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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Corrigé du baccalauréat S}}
\lfoot{\small{6 septembre 2018}}
\rfoot{\small{Antilles--Guyane}}
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane 6 septembre 2018 
~\decofourright}}
\end{center}

\def\labelitemi{$\bullet$}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

%Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si besoin, à $10^{-3}$.
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Elsa a préparé un grand saladier de billes de chocolat pour son anniversaire.
%
%On y trouve :
%
%\begin{itemize}
%\item  40\,\% de billes au chocolat blanc, les autres étant au chocolat noir;
%\item  parmi les billes au chocolat blanc, 60\,\% sont fourrées au café; les autres sont
%fourrées au praliné ;
%\item  parmi les billes au chocolat noir, 70\,\% sont fourrées au café; les autres sont fourrées
%au praliné.
%\end{itemize}
%
%Un invité prend une bille de chocolat au hasard dans le saladier.
%On définit les évènements suivants:
%
%\begin{itemize}
%\item \emph{B} : \og l'invité prend une bille au chocolat blanc \fg{} ;
%\item \emph{C} : \og l'invité prend une bille fourrée au café \fg.
%\end{itemize}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$B$~~}\naput{0,40}}
	{\TR{$C$}\naput{0,60}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{0,40}
	}
\pstree{\TR{$\overline{B}$~~}\nbput{0,60}}
	{\TR{$C$}\naput{0,70}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{0,30}
	}
}
\end{center}
\item %Montrer que la probabilité que l'invité prenne une bille fourrée au café vaut $0,66$.
Il faut calculer $p(C)$ ; d'après la loi des probabilités totales, on a :

$p(C) = p(B \cap C) + p\left(\overline{B} \cap C \right) = p(B) \times p_B(C) + p\left(\overline{B}\right) \times p_{\overline{B}}(C) = 0,4 \times 0,6 + 0,6 \times 0,7 = 0,24 + 0,42 = 0,66$.
\item %Sachant que la bille est fourrée au café, quelle est la probabilité que l'invité ait pris une bille au chocolat blanc ?
Il faut calculer $p_{C}(B) = \dfrac{p(C \cap B)}{p(C)} = \dfrac{0,24}{0,66} \approx \np{0,3636}$ soit environ 0,364.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%La société Chococéan commercialise des bonbons au chocolat, qui sont conditionnés en
%paquets d'environ $250$~g par une machine. La réglementation exige qu'un tel paquet de
%bonbons au chocolat ait une masse supérieure à $247,5$~g.
%
%La dirigeante de l'entreprise constate que, lorsqu'on prélève au hasard un paquet de bonbons
%au chocolat dans la production, sa masse, en grammes, peut être modélisée par une variable
%aléatoire $X_1$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu_1 = 251$ et d'écart-type $\sigma = 2$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité qu'un paquet prélevé au hasard dans la production soit
%conforme à la réglementation.
Il faut trouver $P(X_1 > 247,5)$ soit $P(247,5 < X_1 < 251) + P(X1 > 251) = P(247,5 < X_1 < 251) +  0,5$.

La calculatrice donne $P(247,5 < X_1 < 251) \approx 0,460$, d'où $P(X_1 > 247,5) \approx 0,960$.
\item %La dirigeante souhaiterait que 98\,\% des paquets soient conformes à la réglementation.

%Cela nécessite un nouveau réglage de la machine, afin que la masse, en grammes, du
%paquet prélevé au hasard soit modélisée par une variable aléatoire $X_2$ qui suit une loi
%normale d'espérance $\mu_2$ inconnue et d'écart-type $\sigma = 2$.

%Déterminer la valeur de $\mu_2$ répondant au souhait de la dirigeante.
Considérons la variable $Y = \dfrac{X_2 - \mu_2}{\sigma} = \dfrac{X_2 - \mu_2}{2}$ : celle-ci suit la loi normale centrée réduite.

Il faut trouver $\mu_2$ telle que :

$P(X_2 > 247,5) = 0,98$ soit $P(247,5 < X_2 < \mu_2) + 0,5 = 0,98 \iff P(247,5 < X_2 < \mu_2) = 0,48 \iff P(247,5 - \mu_2 < X_2 - \mu_2 < 0) = 
0,48 \iff P\left(\dfrac{247,5 - \mu_2}{2} < \dfrac{X_2 - \mu_2}{2} < \mu_2 - 247,5\right) = 0,96 \iff P\left(\dfrac{247,5 - \mu_2}{2} < \dfrac{X_2 - \mu_2}{2} < \dfrac{\mu_2 - 247,5}{2}\right) = 0,96$.

Donc $P\left(\dfrac{247,5 - \mu_2}{2} < Y < \dfrac{\mu_2 - 247,5}{2}\right) = 0,96$ ou encore 

$2P\left(Y < \dfrac{\mu_2 - 247,5}{2}\right) - 1 = 0,96 \iff 2P\left(Y < \dfrac{\mu_2 - 247,5}{2}\right) = 1,96 \iff $

$P\left(Y < \dfrac{\mu_2 - 247,5}{2}\right) = 0,98$.

La calculatrice donne $\dfrac{\mu_2 - 247,5}{2} \approx 2,054 \iff \mu_2 - 247,5 \approx 4,108 \iff \mu_2  \approx 251,608.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

%La société procède à un réglage de la machine. La dirigeante affirme que désormais 98\,\% des
%paquets produits sont conformes à la réglementation.
%
%Une association de consommateurs fait peser $256$ paquets de bonbons au chocolat et en
%dénombre $248$ qui sont conformes à la réglementation.
%
%Le résultat de ce contrôle remet-il en question l'affirmation de la dirigeante ? Justifier la
%réponse.
On a donc $n = 256$ avec une probabilité de la dirigeante d'avoir 98\,\% de produits conforme, soit $p = 0,98$.

Les conditions :

$\bullet~~$$n \geqslant 30$ ;

$\bullet~~$$n \times p = 256 \times 0,98 = 250,88 \geqslant 5$ ;

$\bullet~~$$n(1 - p) = 256 \times 0,02 = 5,12 \geqslant 5$ sont vérifiées. On peut donc construire un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% :

$I_{256} = \left[0,98 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,98 \times 0,02}{256}}~;~0,98 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,98 \times 0,02}{256}}\right]$ soit $I_{256} \approx [0,96285 ~;~0,99715]$.

On peut prendre $I_{256} \approx [0,962~;~0,998]$.

Or la fréquence de produits conformes est $\dfrac{248}{256} = \np{0,96875} \in I_{256}$.

Ce contrôle ne remet pas en cause l'affirmation de la dirigeante.
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%On note $\R$ l'ensemble des nombres réels.
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Soit $f_2$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f_2(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\]

%La courbe représentative de $f_2$, notée $\mathcal{C}_2$ est tracée dans un repère orthonormé sur l'ANNEXE à rendre avec la copie.
%
%\medskip
%
%Aucune justification ni aucun calcul ne sont attendus dans cette partie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Conjecturer les limites de $f_2$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
On peut conjecturer que la limite de $f_2$ au voisinage de moins l'infini est moins l'infini et que la limite au voisinage de plus l'infini est $0$.
\item %Conjecturer le tableau de variations de $f_2$ à l'aide du graphique.
$f_2$ semble être croissante sur $]- \infty~;~- 1]$ puis décroissante sur $[- 1~;~+ \infty[$.
\item %Soit $T_2$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point d'abscisse $0$. Tracer cette tangente sur l'ANNEXE à rendre avec la copie, puis en conjecturer une équation par lecture graphique.
Voir le tracé de la tangente sur l'annexe. Une équation de $T_2$ doit être $y = 2 - x$.
\item %Sur l'ANNEXE à rendre avec la copie, hachurer un domaine dont l'aire est donnée
%par l'intégrale

%\[\displaystyle\int_{-2}^6 f_2(t)\:\text{d}t.\]
Voir l'annexe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Pour tout réel $m$, on note $f_m$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f_m(x) = (x + m)\text{e}^{- x}\]

%et $\mathcal{C}_m$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer les limites de $f_m$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
Quel que soit le réel $m$, $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x + m = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{- x} = + \infty$,d'où par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f_m(x) = - \infty$.

$f_m(x) = x\text{e}^{-x} + m\text{e}^{-x}$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x\text{e}^{-x} = 0$ et on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}m\text{e}^{-x} = 0$, d'où par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f_m(x) = 0$.
\item %On admet que $f_m$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'_m$ sa dérivée.

%Montrer que, pour tout réel $x$,\: $f'_m(x) = (-x - m + 1)\text{e}^{- x}$.
On a par dérivée d'un produit :

$f'_m(x) = 1\text{e}^{-x} -(x + m)\text{e}^{- x} =  \text{e}^{- x}(1 - x  - m)$.
\item %En déduire les variations de $f_m$ sur $\R$.
Comme $\text{e}^{- x} > 0$, quel que soit le réel $x$, le signe de $f'_m(x)$ est celui de $1 - x  - m$.

Or $1 - x  - m > 0 \iff x < 1 - m$ : sur $]- \infty~;~1 - m]$, la fonction $f_m$ est croissante de moins l'infini à $f_m(1 - m) = (1 - m + m)\text{e}^{1 - m} = \text{e}^{1 - m}$.

$1 - x  - m < 0 \iff x > 1 - m$ : sur $]1 - m~;~+ \infty]$, la fonction $f_m$ est décroissante de $f_m(1 - m) = \text{e}^{1 - m}$ à $0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Pour tout réel $m$, on note $T_m$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_m$ au point d'abscisse $0$.
		
%Démontrer que $T_m$ a pour équation réduite $y = (1 - m)x + m$.
On sait qu'une équation de $T_m$ est $y - f_m(0) = f'_m(0)(x - 0)$.

Or $f_m(0) = m$ et $f'_m(0) = 1  - m$.

Donc une équation de $T_m$ est $y - m = x(1 - m)$ ou $y = (1 - m)x + m$.
		\item %Démontrer que toutes les droites $T_m$ passent par un même point dont on précisera
%les coordonnées.
On voit facilement que si $x = 1$, alors $y = 1$ : toutes les droites $T_m$ contiennent le point de coordonnées (1~;~1).
	\end{enumerate}
\item %Étudier le signe de $f_m(x)$ pour tout réel $x$.
$f_m$ est croissante sur $]- \infty~;~1 - m]$ de moins l'infini à $\text{e}^{1 - m} > 0$. Étant continue car dérivable sur cet intervalle elle s'annule donc une seule fois en $x = - m$.

Conclusion : $f_m(x) < 0$ sur $]- \infty~;~- m[$ et $f_m(x) > 0$ sur $]- m~;~+ \infty[$.
\item %On admet que la fonction $F_2$ définie sur $\R$ par $F_2(x) = -(x + 3)\text{e}^{- x}$ est une primitive de $f_2$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer, en fonction de $x$, l'expression de
		
%\[\displaystyle\int_{-2}^x f_2(t)\:\text{d}t.\]
$\displaystyle\int_{-2}^x f_2(t)\:\text{d}t = \left[F_2(t) \right]_{-2}^x = F_2(x) - F(- 2) = -(x + 3)\text{e}^{- x} - \left[-(-2 + 3)\text{e}^{- (-2)}\right] = -(x + 3)\text{e}^{- x} - text{e}^2$.
		\item %En déduire la valeur de
		
%\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_{-2}^6 f_2(t)\:\text{d}t.\]
On a $-(x + 3)\text{e}^{- x} = - x\text{e}^{- x} - 3\text{e}^{- x}$. Or 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{- x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 3\text{e}^{- x} = 0$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}-(x + 3)\text{e}^{- x} = 0$ et 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_{-2}^6 f_2(t)\:\text{d}t = \text{z}^2$.

La limite de l'aire de la surface limitée par $\mathcal{C}_2$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - 2$ et $x = t$ quand $t$ tend vers plus l'infini est égale à $\text{e}^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textsc{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%On considère un cube ABCDEFGH. L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$.
%
%La figure est donnée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(7.5,7)
\uput[l](0,0){A}\uput[l](-2.4,-2.4){B}\uput[r](2.4,-2.4){C}\uput[ur](4.8,0){D}
\uput[l](0,4.8){E}\uput[dl](-2.4,2.4){F} \uput[dr](2.4,2.4){G}\uput[ur](4.8,4.8){H}
\uput[ur](0,2.9){I}\uput[l](-2.4,-0.8){J}\uput[dr](2.4,-0.8){K}\uput[r](4.8,2.9){L}
\psframe(-2.4,-2.4)(2.4,2.4)
\psline(2.4,-2.4)(4.8,0)(4.8,4.8)(2.4,2.4)%CDHG
\psline(4.8,4.8)(0,4.8)(-2.4,2.4)%HEF
\psline(-2.4,-0.8)(2.4,-0.8)(4.8,2.9)%JKL
\psline[linestyle=dashed](-2.4,-2.4)(0,0)(4.8,0)%BAD
\psline[linestyle=dashed](-2.4,-0.8)(0,2.9)(4.8,2.9)%JIL
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,4.8)%IE
\psline{->}(4.8,0)(7.5,0)
\psline{->}(0,4.8)(0,7)
\psline{->}(-2.4,-2.4)(-4,-4)
\end{pspicture}
\end{center}

%\parbox{0.48\linewidth}{On rappelle les formules suivantes :
%
%Aire d'un trapèze:
%
%$\frac{1}{2}$(petite base + grande base) $\times$ hauteur
%\medskip
%
%Volume d'un prisme :
%
%aire de la base $\times$ hauteur} \hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(6.8,5.4)
%\pspolygon(0,1.2)(4.4,0.2)(4.4,1.2)(0,2.2)
%\psline(4.4,0.2)(6.4,0)(6.4,4.2)(2,5.4)(0,2.2)
%\psline[linestyle=dotted](0,1.2)(2,1.1)(6.4,0)
%\psline[linestyle=dotted](2,1.1)(2,5.4)
%\pspolygon[fillstyle=hlines](4.4,1.2)(4.4,0.2)(6.4,0)(6.4,4.2)
%\rput{90}(6.8,2.2){base du prisme}
%\rput{-15}(4.2,5.2){hauteur du prisme}
%\end{pspicture}}

On note $\mathcal{P}_1$ le plan d'équation $4x + 15z - 9 = 0$.

%La section IJKL du cube ABCDEFGH par le plan $\mathcal{P}_1$ est représentée sur la figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées des points I et J.
Les coordonnées de I vérifient : $4x + 15z - 9 = 0$, $x = 0$ et $y = 0$, donc $z = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$.  I$\left(0~;~0~;~\frac{3}{5} \right)$.

Les coordonnées de J vérifient : $4x + 15z - 9 = 0$, $x = 1$ et $y = 0$, donc $z = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$.  J$\left(0~;~;~1~;~\frac{1}{3} \right)$.
\item %Le plan $\mathcal{P}_1$ partage le cube en deux prismes.

%Calculer le volume de chacun de ces deux prismes.
Volume du prisme IJKLDCBA : la base AIJB a une aire $\dfrac{\text{AI} + \text{BJ}}{2} \times \text{AB} = \dfrac{\frac{3}{5} + \frac{1}{3}}{2} \times 1 = \dfrac{14}{15} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{15}$.

Comme la hauteur est égale à 1, le volume est aussi égal à $\dfrac{7}{15}$.

Comme le cube a une aire égale à 1, l'autre prisme a un volume égal à :

$1 - \dfrac{7}{15} = \dfrac{8}{15}$
\item %Soit M un point du segment [EI].

%On cherche un plan $\mathcal{P}_2$ parallèle à $\mathcal{P}_1$ et passant par M qui partage le cube en deux prismes de même volume.

%Déterminer une équation cartésienne de $\mathcal{P}_2$.
$\mathcal{P}_2$ est parallèle à $\mathcal{P}_1$ donc une de ses équations est de la forme : $4x + 15z + k = 0$.

Soit N le point d'intersection de $\mathcal{P}_2$ avec l'arête [BF].
 
M est un point de [EI], donc sa cote $z$ vérifie : $\frac{3}{5} \leqslant z \leqslant 1$.

Les coordonnées de M vérifient : $4x + 15z + k = 0$, $x = 0$ et $y = 0$, donc $z = -\dfrac{k}{15}$. M$\left(0~;~0~;~-\dfrac{k}{15}\right)$.

Les coordonnées de N vérifient : $4x + 15z + k = 0$, $x = 1$ et $y = 0$, donc $z = -\dfrac{k + 4}{15}$.  N$\left(1~;~0~;~-\dfrac{k + 4}{15}\right)$.

Le trapèze AMNB a une aire égale à :

$\dfrac{\text{AM} + \text{BN}}{2} \times \text{AB} = \dfrac{-\frac{k}{15}- \frac{k + 4}{15}}{2} \times 1 = -\dfrac{2k + 4}{15} \times \dfrac{1}{2} = -\dfrac{k + 2}{15}$.

Comme la hauteur est égale à 1, le volume est aussi égal à $-\dfrac{k + 2}{15}$.

On veut que ce volume soit égal à $\frac{1}{2}$, d'où l'équation :

$-\dfrac{k + 2}{15} = \dfrac{1}{2} \iff - 2k - 4 = 15 \iff 2k = - 19 \iff k = - \dfrac{19}{2}$.

Une équation de $\mathcal{P}_2$ est donc $4x + 15z - \dfrac{19}{2} = 0$.

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textsc{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$, et pour tout entier naturel $n$,

\[u_{n+1} = \text{e} \times \sqrt{u_n}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,

%\[1 \leqslant u_n \leqslant  \text{e}^2.\]
$\bullet~~$\emph{Initialisation} : $u_0 = 1$, donc $1 \leqslant u_0 \leqslant \text{e}^2$.

L'encadrement est vrai au rang $0$.

$\bullet~~$\emph{Hérédité} : supposons que pour $n \in \N$, on ait :

$1 \leqslant u_n \leqslant  \text{e}^2$, on a donc par croissance de la fonction $\sqrt{~}$, \: $\sqrt{1} \leqslant \sqrt{u_n} \leqslant \text{e}$ ou encore $1 \leqslant \sqrt{u_n} \leqslant \text{e}$, puis par produit par e :

$\text{e} \leqslant \text{e} \times \sqrt{u_n} \leqslant \text{e} \times \text{e}$ et \emph{a fortiori}
$1 \leqslant u_{n+1} \leqslant \text{e}^2$. L'encadrement est héréditaire.

On a montré que l'encadrement est vrai au rang $0$ et que s'il est vrai au rang $n$ quelconque il est vrai au rang $n + 1$ ; d'après le principe de la récurrence on a montré que pour tout naturel $n$, \: $1 \leqslant u_n \leqslant \text{e}^2$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
Quel que soit le naturel $n$, \: $u_{n+1} -  u_n = \text{e} \sqrt{u_n} - u_n  = \sqrt{u_n}\left(\text{e} - \sqrt{u_n} \right)$. 

Or on a d'une part $\sqrt{u_n} \geqslant 0$, et on a vu dans la question précédente que $\sqrt{u_n} < \text{e} \iff \text{e} - \sqrt{u_n} > 0$ donc finalement $\sqrt{u_n}\left(\text{e} - \sqrt{u_n} \right) \geqslant 0$ ou encore $u_{n+1} -  u_n \geqslant 0 \iff u_{n+1} \geqslant u_n$ : la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. 
		\item %En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
		La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\text{e}^2$ elle est donc convergente vers une limite $\ell \leqslant \text{e}^2$.
	\end{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$, on pose
	
\[v_n = \ln \left(u_n\right) - 2.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.
Pour tout entier naturel $n$, \: $v_{n+1} = \ln \left(u_{n+1}\right) - 2 = \ln \left(\text{e} \times \sqrt{u_n} \right) - 2 = \ln \text{e} + \ln \sqrt{u_n} - 2 = 1 - 2 + \dfrac{1}{2}\ln u_n = \dfrac{1}{2}\ln u_n - 1 = \dfrac{1}{2}\left(\ln u_n - 2 \right) = \dfrac{1}{2}v_n$.

L'égalité $v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ de premier terme $v_0 = \ln u_0 - 2 = 0 - - 2 = - 2$.	
		\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,

%\[v_n = - \dfrac{1}{2^{n-1}}.\]
On sait que pour tout naturel $n$, \: $v_n = v_0 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = - 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.	
		\item %En déduire une expression de $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
Or $v_n = \ln \left(u_n\right) - 2 \iff \ln \left(u_n\right) = v_n + 2 = 2 - 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \iff u_n = \text{e}^{2 - 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}$.
		\item %Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		Comme $- 1 < \dfrac{1}{2} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}2 - 2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 2$ et enfin 
		$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = \text{e}^2$.
 	\end{enumerate}
\item  %Dans cette question, on s'interroge sur le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ si l'on choisit d'autres valeurs que 1 pour $u_0$.
	
%Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en
justifiant.
	
	\medskip
	
\textbf{Affirmation 1} : \og Si $u_0 = \np{2018}$, alors la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. \fg

On a $u_1 = \text{e} \times \sqrt{\np{2018}} \approx 122$ ;

$u_2 = \text{e} \times \sqrt{u_1} \approx 30$ ;

$u_3 = \text{e} \times \sqrt{u_2} \approx 15$
L'affirmation n'est  pas vraie.
	
\textbf{Affirmation 2} : \og Si $u_0 = 2$, alors pour tout entier naturel $n$,\: $1 \leqslant u_n \leqslant \text{e}^2$. \fg

L'affirmation est vraie car l'initialisation de la récurrence est encore valable : $1 \leqslant u_0 \leqslant \text{e}^2$, donc l'encadrement est encore vrai.
	
\textbf{Affirmation 3} : \og La suite $\left(u_n\right)$ est constante si et seulement si 
$u_0 = 0$. \fg

La suite $\left(u_n\right)$ est constante si et seulement si quel que soit $n$, \: $u_{n+1} = u_n \iff \text{e} \times \sqrt{u_n} = u_n \iff \text{e} \times \sqrt{u_n} = \sqrt{u_n} \times \sqrt{u_n} \iff \text{e} = \sqrt{u_n} \iff u_n = \text{e}^2$.

L'affirmation est fausse.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textsc{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 3u_n + 1$.

\medskip

%On admet que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ est entier.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} = 3u_n + 1 \iff 1u_{n+1} - 3u_n = 1$ : cette égalité montre que les entiers $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
\item %Démontrer que les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont alternativement pairs et impairs.
$\bullet~~$ si $u_n$ est pair, $3u_n$ l'est aussi et $3u_n + 1$ est impair donc $u_{n+1}$ est impair ;

$\bullet~~$ si $u_n$ est impair, $3u_n$ l'est aussi et $3u_n + 1$ est pair donc $u_{n+1}$ est pair.

Donc $u_0$ est pair, $u_1$ est impair, $u_2$ est pair, \ldots
\item %L'affirmation suivante est-elle vraie ? Justifier.

%Affirmation: \og Si $p$ est un nombre premier impair, alors $u_p$ est premier. \fg
$u_0 = 0$, \: $u_1 = 1$, \: $u_2 = 4$, \: $u_3 = 13$, \: $u_4 = 40$, \: $u_5 = 121$ : 5 est premier et $u_5 = 11^2$ n'est pas premier : l'affirmation est fausse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $2u_n = 3^n - 1$.
\emph{Initialisation} : $3^0 - 1 = 1 - 1 = 0 = 2u_0$ : la relation est vraie au rang $0$.
		
\emph{Hérédité} : supposons que pour $n \in \N$, on ait $2u_n = 3^n - 1$, alors 
		
$u_{n+1} = 3u_n + 1$, donc $2u_{n+1} = 2\left(3u_n + 1 \right) = 2 \times 3u_n  + 2 = 3\times 2u_n   + 2 = 3 \times \left(3^{n} - 1\right) + 2 = 3^{n1} - 3 + 2 = 3^{n+1} - 1$ : la relation est vraie au rang $n + 1$.

On a montré que la relation est vraie au rang $0$ et que si elle est vraie au rang $n$ elle l'est aussi au rang suivant $n + 1$ : d'après le principe de récurrence on a donc montré que pour tout entier naturel $n$,\: $2u_n = 3^n - 1$.
		\item ~%Déterminer le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $3^n$ est congru à 1 modulo 7.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
$n$&$3^n$&$3^n \equiv \ldots [7]$\\ \hline
1&3&3\\ \hline
2&9&2\\ \hline
3&27&6\\ \hline
4&81&4\\ \hline
5&243&5\\ \hline
6&729&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le plus petit naturel non nul tel que $3^n \equiv 1 [7]$ est donc $6$.
		\item %En déduire que $u_{2022}$ est divisible par $7$.
$\np{2022} = 6 \times 337$.

On a donc d'après la relation démontrée par récurrence :

$2u_{\np{2022}} = 3^{\np{2022}} - 1 = 3^{6 \times 337} - 1 = \left(3^6 \right)^{337}$.

D'après la question précédente $3^6 \equiv 1 [7]$, donc 

$2u_{\np{2022}} \equiv 1^{337} - 1 [7]$ ou $2u_{\np{2022}} \equiv 1 - 1 [7]$, d'où

$2u_{\np{2022}} \equiv 0 [7]$, donc $2u_{\np{2022}}$ est un multiple de 7 et comme 2 est premier avec 7, $u_{\np{2022}}$ est un multiple de $7$.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le reste de la division euclidienne par 5 de chacun des cinq premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
$u_0 = 0 \equiv 0 \:[5]$
		
$u_1 = 1 \equiv 1 \:[5]$

$u_2 = 4 \equiv 4 \:[5]$

$u_3 = 13 \equiv 3 \:[5]$

$u_4 = 40 \equiv 0 \:[5]$
		\item %Sans justification, recopier et compléter le tableau suivant :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline	
Reste de la division euclidienne de $m$ par 5 		&0 	&1 	&2 	&3 	&4\\ \hline
Reste de la division euclidienne de $3m + 1$ par 5	&1	&4	&2	&0	&3\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$, si $u_n$ est congru à 4 modulo 5, alors $u_{n+4}$ est congru à 4 modulo 5.
Si pour tout entier naturel $n$,  $u_n$ est congru à 4 modulo 5, $3u_n$ est aussi congru à 2 modulo 5 et $3u_n + 1 = u_{n+1}$ est congru à 3 modulo 5.

De même d'après le tableau de la question précédente :

$u_{n+2}$ est congru à $0$ modulo 5 ;

$u_{n+3}$ est congru à $1$ modulo 5 ; 

$u_{n+4}$ est congru à $4$ modulo 5 et ainsi de suite.
		\item %Existe-t-il un entier naturel $n$ tel que le reste de la division euclidienne de $u_n$ par 5 soit égal à 2 ?
D'après la question précédente les restes des divisions euclidiennes de $u_n$ par 5 sont de façon cyclique : 4, 3, 0, 1 : on ne peut donc avoir comme reste 2.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3.5)(6.5,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.6pt]
\psaxes[linewidth=1.pt]{->}(0,0)(-3,-3.5)(6.5,3.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ur](0.5,1.5){\blue $\mathcal{C}_2$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{6.5}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{1}{2 x sub}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{6}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\psline(6,0)(-2,0)}
\uput[r](-0.5,2.5){\red $T_2$}
\end{pspicture*}
\vspace{1cm}

\end{center}
\end{document}