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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%   Commandes perso FH
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{11 septembre 2013}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane~\decofourright\\[4pt] 11 septembre 2013}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} %\section{exercice 1}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}%  \subsection{partie A}

\medskip
 
\textbf{Restitution organisée de connaissances}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}%  \subsection{partie B}

\medskip
 
 
\begin{enumerate}

\item \textbf{Affirmation 1} : $\Delta$ est orthogonale à toute droite du plan P.
$\Delta$ a pour vecteur directeur $\delta(1~;~3~;~- 2)$

La droite (AB) a pour vecteur directeur $\vect{\text{AB}}(4~;~- 2~;~- 1)$.

La droite (AC) a pour vecteur directeur $\vect{\text{AC}}(- 1~;~- 1~;~- 2)$.

Or $\delta \cdot \vect{\text{AB}} = 4 - 6 + 2 = 0$ et
$\delta \cdot \vect{\text{AC}} = - 1 - 3 + 4 = 0$.

Donc $\Delta$ est orthogonale à deux droites (AB) et (AC) sécantes du plan P : elle est orthogonale à ce plan. \textbf{VRAIE}.
 
\item \textbf{Affirmation 2} : les droites $\Delta$ et (AB) sont coplanaires.

On a vu que $\Delta$ et (AB) étaient orthogonales, donc elles ne sont pas parallèles.

Si elles sont coplanaires elles sont donc sécantes en un point.

En traduisant l'égalité vectorielle 
$\vect{\text{A}M} = t'\vect{\text{AB}}$, on obtient une équation cartésienne de la droite (AB): 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& \phantom{-}4t'\\y &=& - 2t' - 1\\z &=& -t' + 1
\end{array}\right.$ avec $t'$ appartenant à $\R$.

S'il existe un point commun aux deux droites ses coordonnées vérifient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
t &=& \phantom{-}4t'\\3t - 1 &=& - 2t' - 1\\- 2t + 8 &=& -t' + 1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
t &=& \phantom{-}4t'\\
12t'&=& - 2t'\\
- 8t'&=&- t' - 7
\end{array}\right.$ système qui n'a manifestement pas de solution. \textbf{FAUSSE}
\item \textbf{Affirmation 3} : Le plan P a pour équation cartésienne $x + 3y - 2z + 5 = 0$.

On a $4 + 3 \times (- 3) - 2 \times 0 + 5 = 0 \iff - 5 = 0$, qui signifie que les coordonnées de B ne vérifient pas cette équation de plan. \textbf{FAUSSE} 
\item On appelle D la droite passant par l'origine et de vecteur directeur $\vect{u}(11~;~- 1~;~4)$.
 
\textbf{Affirmation 4} : La droite D est strictement parallèle au plan d'équation $x + 3y - 2z + 5 = 0$.

O n'appartient pas au plan : si la droite D est parallèle au plan, elle est orthogonale au vecteur $\vect{n}(1~;~3~;~- 2)$ normal au plan.

Or $\vect{u} \cdot \vect{n} = 11 - 3 - 8 = 0$. Les vecteurs sont bien orthogonaux, la droite D est strictement parallèle au plan d'équation $x + 3y - 2z + 5 = 0$. \textbf{VRAIE} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}%   \section{exercice 2}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
 
\textbf{Partie A : Étude du cas} \boldmath $k = 1$\unboldmath% \subsection{partie A}

\medskip

%On considère donc la fonction $f_{1}$ définie sur $\R$ par 
\[f_{1}(x) = x\text{e}^{- x}.\] 

\begin{enumerate}

\item %Déterminer les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ admet une asymptote que l'on précisera.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{- x} = + \infty$, on a  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f_{1}(x) = - \infty$.

$f_{1}(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x}}$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$ donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f_{1}(x) = 0$.

Donc l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_{1}$ en $+\infty$.

\item %Étudier les variations de $f_{1}$ sur $\R$ puis dresser son tableau de variation sur $\R$.
$f_{1}$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur $\R$:

$f'_{1}(x) = \text{e}^{-x} - x\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(1 - x)$.

Comme $\text{e}^{-x} > 0$ sur $\R$, le signe de $f'_{1}(x) $ est celui de $1 - x$.

Donc $f'_{1}(x) > 0$ si $x < 1$ et $f'_{1}(x) < 0$ si $x > 1$. D'o\`u le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)
\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.5,2.5){$- \infty$} \uput[u](4,2.5){$1$} \uput[u](6.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'_{1}(x)$} \rput(2.5,2.25){$+$}\rput(4,2.25){$0$}\rput(5.5,2.25){$-$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[d](4,2){$\text{e}^{- 1}$}\uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[u](6.8,0){$0$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5) 
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Démontrer que la fonction $g_{1}$ définie et dérivable sur $\R$ telle que : 
$g_{1}(x) = - (x + 1)\text{e}^{- x}$
 
%est une primitive de la fonction $f_{1}$ sur $\R$.
$g_{1}$ étant dérivable, on a pour tout réel, 

$g'_{1}(x)   = -1\text{e}^{- x} - 1 \times [-(x + 1)\text{e}^{- x}] = - \text{e}^{- x} + (x + 1)\text{e}^{- x} = x\text{e}^{- x} = f_{1}(x)$.

Donc $g_{1}$ est bien une primitive de la fonction $f_{1}$ sur $\R$.
\item %Étudier le signe de $f_{1}(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$.
Comme pour tout réel $x$, $\text{e}^x > 0, \:\: f_{1}(x) = 0 \iff x = 0$.

Le tableau de variations ci-dessus montre donc que $f_{1}(x) < 0$ sur $]-\infty\,; 0[$ et $f_{1}(x) > 0$ sur $]0~;~+\infty[$.
 
\item %Calculer, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{1}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 10$.
Comme la fonction est positive sur $]0~;~+ \infty[$, elle l'est aussi sur $]0~;~\ln 10]$, donc l'aire cherchée est en unités d'aire égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 10} f_{1}(x)\:\text{d}x = \left[g_{1}(x)  \right]_{0}^{\ln 10} = g_{1}(\ln 10) - g_{1}(0) = - (\ln 10 + 1)\text{e}^{-\ln 10}  + \text{e}^{0}$.

Comme $\text{e}^{-\ln 10} = \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 10}} = \dfrac{1}{10}$, l'aire est égale à :

$1 - \dfrac{1 + \ln 10}{10} = \dfrac{9}{10} - \dfrac{\ln 10}{10} \approx 0,67$~u. a. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B : Propriétés graphiques} %\subsection{partie B}

\medskip

On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{a}$ et $\mathcal{C}_{b}$ où $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à $\mathcal{C}_{b}$ au point O origine du repère.
 
\begin{center}
\psset{unit=7cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.2)(1.4,0.65)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(-0.25,-0.19)(1.39,0.65)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.1}{1.4}{2 x mul  2.71828 x 2 mul exp div}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-0.1}{1.4}{10 x mul  2.71828 x 10 mul exp div}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.1}{1.4}{3 x mul  2.71828 x 3 mul exp div}
\psplot{-0.1}{1.4}{3 x mul}
\uput[l](0.17,0.5){$T$}\uput[dl](0.28,0.18){\cyan$\mathcal{C}_{a}$}
\uput[d](0.68,0.26){\red$\mathcal{C}_{b}$}
\uput[ur](0.9,0.3){\blue $\mathcal{C}_{2}$}
\psline[linestyle=dashed](0,0.367879)(1.4,0.367879)
\uput[l](0,0.367879){$\frac{1}{\text{e}}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\begin{enumerate}

\item %Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif, les courbes 
%$\mathcal{C}_{k}$ passent par un même point.
De fa\c{c}on évidente $f_{k}(0) = k \times 0 \times \text{e}^{0} = 0$, donc les courbes $\mathcal{C}_{k}$ passent par l'origine.

\item  

	\begin{enumerate}

			\item %Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif et tout réel $x$ on a 
			
%			\[f'_{k}(x) = k(1 - kx)\text{e}^{- kx}.\]
Produit de fonctions dérivables sur $\R$, la fonction $f_{k}$ l'est aussi et :

$f'_{k}(x) = k\text{e}^{- kx} - k \times kx \text{e}^{- kx} = k\text{e}^{- kx}(1 - kx)$.			 

			\item %Justifier que, pour tout réel $k$ strictement positif, $f_{k}$ admet un maximum et calculer ce maximum.
$k$ strictement positif, et $\text{e}^{- kx} > 0$, pour tout réel $x$, donc le signe de la dérivée $f'_{k}(x)$ est celui de $1 - kx$.

Or  $1 - kx < 0 \iff \dfrac{1}{k} < x$ ;
$1 - kx > 0 \iff \dfrac{1}{k} > x$ ;
$1 - kx = 0 \iff \dfrac{1}{k} = x$.

Il en résulte que la fonction $f_{k}$ est :

croissante sur $\left]- \infty~;~\dfrac{1}{k}\right[$,
et décroissante sur $\left]\dfrac{1}{k}~;~+ \infty\right[$;

elle admet donc un maximum en $\dfrac{1}{k}$ : 

$f_{k}\left(\dfrac{1}{k}\right) = k \times \dfrac{1}{k} \times \text{e}^{- k \times \frac{1}{k}} = 1 \text{e}^{- 1} = \dfrac{1}{\text{e}} \approx 0,368$.

Conclusion : toutes les fonctions ont le m\^eme maximum $\text{e}^{- 1}$ pour $x = \dfrac{1}{k}$.
			\item %En observant le graphique ci-dessus, comparer $a$ et 2. Expliquer la démarche.
			Le maximum pour $k = 2$ est obtenu pour $x = \dfrac{1}{2} = 0,5$, donc le maximum pour $f_{a}$ est obtenue pour une valeur $\dfrac{1}{a}$ inférieure à 0,5 donc $a > 2$.
			
\emph{Note : en fait on peut penser que l'abscisse du minimum est à peu près égale à 0,1, ce qui correspond à $a = 10$.} 

			\item %Écrire une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{k}$ au point O origine du repère.
Une équation de cette tangente est :

$y  = f'_{k}(0) (x - 0)+f_k(0) \iff y  = k( 1 - 0)\text{e}^{0}x +0 \iff y = kx$. 

			\item %En déduire à l'aide du graphique une valeur approchée de $b$.
			Le coefficient directeur de la droite $(T)$ est égal à $\dfrac{0,6}{0,2} = 3$. 
			
			Donc la courbe $\mathcal{C}_{b}$ correspond à la valeur $b = 3$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}%  \section{exercice 3}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{enumerate}
		\item $p_{1} = P\(\mu_{1} - 3\sigma_{1}\leqslant X \leqslant \mu_{1} + 3\sigma_{1}\) = P\(35,4 \leqslant X \leqslant 36,6\) \approx 0,997$. 
		
		\item $p_{2} = P\(5,88 \leqslant Y \leqslant 6,12\) = P\(Y \leqslant 6,12\) - P\(Y \leqslant 5,88\) \approx 0,984$.
		
		\item
			\begin{enumerate}
			\item %Une pièce est acceptée si elle est conforme pour la longueur et pour le diamètre.
		 
%Déterminer la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard ne soit pas acceptée (le résultat sera arrondi à $10^{-2}$).
Les deux évènements $D$ et $L$ étant indépendants on a :

$P\(D \cap L\) = P\(D\) \times P\(L\) \approx 0,981$.

La probabilité qu'une pièce ne soit pas acceptée est donc $1-0,981 \approx 0,02$ arrondi à $10^{-2}$. 

			\item %Justifier que la probabilité qu'elle soit conforme pour le diamètre sachant qu'elle n'est pas conforme pour la longueur, est égale à $p_{2}$.
		$D$ et $L$ sont indépendants donc ${D}$ et $\overline L$ le sont aussi d'après le cours. 
		
		On a donc: $P_{\overline{L}}\(D\) = P\(D\) = p_{2}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}% \section{exercice 4 non spé}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }




\medskip
 
\textbf{Partie A} : modélisation et simulation %\subsection{partie A}

 
\begin{enumerate}
\item %On donne les couples suivants : $(-1~;~1)$ ; (10~;~0); (2~;~4) ; (10~;~2).
$(-1~;~1)$ : non car $x < 0$ ce qui n'est pas possible ;

(10~;~0) : oui par exemple en choisissant 10 fois la valeur 0 pour $y$ ;

(2~;~4) : non car $y > 2$ ;

(10~;~2) : oui par exemple en choisissant dans cet ordre  8 fois la valeur 0  puis deux fois la valeur $1$  pour $y$. 
 
%Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ? Justifier la réponse. 
\item %Modifier cet algorithme pour qu'à la place de \og la position de Tom est $(x~;~y)$ \fg, il affiche finalement \og Tom a réussi la traversée\fg{} ou \og Tom est tombé \fg.

Pour que Tom ait réussi la traversée, il faut qu'il soit arrivé au bout des 10 étapes, c'est-à-dire que $x=10$ et qu'il ne tombe pas lors de cette dernière étape, ce qui est encore possible si sa position à l'étape précédente était $\(9\,; 1\)$ ou $\(9\,; -1\)$; il faut donc tester également si $y$ n'est pas plus grand que 1 ou plus petit que $-1$ en fin d'algorithme.

On remplace dans l'algorithme la ligne:

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.5cm}}|l}
Afficher \og{}la position de Tom est \fg{} $\(x\,; y\)$
\end{tabular}

par:

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.5cm}}|l}
Si $x=10$ et $y\pg -1$ et $y\pp 1$\\
\hspace*{0.5cm} alors Afficher \og{}Tom a réussi la traversée\fg{}\\
\hspace*{0.5cm} sinon Afficher \og{}Tom est tombé\fg{}\\
Fin du si
\end{tabular}

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}%   \subsection{partie B}

\medskip
 
Pour tout $n$ entier naturel compris entre 0 et 10, on note : 

$A_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée $- 1$ \fg.

$B_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 0 \fg.

$C_{n}$ l'évènement \og après $n$ déplacements, Tom se trouve sur un point d'ordonnée 1 \fg.
 
On note $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ les probabilités respectives des évènements $A_{n}, B_{n}, C_{n}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que $a_{0} = 0, b_{0} = 1, c_{0} = 0$. 
Au départ, Tom se trouve à l'origine O donc son ordonnée est 0; donc l'évènement $B_0$ est réalisé: $a_0=0$, $b_0=1$ et $c_0=0$.


\item 

On va représenter sur un arbre pondéré le passage de l'état $n$ à l'état $n+1$; une branche vers le haut signifie que le nombre choisi au hasard est $-1$, une branche du milieu signifie que le nombre est 0 et une branche vers le bas signifie que ce nombre vaut 1.

Il est dit dans le texte que $S$ représente l'évènement \og{}Tom traverse le pont\fg{} donc  $\overline S$ désigne l'évènement \og{}Tom est tombé à l'eau\fg{}.


\medskip


\psset{treemode=R,nodesepA=0mm,nodesepB=2.5pt,levelsep=40mm,treesep=5mm}
\pstree{\TR{}}
   {
   \pstree{\TR{$A_n$}\taput{$a_n$}}
       {
        \TR{$\overline S$}~{$\hspace*{9pt}A_n \cap \overline S$}\taput{$\frac{1}{3}$} 
        \TR{$A_{n+1}$}~[tnpos=b]{$\phantom{A_{n+1}}$}~{$A_n \cap A_{n+1}$}\ncput*{$\frac{1}{3}$} 
        \TR{$B_{n+1}$}~{$A_n \cap B_{n+1}$}\tbput{$\frac{1}{3}$}
        } 
   \pstree{\TR{$B_n$}\taput{$b_n$}}
        {
        \TR{$A_{n+1}$}~{$B_n \cap A_{n+1}$}\taput{$\frac{1}{3}$} 
        \TR{$B_{n+1}$}~[tnpos=b]{$\phantom{B_{n+1}}$}~{$B_n \cap B_{n+1}$}\ncput*{$\frac{1}{3}$} 
        \TR{$C_{n+1}$}~{$B_n \cap C_{n+1}$}\tbput{$\frac{1}{3}$}
        }      
   \pstree{\TR{$C_n$}\tbput{$c_n$}}
        {
        \TR{$B_{n+1}$}~{$C_n \cap B_{n+1}$}\taput{$\frac{1}{3}$} 
        \TR{$C_{n+1}$}~[tnpos=b]{$\phantom{C_{n+1}}$}~{$C_n \cap C_{n+1}$}\ncput*{$\frac{1}{3}$} 
        \TR{$\overline S$}~{$\hspace*{9pt}C_n \cap \overline S$}\tbput{$\frac{1}{3}$}
        }
   }

\newpage

D'après la formule des probabilités totales:

$a_{n+1} = P\(A_{n+1}\) = P\(A_n \cap A_{n+1}\) + P\(B_n \cap A_{n+1}\)\\
\phantom{a_{n+1}} = 
P\(A_n\) \times P_{A_n}\(A_{n+1}\) + P\(B_n\) \times P_{B_n}\(A_{n+1}\) =
a_n \times \dfrac{1}{3}+ b_n \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{a_n+b_n}{3}$

De même $b_{n+1}=P\(B_{n+1}\)= a_n \times \dfrac{1}{3} + b_n \times \dfrac{1}{3} + c_n \times \dfrac{1}{3} = = \dfrac{a_n+b_n+c_n}{3}$

et $c_{n+1}=P\(C_{n+1}\)= b_n \times \dfrac{1}{3} + c_n \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{b_n+c_n}{3}$

%\emph{Remarque: on pourrait aisément démontrer, par exemple  par récurrence, que pour tout $n$, $a_n=c_n$.}

\item %Calculer les probabilités $p\left(A_{1}\right),\: p\left(B_{1}\right)$ et $p\left(C_{1}\right)$. 

$P\(A_1\)=a_1=\dfrac{a_0+b_0}{3}=\dfrac{1}{3}$; 
$P\(B_1\)=b_1=\dfrac{a_0+b_0+c_0}{3}=\dfrac{1}{3}$;

$P\(C_1\)=c_1=\dfrac{b_0+c_0}{3}=\dfrac{1}{3}$.  

%On peut dire aussi qu'après un déplacement, Tom ne peut pas être tombé donc $P\(A_1\)+P\(B_1\) + P\(C_1\) = 1$. Ce n'est plus le cas à partir de deux déplacements.

\item %Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements. 

Tom se trouve sur le pont au bout de deux déplacements si l'ordonnée $y$ de sa position vaut $-1$, 0 ou 1, autrement dit dans le cas de l'évènement $A_2 \cup B_2 \cup C_2$. Les trois évènements $A_2$, $B_2$ et $C_2$ sont incompatibles donc $P\(A_2 \cup B_2 \cup C_2\)=P\(A_2\) + P\(B_2\) + P\(C_2\)$.

$a_2=\dfrac{a_1+b_1}{3}=\dfrac{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}{3}=\dfrac{2}{9}$;
$b_2=\dfrac{a_1+b_1+c_1}{3}=\dfrac{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}{3}=\dfrac{1}{3}$;

$c_2=\dfrac{b_1+c_1}{3}=\dfrac{\frac{1}{3}}{3}=\dfrac{2}{9}$.

$P\(A_2 \cup B_2 \cup C_2\)=P\(A_2\) + P\(B_2\) + P\(C_2\)=a_2+b_2+c_2= \dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{7}{9}.$

La probabilité que Tom se trouve sur le pont après deux déplacements est $\dfrac{7}{9}$.


\item
Pour la même raison que dans la question précédente, la probabilité que Tom traverse le pont est $P\(A_{10} \cup B_{10} \cup C_{10}\)=P\(A_{10}\) + P\(B_{10}\) + P\(C_{10}\)=$

$a_{10}+b_{10}+c_{10} \approx \np{0,040272} + \np{0,056953} + \np{0,040272} \approx \np{0,137497}$ (d'après le tableau fourni).

Une valeur approchée à $0,001$ près de la probabilité que Tom traverse le pont est  $0,137$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}


\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}%  \section{exercice 4 spé}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A} %\subsection{partie A}

\medskip
 
On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
A et X sont des nombres entiers\\
Saisir un entier positif A\\
 Affecter à X la valeur de A\\ 
Tant que X supérieur ou égal à 26\\
\hspace{1.25cm}Affecter à X la valeur X $- 26$\\
Fin du tant que\\ 
Afficher X\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


 
\begin{enumerate}
\item %Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3 ? 
Si on saisit 3 comme valeur de A, le nombre X prend la valeur 3 qui  est inférieure à 26 donc on n'entre pas dans la boucle \og{}tant que\fg{}; l'algorithme affiche la valeur de X donc 3.

\item %Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ? 
Si on saisit 55 comme valeur de A, le nombre X prend d'abord la valeur 55 qui  est supérieure à 26; la première fois qu'on entre dans la boucle, on remplace X par X$ - 26 = 55 - 26 = 29$. Le nombre 29 est encore supérieur ou égal à 26 donc on entre une seconde fois dans la boucle; le nombre X est remplacé par X$-26=29-26=3$.

Le nombre 3 est strictement plus petit que 26 donc on n'entre pas dans la boucle et on affiche la valeur de X donc 3.

\item %Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme?
Dans cet algorithme, on soustrait 26 autant de fois que l'on peut du nombre positif X; on obtient un nombre entier compris entre 0 et 25 qui représente le reste de la division de X par 26 et donc le reste de la division de A par 26.


\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}%   \subsection{partie B}

 
%Justifier le passage de $\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}$ à $\begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix}$ puis à  $\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$.

Explication du codage de RE en DP, autrement dit du passage de
$\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}$ à $\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$:

\smallskip

$C \times \begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}3\times 17+1\times 4\\5\times 17+2\times 4\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}51+4\\85+8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix}$

\smallskip

Or $55=2\times 26+3$ donc 55 a pour reste 3 dans la division par 26.

Et $93=3\times 26+15$ donc 93 a pour reste 15 dans la division par 26.

On passe donc de 
$\begin{pmatrix}55\\93\end{pmatrix}$ à $\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$, donc le codage de RE représenté par $\begin{pmatrix}17\\4\end{pmatrix}$ conduit à DP représenté par $\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $x_{1},\:x_{2},\:x'_{1},\:x'_{2}$ quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}x'_{1}\\x'_{2}\end{pmatrix}$ sont transformés lors du procédé de codage en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$. 
	
	\begin{enumerate}

		\item 
Pour transformer $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ par le procédé de codage, on calcule d'abord

$\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3x_1+x_2\\5x_1+2x_2\end{pmatrix}$; puis on détermine les restes de $3x_1+x_2$ et de $5x_1+2x_2$ dans la division par 26.

D'après le texte, on obtient $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ ce qui veut dire que $z_1$ est le reste de $3x_1+x_2$ dans la division par 26, et que $z_2$ est le reste de $5x_1+2x_2$ dans cette même division.

Or $\begin{pmatrix}x'_{1}\\x'_{2}\end{pmatrix}$ est également transformé en $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$, donc $z_1$ est aussi le reste de $3x'_1+x'_2$ dans la division par 26, et $z_2$ le reste de $5x'_1+2x'_2$ dans cette même division.

Les nombres $3x_1+x_2$ et $3x'_1+x'_2$ ont le même reste $z_1$ dans la division par 26 donc ils sont congrus modulo 26. Idem pour $5x_1+2x_2$ et $5x'_1+2x'_2$.

On a donc:
$\left\{\begin{array}{l @{\ \equiv\ } l}
		3x_{1}+ x_{2} &  3x'_{1} + x'_{2}  \quad (26)\\
5x_{1}+ 2x_{2}& 5x'_{1} + 2x'_{2} \quad (26)
\end{array}\right.$


		\item %En déduire que $x_{1} \equiv  x'_{1}\quad  (26)$ et $x_{2} \equiv  x'_{2} \quad (26)$ puis que $x_{1} = x'_{1}$ et $x_{2} = x'_{2}$.

\ \\[-22pt]
		
$\left\{
\begin{array}{l @{\ \equiv\ } l}
3x_{1}+ x_{2} &  3x'_{1} + x'_{2}  \quad (26)\\
5x_{1}+ 2x_{2}& 5x'_{1} + 2x'_{2} \quad (26)
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l @{\ \equiv\ } l}
2\(3x_{1}+ x_{2}\) &  2\(3x'_{1} + x'_{2}\)  \quad (26)\\
5x_{1}+ 2x_{2}& 5x'_{1} + 2x'_{2} \quad (26)
\end{array}
\right.
\Rightarrow$

$\left\{
\begin{array}{l @{\ \equiv\ } l}
6x_{1}+ 2x_{2} &  6x'_{1} + 2x'_{2}  \quad (26)\\
5x_{1}+ 2x_{2}& 5x'_{1} + 2x'_{2} \quad (26)
\end{array}
\right.
\Rightarrow
x_{1} \equiv  x'_{1}  \quad (26)$ (par soustraction).

\smallskip
		
$\left\{
\begin{array}{l @{\ \equiv\ } l}
3x_{1}+ x_{2} &  3x'_{1} + x'_{2}  \quad (26)\\
5x_{1}+ 2x_{2}& 5x'_{1} + 2x'_{2} \quad (26)
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l @{\ \equiv\ } l}
5\(3x_{1}+ x_{2}\) &  5\(3x'_{1} + x'_{2}\)  \quad (26)\\
3\(5x_{1}+ 2x_{2}\)& 3\(5x'_{1} + 2x'_{2}\) \quad (26)
\end{array}
\right.
\Rightarrow$

$\left\{
\begin{array}{l @{\ \equiv\ } l}
15x_{1}+ 5x_{2} &  15x'_{1} + 5x'_{2}  \quad (26)\\
15x_{1}+ 6x_{2}& 15x'_{1} + 6x'_{2} \quad (26)
\end{array}
\right.
\Rightarrow
x_{2} \equiv  x'_{2}  \quad (26)$ (par soustraction).		

\smallskip

Donc $x_1 \equiv x'_1 \quad (26)$ et $x_2 \equiv x'_2 \quad (26)$.

On a:	
$\left.
\begin{array}{r}
x_{1} \equiv  x'_{1}\quad  (26)\\
0 \pp x_1 \pp 25\\
0 \pp x'_1 \pp 25
\end{array} 
\right\rbrace 
\Longrightarrow x_1=x'_1$
et
$\left.
\begin{array}{r}
x_{2} \equiv  x'_{2}\quad  (26)\\
0 \pp x_2 \pp 25\\
0 \pp x'_2 \pp 25
\end{array} 
\right\rbrace 
\Longrightarrow x_2=x'_2$

Il n'y a donc qu'un  couple d'entiers de $[0\,; 25]$  $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ qui se code en $\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}$.
		
	\end{enumerate} 

\bigskip

\item On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP : 

	\begin{enumerate}

		\item Soit la matrice $C' = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}$.
		
$C\times C'= \begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}3\times 2+1\times \(-5\)&3\times \(-1\)+1\times 3\\5\times 2+2\times \(-5\)& 5\times \(-1\)+2\times 3\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$


$C'\times C = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}2\times 3+\(-1\)\times 5&2\times 1+\(-1\)\times 2\\ \(-5\)\times 3 + 3\times 5 &\(-5\)\times 1+3\times 2\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

Donc $C'$ est la matrice inverse de $C$.		 

		\item %Calculer $\begin{pmatrix}y_{1}&y_{2}\end{pmatrix}$ tels que $\begin{pmatrix}y_{1}&y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&15\end{pmatrix}$. 

$\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\15\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 2\times 3+\(-1\)\times 15\\ \(-5\)\times 3+3\times 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9\\ 30 \end{pmatrix}$
donc 
$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
y_1 & -9\\
y_2 & 30
\end{array}
\right. $

		\item %Calculer $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ 	tels que $\left\{\begin{array}{l c l}
%x_{1}&\equiv &y_{1}\quad (26) \text{avec}\:0 \leqslant x_{1} \leqslant 25\\
%x_{2}&\equiv &y_{2}\quad (26) \text{avec}\:0 \leqslant x_{2} \leqslant 25\\
%\end{array}\right.$ 

Soit $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ 	tel que 
$\left\{\begin{array}{l @{\ \equiv\ } l}
x_{1}& y_{1}\quad (26) \text{ avec }\:0 \leqslant x_{1} \leqslant 25\\
x_{2}& y_{2}\quad (26) \text{ avec }\:0 \leqslant x_{2} \leqslant 25\\
\end{array}\right.$

autrement dit
$\left\{\begin{array}{l @{\ \equiv\ } l}
x_{1}& -9 \quad (26) \text{ avec }\:0 \leqslant x_{1} \leqslant 25\\
x_{2}& 30\quad (26) \text{ avec }\:0 \leqslant x_{2} \leqslant 25\\
\end{array}\right.$

Or
$\left\{\begin{array}{l @{\ \equiv\ } l}
-9 & 17 \quad (26) \text{ avec }\:0 \leqslant 17 \leqslant 25\\
30 & 4\quad (26) \text{ avec }\:0 \leqslant 4 \leqslant 25\\
\end{array}\right.$
donc
$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
x_1 & 17\\
x_2 & 4
\end{array}
\right. $

		\item %Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ?
On peut penser que le décodage d'un couple de lettres se fait de la même manière que son codage en remplaçant la matrice $C$ par la matrice $C'$.


	\end{enumerate} 

\item Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage.
 
On considère un bloc de deux lettres et on appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces lettres à l'étape 3. On cherche à trouver deux entiers $x_{1}$ et $x_{2}$ compris 
entre 0 et 25 qui donnent la matrice colonne $\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}$ par les étapes 2 et 3 du procédé de codage.
 
Soient $y'_{1}$ et $y'_{2}$ tels que $\begin{pmatrix}y'_{1}\\ y'_{2}\end{pmatrix} = C' \begin{pmatrix}z_{1}\\ z_{2}\end{pmatrix}$

$ \begin{pmatrix}y'_{1}\\ y'_{2}\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}z_{1}\\ z_{2}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 2z_1-z_2\\ -5z_1+3z_2\end{pmatrix}$
donc
$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
y'_1 & 2z_1-z_2\\
y'_2 & -5z_1+3z_2
\end{array}
\right. $

Soient $x_{1}$ et $x_{2}$, les nombres entiers tels que 
$\left\{\begin{array}{r @{\ \equiv\ } l}
x_{1} & y'_{1} \quad (26) \: \text{ avec }\:0 \leqslant x_{1}\leqslant 25\\  
x_{2} & y'_{2} \quad (26) \: \text{ avec }\:0 \leqslant x_{2}\leqslant 25  
\end{array}\right.$

$3x_{1}+ x_{2} \equiv  3y'_{1}+ y'_{2} \equiv 3\(2z_1-z_2\) + \(-5z_1+3z_2\) \equiv 6z_1-3z_2-5z_1+3z_2 \equiv z_1 \quad (26)$

$5x_{1}+ z_{2} \equiv  5y'_{1}+ 2y'_{2} \equiv 5\(2z_1-z_2\) + 2\(-5z_1+3z_2\) \equiv 10z_1-5z_2-10z_1+6z_2 \\
\phantom{5x_{1}+ z_{2}} \equiv z_2 \quad (26)$ 

On peut donc dire: $\left\{\begin{array}{l @{\ \equiv\ } l}
3x_{1}+ x_{2} &  z_{1}  \quad (26)\\
5x_{1}+ 2x_{2}& z_{2} \quad (26)
\end{array}\right.$

 
%Conclure. 
On a donc décodé la matrice colonne $\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}$ en la multipliant par la matrice $C'$ pour obtenir $\begin{pmatrix}y'_1\\y'_2\end{pmatrix}$ 
puis on a pris les restes module 26 pour obtenir enfin $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$.

Le système obtenu $\left\{\begin{array}{l @{\ \equiv\ } l}
3x_{1}+ x_{2} &  z_{1}  \quad (26)\\
5x_{1}+ 2x_{2}& z_{2} \quad (26)
\end{array}\right.$ 
prouve que la matrice $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ se code bien en $\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}$ et donc que la matrice $\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}$ se décode bien en $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$.

\item %Décoder QC. 
Les deux lettres QC correspondent à la matrice colonne
$\begin{pmatrix} 16 \\ 2 \end{pmatrix}$.

On calcule $C'\times \begin{pmatrix} 16 \\ 2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}2&- 1\\- 5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 16 \\ 2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 2\times 16+ \(-1\)\times 2 \\ \(-5\)\times 16+3\times 2  \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 32-2 \\ -80+6 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 30 \\ -74 \end{pmatrix}$


$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l @{\ \Longrightarrow\ }r @{\ \equiv\ } l}
30 & 1\times 26 +4 & 30 & 4 \quad (26) \text{ avec } 0 \pp 4 \pp 25\\
-74 & -3\times 26 + 4 &-74 & 4 \quad (26) \text{ avec } 0 \pp 4 \pp 25\\ 
\end{array}
\right. $

Le nombre 4 correspond à la lettre E donc QC se décode en EE.

\end{enumerate}


\end{document}