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%Corrigé : Sébastien Dibos
\newcounter{nexo}
\setcounter{nexo}{0}

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\stepcounter{nexo}
{\noindent{\textbf{Exercice \arabic{nexo}}\hfill\textbf{#1 points}}}}

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\textbf{\theenumi.}}
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\setlength{\parindent}{0pt}
\definecolor{gris}{gray}{.85}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Terminale ES/L~\decofourright\\[5pt]Nouvelle -- Calédonie 2 décembre 2020}}
\end{center}
\bigskip


\begin{exercice}{5}\label{exo1}\

\textbf{Commun à tous les candidats}
\begin{multicols}{5}
\begin{enumerate}
	\item \textbf{Réponse b}
	\item \textbf{Réponse d}
	\item \textbf{Réponse c}
	\item \textbf{réponse c}
	\item \textbf{réponse d}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}{5}\label{exo2}\

\textbf{Commun à tous les candidats}
\begin{enumerate}
	\item $T = \dfrac{66-45}{45} = \dfrac{7}{15} \approx 0,47 = \boxed{47~\%}$
	\item $c_{1} = 1,28 \times 66 + 250,6 = 335,08$
	
	$c_{2} = 1,28 \times 335,08 +250,6 = \np{679,5024}$
	
	Le chiffre d'affaire en 2020 est $679,5$ millions de dollars.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item \begin{eqnarray*}
		v_{n+1} &=& c_{n+1} + 895\\
		&=& 1,28 c_n +250,6 + 895\\
		&=& 1,28 c_n + \np{1145,6}\\
		&=& 1,28\left(c_{n}+895\right)\\
		&=& 1,28 v_{n}
		\end{eqnarray*}
		
		La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de raison $q=1,28$ et de premier terme $v_{0}$ avec :
		
		$v_{0} = c_{0} + 895 = 66 + 895 = 961$. 
		\item Puisque $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $1,28$ et de premier terme $v_{0} = 961$, on a :
		
		$\boxed{v_{n} = 961 \times 1,28^{n}}$
		\item On sait que $v_{n} = c_{n} + 895$, donc $c_{n} = v_{n} - 895$. On a donc bien :
		
		$\boxed{c_{n} = 961 \times 1,28^{n} - 895}$
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item\
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|c|*{5}{>{$}X<{$\centering}|}}
			\hline
			Valeur de $i$ & & 1 & 2 & 3 & 4 \\
			\hline
			Valeur de $c$ & 66 & 335 & 680 & \np{1120} & \np{1685} \\
			\hline
			Valeur de $S$ & 66 & 401 & \np{1081} & \np{2201} & \np{3886} \\
			\hline
		\end{tabularx}
		\end{center}
		\item D'après le tableau précédent, on a : $\boxed{S  = \np{3886}}$
		\item Après quatre années le chiffre d'affaire total pour le jeu en ligne est \np{3886} millions de dollars.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}{5}\label{exo3-NoSpe}\

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ou candidats de L}

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item\
	\begin{center}
	\pstree[treemode=R,nodesep=2pt,treesep=0.75cm,levelsep=2.cm, nrot=:U]{\Tp}{%
	\pstree{\TR{$B$}\naput{$0,54$}}{%
		\TR{$E$}\naput{$0,9$}
		\TR{$\overline{E}$}\nbput{$0,1$}}
	\pstree{\TR{$C$}\naput{$0,41$}}{%
		\TR{$E$}\naput{$0,5$}
		\TR{$\overline{E}$}\nbput{$0,5$}}
	\pstree{\TR{$M$}\nbput{$0,05$}}{%
		\TR{$E$}\naput{$0,2$}
		\TR{$\overline{E}$}\nbput{$0,8$}}
	}
	\end{center}
	\item $B \cap E$ est l'évènement \og L'indice mesurant la qualité de l'air est bon et le groupe de cycliste s'entraîne\fg{}.
	
	$P\left(B \cap E\right) = P(B) \times P_{B}(E) = 0,54 \times 0,9 = \boxed{0,486}$
	\item Les évènements $B$, $C$ et $M$ forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales, on a :
	
$P(E) = P\left(B \cap E\right) + P\left(C \cap E\right) + P\left(M \cap E\right) = 
	P(B) \times P_{B}(E) + P(C) \times P_{C}(E) + P(M) \times P_{M}(E)$

$\phantom{P(B)} = 0,486 + 0,41 \times 0,5 + 0,05 \times 0,2 = 0,486 + 0,205 + 0,01 = \boxed{0,701}$
	\item D'après la formule des probabilités conditionnelles, on a :
	
	$P_{E}(B) = \dfrac{P\left(B \cap E\right)}{P(E)} = \dfrac{0,486}{0,701} \approx \boxed{0,693}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item L'expérience consiste à répéter \emph{5} fois de manière indépendante une même épreuve ayant deux issues possibles, le succès (le cycliste est équipé d'un masque) avec la probabilité \emph{$p=0,3$} et l'échec (le cycliste n'est pas équipé d'un masque) avec la probabilité $q=1-p=0,7$. On a donc un schéma de Bernoulli.
	
	La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès, elle suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,3$.
	
	$X \hookrightarrow \mathcal{B}\left(5~;~0,3\right)$
	
	\item $P(X = 2) = \displaystyle\binom{5}{2} \times 0,3^{2} \times 0,7^{3} = \boxed{\np{0,3087}}$
	
	\item $P(X \geqslant 1) = 1-P(X =0) = 1 - \displaystyle\binom{5}{0} \times 0,3^{0} \times 0,7^{5} = \boxed{\np{0,83193}}$
\end{enumerate}
\end{exercice}

\setcounter{nexo}{2}

\begin{exercice}{5}\label{exo3-spe}\

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\begin{enumerate}
	\item Le graphe est connexe car il ne comporte aucun sommet isolé (tous les sommets peuvent être reliés par une chaîne).
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour qu'il existe un trajet empruntant toutes les routes une fois et une seule, il faut qu'il existe une chaîne eulérienne dans le graphe.
		
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{.667\textwidth}{|c|*{8}{X<{\centering}|}}
			\hline
			Sommet & D & E & F & G & H & I & J & S \\
			\hline
			Degré & 2 & 4 & 5 & 3 & 4 & 4 & 4 & 2 \\
			\hline
		\end{tabularx}
		\end{center}
		D'après le théorème d'Euler, il existe une chaîne eulérienne dans un graphe connexe si le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2. Ici on a 2 sommets de degré impair (F et G), donc il existe bien une chaîne eulérienne dans ce graphe. Il existe donc un trajet empruntant une fois et une seule toutes les routes.
		\item Pour déterminer un tel trajet, on utilise l'algorithme d'Euler :
		
		\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			\textbf{Cycle} & \textbf{Chaîne} \\
			\hline
			 & F-E-G \\
			 E-D-H-E & F--\textbf{E-D-H-E}--G \\
			 H-I-G-F-S-J-H & F-E-D--\textbf{H-I-G-F-S-J-H}--E-G \\
			 J-I-F-J & F-E-D-H-I-G-F-S--\textbf{J-I-F-J}--H-E-G \\
			 \hline
		\end{tabular}
		\end{center}
		Un trajet est donc \textbf{F-E-D-H-I-G-F-S-J-I-F-J-H-E-G}.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Partie manquante de $M$ :
		
		$\boxed{\begin{matrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{matrix}}$
		\item Pour déterminer le nombre d'itinéraires allant de D à F en empruntant 3 routes, il faut trouver le nombre de chaînes de longueur 3 reliant D à F dans le graphe. Le nombre de chaînes de longueur 3 est donné par les coefficients de la matrice $M^{3}$. Pour les chaînes reliant D à F on doit donc lire le coefficient de la 1\up{re} ligne et 3\up{e} colonne. $m_{1~3} = 4$.
		
		Il y a donc 4 itinéraires reliant D à F en empruntant 3 routes.
		
		Ces itinéraires sont :
		
		\textbf{D-E-G-F} ; \textbf{D-H-E-F} ; \textbf{D-H-I-F} ; \textbf{D-H-J-F}.
	\end{enumerate}
	\item Pour déterminer le trajet minimal de D à S on utilise l'algorithme de Djikstra :
		\begin{center}
	\begin{tabularx}{.85\textwidth}{|c|*{8}{>{$}X<{$\centering}|}}
		\cline{2-9}
		\multicolumn{1}{c|}{}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}&\text{H}&\text{I}&\text{J}&\text{S}\\
		\hline
		Départ& 0 & \infty & \infty & \infty & \infty & \infty &\infty & \infty \\
		\hline
		D($0$)& \cellcolor{darkgray} & 75_{\text{D}} & \infty & \infty & \pscirclebox{10_{\text{D}}} & \infty & \infty & \infty \\
		\hline
		H($10$)& \cellcolor{darkgray} & \pscirclebox{75_{\text{D}}} & \infty & \infty & \cellcolor{darkgray} & 96_{\text{H}} & 134_{\text{H}} & \infty \\
		\hline
		E($75$)& \cellcolor{darkgray} & \cellcolor{darkgray} & 185_{\text{E}} & 168_{\text{E}}& \cellcolor{darkgray} & \pscirclebox{96_{\text{H}}} & 134_{\text{H}} & \infty \\
		\hline
		I($96$)& \cellcolor{darkgray} & \cellcolor{darkgray} & 185_{\text{E}} & \pscirclebox{101_{\text{I}}} & \cellcolor{darkgray} & \cellcolor{darkgray} & 134_{\text{H}} & \infty \\
		\hline
		G($101$)& \cellcolor{darkgray} & \cellcolor{darkgray} &  181_{\text{G}} & \cellcolor{darkgray} & \cellcolor{darkgray} & \cellcolor{darkgray} & \pscirclebox{134_{\text{H}}} & \infty \\
		\hline
		J($134$)& \cellcolor{darkgray} & \cellcolor{darkgray} &\pscirclebox{181_{\text{G}}} & \cellcolor{darkgray} &  \cellcolor{darkgray} & \cellcolor{darkgray} & \cellcolor{darkgray} &  251_{\text{J}} \\
		\hline
		F($181$)& \cellcolor{darkgray} & \cellcolor{darkgray} & \cellcolor{darkgray} & \cellcolor{darkgray} & \cellcolor{darkgray} & \cellcolor{darkgray} & \cellcolor{darkgray} & \pscirclebox{240_{\text{F}}} \\
		\hline
	\end{tabularx}
	\end{center}
	
	Le trajet le plus rapide est donc \textbf{D-H-I-G-F-S} avec une durée de 240 min.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}{5}\label{exo4}\

\textbf{Commun à tous les candidats}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Par lecture graphique on a $\boxed{f(1) = 3}$.
	
	$f'(2)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 2. C'est une tangente horizontale, donc on a : $\boxed{f'(2) = 0}$
	\item Pour résoudre l'équation $f(x) = 0$ on lit sur le graphique l'abscisse du point où $\mathcal{C}_{f}$ coupe l'axe des abscisses. On a : $\boxed{x \approx 6,1}$.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item On veut l'aire du domaine du plan limité par l'axe des abscisse, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$. Par définition, on a : $\boxed{\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^{2} f(x) \:\text{d}x}$.
		\item Par lecture graphique on a : $\boxed{3 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item $f'(x) = 4 \times \dfrac{1}{x} + 0 - 2 = \dfrac{4}{x} - \dfrac{2x}{x} = \dfrac{4-2x}{x} = \boxed{\dfrac{2(2-x)}{x}}$
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Sur \intervFF{0,5}{9} on a $x > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $2(2-x)$.
		
		$2-x \geqslant 0 \iff x \leqslant 2$
		
		$f'(x)$ est positif sur \intervFF{0,5}{2} et négatif sur \intervFF{2}{9}.
		\item\
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/1,Variations de $f$/3}{$\np{0.5}$,$2$,$9$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,}
		\tkzTabVar{-/$4-4\ln 2$,+/$4\ln 2 +1$,-/$4\ln 9 - 13$}
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Sur l'intervalle \intervFF{0,5}{2} $f$ est strictement croissante et $f(0,5) > 0$, donc l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution.
		
		Sur l'intervalle \intervFF{2}{9}, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante, avec $f(2) > 0$ et $f(9) < 0$, donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$.
		\item À l'aide de la calculatrice, on a $\boxed{6,12 \leqslant \alpha \leqslant 6,13}$.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item $F'(x) = -2x + 4 \times \ln x + 4x \times \dfrac{1}{x} + 1 = -2x +4\ln x + 4 + 1 = 4 \ln x + 5 - 2x = f(x)$.
		
		Puisque $F'(x) = f(x)$, $F$ est bien une primitive de $f$.
		\item $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^{2}f(x)\d x = F(2) - F(1) = -4 + 8\ln 2 + 2 - \left(-1 + 4 \ln 1 + 1\right)\\
		\phantom{\mathcal{A}= \displaystyle\int_{1}^{2}f(x)\d x} = \boxed{8\ln 2 - 2~~\text{u.a.} \approx 3,55~~\text{u.a.}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}
\end{document}