.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{\textbf{\textsc{Partie c}}}

\medskip

%\emph{Dans cette partie, tous les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$.}

Des contrôles sont effectués afin de vérifier le tri des déchets.

\textbf{Protocole d'étude}

On choisit au hasard $100$~habitations. Des personnels ont ouvert les poubelles de déchets recyclables de ces habitations afin de déterminer s'ils étaient conformes (absence de matériaux non recyclables, de cartons souillés \ldots).

\medskip

\textbf{Résultats de l'étude}

Parmi ces 100 poubelles de déchets recyclables, 7 ont été jugées non conformes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer, à l'aide d'un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95\%, une estimation de la proportion de poubelles de déchets recyclables qui ne sont pas conformes.
Un intervalle de confiance d'une proportion $p$ au niveau de confiance de $95$\,\%, est donné par:

\[I=\left [ f-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}}~;~ f+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{f\left (1-f\right )}{n}}\right ]\]

où $f$ est la fréquence observée dans l'échantillon de taille $n$.

Ici, $n=100$ et $f=\dfrac{7}{100}=0,07$.

L'intervalle de confiance est donc:

\smallskip

$I= \left [ 0,07 -1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,07\times 0,93}{100}}~;~ 0,07 +1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,07\times 0,93}{100}}\right ]
= \left [ 0,020~;~0,120 \rule{0pt}{10pt}\right ]$

On a donc une estimation du nombre de poubelles non conformes entre 2\,\% et 12\,\%.

\item La proportion de poubelles de déchets recyclables qui ne sont pas conformes n'est pas nécessairement comprise dans l'intervalle $\left [ 0,020~;~0,120 \rule{0pt}{10pt}\right ]$, mais on peut estimer que la probabilité que cet intervalle contienne la bonne proportion de poubelles non conforme est supérieure à $0,95$.
\end{enumerate}
\end{document}