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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Paul Goualard
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}} 
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord~\decofourright\\juin 2002}} 
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1 (commun à tous les candidats)}{\Large \medskip }

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Loi de $N$ : 
		
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
$n_{i}$ 					& $-p$	& $n$ \\ \hline
$P\left(N = n_{i}\right) $ 	& $2/3$ & $1/3$ \\ \hline
\end{tabular}

		\item $E\left(X\right) =0\iff -\dfrac{2}{3}p+\dfrac{1}{3}%
n=0\iff $\fbox{$n=2p$}
	\end{enumerate}
\item On a 4 épreuves répétées, indépendantes les
unes des autres, chaque épreuve donne lieu à 2 éventualités:

\qquad -- succès (il a bien répondu) de probabilité $p =\dfrac{1}{3}.$

\qquad -- échec (mauvaise réponse) de probabilité $q=\dfrac{2}{3}$%. 

On a donc un schéma de Bernoulli. Soit $X$ la V. A. prenant pour valeur
le nombre de succès dans la série de 4 épreuves.

On veut $P\left(X = 3\right) = C_{4}^{3}\left( \dfrac{1}{3}\right) ^{3}\left( 
\dfrac{2}{3}\right) = 4\left(\dfrac{1}{3}\right) ^{3}\left( \dfrac{2}{3}%
\right) $

\qquad \fbox{$P\left( X=3\right) =\dfrac{8}{81}\approx \allowbreak
9.\,9\times 10^{-2}$}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\textbf{a.} $C_{10}^{3}-C_{5}^{3}=110 :$ \fbox{Réponse 3}\qquad 

\textbf{b.} 
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
				& $A$ 				&$\overline{A}$ &  \\ \hline
$B$ 			&$\mathbf{0,\,25}$ 	&$0,25$ 		& $0,5$ \\ \hline
$\overline{B}$ 	&$0,\,15$ 			&$0,35$ 		& $0,5$ \\ \hline
				&$0,4$ 				& $0,6$ 		& $1$ \\ \hline
\end{tabular}

:\fbox{Réponse 2}

\textbf{c.} $p\left( A\right) =\dfrac{p\left( A\cap B\right) }{p_{A}\left(
B\right) }=\dfrac{1/6}{1/4}=\allowbreak \dfrac{2}{3}:$ \fbox{Réponse 1}

\textbf{d.} $E\left( X\right) =1\times \dfrac{1}{2}+2\times \dfrac{1}{4}%
+4\times \dfrac{1}{4}=\allowbreak 2: E\left( X\right) =2$

$V\left( X\right) =E\left( X^{2}\right) -\left[ E\left( X\right) \right]
^{2}=1^{2}\times \dfrac{1}{2}+2^{2}\times \dfrac{1}{4}+4^{2}\times \dfrac{1}{%
4}-4=\allowbreak \frac{3}{2}$

$\sigma \left( X\right) =\sqrt{\dfrac{3}{2}}:$ \fbox{Réponse 2}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 (non spécialistes)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $z_{A}=-2+2\text{i}$ ; \qquad $z_{A'}=\left( 1+ \text{i}\right)
z_{A}+2 = \allowbreak - 2 :\: $\fbox{$z_{A'}= - 2$}

$F\left( B\right) = A\iff \left( 1+\text{i}\right)
z_{B} + 2 = -2 + 2\text{i}\iff z_{B}=\dfrac{-4 + 2\text{i}}{1 + \text{i}} = \allowbreak -1+3\text{i}:\:$%
\fbox{$z_{B} = - 1 + 3\text{i}$}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résolvons l'équation $z=\left(1 + \text{i}\right) z + 2\qquad
\left(1\right) $

$\left(1\right) \iff \text{i}z = -2\iff z=\dfrac{-2}{\text{i}}%
=\allowbreak 2\text{i} ;$

Il n'existe qu'un seul point invariant par $F :$ le point \fbox{$\Omega
\left(2\text{i}\right) $}\: ;\: $\omega = 2\text{i}$
		\item Pour $z\neq \omega ,\dfrac{z^{\prime }-z}{\omega -z}=\dfrac{%
\left(1 + \text{i}\right) z + 2 - z}{2\text{i} - z}=\allowbreak \dfrac{\text{i}z + 2}{2\text{i}-z}=\allowbreak 
\dfrac{-\text{i}\left(- z + 2\text{i}\right) }{2\text{i}-z}= - \text{i}$

\qquad \qquad \fbox{$\qquad \dfrac{z^{\prime }-z}{\omega -z}= - \text{i}$ }

Donc $\dfrac{MM'}{M\Omega }=\dfrac{\left|z' - z\right| }{%
\left| \omega - z\right| } = \left|- \text{i}\right| = 1 :\: $\fbox{$MM' = M\Omega $}

$\left(\vect{M\Omega }~;~\:\vect{MM^{\prime }}\right) = \text{arg} \left(-\text{i}\right) \left[\text{mod} ~2\pi \right] = - \dfrac{\pi }{2}\left[ \text{mod}~2\pi \right] $

\qquad $\fbox{\qquad $\left(\vect{M\Omega }~;~\vect{MM'}\right) = - \dfrac{\pi}{2} [\text{mod}~2\pi]$}$

$M'$ est l'intersection de la demi-droite perpendiculaire à 
$\left(M\Omega \right) $ passant par $M$, car 
$\left(\vect{M\Omega }\: ;\:\vect{MM'}\right) = - \dfrac{\pi }{2}[\text{mod}~2\pi ]$, et du cercle de centre $M$ passant par $\Omega,$ car $MM' = M\Omega.$
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $\left|z + 2 - 2\text{i}\right| = \sqrt{2}\iff AM = \sqrt{2}:$
 
\fbox{$\Gamma $ est le cercle de centre $A$ et de rayon $\sqrt{2}.$}

On a $AB = \left| z_{B}-z_{A}\right| =\left|- 1 + 3\text{i}+ 2 - 2\text{i}\right| = \left|
1 + \text{i}\right| = \sqrt{2} :~ $\fbox{$B \in \Gamma $}
		\item On a $z' + 2 = \left(1 + \text{i}\right) z + 4 = \allowbreak \left(
1 + \text{i}\right)z + 4$

et $\left(1 + \text{i}\right) \left(z + 2- 2\text{i}\right) = z + 2 - 2\text{i} + \text{i}z + 2\text{i} + 2 =\allowbreak z + 4 + \text{i}z$.

Donc\fbox{$z'+ 2 =\left(1 + \text{i}\right) \left(z + 2 - 2\text{i}\right)$}

\begin{tabular}{l}
Soit $M\in \Gamma ,$ alors: \\ 
$AM=\sqrt{2}\Rightarrow \left| z + 2 - 2\text{i}\right| = \sqrt{2}$ \\ 
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \left| z^{\prime }+2\right|
=\left| 1+i\right| \sqrt{2}$ \\ 
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \left| z^{\prime }+2\right|
=2\Rightarrow A'M'=2.$ \\
\end{tabular}
 
Donc l'image par $F$ de tout point de $\Gamma $ appartient au cercle $\Gamma'$ de centre  $A'$ et 
de rayon 2.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 (spécialistes)}

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \fbox{$1001=\allowbreak 7\times 11\times 13$}
		\item  On a :

$\overline{abba}=a\times 10^{3} + b\times 10^{2} + b\times
10+a = \np{1001}a + 110b = 11\left(7\times 13a + 10b\right) $

\fbox{Tout élément de $\left(E\right) $ est divisible par 11.}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $a \geqslant 2 : $ on a 8 choix possibles pour $a,$ puis 10 choix
possibles pour $b$.

D'après le principe multiplicatif (choix successifs), on aura $8\times
10\times 1\times 1=\allowbreak 80$ choix possibles pour $a$ et $b.$

\fbox{Le nombre d'éléments de $\left( E\right) $ est 80.}

		\item $\overline{abba}$ n'est divisible ni par 2, ni par 5, si $a\in
\{3,7,9\}.$

On a $3\times 10=$\fbox{$\allowbreak 30$ éléments de $\left(
E\right) $ qui ne sont divisibles ni par 2, ni par 5.}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $n = \overline{abba}$ est divisible par 3 si et seulement si $%
a+b+b+a=2\left( a + b\right) $ est divisible par 3.

Donc $3$ divise $2\left(a + b\right) ,$ et comme $3$ est premier avec $2,$ $%
3 $ divise $\left(a + b\right) ,$ d'après le théorème de Gauss.

Réciproquement, si $3$ divise $\left(a + b\right)$, 3 divise $2\left(
a + b\right) = a + b + b + a$ et donc 3 divise $n.$

Donc \og $n$ est divisible par 3\fg{} équivaut à \og $a+b$ est
divisible par 3\fg.
		\item $n$ est divisible par $7$ ssi $11\left( 7\times 13a + 10b\right)
=7q,q\in \mathbb{N}.$

Comme $7$ est premier avec $11,$ d'après le théorème de Gauss, $%
7 $ divise $7\times 13a + 10b.$

Donc $7\times 13a + 10b = 7q'$, donc $10b = 7\left(q'- 13a\right).$

$7$ divise $10b$ et est premier avec $10:$ donc  $7$ divise $b.$

Réciproquement, si $7$ divise $b,b = 7k$ et $n = 11\left( 7\times13a+10\times 7k\right) =$

$11\times 7\left( 13a+10k\right) $ est divisible par  7.

Donc \og $n$ est divisible par 7\fg{} équivaut à \og $b$ est
divisible par 7\fg.

\textbf{4.} $n$ ne doit être divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni
par 7.

Donc $a \in \{3~;~7~;~9\}$, $a + b$ non multiple de 3 et $b \neq 7.$

On obtient:

\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline
$\np{3113}=\allowbreak 11\times 283$ 	& $\np{7117}= \allowbreak 11\times 647$ 			& $%
\np{9119}=\allowbreak 11\times 829$ \\ \hline
$\np{3223}=\allowbreak 11\times 293$ 	& $\np{7337} = \allowbreak 11\times 23\times 29$ 	& $%
\np{9229}=\allowbreak 11\times 839$ \\ \hline
$\np{3443}=\allowbreak 11\times 313$ 	& $\np{7447}=\allowbreak 11\times 677$ 				& $%
\np{9449}=\allowbreak 11\times 859$ \\ \hline
$\np{3553}=\allowbreak 11\times 17\times 19$ & $\np{7667}=\allowbreak 11\times
17\times 41$ 							& $\np{9559}=\allowbreak 11^{2}\times 79$ \\ \hline
$\np{3883} = \allowbreak 11\times 353$ 	& $\np{7997}=\allowbreak 11\times 727$ & $ 
\np{9889} = \allowbreak 11\times 29\times 31$ \\ \hline
\end{tabular}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $4\times 6-11\times 2=\allowbreak 2 :$ le couple $\left(
6,2\right) $ est solution de $\left( e\right).$

$\left(e\right) \iff 4p- 11q = 4\times 6 - 11\times 2\iff
4\left( p-6\right) =11\left(q-2\right) $

11 divise $4\left( p-6\right) $ et est premier avec 4, donc d'après le
théorème de Gauss, 11 divise $\left( p-6\right) .$

Donc $p-6=11k\iff p=6+11k;k\in \mathbb{Z}.$

Donc $11\left( q - 2\right) = 4\times 11k\Rightarrow q = 2 + 4k.$

Réciproquement, si $\left( p,q\right) =\left( 6+11k,2+4k\right)$, $
4p-11q=4\left(6 + 11k\right) - 11\left( 2 + 4k\right) =\allowbreak 2$.

Donc l'ensemble des solutions de $\left( e\right) $ est \fbox{$S_{\left(
e\right) }=\{\left(6+11k,2+4k\right) ;k\in \mathbb{Z\}}$}
\item  On a $n= \np{2000} + 4p = \np{2002} + 11q,$ donc $4p - 11q = 2.$

D'où $p = 6 + 11k$  ;  $k\in \mathbb{Z}$, et $\np{2000} + 4\left(6 + 11k\right) = $\fbox{%
$\allowbreak \np{2024} +44k = n ; k \in \mathbb{Z}$}

\item On obtient :\ \ \ \ \ \ \ \ 
\begin{tabular}{l}
2112 \\ 
2332 \\ 
2552 \\ 
2772 \\ 
2992 \\ 
4004
\end{tabular}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème : }

\medskip

\[f_{k}\left(x\right) = \ln \left(\text{e}^{x}+ kx\right) - x ; \quad x\geqslant 0.\]


\textbf{Étude préliminaire:} $g(x) =\ln (1 + x) - x ;$ $x\geq 0$

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $g$ est dérivable sur $[0~;~+\infty [$ et 
$g'(x) =\allowbreak \dfrac{1}{1 + x} - 1 = \allowbreak - \dfrac{x}{1 + x}\leqslant 0.$

La fonction $g$ est donc décroissante sur $[0~;~+\infty[.$
\item ~

\begin{tabular}{|c|ccc|}
\hline
\begin{tabular}{c}
\medskip
\end{tabular}
$x$ & $0$ &  & $+\infty $ \\ \hline
$g(x)$ & 
\begin{tabular}{c}
$0$ \\ 
\bigskip
\end{tabular}
& $\searrow $ & 
\begin{tabular}{c}
\bigskip
\end{tabular}
\\ \hline
\end{tabular}
: pour tout $a\geqslant 0,\:g(a)\leqslant 0$ ou \fbox{$\ln (1 + a)\leqslant a$}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f_{1}'$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et :

$f_{1}'\left( x\right) =\allowbreak \dfrac{\text{e}^{x}+1}{\text{e}^{x}+x}%
- 1 = \allowbreak \dfrac{1-x}{\text{e}^{x}+x}$ du signe de $1-x$ sur $[0~;~+\infty [.$

\fbox{La fonction $f_{1}$ est donc croissante sur $\left[0~;~1\right] $ et
décroissante sur $[1~;~+\infty[.$}
\item Pour tout $x\geq 0$,

$f_{1}\left( x\right) =\ln \left[ \text{e}^{x}\left( 1+\dfrac{x}{\text{e}^{x}}\right)\right] -x =\ln \text{e}^{x}+\ln \left( 1+\dfrac{x}{\text{e}^{x}}\right) - x = x + \ln \left( 1+%
\dfrac{x}{\text{e}^{x}}\right) - x$

\fbox{$f_{1}\left( x\right) =\ln \left( 1+\dfrac{x}{\text{e}^{x}}\right) $}

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}}= 0: $\fbox{$%
\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{1}\left( x\right) =0$}

\medskip

\item  
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
\begin{tabular}{c}
\medskip 
\end{tabular}
$x$ & $0$ &  & $1$ &  & $+\infty $ \\ \hline
\begin{tabular}{c}
\medskip 
\end{tabular}
$f_{1}^{\prime }(x)$ &  & $+$ & $0$ & $-$ &  \\ \hline
$f_{1}(x)$ & 
\begin{tabular}{c}
\bigskip  \\ 
$0$%
\end{tabular}
& $\nearrow $ & 
\begin{tabular}{c}
$\ln \left(\text{e}+1\right) -1$ \\ 
\bigskip 
\end{tabular}
& $\searrow $ & 
\begin{tabular}{c}
\bigskip  \\ 
$0$
\end{tabular}
\\ \hline
\end{tabular}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f_{k}$ est dérivable sur $[0~;~+\infty [$ et :

$f_{k}'\left(x\right) = \dfrac{\text{e}^{x}+k}{\text{e}^{x}+kx}-1=\allowbreak k%
\dfrac{1-x}{\text{e}^{x}+kx}$ du signe de $1-x$ sur $[0~;~+\infty [$ car $k > 0.$

\fbox{La fonction $f_{k}$ est donc croissante sur $\left[0~;~1\right] $ et
décroissante sur $[1~;~+\infty [.$}
\item Même calcul que pour $f_{1}:$\fbox{$f_{k}\left(x\right)
=\ln \left( 1+k\dfrac{x}{\text{e}^{x}}\right) $} et donc \fbox{$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{k}\left( x\right) = 0$}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
\begin{tabular}{c}
\medskip 
\end{tabular}
$x$ & $0$ &  & $1$ &  & $+\infty $ \\ \hline
\begin{tabular}{c}
\medskip 
\end{tabular}
$f_{k}^{\prime }(x)$ &  & $+$ & $0$ & $-$ &  \\ \hline
$f_{k}(x)$ & 
\begin{tabular}{c}
\bigskip  \\ 
$0$%
\end{tabular}
& $\nearrow $ & 
\begin{tabular}{c}
$\ln \left( e+k\right) -1$ \\ 
\bigskip 
\end{tabular}
& $\searrow $ & 
\begin{tabular}{c}
\bigskip  \\ 
$0$%
\end{tabular}
\\ \hline
\end{tabular}
\end{enumerate} 
Pour $x \geq 0,$ soit $d_{k}\left( x\right) =f_{k}\left( x\right)
-\dfrac{k}{e}$

$d_{k}'\left(x\right) = f_{k}^{\prime }\left(x\right) :d_{k}$
varie comme $f_{k}.$ 
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
\begin{tabular}{c}
\medskip
\end{tabular}
$x$ & $0$ &  & $1$ &  & $+\infty $ \\ \hline
\begin{tabular}{c}
\medskip
\end{tabular}
$d_{k}^{\prime }(x)$ &  & $+$ & $0$ & $-$ &  \\ \hline
$d_{k}(x)$ & 
\begin{tabular}{c}
\bigskip \\ 
$-\dfrac{k}{\text{e}}$%
\end{tabular}
& $\nearrow $ & 
\begin{tabular}{c}
$\allowbreak d_{k}\left(1\right) $ \\ 
\bigskip
\end{tabular}
& $\searrow $ & 
\begin{tabular}{c}
\bigskip \\ 
$-\dfrac{k}{\text{e}}$%
\end{tabular}
\\ \hline
\end{tabular}

On a $d_{k}\left( 1\right) =\allowbreak \ln \left( e+k\right) - 1 -\frac{k}{e}%
=\ln e+\ln \left( 1 + \dfrac{k}{\text{e}}\right) - 1 -\dfrac{k}{e} = \allowbreak \ln
\left( 1 + \frac{k}{\text{e}}\right) - \frac{k}{\text{e}}$

Comme, $\ln \left(1 + a\right) \leqslant a$ pour tout $a\geqslant 0,$ on aura $\ln
\left(1 + \frac{k}{\text{e}}\right) - \frac{k}{\text{e}}\leqslant 0.$

Donc, pour tout $x\geq 0,d_{k}\left(x\right) \leqslant 0 : $\fbox{$f_{k}\left(
x\right) \leqslant \dfrac{k}{\text{e}}$}
\item  $T_{k}$ a pour équation : $y-f_{k}\left( 0\right)
=f_{k}^{\prime }\left(0\right) \left(x - 0\right) $ ou \fbox{$y = kx$}

\item  $p < m,$ 

$\qquad f_{m}\left(x\right) -f_{p}( x) =\ln \left(
\text{e}^{x}+ mx\right) -\ln \left( \text{e}^{x}+px\right) =\ln \dfrac{\text{e}^{x}+mx}{\text{e}^{x} + px}$

On a

$f_{m}\left(x\right) -f_{p}\left(x\right) \geqslant 0\iff \dfrac{%
e^{x}+mx}{\text{e}^{x}+px}\geqslant 1\iff \text{e}^{x}+mx\geqslant \text{e}^{x}+px$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \iff
\left( m-p\right) x\geqslant 0\iff x\geqslant 0.$

Donc, pour $m > p,$ \fbox{$C_{m}$ est au-dessus de $C_{p}$}
\item 
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comme la fonction $f_{k}$ est intégrable et positive sur 
$\left[0~;~\lambda \right],\:\left( 0< \lambda \right) :$  

$A\left(\lambda
\right) = \int_{0}^{\lambda }f_{k}\left(x\right)\: \text{d}x.$

Pour $x\in \left[0~;~\lambda \right],\: k > 0,\: k\dfrac{x}{\text{e}^{x}}\geqslant 0:\ln \left(1 + k\dfrac{x}{\text{e}^{x}}\right) \leqslant k\dfrac{x}{\text{e}^{x}},$ donc $f_{k}\left(x\right) \leqslant kx \text{e}^{-x}.$

Les fonctions $f_{k}$ et $\left( x\mapsto kx\text{e}^{-x}\right) $ sont
intégrables sur $\left[0~;~\lambda \right] $ avec $0 < \lambda,$ donc :

$\displaystyle\int_{0}^{\lambda }f_{k}\left(x\right) \text{d}x\leqslant \displaystyle\int_{0}^{\lambda}kx\text{e}^{-x}\text{d}x$ soit \fbox{$A\left(\lambda \right) \leqslant k\displaystyle\int_{0}^{\lambda}x\text{e}^{-x}\text{d}x$}

\item Posons $\left\{ 
\begin{tabular}{cc}
$u\left( x\right) =x$ & $v'\left( x\right) =\text{e}^{-x}$ \\ 
$u'\left( x\right) =1$ & $u\left( x\right) =-\text{e}^{-x}$%
\end{tabular}
\right. $

Les fonctions $u$, $u'$, $v$, $v'$ sont dérivables sur $\left[
0~;~\lambda \right] :$ on peut intégrer $\displaystyle\int_{0}^{\lambda }x\text{e}^{-x}\text{d}x$
par parties.

$\displaystyle\int_{0}^{\lambda }x\text{e}^{-x}\text{d}x=\left[ -x\text{e}^{-x}\right] _{0}^{\lambda
}- \displaystyle\int_{0}^{\lambda }- \text{e}^{-x}\text{d}x = -\lambda \text{e}^{-\lambda }-\left[ \mathbf{\text{e}}^{-x}\right]_{0}^{\lambda } = -\lambda \text{e}^{-\lambda }- \text{e}^{-\lambda }+1.$

\fbox{$\displaystyle\int_{0}^{\lambda }x\text{e}^{-x}\text{d}x = 1  - \lambda\text{e}^{-\lambda} -\text{e}^{-\lambda}.$}
\item Comme on a $\displaystyle\lim_{\lambda \to +\infty }\text{e}^{-\lambda }\lambda  = 0,$ et que  $\displaystyle\lim_{\lambda \to +\infty }\text{e}^{-\lambda} = 0$

$\displaystyle\lim_{\lambda\to + \infty}
\int_{0}^{\lambda }x\text{e}^{-x}\text{d}x = 1.$

Donc $\displaystyle\lim_{\lambda\to + \infty}k \displaystyle\int_{0}^{\lambda
}xe^{-x}\text{d}x = k$ et par suite \fbox{$\displaystyle\lim_{\lambda\to + \infty} A\left(\lambda \right) \leqslant k$.}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Problème ; partie B : question 6}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=5cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(2,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5](0,0)(0,0)(2,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 x exp x add ln x sub}
\uput[u](1.95,0.25){\blue $\mathcal{C}_1$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue]{->}(0,0)(0.25,0.25)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{2}{2.71828 x exp x 2 mul  add ln x sub}
\uput[u](1.95,0.45){\red$\mathcal{C}_1$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(0.25,0.5)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
