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%tapuscrit{Jean-Paul GOUALARD}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
pdftitle = {Amérique du Nord  - mai  2012},
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord }}
\rfoot{\small 31 mai 2012}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord
~\decofourright\\31 mai 2012}
\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1}}
%Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des
%hommes adhère à la section tennis. On sait également que $30$ \% des
%membres de cette association adhèrent à la section tennis.

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}


%On choisit au hasard un membre de cette association et on note :
%\begin{itemize}
%\item $F$ l'évènement \og le membre choisit est une femme\fg,
%\item $T$ l'évènement \og le membre choisit adhère à la section tennis\fg.
%\end{itemize}
Notons $p$ la probabilité que le membre choisi au hasard soit une femme.\\
L'arbre de probabilités correspondant à la situation est : 
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\medskip

\psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=13mm,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
\pstree
{\TR{$F$}\taput{ $p$}}
{
\TR{$T$}\taput{ $\frac14$}
\TR{$\overline{T}$}\tbput{ $\frac34$}
}
\pstree
{\TR{$\overline{F}$}\tbput{ $1-p$}}
{
\TR{$T$}\taput{$\frac13$}
\TR{$\overline{F}$}\tbput{ $\frac23$}}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $\frac{2}{5}$.
$\text{T} = (T \cap F)\cup \left(T\cap \overline{F}\right)$. C'est une réunion d'évènements incompatibles, donc :

$p(F)= p(T\cap F))+ p(T\cap\overline{F}) = p_F(T) \times p(F) + p_{\overline{\text{F}}}(T) \times p(T)$.

Par conséquent : $p(T)=p\times \dfrac{1}{4} + (1 - p)\times \dfrac{1}{3} = \left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\right)p + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{1}{12}p + \dfrac{1}{3}$.t

On sait que $p(T)=0,3 =\dfrac{3}{10}$.

On en déduit : $-\dfrac{1}{12}p+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{10}\iff \dfrac{p}{12}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{10}=\dfrac{1}{30}$ d'où $p=\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}$.

La probabilité de l'évènement $F$ est : $\boxed{\textcolor{red}{p(F)=\dfrac{2}{5}}}$
\item %On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.
%  Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ?
$p_{T}(F)=\dfrac{p(F\cap T)}{p(T)}=\dfrac{\frac p4}{\frac{3}{10}}=\dfrac{10p}{3\times 4}=\dfrac{5p}{6}=\dfrac{5}{6}\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p_{T}(F)=\dfrac{1}{3}}}$
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

%Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent
%une lotterie.
\begin{enumerate}
\item %Chaque semaine, un membre de l'association est choisi au hasard  de manière indépendante pour tenir la loterie.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la probabilité pour qu'en quatre semaines   consécutives, il y a ait exactement deux fois un membre qui adhère    à la section tennis parmi les membres choisis.
Soit $N$ la variable aléatoire donnant le nombre de membres adhérant à la section tennis parmi les membres choisis.
  
Nous avons répétition d'une expérience aléatoire à deux issues, identique et indépendante. $N$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=4$ (nombre d'épreuves) et $p=\dfrac{3}{10}$ : $\boxed{\textcolor{red}{N\hookrightarrow\mathscr{B}\left(4~;~\dfrac{3}{10}\right)}}$.

On sait alors que $p(N=k)=\binom{4}{k}\times \dfrac{3}{10}^k\times \left(1-\dfrac{3}{10}\right)^{4-k}=\binom{4}{k}\times \dfrac{3}{10}^k\times 0,7^{4-k}$.

D'où : $p(N= 2) = \binom{4}{2}\times \dfrac{3}{10}^2\times 0,7^2=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\np{1323}}{\np{5000}}\approx \np{0,2646}}}$.
  
		\item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_n$ la    probabilité pour qu'en $n$ semaines consécutives, il y ait au    moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres    choisis.

    %Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $p_n = 1 - \left ( \frac{7}{10}\right)^n$.
Cette fois, $N$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}\left(n~;~\dfrac{3}{10}\right)$.

$p_n=p(N\geqslant 1)=1-p(N=0)=1-\binom{n}{0}\times \left(\dfrac{3}{10}\right)^0\times \left(\dfrac{7}{10}\right)^n=1-\left(\dfrac{7}{10}\right)^n$ : $\boxed{\textcolor{red}{p_n=1-\left(\dfrac{7}{10}\right)^n}}$.
    
		\item %Déterminer le nombre minimal de semaines pour que $p_n \geq 0,99$.
  $p_n\geqslant 0,99\Leftrightarrow 0,01\geqslant 0,7^n\Leftrightarrow \ln(0,01)\geqslant n \ln(0,7)$ (en appliquant la fonction $\ln$ qui est croissante)
  
  d'où $n\geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,07)}\approx 12.9$.
  
\textcolor{red}{Il faut que $n$ soit supérieur ou égal à 13 pour que $p_n$ soit supérieur à 0,99}.
	\end{enumerate}
\item 
% Pour cette loterie, on utilise une urne contenant $100$ jetons
%  ; $10$ jetons exactement sont gagnants et rapportent $20$ euros
%  chacun, les autres ne rapportent rien.
%
%  Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer $5$~\euro{} puis
%  tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l'urne : il
%  reçoit alors $20$ euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont
%  ensuite remis dans l'urne.

%  On note $X$ la variable aléatoire associant le gain algébrique
%  (déduction faite des $5$ \euro) réalisé par un joueur lors d'une
%  partie de cette loterie.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
Le nombre de tirages possibles de deux jetons est $\binom{100}{2}= \np{4950}$.

$X$ peut prendre les valeurs 35 (deux jetons gagnants), 15 (un seul jeton gagnant) et $- 5$ (deux jetons perdants).
  
$p(X=2)=\dfrac{\binom{10}{2}}{\binom{100}{2}}=\dfrac{45}{\np{4950}}=\dfrac{1}{110}$.
  
$p(X=0)=\dfrac{\binom{90}{2}}{\binom{100}{2}}=\dfrac{\np{4005}}{\np{4950}}=\dfrac{89}{110}$
  
$p(X=1)=1-[p(X=0)+p(X=2)]=1-\left(\dfrac{1}{110}+\dfrac{89}{110}\right)=1-\dfrac{90}{110}=\dfrac{20}{110}=\dfrac{2}{11}$.

La loi de probabilité de $X$ est donc : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_i$					&$- 5$					&15				&35\\ \hline
$p\left(X=x_i\right)$	&$\dfrac{89}{110}$	&$\dfrac{2}{11}$&$\dfrac{1}{110}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$    et interpréter le résultat obtenu.
L'espérance est $E(X) = \sum_ix_ip\left(X = x_i\right) = - 5\times \dfrac{89}{110} + 15\times \dfrac{2}{11} + 35\dfrac{1}{110} = -\dfrac{110}{110} = -1$. 

$\boxed{\textcolor{red}{E(X)=-1}}$. Cela signifie qu'en moyenne, sur un grand nombre de partie, le joueur perd $1$ euro par partie.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2}}

\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Restitution organisée des connaissances}}

%
%On rappelle que $\lim_{t \to +\infty} \frac{\e^t}{t} = + \infty$.
%
%Démontrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
\noindent On effectue un changement de variable, en posant $X=\ln(x)$ ; alors $x=\mathrm{e}^{X}$.

Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, $X$ tend aussi vers $+\infty$.\\
Par conséquent : $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{X}{\mathrm{e}^{X}}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\frac{\mathrm{e}^{X}}{X}}=0$ d'après le rappel.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}
%%
%On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+\infty[$ par $f(x) = x -
%\frac{\ln(x)}{x}$. 
%
%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
%orthonormal \Oij.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[1~;~\infty[$ par $g(x) =  x^2  -1 + \ln(x)$.

%  Montrer que la fonction $g$ est positive sur $\intervalleA$.
$g$ est dérivable sur $[1~;~+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables.

Pour tout $x\in[1~;~+\infty[$, $g'(x) = 2x + \dfrac{1}{x}>0$ (somme de nombres positifs).

$g$ est donc croissante sur $[1~;~+\infty[$.

Comme $g(1) = 0$, on a donc $g(x) \geqslant 0$ sur $[1~;~+\infty[$.
 
Le tableau de variation de $g$ est donc :
\begin{center}
\begin{variations}
x&1&&\pI\\
\filet
g'(x)&&+&\\
\filet
\m{g(x)}&0&\c&\\
\end{variations}
\end{center}
Le minimum de $g$ est 0, donc $g(x)$ est positif pour tout $x\in[1~;~+\infty[$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout $x$ de $\intervalleA$, $f'(x) =    \frac{g(x)}{x^2}$.
  $f$ est dérivable sur $[1~;~+\infty[$ comme somme et quotient de fonctions dérivables sur $[1~;~+\infty[$.
  
Pour tout $x\in [1~;~+\infty[$, $f'(x)=1-\left[\dfrac{\frac1x\times x-\ln(x)}{x^2}\right]=1-\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}=\dfrac{x^2-1+\ln(x)}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}}}$.  
		\item %En déduire le sens de variation de $f$ sur $\intervalleA$.
Comme $x^2>0$ sur $[1~;~+\infty[$,   $f'(x)$ est du signe de $g(x)$, donc positif sur $[1~;~+\infty[ $ avec $f'(1)=0$.
		\item %Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$ est une    asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
Pour tout $x\in[1~;~+\infty[$, $f(x)-x=-\dfrac{\ln(x)}{x}$.
  
D'après la partie A, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-x]=0$.

La droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$ est donc asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$.
		\item %Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à    la droite $\mathcal{D}$.
Pour tout $x \ in[1~;~+\infty[$, $f(x)-x=-\dfrac{\ln(x)}{x}<0$ car $\ln(x)\geqslant 0$ et $x>0$.
  
La courbe $\mathcal{C}$ est donc en dessous de son asymptote $\mathcal{D}$ (avec intersection en $x=1$).
	\end{enumerate}
\item %Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note  respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de  $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à    $2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est    donnée par $M_kN_k = \frac{\ln(k)}{k}$.
  On a donc $M_kN_k=y_{N_k}-y_{M_k}=\dfrac{\ln(k)}{k}$.
		\item %Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$    supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit    inférieur ou égale à $10^{-2}$.
L'algorithme est : 
  
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     k EST_DU_TYPE NOMBRE
3   DEBUT_ALGORITHME
4     k PREND_LA_VALEUR 2
5     TANT_QUE (log(k)/k>0.01) FAIRE
6       DEBUT_TANT_QUE
7       k PREND_LA_VALEUR k+1
8       FIN_TANT_QUE
9     AFFICHER k
10  FIN_ALGORITHME

\end{verbatim}
\end{small}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
%

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3}}
%
%Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\intervalleB$ telle
%que :
%\[
%f(0) = 0 \text{ et } f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \text{ pour tout $x$ de $\intervalleB$}.
%\]
%
%\emph{On ne cherchera pas à déterminer $f$.}
%
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}
%
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0~;~1]$.
Pour tout $x\in[0~;~1]$, $f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}>0$, donc $f$ est croissante sur [0~;~1].
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$ par $g(x) =  f\left(\tan(x)\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $g$ est dérivable sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$, puis que    pour tout $x$ de $\intervalleC$, $g'(x) =1$.
 $g$ est dérivable sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$ comme composée de fonctions dérivables.
$g'(x)=\tan'(x)\times f'(\tan(x))=\left(1+\tan^2x\right)\times \dfrac{1}{1+\tan^2x}=1$. $\boxed{\textcolor{red}{g'(x)=1}}$
  
		\item %Montrer que, pour tout $x$ de $\intervalleC$, $g(x) = x$, en    déduire que $f(1) = \frac{\pi}{4}$.
Puisque $g'(x)=1$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$, $g(x)=x+k$, $k\in\mathbb{R}$.
  
$g(0)=f(\tan(0))=f(0)=0$ donc $k=0$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{g(x)=x}}$.
  
$f(1)=f\left(\tan\dfrac{\pi}{4}\right)=g\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{4}}}$ car $g(x)=x$.
	\end{enumerate}  
\item %Montrer que, pour tout $x$ de $\intervalleB$, $0 \leq f(x) \leq \frac{\pi}{4}$. 
$f$ est croissante sur [0~;~1]. $f(0) = 0$ et $f(1)=\dfrac{\pi}{4}$ donc, pour tout $x\in[0~;~1]$, $\boxed{\textcolor{red}{0 \leqslant  f(x) \leqslant  \dfrac{\pi}{4}}}$
\end{enumerate}
%
\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip
%
Soit $\left (I_n\right)$ la suite définie par $I_0 = \int_{0}^{1}f(x) \text{ d}x$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_n =
\int_{0}^{1} x^nf(x) \text{ d} x $.
\begin{enumerate}
\item %Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, $\I_0 =  \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln(2)$.
$I_0= \int_{0}^{1}f(x) \text{ d}x= \int_{0}^{1}[1\times f(x)] \text{ d}x$.\\
On pose $u'(x)=1$. $u'$ et $f'$ sont continues, donc on peut effectuer une intégration par parties :

$\int_{0}^{1}[1\times f(x)] \text{ d}x=\int_0^1u'(x)f(x)=\left[u(x)f(x)\right]_0^1-\int_0^1u(x)f'(x)\text{ d}x=\left[xf(x)\right]_0^1-\int_0^1\dfrac{x}{1+x^2}\text{ d}x$

$=f(1)-\left[\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\right]_0^1=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\ln(2)}}$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $\I_n \geq 0$.
  Pour tout $x\in[0~;~1]$, $x^nf(x)\geqslant 0$ (produit de fonctions positives), donc $I_n\geqslant 0$ (positivité de l'intégrale).
		\item %Montrer que, pour tout  entier naturel non nul $n$, $\I_n \leq    \frac{\pi}{4(n+1)}$.
  Pour tout $x\in[0~;~1]$, $f(x)\leqslant \dfrac{\pi}{4}$, donc $I_n=\int_0^1x^nf(x)\text{ d}x\leqslant \int_0^1\dfrac{\pi}{4}x^n\text{ d}x=\dfrac{\pi}{4}\int_0^1x^n\text{ d}x= \dfrac{\pi}{4}\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1$
  
$  =\dfrac{\pi}{4}\times \dfrac{1}{n+1}=\dfrac{\pi}{4(n+1)}$.

Pour tout $n\geqslant 0$, $\boxed{\textcolor{red}{I_n\leqslant \dfrac{\pi}{4(n+1)}}}$
		\item %En déduire la limite de la suite $(\I_n)$.
  $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{4(n+1)}\right)=0$, donc, d'après le théorème des gendarmes, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}I_n=0}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%

\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)}}
%
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
 
On considère l'application $f$ du plan dans lui même qui, à tout point
$M$ d'affixe $z$, associe le point $\text{M'}$ d'affixe $z'$
telle que : $z' = z^2$.

On note $\Omega$ le point d'affixe $1$.


\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan  tels que $f(M) = M$.
$f(M)=M\Leftrightarrow z^2=z\Leftrightarrow z^2-z=0\Leftrightarrow z(z-1)=0\Leftrightarrow z\in\{0~;~1\}$. $\boxed{\textcolor{red}{\Gamma_1=\{O~;~\Omega\}}}$

\item Soit $A$ le point d'affixe $a = \sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $a$ sous forme exponentielle.
  $a=\sqrt{2}(1-\mathrm{i})$ donc $|a|=\sqrt{2}|1-\mathrm{i}|=\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$.
  
  On en déduit $a=2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi4}}}$.
		\item %En déduire les affixes des deux antécédents de $A$ par $f$.
On cherche les antécédents de $A$, c'est à dire les points d'affixe $z$ tels que $z^2=a$.

Posons $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$. Alors $z^2=r^2\mathrm{e}^{\mathrm{i}(2\theta)}$.
  
On doit avoir $r^2=2$ donc $r=\sqrt{2}$ (car $r>0$).

$2\theta=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ donc $\theta=-\dfrac{\pi}{8}+k\pi$.

On prend $\theta=-\dfrac{\pi}{8}$ et $\theta=\dfrac{7\pi}{8}$.
  
On trouve $z_1=\sqrt{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi8}$ et $z_2=\sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}8}=-\sqrt{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi8}=-z_1$.
  
Les deux points ont pour affixe $\boxed{\textcolor{red}{z_1=\sqrt{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi8}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{z_2=-z_1}}$.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ d'affixe $z$  tels que l'affixe $z'$ du point $M'$ soit un nombre imaginaire pur.
On cherche $z$ tel que $z'\in\mathrm{i}\mathbb{R}\Leftrightarrow z^2\in\mathrm{i}\mathbb{R}$.

On pose $z=x+\mathrm{i}y$ ; alors $z^2=x^2-y^2+2\mathrm{i}xy$.

$z^2\in\mathrm{i}\mathbb{R}\Leftrightarrow x^2-y^2=0\Leftrightarrow (x+y)(x-y)=0\Leftrightarrow y=-x\text{ ou } y=x$.

\textcolor{red}{$\Gamma_2$ est la réunion des deux droites d'équation $y=-x$ et $y=x$.}

\item Dans cette question, on souhaite déterminer l'ensemble
  $\Gamma_3$ des points $M$ distincts de $\Omega$ pour lesquels le
  triangle $\Omega MM'$ est rectangle isocèle direct en $\Omega$.
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle    $\frac{\pi}{2}$, montrer que $M$ est un point de $\Gamma_3$ si et    seulement si $z^2 - \mathrm{i} z -1 + \mathrm{i} = 0$ et $z \not= 1$.
L'écriture complexe de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ est :

$z'-z_{\Omega}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi2}\left(z-z_{\Omega}\right)\Leftrightarrow z'-1=\mathrm{i}(z-1)\Leftrightarrow z'=\mathrm{i}(z-1)+1$. (avec $z\neq 1$, car $M\neq\Omega$)\\
  
\noindent Or $z'=z^2$ donc $z^2=\mathrm{i}(z-1)+1$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{z^2-\mathrm{i}z-1+\mathrm{i}=0}}$.
  
		\item %Montrer que $z^2 - \mathrm{i} z -1 + \mathrm{i} = (z-1)(z+1-\mathrm{i})$.
Pour tout $z\in\mathbb{C}$, $(z-1)(z+1-\mathrm{i})=z^2+(1-\mathrm{i})z-z-1+\mathrm{i}=z^2-\mathrm{i}z-1+\mathrm{i}$

donc : $\boxed{\textcolor{red}{z^2 - \mathrm{i} z -1 + \mathrm{i} = (z-1)(z+1-\mathrm{i})}}$
  
		\item %En déduire l'ensemble $\Gamma_3$.
  $z^2 - \mathrm{i} z -1 + \mathrm{i} = (z-1)(z+1-\mathrm{i})=0\Leftrightarrow (z-1)(z+1-\mathrm{i})=0$.
  
Dans $\mathbb{C}$, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
  
Les solutions sont $z=1$ et $z=-1+\mathrm{i}$. Or $z\neq 1$ donc $\Gamma_3$ est constitué de l'unique point d'affixe $-1+\mathrm{i}$.  
  \end{enumerate}
\item Soit $M$ un point d'affixe $z$ différente de $0$ et de $1$.
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $\left ( \overrightarrow{OM\vphantom{'}},\overrightarrow{OM'}\right)$ en fonction    d'un argument de $z$.

Pour $z\neq0$ et $z\neq 1$,  $\left ( \overrightarrow{\text{O}M\vphantom{'}},\overrightarrow{\text{O}M'}\right)=\arg\left(\dfrac{z'}{z}\right)=\arg\left(\dfrac{z^2}{z}\right)=\arg(z)$.
		\item %En déduire l'ensemble $\Gamma_4$ des points $M$ distincts de    $O$ et de $\Omega$ tels que $O$, $M$ et $M'$ soient alignés.
  Les points $O$, $M$ et $M'$ sont alignés si, et seulement si, $\left (\overrightarrow{\text{O}M\vphantom{'}},\overrightarrow{\text{O}M'}\right)=0+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ donc $\arg(z)=k\pi$.\\
On en déduit que $\Gamma_4$ est l'axe des réels, privé des points de O et de $\Omega$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 (pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité)}}

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $z'=5\mathrm{i}z+6\mathrm{i}+4$ ; l'écriture complexe est de la forme $z'=az+b$, donc il s'agit d'une similitude directe de rapport $\boxed{\textcolor{red}{|a|=5}}$, d'angle $\arg(5\mathrm{i})=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{2}}}$.

Le point fixe $\Omega$ a pour affixe $\omega=\dfrac{b}{1-a}=\dfrac{6\mathrm{i}+4}{1-5\mathrm{i}}=\boxed{\textcolor{red}{-1+\mathrm{i}}}$.

\item Avec les notations de l'énoncé, on a : $z'=x'+\mathrm{i}y'=5\mathrm{i}(x+\mathrm{i}y)+6\mathrm{i}+4$ d'où $\left\{\begin{array}{l c r}x'&=&-5y+4\\y'&=&5x+6\end{array}\right.$
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit l'équation $4a+3b=5$ ; Le couple (5~;~-5) est un couple solution.
		
On en déduit $4(a-5)=3(-b-5)$.

4 et 3 sont premiers entre eux. D'après le théorème de Gauss, 3 divise $a - 5$ d'où $a - 5 = 3k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Alors $-b-5=4k$.
 
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{(5+3k~;~-5-4k),~k\in\mathbb{Z}\}}}$.
		\item $-3x'+4y' = 37 \Leftrightarrow 15y-12+20x+24 = 37 \Leftrightarrow  3y+4x = 5$ ; voir alors solutions précédentes.

On veut que $M \in (E)$. On doit avoir $-3\leqslant 5 + 3k \leqslant 5$ et $- 3\leqslant - 5- 4k\leqslant 5$.

On en déduit $k=-1$ ou $k=-2$.

Il y a donc deux couples solutions \fbox{\textcolor{red}{(2~;~-1) et (-1~;~3)}}.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $x'+ y'= -5y + 4 + 5x + 6 = - 5y + 5x + 10\equiv 0~[5]$ donc $x'+ y'$ est un multiple de 5.
		\item $(x'- y') - (x'+ y') = - 2y'\equiv 0~[2]$.

$x'^2-y'^2 = (x'-y')(x'+y')$.

Si $x'^2 - y'^2\equiv 0~[2]$, alors 2 divise $(x'- y')(x'+ y')$. Il est facile de montrer que 2 divise l'un des facteurs (sinon, les deux facteurs sont congrus à 1 modulo 2, donc leur produit aussi).

On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{x'-y'\equiv 0~[2]\text{ et }x'+y'\equiv 0~[2]}}$.

\item Si $x'^2 - y'^2=20$, alors $x'+ y'$ et $x'- y'$ sont des multiples de 2 d'après ce qui précède.

$x'- y' = 2d$ et $x' + y' = 2d'$ donc $\left(x'- y'\right)\left(x'+ y'\right) = 4dd'= 20$ donc $dd' = 5$.

5 est premier. On regarde alors toutes les possibilités :

On a alors :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $d = 1$ ou $d' = 5$
\item $d = 5$ ou $d' = 1$
\item $d = - 1$ ou $d'= - 5$
\item $d = -  5$ ou $d' = - 1$
\end{enumerate}
On obtient alors respectivement :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x'-y'= 2$ et $x'+y'= 10$ d'où $x' = 6$ et $y' = 4$.
\item $x'-y'= 10$ et $x'+y'= 2$ d'où $x' = 6$ et $y' = - 4$.
\item $x'-y'= - 2$ et $x'+y'= - 10$ d'où $x'= -6$ et $y' = - 4$.
\item $x'-y'= - 10$ et $x'+y'= - 2$ d'où $x'= -6$ et $y' = 4$.
\end{enumerate}

Si $x' = 6$ et $y'= 4$, alors $6 = -5y+4$ et $4 = 5x + 5$ d'où $y = - \dfrac{2}{5}$ et $x = -\dfrac{2}{5}$. $M\notin E$

Si $x'= 6$ et $y'= - 4$, alors $6 = - 5y + 4$ et $-4 = 5x + 5$ d'où $y = -\dfrac{2}{5}$ et $x = 2$. $M\notin E$

Si $x' = - 6$ et $y' = -4$, alors $-6=-5y+4$ et $-4=5x+5$ d'où $y=2$ et $x=-2$. $M\in E$

Si $x' = - 6$ et $y' = 4$, alors $- 6 = - 5y + 4$ et $4 = 5x + 5$ d'où $y = 2$ et $x = -\dfrac{2}{5}$;  $M\notin E$.

Il n'a donc qu'une seule solution : $\boxed{\textcolor{red}{(-2~;~2)}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  