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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Bernard Froget
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\rfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\lfoot{\small{20 juin 2016}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole--La Réunion 20 juin 2016~\decofourright
}}} 

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 6 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
	\item
Utilisons un arbre pondéré :	

\parbox{9cm}{
Les hypothèses s'écrivent :

\text{P}$(A)=0,4\quad $ P$_A\left(\overline{S}\right) = 0,2\quad $ P$_B\left(\overline{S}\right) = 0,05$.

On en déduit :

P$(B) = 1-$P$(A)=0,6$

P$_A(S) = 1 - $P$_A(\overline{S})=1-0,2=0,8$

P$_B(S) = 1-$P$_B(\overline{S}) = 1-0,05=0,95$
\par\medskip
On a ensuite :

P$(S)=$P$(A\cap S) + $P$(B\cap S)= 0,4\times 0,8+0,6\times 0,95= {\red 0,89}$}
\parbox{10cm}{%
$\pstree[treemode=R,nodesep=2pt,treesep=9pt]{\Tdot}
{%
	\pstree[treemode=R,nodesep=2pt,treesep=50pt]{\TR{A}^{0,4}}
		{\TR{S}~{\;:\;A\cap S}^{0.8}\TR{\overline{S}}~{\;:\;A\cap \overline{S}}_{0,2}}
	\pstree[treemode=R,nodesep=2pt,treesep=50pt]{\TR{B}_{0,6}}
		{\TR{S}~{\;:\;B\cap S}^{{0,95}}\TR{\overline{S}}~{\;:\;B\cap \overline{S}}_{{0,05}}}
}$
} 

	\item	
Calculons P$_S(A)$ :

\[\text{P}_S(A)=\frac{\text{P}(A\cap S)}{\text{P}(S)}=\frac{0,4\times 0,8}{0,89}=\frac{32}{89}\]
\[\red\text{Une valeur approchée, à }10^{-2}\text{ près, de  la probabilité cherchée est }0,36.\]	
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
	\item
Notons $f$ la fréquence observée de composants sans défaut .

On a $\syst{l}{f=0,92{\red \;\geqslant 30}\\ n\times f=400\times 0,92=368{\red \;\geqslant 5}\\ n(1-f)=400\times 0,08=32{\red \;\geqslant 5}}$

Les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance sont réunies.

	Un intervalle de confiance de la proportion $p$, au niveau de confiance $0,95$ est 
	\[\left[0,92-\frac{1}{\sqrt{400}}~;~0,92+\frac{1}{\sqrt{400}}\right]={\red [0,87~;0,97]}\]
	\item	
Pour un échantillon de taille $n$, l'intervalle de confiance est 
\[\left[0,92-\frac{1}{\sqrt{n}}~;~0,92+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]\]	dont l'amplitude est 
\[\frac{2}{\sqrt{n}}\]

L'amplitude est au maximum égale à $0,02$ si  et seulement si $\frac{2}{\sqrt{n}}\leqslant 0,02\;(1)$

$\begin{array}[t]{lcl} 
(1)&\iff& 2\leqslant 0,02\sqrt{n}\\
&&\\
&\iff& \sqrt{n}\geqslant 100\\
&&\\
&\iff& n\geqslant \np{10000}\text{ car la fonction racine carrée est croissante sur }\R^+\\
\end{array}$
\[\red \text{La taille minimum de l'échantillon est }\np{10000}\]
\end{enumerate}
%\newpage
\textbf{Partie C}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item {\red P$(T\leqslant a)$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par $ \mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=a$.}
		\item
Soit $t\in[0~;~+\infty[$ :

$\begin{array}[t]{lcl}
\text{P}(T\leqslant t)&=&\int\limits_{0}^{t}f(x)\text{d}x\\
&&\\
&=&\int\limits_{0}^{t}\lambda \text{e}^{-\lambda x}\text{d}x\\ 
&&\\
&=&\left[ -\text{e}^{-\lambda x}\right]_{0}^{t}\\ 
&&\\
&=&\left( -\text{e}^{-\lambda t}\right)-\left( -\text{e}^{-\lambda \times 0}\right)\\
&&\\
&=&\left( -\text{e}^{-\lambda t}\right)-(-1)\\
&&\\
&=&1-\text{e}^{-\lambda t}
\end{array}$		
\[\red \forall t\in[0,+\infty[\quad \text{P}(T\leqslant t)=1-\text{e}^{-\lambda t}\]
		\item	
De $\syst{l}{\lim\limits_{t\to +\infty}-\lambda t\overset{\red \lambda >0}{=}-\infty\\ \text{et}\\ \lim\limits_{X\to -\infty}\text{e}^X=0}$on déduit, par composition :
$\lim\limits_{t\to +\infty}\text{e}^{-\lambda t}=0$.

On a ensuite, par somme : $\lim\limits_{t\to +\infty}(1-\text{e}^{-\lambda t})=1-0=1$ :	
\[\red \lim\limits_{t\to +\infty}\text{P}(T\leqslant t)=1\]	
	\end{enumerate}
\item 
L'hypothèse s'écrit : $1-\text{e}^{-7\lambda}=0,5\quad (1)$

$\begin{array}[t]{lcl}
(1)&\iff&\text{e}^{-7\lambda}=0,5\\
&&\\
&\iff&-7\lambda=\ln \dfrac{1}{2} \\
&&\\
&\iff&-7\lambda=-\ln 2 \\
&&\\
&\iff&\lambda=\dfrac{\ln 2}{7}
\end{array}$
\[\red \text{Une valeur approchée de }\lambda\text{, à  }10^{-3}\text{ près, est } 0,099\]
\item
	\begin{enumerate}
		\item 
La question est de déterminer P$(T\geqslant 5)$.

Puisque P$(T\leqslant 5)=1-\text{e}^{-0,099\times 5}$, alors 
\[\text{P} (T\geqslant 5)=\text{P}(T>5)=1-\text{P}(T\leqslant 5)=1-(1-\text{e}^{-0,099\times 5})=\text{e}^{-5\times 0,099}=\text{e}^{-0,495}\]		
\[\red\text{La probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans est environ } 0,61\]
		\item
Il s'agit de calculer 
\[\text{P}_{(T\geqslant 2)}(T\geqslant 7)\]		
La loi exponentielle étant une loi de durée de vie sans vieillissement, on a 
\[\text{P}_{(T\geqslant 2)}(T\geqslant 7)=\text{P}(T\geqslant 5)\]	\[\red\text{La probabilité cherchée est environ } 0,61\]
		\item	
E$(T)=\dfrac{1}{\lambda}$ :

\begin{tabular}{p{14cm}}
\red
Une valeur approchée de l'espérance de $T$ est environ 10,10 :	
la durée de vie moyenne d'un composant est d'environ 10 ans
\end{tabular}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip


{\bf Affirmation 1}
\par\medskip
Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ont  pour coordonnées respectives $\mat{2\\-2\\-2}$ et $\vect{AC}\mat{-2\\-2\\-2}$.
%$\begin{smallmatrix}2&3\\-1&5\end{smallmatrix}$
Puisque $\dfrac{-2}{2}\ne\dfrac{-2}{-2}$, les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ n'ont pas leurs coordonnées proportionnelles. Les points A,B et C ne sont donc pas alignés :

\[\red \text{L'affirmation 1 est fausse}.\]
\par\medskip
{\bf Affirmation 2}
\par\medskip
Calculons $\vect{n} \cdot \vect{AB}$ et $\vec{n} \cdot \vect{AC}$ :

$\vect{n}.\vect{AB}=0\times 2+1\times(-2)+(-1)\times (-2)=0$

$\vect{n}.\vect{AC}=0\times (-2)+1\times(-2)+(-1)\times (-2)=0$

Le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : on en déduit que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan (ABC) :
\[\red \text{L'affirmation 2 est vraie}.\]
\par\medskip
{\bf Affirmation 3}
\par\medskip
{\blue\emph {Première méthode : }}

$\bullet\;$Montrons tout d'abord que la droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants : 

La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants si et seulement si les vecteurs $\vec{n}\mat{0\\1\\-1}$ et $\vect{EF}\mat{-1\\-1\\1}$ ne sont pas orthogonaux. Calculons $\vec{n} \cdot \vect{EF}$ : 

\[\vec{n}.\vect{EF}=0\times (-1)+1\times (-1)+(-1)\times 1=-2\]

Puisque $\vec{n}.\vect{EF}\ne 0$, alors
\[\text{La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants}\] 


%$\vect{EF}$ a pour coordonnées $\mat{-1\\-1\\1}$

$\bullet\;$Puisque le milieu $I$ du segment [BC] appartient manifestement au plan (ABC), il suffit de vérifier si $I$ appartient à la droite (EF) :

Le milieu $I$ du segment $[BC]$ a pour coordonnées
\[\left(\frac{x_B+x_C}{2}~;~\frac{y_B+y_C}{2}~;~\frac{z_B+z_C}{2}\right)=(1,0,1)\]
Les vecteurs $\vect{EF}$ et $\vect{EI}$ ont pour coordonnées respectives $\mat{-1\\-1\\1}$ et $\mat{2\\2\\-2}$

Puisque $\vect{EI}=-2\vect{EF}$, les points $E$, $I$ et $F$ sont alignés :
\[I\in (EF)\]
On a prouvé que la droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants en le milieu du segment [BC] :
 
\[\red \text{L'affirmation 3 est vraie}.\]
\par\medskip
{\blue \emph {Seconde méthode : }}
\par\medskip
$\bullet\;$Déterminons une représentation paramétrique de la droite (EF) :

La droite (EF) passe par $E(-1~;~-2~;~3)$ et est dirigée par $\vect{EF}\mat{-1\\-1\\1}$. Une représentation paramétrique de la droite (EF) est alors
\[\syst{l}{x=-1-t\\y=-2-t\quad (t\in\R)\\z=\phantom{-}3+t}\]
\par\medskip
$\bullet\;$Déterminons une équation cartésienne du plan (ABC), noté $\mathcal{P}$ : 
Puisque $\vec{n}\mat{0\\1\\-1}$ est normal au plan $\mathcal{P}$, ce dernier a une équation de la forme 
\[y-z+d=0\text{ où }d\in\R\]
Puisque $A(1,2,3)$ est un point de $\mathcal{P}$, alors $y_A-z_A+d=0$, soit $d=-y_A+z_A=1$
\[\text{Une équation du plan }\mathcal{P}\text{ est }y-z+1=0\]
\par\medskip
$\bullet\;$Déterminons $(EF)\cap \mathcal{P}$ :

Soit $M$ un point de la droite (EF). IL existe alors un nombre réel $t$ tel que

\[\syst{l}{x_M=-1-t\\y_M=-2-t\\z_M=\phantom{-}3+t}\]

M appartient à $\mathcal{P}$ si et seulement si $y_M-z_M+1=0$, i.e : 
\[-2-t-(3+t)+1 = 0\]
soit
\[t = -2\]

La droite (EF) et le plan $\mathcal{P}$ sont donc sécants en un point I de coordonnées $(- 1 - (- 2),-2-(- 2),3 +(- 2)) = (1, 0, 1)$

Reste à vérifier que I est le milieu de [BC] : 

Le milieu du segment $[BC]$ a pour coordonnées
\[\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2},\frac{z_B+z_C}{2}\right)=(1,0,1)\]

On en déduit que I est le milieu de [BC]
 
\[\red \text{L'affirmation 3 est vraie}.\]

{\bf Affirmation 4}
\par\medskip
{\blue\emph {Première méthode :}}
\par\medskip
$\bullet\;$Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ ont pour coordonnées respectives $\mat{2\\-2\\-2}$ et $\mat{3\\1\\-2}$. N'ayant pas leurs coordonnées proportionnelles, les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ ne sont pas colinéaires :
\[\text{Les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles}\]

$\bullet\;$Les droites (AB) et (CD) sont donc soit sécantes, soit non coplanaires, selon que le point D appartient ou non au plan (ABC) :
\begin{itemize}
\item
{\blue Une première manière de montrer que D n'appartient pas au plan (ABC) : } 

D appartient au plan (ABC) si et seulement si les vecteurs $\vect{AD}\mat{1\\-1\\-4}$ et $\vect{n}\mat{0\\1\\-1}$ sont orthogonaux.

Puisque $\vect{AB} \cdot \vect{n}=-1+4=3 \ne 0$, alors D n'appartient pas au plan (ABC).
\item
{\blue Une seconde manière de montrer que D n'appartient pas au plan (ABC) : } 

Puisque les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires, D appartient au plan (ABC) si et seulement si le vecteur $\vect{AD}\mat{1\\-1\\-4}$ s'écrit en fonction des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$, autrement dit si et seulement si il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que
 
\[\vect{AD}=\alpha\vect{AB}+\beta\vect{AC}.\] 
   
L'égalité ci-dessus est équivalente au système :

\[\syst{l}{\phantom{-}1=2\alpha-2\beta\\-1=-2\alpha-2\beta\\-4=-2\alpha-2\beta\\}\]

Les deux dernières équations étant incompatibles, D n'est pas un point du plan (ABC). Les droites (AB) et (CD) ne sont donc pas coplanaires :

\end{itemize}

\[\red \text{L'affirmation 4 est fausse}.\]
\par\medskip
{\blue\emph {Seconde méthode :}}
\par\medskip
$\bullet\;$Déterminons des représentations paramétriques des droites (AB) et (CD) :

La droite (AB) passe par A(1~;~2~;~3) et est dirigée par $\vect{AB}\mat{2\\-2\\-2}$. 

Une représentation paramétrique de la droite (AB) est donc : \[\syst{l}{x=1+2t\\y=2-2t\quad (t\in\R)\\z=3-2t}\]
La droite (CD) passe par C(-1~;~0~;~1) et est dirigée par $\vect{CD}\mat{3\\1\\-2}$. 

Une représentation paramétrique de la droite (D) est donc : \[\syst{l}{x=-1+3t\\y=t\quad (t\in\R)\\z=1-2t}\]
\par\medskip
$\bullet\;$Déterminons $(AB)\cap (CD)$ :
Résolvons pour cela le système $\syst{lcl}{1+2t&=&-1+3t'\\2-2t&=&t'\\ 3-2t&=&t'}\quad (1)$ :

$(1)\iff\syst{lcl}{2t-3t'&=&-2\\2t+t'&=&2\\ 2t+t'&=&3}$
Le système n'ayant pas de solution, on en déduit que les droites ne sont pas sécantes :
\[\red \text{L'affirmation 4 est fausse}.\]
  

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
	\item
Soit $x\in\R$ :

$\begin{array}[t]{llcl}
	&f(x)			&=&x\\
\iff&x-\ln(x^2+1)	&=&x\\
\iff&\ln(x^2+1)		&=&0\\
\iff&x^2+1			&=&\text{e}^0\\
\iff&x^2			&=&0\\
\iff&x				&=&0\\
\end{array}$
	
\[\red \text{L'équation }f(x) = x\text{ admet 0 pour unique solution}\]
	\item	
$\bullet\;$Montrons que $f$ est strictement croissante sur $\R$ :

La fonction $u : x\mapsto x^2+1$ est une fonction trinôme, donc dérivable là où elle est définie, i.e $\R$. 

Puisque $u>0$ sur $\R$, alors la fonction $\ln\circ u=\ln u$ est dérivable sur $\R$.

Finalement, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme différence des fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto -\ln(x^2+1)$, toutes deux dérivables sur $\R$. Pour tout nombre réel $x$, on a :

\[f'(x)=1-\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{x^2+1-2x}{x^2+1}=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}\]

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et sa fonction dérivée est strictement positive sur $\R$, \emph{sauf pour $x=1$} : on en déduit que {\red $f$ est strictement croissante sur $\R$}. 
\par\medskip
$\bullet\;$Montrons $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$ :

De $\syst{l}{\lim\limits_{x\to -\infty}x^2+1=+\infty\\ \text{et}\\\lim\limits_{X\to +\infty}\ln X=+\infty }$ on déduit, par composition : $\lim\limits_{x\to -\infty}\ln(x^2+1)=+\infty$.

Il vient ensuite, par produit : \[\lim\limits_{x\to -\infty}-\ln(x^2+1)=-\infty\]

De $\syst{l}{\lim\limits_{x\to -\infty}x=-\infty\\ \text{et}\\\lim\limits_{x\to -\infty}-\ln(x^2+1)=-\infty}$ on déduit, par somme : 

\[\red\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty\]
	\item

La  fonction $f$ est (strictement) croissante sur $[0~;~1]$. Par suite :
\[\forall x\in [0,1]\qquad f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(1)\]
On a $\syst{l}{f(0)=0-\ln(0^2+1)=0\\ \text{et}\\ f(1)=1-\ln(1^2+1)=1-\ln 2}$. Puisque $1-\ln 2<1$, alors 
%$\ln 2>0$. On en déduit : $f(1)=1-\ln 2<1$.
%
%Puisque $\syst{l}{f(0)=0\\ \text{et}\\ f(1<1}$, on en déduit :
\[\forall x\in [0,1]\qquad 0\leqslant f(x)<1\]
On a prouvé :

\[\red \forall x\in[0,1]\qquad f(x)\in[0,1]\]
	\item
	\begin{enumerate}
		\item 
{\red L'algorithme affiche la plus petite valeur de $N$ pour laquelle $N-\ln(N^2+1)$ est supérieur ou égal à $A$.}		
		\item {\red Pour $A=100$, l'algorithme affiche $110$.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
	\item
Pour tout entier naturel $n$, notons $\mathcal{P}_n$ la propriété : $u_n\in[0~;~1]$.

$\bullet\;$ Puisque $u_0 = 1$, $\mathcal{P}_0$ est vraie.
\par\medskip
$\bullet\;$Supposons vraie la propriété $\mathcal{P}_n$ pour \emph{un} entier naturel $n$. 

On a alors : $u_n\in[0~;~1]$.

D'après la troisième question de la partie A, on en déduit : 
\[f(u_n)\in[0~;~1]\]
soit :
\[u_{n+1}\in[0~;~1]\]	
On a prouvé :
\[\forall n\in\N\quad \mathcal{P}_n\text{ est vraie}\Longrightarrow\mathcal{P}_{n+1}\text{ est vraie}\]
\par\medskip
$\bullet\;$On a prouvé par récurrence :
\[\red \forall n\in\N\qquad u_n\in[0~;~1]\]
	\item
Soit $n\in\N$ :

$u_{n+1}- u_n = -\ln \left(u_n^2+1\right)$. 

Étudions le signe de $- \ln \left(u_n^2+1\right)$ :

Puisque $0\leqslant u_n\leqslant 1$, on en déduit, la fonction carré étant croissante sur $[0,1]$ : 
\[0^2\leqslant u_n ^2\leqslant 1^2\]
soit :
\[u_n^2\in[0,1]\]
Par suite :
\[u_n^2+1\in[1,2]\]
La fonction $\ln$ est croissante sur $[1,+\infty[$ : 

De $u_n^2+1\geqslant 1$, on déduit $\ln (u_n^2+1)\geqslant \ln 1$, soit $\ln \left(u_n^2+1\right)\geqslant 0$.

Puisque $u_{n+1}-u_n = - \ln(u_n^2+1)\leqslant 0$, alors

\[\red\text{La suite $u$ est décroissante }\]
	\item
La suite $u$ est décroissante et minorée par $0$ : elle converge donc, en vertu du théorème de la limite monotone, vers un nombre réel $\ell$.  
	\item
	Puisque l'équation $f(x)=x$ admet $0$ pour unique solution, on en déduit :
	\[\red \ell=0\]	
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item 
Soit $(x~;~y)$ un couple d'entiers relatifs.

On a  

\[15x-12y=3(5x-4y)\]

$5x$ et $4y$ sont deux entiers. La différence de deux entiers étant un entier, $5x-4y$ est un entier, et $3(5x-4y)$ est ainsi un multiple de $3$ :

\[\red \text{Si }x \text{ et }y \text{ sont deux entiers relatifs, alors l'entier }15x -12y \text{ est divisible par 3}\] 
		
		\item
Supposons qu'existe un point de la droite $\Delta_1$ dont les coordonnées $(x_0,y_0)$ sont entières.

On a alors \[y_0=\frac{5}{4}x_0-\frac{2}{3}\]
Soit :
\[15x_0-8=12y_0\]
Ou encore :
\[15x_0-12y_0=8\]
D'après la question précédente, $15x_0-12y_0$ est un multiple de 3. 

Or $15x_0-12y_0$ est égal à 8. Comme 8 n'est pas un multiple de 3
\[\red\text{Aucun point de la droite }\Delta_1 \text{ n'a ses coordonnées entières.}\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item
Puisque le point de coordonnées $(x_0,y_0)$ appartient à $\Delta$, on en déduit :
\[y_0=\frac{m}{n}x_0-\frac{p}{q}\]
Soit :
\[\ nqy_0=mqx_0-pn\]
Ou encore:
\[q(mx_0-ny_0)=np\]

Puisque $x_0$, $y_0$, $m$ et $n$ sont des entiers, alors $mx_0-ny_0$ est un entier : 
\[q(mx_0-ny_0)\text{ est donc un multiple de }q\] 

Puisque $np=q(mx_0-ny_0)$, alors
\[\red q \text{ divise }np\] 		

\item
D'après la question précédente, $q$ divise $np$. Comme, par hypothèse, $q$ et $p$ sont premiers entre eux, on en déduit, d'après le théorème de Gauss, que $q$ divise $n$.
\[\red q \text{ divise }n\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item 
Puisque $n$	et $m$ sont premiers entre eux, alors, en vertu du théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs $u$ et $v'$ tels que \[nu +mv'=1\]	
Puisque $n=qr$, l'égalité précédente s'écrit :
\[qru-m(-v')=1\]
soit, en posant $v=-v'$ :
\[qru-mv=1\] 
\[\red\text{Il existe deux entiers }u  \text{ et }v \text{ tels que }qru-mv=1\]
		\item
L'égalité 
\[y_0=\frac{m}{n}x_0-\frac{p}{q}\]
est équivalente, d'après la question 2.a, à l'égalité
\[q(mx_0-ny_0)=np\]
soit :
\[q(mx_0-ny_0)=qrp\]
Puisque $q\ne 0$, cette dernière égalité est équivalente à l'égalité :
\[mx_0-ny_0=rp\quad(1)\]

D'après la question précédente, on sait qu'il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que 
\[nu-mv=1\]
Multiplions chacun des deux membres de cette égalité par $rp$. On obtient alors :
\[nurp-mvrp=rp\]
soit :
\[m(-vrp)-n(-urp)=rp\quad(2)\] 
En comparant les égalités (1) et (2), on en déduit :
\[\red\text{Le point de coordonnées }(-vrp,-urp)\text{ est un point  de }\Delta\]
	\end{enumerate}
\item
Les questions 2 et 3 permettent d'énoncer le résultat suivant :
\par\medskip
{\setlength{\extrarowheight}{7pt}
\begin{tabular}{|p{15cm}|}
\hline
Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=\dfrac{m}{n}x-\dfrac{p}{q}$ où $m$, $n$, $p$ et $q$ sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(n,m)=$pgcd$(p,q)=1$.

Alors il existe un point de $\Delta$ dont les coordonnées sont des entiers \emph{si et seulement si }$q$ divise $n$. \\
\hline
\end{tabular}}
\par\medskip
Dans le cas présent $\Delta$ est la droite d'équation $y=\dfrac{3}{8}x-\dfrac74$.

Puisque $\syst{l}{\text{pgcd}(3,8)=\text{pgcd}(7,4)=1\\ \text{et}\\ \text{4 divise 8}}$, alors 
\[\red \text{Il existe un point de }\Delta\text{ dont les coordonnées sont des entiers}\]
\item
Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=\frac{M}{N}x-\frac{P}{Q}$. 

On applique le résultat énoncé au début de la question précédente : 

	\begin{enumerate}
		\item 
%De deux choses l'une : Q divise N ou Q ne divise pas N
\begin{itemize} 
\item
Si Q ne divise pas N,  alors l'algorithme affiche \ofg{pas de solution} : il se termine donc.
\item
Si Q divise N, on sait qu'il existe un point de $\Delta$ à  coordonnées entières. Autrement dit, il existe un couple d'entiers $(x_0,y_0)$ tel que \[y_0=\frac{M}{N}x_0-\frac{P}{Q}\]

Il est clair qu'un tel couple existe si et seulement si il existe un entier \emph{relatif} $x_0$ tel que $\frac{M}{N}x_0-\frac{P}{Q}$ est un entier.

Lorsque $X$ parcourt $\N$ (i.e prend les valeurs $0,1,2,\dots$), il existe donc un entier naturel $X_0$ tel que $\frac{M}{N}X_0-\frac{P}{Q}$ ou $-\frac{M}{N}X_0-\frac{P}{Q}$ est un entier \emph{relatif} : l'algorithme se termine donc. 
\end{itemize}		
\[\red\text{L'algorithme se termine}\]
		\item
\begin{tabular}{p{15cm}}
\red
L'algorithme affiche les coordonnées du point de la droite d'équation $y=\frac{M}{N}x-\frac{P}{Q}$ dont l'abscisse a la plus petite valeur absolue.
\end{tabular}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}


\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item
\[\red\tan\alpha=\dfrac{EA}{ET}=\dfrac{25}{x}\qquad \tan\beta=\dfrac{EB}{ET}=\dfrac{30,6}{x}\]
\item
Les fonctions $x\mapsto \sin x$ et $x\mapsto \cos x$ sont définies et dérivables sur $]0~;~\frac{\pi}{2}[$. Puisque la fonction cosinus ne s'annule pas sur $]0,\frac{\pi}{2}[$, on en déduit, par quotient, que la fonction $x\mapsto \tan x$ est dérivable sur $]0~;~\frac{\pi}{2}[$.

Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0~;~\frac{\pi}{2}[$, on a :

\[\tan'(x)=\dfrac{\cos x\times \cos x-\sin x\times (-\cos x) }{(\cos x)^2}=\dfrac{\sin^2 x+\cos^2x}{\cos^2x}=\dfrac{1}{\cos^2 x}\] 

Puisque $\tan'> 0$ sur $]0~;\frac{\pi}{2}[$, alors 
\[\red\text{La fonction tangente est strictement croissante sur }\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\]
\item
On a $\widehat{ATB}=\widehat{ETB}-\widehat{ETA}$, soit $\gamma=\beta-\alpha$. Par suite :

$\begin{array}[t]{*{3}{lcl}}
\tan\gamma&=&\tan(\beta-\alpha)
&=&\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}
&=&\dfrac{\dfrac{30,6}{x\mathstrut}-\dfrac{25}{x\mathstrut}}{1+\dfrac{30,6\mathstrut}{x}\times\dfrac{25\mathstrut}{x}}\\
&&&&&&\\
&=&\dfrac{\dfrac{5,6}{x\mathstrut}}{1+\dfrac{765\mathstrut}{x^2}}
&=&\dfrac{\dfrac{5,6}{x\mathstrut}}{\dfrac{x^2+765\mathstrut}{x^2}}
&=&\dfrac{5,6}{x}\times \dfrac{x^2}{x^2+765}\\
&&&&&&\\
&=&\dfrac{5,6x}{x^2+765}\\
\end{array}$
\[\red \tan\gamma=\dfrac{5,6x}{x^2+765}\]
\item
L'angle $\widehat{ATB}$ est maximal lorsque sa mesure $\gamma$ l'est. Puisque $\gamma$ appartient à l'intervalle $]0~;~\frac\pi 2[$ on en déduit, la fonction tangente étant strictement croissante sur $]0~;~\frac{\pi}{2}[$, que $\gamma$ est maximal si et seulement si $\tan \gamma$ est maximal. 

S'il existe, le maximum de $\tan\gamma$ est ainsi le maximum, sur $]0,50]$, de la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{5,6x}{x^2+765}$.

\emph{Remarque :}

\hspace{.5cm}\begin{tabular}{|p{14cm}}
Pour démontrer que $g$ admet, sur $]0~;~50]$, un maximum atteint pour une unique valeur de $x$, il suffit d'étudier les variations  de $g$, ce qui ne pose aucun problème...
\end{tabular}

On peut aussi procéder  de la manière suivante :
%
%remarquer que la fonction $\frac{1}{g}$ est la fonction définie sur $]0,50]$ par $f(x)=\dfrac{1}{5,6}\left(x+\frac{765}{x}\right)=x+\dfrac{765}{x}$.

Puisque la fonction $g$ ne s'annule pas sur l'intervalle $]0~;~50]$, on peut définir, sur $]0~;~50]$, la fonction $\dfrac1g$.

La fonction $g$ est strictement positive sur $]0~;~50]$ et la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0~;~+\infty[$ : les fonctions $g$ et $\dfrac1g$ ont donc des sens de variation contraires. 

Puisque $f=5,6\times \dfrac1g$, les fonctions $f$ et $\dfrac1g$ ont les mêmes variations : les fonctions $f$ et $g$ ont donc des variations contraires.

\begin{tabular}{p{14cm}}
\red
Le maximum de g\footnotemark sur $]0~;~50]$ est obtenu en une valeur de $x$ pour laquelle $f$ admet un minimum.
\end{tabular}
\footnotetext{Sous réserve d'existence}
\par\medskip
La fonction $f$ est dérivable sur $]0,50]$ et, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0~;~50]$ :
\[f'(x)=1-\frac{765}{x^2}=\frac{x^2-765}{x^2}=\frac{x+\sqrt{765}}{x}(x-\sqrt{765})\]

Puisque $x\in]0~;~50]$, alors $x+\sqrt{765}>0$ : 
\[\text{le signe de f'(x) est donc celui de }x-\sqrt{765}\]

On en déduit que $f$ est strictement décroissante sur $]0,\sqrt{765}]$ et strictement croissante sur $[\sqrt{765}~;~50]$ : 

\centerline{$f$ admet donc, sur $]0~;~50]$, un minimum atteint pour $x=\sqrt{765}$.}

\[\red\text{L'angle }\widehat{ATB}\text{ est maximal pour une unique valeur de }x\text{, égale à }\sqrt{765}\;\text{m}.\]
\[\red\text{Une valeur approchée de x, au mètre prés, est }28\,\text{m} \]
\[\red\text{Une valeur approchée de l'angle }\widehat{ATB}\text{, à 0,01 radian près est  }0,1\text{, soit environ }5,78\degres.\]

\end{enumerate}
\end{document}