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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture et corrigé : François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat Série technologique}
\lfoot{\small{Sujet 0\\Épreuve anticipée de mathématiques 2\\
 voie générale spécialité}}
\rfoot{\small{2025 - sujet 1}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \decofourleft~\textbf{Sujet 0 -- Série technologique - Corrigé~\decofourright\\[6pt]Évaluation en fin de première}}
\end{center}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
%Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0\\[10pt]
%Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques\\[10pt]
%Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\bigskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 pts)}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Question 1}

Le dimanche le temps passé à faire les devoirs est $\dfrac{25}{100} = \dfrac{25 \times 1}{25 \times 4} = \dfrac 14$ ; sur ce temps le temps consacré a l'exposé est de 80\,\% soir $\dfrac{80}{100} \times \dfrac 14 = \dfrac 14 \times \dfrac{80}{100}$ : réponse B

\textbf{Question 2}

Diminuer un prix de 50\,\% c'est le multiplier par $1 - \dfrac{50}{100} = 1 - 0,5 = 0,5$.

Pour retrouver le prix initial il faut doubler ce pris soit l'augmenter de $1 + 1 = 1 + \dfrac{100}{100}$, soit l'augmenter de 100\,\%.

\textbf{Question 3 }

Pour obtenir 200 à partir de 250, il suffit de multiplier par 200 et de diviser par 250, soit de le multiplier par $200 \times \dfrac{1}{250} = \dfrac{200}{250} = \dfrac{200 \times 4}{250 \times 4} = \dfrac{800}{\np{1000}} = 0,8$

\textbf{Question 4}

On a bien $\dfrac{10^{-5}}{10^{8}} = 10^{-5 - 8} = 10^{- 13}$.

\textbf{Question 5}

L'épaisseur d'une pile de 2 000 feuilles est égale à $\np{2000} \times 70 \times 10^{-3} = 2 \times 7 \times 10^{3 + 1 -3} = 14 \times 10^{1} = 140$~(mm) ou 14~(cm).

\textbf{Question 6}

Terre : $5,973 \times 10^{24}$~(kg) ; Mercure : $3,302 \times 10^{23}$~(kg) ;

Vénus : $\np{4,8685} \times 10^{24}$~(kg) ; Mars : $\np{6,4185} \times 10^{23}$~(kg).

La masse la plus grande est celle de la Terre.

\textbf{Question 7}

On a la somme : $x + 3x + x^2 = 4x + x^2$.

\textbf{Question 8}

La courbe $\mathcal{C}'$ est au dessous de la courbe $\mathcal{C}$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $[-2~;~-1]$ ou lorsque $x$ appartient à l'intervalle $[1~;~2]$.

\textbf{Question 9}

La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points d'abscisses négatives.

\textbf{Question 10}

La fonction s'annule en $x = 2$ ce qui élimine B et D.

On a $f(0) > 0$, ce qui élimine C : reste A.

\textbf{Question 11}

On a $C = (1 + t)^2$, donc $C > 0$ et $\sqrt{C}$ existe : on a donc :

$1 + t = \sqrt{C}$ ou $1 + t = - \sqrt{C}$, d'où :

$t = \sqrt{C} - 1$ ou $t = - \sqrt{C} - 1$

\textbf{Question 12}

C'est l'année 2016.

\bigskip

\textbf{DEUXIÈME PARTIE : \hfill (6 pts)}

\textbf{Exercice 1 (X points)}

\medskip

\textbf{Premier modèle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer une baisse de 10\,\% revient à multiplier par $1 - \dfrac{10}{100} = \dfrac{90}{100} = 0,9$.

Il y aura un an plus tard en 2026 : $\np{1000} \times 0,9 = 900$~(singes).
\item
	\begin{enumerate}
		\item $u_2$ est égal au nombre de singes en $2025 + 2$.

Comme $u_2 = u_1 \times 0,9$ et que $u_1 = 900$, on a $u_2 = 900 \times 0,9 = 810$~(singes).
		\item On a donc d'une année $2025 + n$ à l'année suivante $2025 + n + 1$ :

$u_{n+1} = 0,9 u_n$ : cette égalité montre que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme \np{1000}.
		\item Comme $0 < 0,9 < 1$, la suite $(u_n)$ est décroissante.
	\end{enumerate}
\item La suite est décroissante et chaque année 10\,\% de la population disparait : à terme la population va diminuer (de plus en plus lentement) mais sera de moins de 1 : la population est menacée d'extinction. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Second modèle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item la population en 2026 est :

$v_2 = 0,9 \times v_1 + 150 = 0,9 \times \np{1000} + 150 = 900 + 150 = \np{1050}$~(singes).
\item On saisit dans la case B3 : $\fbox{0.9*B2+150}$.
\item On lit dans le tableau $v_{17} \approx \np{1417} > \np{1400}$.

La population devrait dépasser \np{1400} individus en $2025 + 17 = \np{2042}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 (X points)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\bullet~$La courbe $\mathcal{C}$ contient le point de coordonnées (0~;~2), donc $f(2) = 0$.
		
$\bullet~$La tangente $T$ contient les points (0~;~12) et (2~;~0) ; son coefficient directeur égal au nombre dérivé $f'(2)$ est donc $\dfrac{0 - 12}{2 - 0} = \dfrac{12}{2} = - 6$.
		\item L'ordonnée à l'origine est égale à 12 et le coefficient directeur est égal à $- 6$, donc :

$M(x~;~y) \in T \quad \text{si}\quad y = -x + 12$.
		\item~
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(8.5,2)
\psframe(8.5,2)\psline(0,1.5)(8.5,1.5)\psline(2.5,0)(2.5,2)
\uput[u](1.25,1.4,){$x$}\uput[u](2.7,1.4,){$-2$}\uput[u](4.5,1.4,){$0$}
\uput[u](6.5,1.4,){$4$}\uput[u](8.4,1.4,){$6$}
\rput(1.25,0.75){Variations de $f$}
\psline{->}(2.7,0.4)(4.3,1.3,) \psline{->}(4.7,1.3)(6.3,0.4) \psline{->}(6.7,0.4,)(8.3,1.3,)
\uput[d](4.5,1.5){8}\uput[u](6.5,0){$-8$}\uput[d](4.5,1.5){8}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\begin{enumerate}
	\item %Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-2~;~6]$, on a $f'(x) = 1,5 x(x - 4)$.
$f$ est une fonction polynôme dérivable pour tout réel $s$ et :

$f'(x) = 3 \times 0,5x^2 - 2 \times 3x = 1,5x^2 - 6x = 1,5x(x - 4)$.
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ et retrouver le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~6]$.
On établit le tableau de signes de cette fonction dérivée :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(8.5,2)
\psframe(8.5,2)\psline(0,1.5)(8.5,1.5)\psline(2.5,0)(2.5,2)
\psline(0,1.)(8.5,1.)\psline(0,0.5)(8.5,0.5)
\uput[u](1.25,1.4,){$x$}\uput[u](2.7,1.4,){$-2$}\uput[u](4.5,1.4,){$0$}
\uput[u](6.5,1.4,){$4$}\uput[u](8.4,1.4,){$6$}
\rput(1.25,1.25){$1,5x$}\rput(3.5,1.25){$-$}\rput(5.5,1.25){$+$}\rput(7.5,1.25){$+$}
\rput(1.25,0.75){$x - 4$}\rput(3.5,0.75){$-$}\rput(5.5,0.75){$-$}\rput(7.5,0.75){$+$}
\rput(1.25,0.25){$f'(x)$}\rput(3.5,0.25){$+$}\rput(5.5,0.25){$-$}\rput(7.5,0.25){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item $f(x) \leqslant -6 x + 12$ sur l'intervalle [0~;~2] par : géométriquement la courbe $\mathcal{C}$ est \textbf{au-dessous} de la tangente $T$ sur l'intervalle [0~;~2].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 (X points)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item L'affirmation est fausse puisque la probabilité est supérieure à 1.
		\item Il y a 15 positifs non dopés sur 20 positifs, soit une probabilité de $\dfrac{15}{20} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{3 \times 5\times 5}{4 \times 5\times 5} = \dfrac{75}{100}$ : affirmation exacte.
		\item IL y a 15 positifs non dopés et 2 négatifs et dopés : il y a donc en tout $15 + 2$ erreurs, soit une proportion de $\dfrac{17}{200} = \dfrac{8,5}{100} = 8,5\,\%$ : affirmation exacte.
	\end{enumerate}
\item~

$\bullet~$la probabilité de réussir les deux services est égale à $0,9 \times 0,9 = 0,81$ ;

$\bullet~$la probabilité de rater les deux services est égale à $0,1 \times 0,1 = 0,01$

Conclusion : la probabilité de réussir un seul service est donc égale à 

$1 - (0,81 + 0,01) = 1 - 0,82 = 0,18$. L'affirmation est fausse.
\end{enumerate}
\end{document}