\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : François Kriegk et Valérie Tamboise %Relecture : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{tikz,pgfplots} \usepackage{tkz-tab} \usepackage{esvect} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \headheight5 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~~;~~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~~;~~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~~;~~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité}, pdftitle = {Amérique du Nord Sujet 2 22 mai 2025}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \renewcommand\arraystretch{1.} \frenchsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{22 mai 2025}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Amérique du Nord 22 mai 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}} \end{center} % La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées. \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip %Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points. Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip %L'entraineur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de $0,32$. % %Lors d'un entrainement, Victor effectue une série de $15$ lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants. % %\medskip On note $N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués. \medskip \emph{Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.} \begin{enumerate} \item %On admet que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres. L'épreuve est effectuée 15 fois de façon indépendante et à chaque lancer la probabilité de marquer est égale à $0,32$. $N$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(15~;~0,32)$. \item %Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série. La probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers est : $P(N = 4) = \displaystyle \binom{15}{4}\times 0,32^4 \times (1 - 0,32)^{15-4} \approx 0,206$ au millième près. \item %Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série. La probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers est : $P(N \leqslant 6) = P(N=0) + P(N = 1) + \ldots + P(N = 6) \approx 0,828$ (calculatrice). \item %Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $N$. On sait que : $E(N) = n \times p = 15 \times 0,32 = 4,8$. Donc en moyenne sur 150 lancers, Victor marque 48 paniers. \item %On note $T$ la variable aléatoire qui donne le nombre de \textbf{points} marqués après cette série de lancers. \begin{enumerate} \item %Exprimer $T$ en fonction de $N$. Chaque lancer étant à 3 points, on a donc $T = 3N$. \item %En déduire l'espérance de la variable aléatoire $T$. Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice. On a $E(T) = E (3N) = 3E(N)$\quad d'après la linéarité de l'espérance, soit $E(T) = 3 \times 4,8 = 14,4$, donc une moyenne de 144 points marqués sur 150 lancers. \item %Calculer $P(12 \leqslant T \leqslant 18)$. On a $P(12 \leqslant T = 3N \leqslant 18) = P(4 \leqslant N \leqslant 6)$. Cette probabilité est égale à : $P(4 \leqslant N \leqslant 6) = P(N=4) + P(N=5) + P(N = 6) \approx 0,206 + 0,213 + 0,167$, soit \[P(12 \leqslant T \leqslant 18) \approx 0,586.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip %On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match. % %\medskip % %On admet que l'espérance $E(X) = 22$ et la variance $V(X) = 65$. % %\medskip % %Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un nombre entier strictement positif. % %On note $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des $1\up{er},\, 2\up{e},\, \ldots, n$-ième matchs. On admet que les variables aléatoires $X_{1},\, X_{2},\, \ldots,\, X_{n}$ sont indépendantes et suivent la même loi que celle de $X$. % %\medskip % %On pose $\quad M_{n}=\dfrac{X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{n}}{n}$. % %\medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on prend $n = 50$. \begin{enumerate} \item %Que représente la variable aléatoire $M_{50}$ ? $M_{50}$ représente la moyenne empirique, sur 50 matchs, des points marqués par Victor \item %Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$. $\bullet~$Chaque variable $X_1,\ldots, X_{50}$ suit la même loi que $X$ donc on a : {$E(M_{50}) = E (X) = 22$ ;} $\bullet~$ Comme les variables $X_1$, $X_2$,... $X_50$ sont indépendantes, on en déduit : \quad $V(M_{50}) = \dfrac{1}{50}V(X) = \dfrac{1}{50} \times 65 = \dfrac{65}{50} = \dfrac{130}{100} = 1,3$. \item %Démontrer que $P\left(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}$. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchébychev, pour une variable aléatoire $X$ d’espérance $E(X)$ et de variance $V (X)$, pour tout réel $a > 0$ : $$P(|X - E(X)|\geqslant a) \leqslant \dfrac{V(X)}{a^2}$$ donc ici : $P(|M_{50} - E(M_{50})| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{V(M_{50})}{3^2}$ Comme $\dfrac{V(M_{50})}{3^2} = \dfrac{1,3}{9} = \dfrac{13}{90}$, on a bien : $P\left(\left|M_{50}- 22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}$. \newpage \item %En déduire que la probabilité de l'événement \og $190$ il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geqslant N$, $P\big(\left|M_{n}-22\right| \geqslant 3\big)< r$ et c'est vrai en particulier pour $r=0,01$. L'affirmation est donc fausse. \textbf{Autre méthode : } Pour tout réel $t>0$, d'après l'inégalité de concentration, on a : $ P\big(\left|M_n-E(X)\right| \geqslant t\big) \leqslant \dfrac{V(X)}{t^2 n}$ Pour $t=3$ on obtient : $ P\big(|M_n-22| \geqslant 3\big)\leqslant \dfrac{65}{ n \times 3^2}$. On veut donc que :\quad $\begin{aligned}[t] \dfrac{65}{9 n} \leqslant 0,01 &\iff \dfrac{6500}{9} \leqslant n \\ &\iff 722+\dfrac{2}{9}\leqslant n \end{aligned}$ L'inégalité est donc vraie pour tout entier $n \geqslant 723$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} %\medskip % %Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel $\ln(2)$, en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au XVI\up{e} siècle. % %\bigskip On désigne par $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : \[u_{0}=2 \quad \text { et, pour tout entier naturel } n,\quad u_{n+1}=\sqrt{u_{n}}\] \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Donner la valeur exacte de $u_{1}$ et de $u_{2}$. $u_1=\sqrt{u_0}=\sqrt{2}$ $u_2=\sqrt{u_1} =\sqrt{\sqrt{2}}$. \item À l'aide de la calculatrice, on peut conjecturer que la suite est décroissante et converge vers 1. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Posons, pour tout entier naturel $n$, l'affirmation $P_n$ :~\og $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}$\fg{}.\hfill \emph{Initialisation :} On a calculé $u_1 = \sqrt{2} \approx 1,414$ et $u_0=2$ On a donc bien $1 \leqslant u_1 \leqslant u_0$. L'affirmation $P_0$ est donc vraie. \emph{Hérédité :} Soit $n$ un entier naturel non nul. On suppose que l'affirmation $P_n$ est vraie, c'est-à-dire que $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}$. Montrons que l'affirmation $P_{n+1}$ est vraie, c'est à dire que $1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}$ Par hypothèse de récurrence, on a : $ \begin{aligned}[t] 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n &\implies \sqrt{1} \leqslant \sqrt{u_{n+1}} \leqslant \sqrt{u_n}\\ &\qquad \text{car la fonction racine carrée est croissante sur } \R^+ \\ &\implies 1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \end{aligned}$ Si, pour $n$ naturel, $P_n$ est vraie, alors $P_{n+1}$ est vraie également. \emph{Conclusion :} L'affirmation $P_0$ est vraie, et, pour tout entier naturel non nul $n$, la véracité de l'affirmation est héréditaire : d'après le principe de récurrence, on en déduit que pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}$. \item D'après la question précédente, pour tout entier $n$, $1\leqslant u_n$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est minorée par 1. Et pour tout entier $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ donc la suite $\left( u_n\right)$ est décroissante. Or toute suite décroissante et minorée est convergente donc, la suite $\left( u_n\right)$ est convergente vers une limite $\ell \geqslant 1$. \item Soit $x \in [0~;~+\infty[$ : $\begin{aligned}\sqrt{x} =x &\iff x =x^2 \text { car }x\geqslant 0 \\ &\iff x^2-x=0\\ & \iff x(x-1)=0\\ &\iff x=0 \text{ ou } x=1 \end{aligned}$. L'équation $\sqrt{x}=x$ admet deux solutions sur $[0~;~+\infty[$ : 0 et 1. \item La suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente vers $\ell$ et est définie par récurrence par : $\forall n \in \N, \quad u_{n+1}=f(u_n)$ \quad où $f$ est la fonction racine carrée qui est continue sur $[0~;~+\infty[$. D'après le théorème du point fixe, $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$. Nous avons résolu cette équation à la question précédente, les solutions sont 0 et 1, or d'après la question \textbf{A. 1. b.}, $\ell \geqslant 1$ donc $\ell =1$. donc : $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = 1$ \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $n \in \N$ : $\begin{aligned}[t] v_{n+1}& =\ln \left(u_{n+1}\right)\\ &= \ln \left( \sqrt{u_{n}}\right)\\ & = \dfrac{1}{2}\ln\left(u_n\right)\\ &= \dfrac{1}{2}v_n \end{aligned}$ La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$ et de premier terme \linebreak $v_0=\ln\left(u_0\right)=\ln(2)$. \item On a donc, pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_0\times q^n=\ln(2)\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=\dfrac{\ln(2)}{2^n}$. \item Or, pour tout entier naturel $n$, $v_n=\ln \left(u_{n}\right)$ donc $\dfrac{\ln\left( 2 \right)}{2^n}= \ln \left(u_{n}\right)$ c'est à dire : $\ln(2)=2^n\ln\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice on trouve que pour tout $k<7$, $u_k > 1,01$ et \linebreak $u_{7}\approx \np{1,00543}$ donc $k=7$. \item On décide de prendre $x - 1$ comme approximation de $\ln (x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $]0,99~;~1,01[$ donc $\ln\left(u_{7}\right)\approx u_{7} - 1 \approx \np{0,00543}$. \item D'après les questions \textbf{1. c.} et \textbf{2. b.} de la \textbf{partie B} une approximation de $\ln (2)$ est $2^7\ln\left(u_7\right)$ soit $2^7 \times \np{0,00543}$ c'est à dire $\np{0,695}$. \end{enumerate} \item On généralise la méthode précédente à tout réel $a$ strictement supérieur à 1. \begin{center} \begin{ttfamily} \begin{tabularx}{8cm}{|X|}\hline \textbf{from} math \textbf{import}*\\ \textbf{def} Briggs(a):\\ \quad n = 0\\ \quad \textbf{while} a >= 1.01:\\ \quad \quad a = \textbf{sqrt}(a)\\ \quad \quad n = n+1\\ \quad L =2**n *(a-1) \\ \textbf{return} L\\ \hline \end{tabularx} \end{ttfamily} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip \textbf{Affirmation 1 : Vraie } \smallskip $\begin{aligned}\vect{\text{JH}} & = \vect{\text{JF}} +\vect{\text{FE}} +\vect{\text{EH}}\\ & = \dfrac{1}{2}\vect{\text{BF}}+ \vect{\text{BA}}+\vect{\text{BC}}\\ &= \dfrac{1}{2}\vect{\text{DH}}+ 2\vect{\text{BI}}-\vect{\text{CB}}\\ & =\vect{\text{DM}} + 2\vect{\text{BI}} + - \vect{\text{CB}} \end{aligned}$ \textbf{Affirmation 2 : Fausse } \smallskip $\vect{\text{AG}}=\vect{\text{AB}}+\vect{\text{BG}} = \vect{\text{AB}}+\vect{\text{AH}}$ On peut exprimer $\vect{\mathrm{AG}}$ comme combinaison linéaire de $\vect{\mathrm{AB}}$ et $\vect{\mathrm{AH}}$ : les trois vecteurs sont coplanaires et donc le triplet de vecteurs $\left(\vect{\text{AB}}~,~\vect{\text{AH}}~,~ \vect{\text{AG}}\right)$ n'est pas une base de l'espace. \textbf{Affirmation 3 : Vraie} \smallskip $\begin{aligned} \vect{\text{IB}} \cdot \vect{\text{LM}} &= \vect{\text{IB}} \cdot \vect{\text{IK}}\quad \text{car }\vect{\mathrm{LM}} = \vect{\mathrm{IK}}\\ &= \vect{\text{IB}} \cdot \vect{\text{IA}}\quad \text{ car A est le projeté orthogonal de K sur la droite (AB)}\\ &= -{\text{IB}} \times {\text{IA}} \quad\text{ car les vecteurs sont colinéaires de sens contraire}\\ &= - \dfrac 12 \times \dfrac 12 \quad\text{car l'arête est de longueur 1 et I est le milieu de l'arête [AB]}\\ &= -\dfrac 14 \end{aligned}$ \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip %Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère : % %\begin{itemize}[label={$\bullet~$}] %\item le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y + 3z + 6 = 0$ %\item les points A$(2~;~0~;~-1)$ et B$(5~;~-3~;~7)$ %\end{itemize} \textbf{Affirmation 4 : Fausse} \smallskip $\vect{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}x_\mathrm{B} -x_\mathrm{A} \\ y_\mathrm{B}-y_\mathrm{A}\\z_\mathrm{B}-z_\mathrm{A}\end{pmatrix}$ c'est-à-dire $\vect{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}3 \\ -3\\8\end{pmatrix}$ Le vecteur $\vect{\mathrm{AB}}$ est un vecteur directeur de la droite (AB). Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne $2x - y + 3z + 6 = 0$, le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ est donc un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$. On est dans un repère orthonormé donc : $\vect{\mathrm{AB}} \cdot \vect{n}= 3 \times 2 + (-3) \times (-1) + 8 \times 3 = 6+3+24 \neq 0$ Le vecteur normal au plan et le vecteur directeur de la droite ne sont pas orthogonaux donc le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) ne sont pas parallèles. \textbf{Affirmation 5 : Vraie} \smallskip \textbf{Méthode 1 :} Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont parallèles donc le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ est aussi un vecteur normal au plan $\mathcal{P}'$. Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}'$ est donc de la forme : $2x - y +3z + d = 0$ avec $d\in \R$. De plus, le point B appartient au plan $\mathcal{P}'$ donc $2x_{\mathrm{B}} - y_{\mathrm{B}} +3z_{\mathrm{B}} + d= 0$ D'où $2 \times 5 +3 +3 \times 7 +d=0$ donc $10+3+21+d = 0$ ce qui équivaut à $d=-34 $. Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}'$ est donc : $2x-y+3z-34=0$. En multipliant par $-1$ on obtient l'équation donnée. \smallskip \textbf{Méthode 2 :} Le plan $\mathcal{P}'$ a pour équation cartésienne $-2x + y - 3z + 34 = 0$, le vecteur $\vect{n'}\begin{pmatrix}-2\\1\\-3\end{pmatrix}$ est donc un vecteur normal au plan $\mathcal{P}'$. $\vect{n'}=-\vect{n}$ donc les vecteurs normaux aux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont colinéaires et donc les deux plans sont parallèles. Vérifions si le point B appartient au plan $\mathcal{P}'$. $-2x_{\mathrm{B}} + y_{\mathrm{B}} - 3z_{\mathrm{B}} + 34 = -2 \times 5 -3 -3 \times 7 +34 = -10-3-21+34 = 0$ Donc le point B appartient au plan $\mathcal{P}'$. Donc le plan $\mathcal{P}'$ parallèle à $\mathcal{P}$ passant par B a bien pour équation cartésienne \linebreak$-2x + y - 3z + 34 = 0$. \textbf{Affirmation 6 : Vraie} La distance du point A au plan $\mathcal{P}$ est égale à la distance AH avec H projeté orthogonal de A sur le plan $\mathcal{P}$ . Déterminons les coordonnées du point H. H est le projeté orthogonal du point A sur la plan $\mathcal{P}$, c'est donc l'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $\mathcal{P}$ passant par le point A. Le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$, c'est donc un vecteur directeur de la droite $\Delta$. De plus le point A$(2~;~0~;~-1)$ appartient à la droite $\Delta$, une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc : \[\left\{\begin{array}{lcl} x&=&2+2t \\ y&=&0 -t \\ z&=&-1+3t \end{array} \quad, \text { où } t \in \R\right.\] L'intersection entre la droite $\Delta$ et le plan $\mathcal{P}$ donne l'équation en la variable $t$ : $\begin{aligned} 2(2+2t)- (-t)+3(-1+3t)+6=0 &\iff 4+4t+t-3+9t+6=0\\ & \iff 14t=-7\\ & \iff t=-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$ Le point H d'intersection entre la droite $\Delta$ et $\mathcal{P}$ est le point de paramètre $ t=-\dfrac{1}{2}$ dans la représentation paramétrique de la droite $\Delta$. Il a comme coordonnées :\quad$\mathrm{H}\left(2 -2 \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~-1 - 3 \times\dfrac{1}{2}\right)$ soit $\mathrm{H}\left(1~;~\dfrac{1}{2}~;~-\dfrac{5}{2}\right)$. On a donc : $\vect{\mathrm{AH}}\begin{pmatrix}-1\\ \dfrac{1}{2}\\ -\dfrac{3}{2}\end{pmatrix}$ d'où : $\left\|\vect {\mathrm{AH}}\right\|^2=1^2+ \left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{14}{4}$, donc $\left\|\vect {\mathrm{AH}}\right\|=\sqrt{\dfrac{14}{4}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$. La distance du point A au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$. \smallskip %On note $(d)$ la droite de représentation paramétrique % %\[\left\{\begin{array}{l c l} %x &=&-12 + 2k\\ %y &=&\phantom{-}6\\ %z &=&\phantom{-}3 - \phantom{-}5k %\end{array}\right., \text{où}\, \:k \in \R\] \textbf{Affirmation 7 : Fausse} $(d)$ est dirigée par le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}2\\0\\-5\end{pmatrix}$ et la droite (AB) par $\vect{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}3 \\ -3\\8\end{pmatrix}$. Les deux droites ont des vecteurs directeurs non colinéaires donc les droites ne sont ni parallèles, ni confondues. La droite (AB) passe par le point A et est dirigée par $\vect{\mathrm{AB}}$ donc une représentation paramétrique de la droite (AB) est : \[\left\{\begin{array}{lcl} x&=&\phantom{-}2 +3t\\ y&=&\phantom{-}0 -3 t\\ z&=&-1+8t \end{array} \quad, \text { où } t \in \R\right.\] $(d)$ et (AB) seront donc coplanaires si et seulement si ces deux droites sont sécantes, c'est-à-dire si et seulement si le système suivant a une solution : $\begin{aligned} \left\{\begin{array}{l} 2+3t=-12+2k\\ -3t=6 \\ -1+8t=3-5k \end{array}\right. &\iff \left\{\begin{array}{l} -4=-12+2k \\ t=-2\\ -17=3-5k \end{array}\right.\\ &\iff \left\{\begin{array}{l} k=4 \\ t=-2\\ k=4 \end{array}\right. \end{aligned}$ Le système admet une solution, donc les droites ont un point commun : le point de paramètre $t=-2$ de la droite (AB) ou le point de paramètre $k=4$ de $(d)$ c'est à dire le point C$(-4~;~6~;~-17)$. Les droites (AB) et $(d)$ sont donc sécantes et par conséquent coplanaires. \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~\pi]$ : $f'(x) = \e^x \times \sin(x) +\e^x \times \cos(x) = \e^x \big( \sin(x) +\cos(x)\big)$. \item Par connaissance des fonctions trigonométriques, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$,\quad $\cos(x)\geqslant 0$ et $\sin(x)\geqslant 0$ On précise que d'une part, $\sin(x) = 0$ seulement pour $x = 0$, et $cos(0) = 1$, et d'autre part, $\cos(x) = 0$ seulement pour $x = \dfrac{\pi}{2}$, et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) =1$, donc les fonctions sinus et cosinus ne s'annulent pas en même temps. La somme de deux réels positifs, dont l'un au moins est strictement positif est strictement positive, donc: pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$, \quad $\cos(x)+ \sin(x)> 0$. D'autre part, pour tout réel $x$,\, $\e^{x} > 0$ donc pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$,\quad $f'(x)> 0$ \quad en tant que produit de deux facteurs strictement positifs, donc la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item L'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0 est : $y =f'(0)(x - 0) + f(0) = f'(0)x + f(0)$. $f(0) = \e^0 \sin (0)= 1 \times 0= 0$ ; (donné dans l'énoncé) $f'(0)= \e^0 \left( \sin(0) +\cos(0)\right) = 1 \times(0+1)=1$ (donné dans l'énoncé) L'équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse~$0$ est donc $y = 1x + 0$ soit $y=x$. \item En anticipant la question \textbf{3.}, on va étudier la convexité de la fonction sur $[0 ~;~ \pi]$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;\pi\right]$ : $\begin{aligned} f''(x) & = \e^x \left( \sin(x) +\cos(x)\right) + \e^x\left( \cos(x) -\sin(x)\right)\\ & = \e^x \left( \sin(x) +\cos(x) +\cos(x) -\sin(x)\right)\\ &= 2 \e^x \cos(x) \end{aligned}$. On a le tableau de signes suivant : \hfill~\begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/0.7, signe de $f''(x)$/0.7}{$0$,$\frac{\pi}{2}$,$\pi$} \tkzTabLine{,+,z,-,} \end{tikzpicture}\hfill~ donc pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$, $f''(x)>0$ d'où la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$. \item La courbe représentative d'une fonction convexe est au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier ici, la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0, d'équation $y = x$ (d'après la question précédente). On a donc, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$,\quad $\e^x \sin (x) \geqslant x$. \end{enumerate} \item On a vu précédemment que la dérivée seconde de $f$ s'annule en changeant de signe en $x=\dfrac{\pi}{2}$ donc le point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est un point d'inflexion. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip On note \[I = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^x \sin (x)\, \text{d}x\quad \text{et}\quad J = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^x \cos (x)\, \text{d}x.\] \smallskip \begin{enumerate} \item $x \longmapsto \e^x \sin(x)$ est de la forme $u v'$ avec $\begin{cases}u(x)=\e^x \quad\text { et } \quad u'(x)=\e^x \\ v'(x)=\sin(x) \quad\text { et } \quad v(x)=-\cos(x)\end{cases}$ Les fonctions $u$ et $v$ sont continues et dérivables sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ et les fonctions $u'$ et $v'$ sont continues sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$, donc, d'après la formule d'intégration par parties : $\displaystyle \int_{a}^{b} u(x)v'(x)\, \mathrm{d}x = \Big [ u(x)v(x)\strut\Big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) \, \mathrm{d}x$. d'où $\begin{aligned}[t] I & =\Big[-\cos(x)\e^x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^x(-\cos(x)) \, \mathrm{d}x\\ & = -\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\e^{\frac{\pi}{2}}+\cos(0)\e^0+\int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^x\cos(x) \, \mathrm{d}x\\ & =0+1+J\\ & =1+ J \end{aligned}$ \smallskip $x \longmapsto \e^x \sin(x)$ est de la forme $u v'$ avec $\begin{cases}u(x)=\sin(x) \quad\text { et }\quad u'(x)=\cos(x)\\ v'(x)=\e^x \quad \text { et } \quad v(x)=\e^x \end{cases}$ Les fonctions $u$ et $v$ sont continues et dérivables sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ et les fonctions $u'$ et $v'$ sont continues sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$, donc, d'après la formule d'intégration par parties : $\displaystyle \int_{a}^{b} u(x)v'(x)\, \mathrm{d}x = \Big [ u(x)v(x)\Big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) \, \mathrm{d}x$. d'où $\begin{aligned}[t] I & =\Big[\sin(x)\e^x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^x\cos(x) \, \mathrm{d}x \\ & = -\sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\e^{\frac{\pi}{2}}+\sin(0)\e^0-J\\ & =\e^{\frac{\pi}{2}} - J \end{aligned} $ On a donc bien : \[I= 1+J \qquad \text{et}\qquad I= \e^{\frac{\pi}{2}} - J.\] \item En ajoutant les deux équations précédentes on obtient : $2I = 1 +J + \e^{\frac{\pi}{2}}-J $. d'où $I = \dfrac{1 + \e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$. \item D'après la question \textbf{Partie A 2.c.} pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$, $\e^x \sin (x) \geqslant x$ c'est à dire $f(x) \geqslant g(x)$. L'aire du domaine hachuré situé entre les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$ est donc égale à l'intégrale : $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \e^x \sin (x)-x\right)\, \text{d}x$. $\begin{aligned} \displaystyle \mathcal{A} & = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\e^x \sin (x)-x\right)\, \text{d}x\\ &= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \e^x \sin (x)\, \text{d}x - \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\, \text{d}x \quad \text{ par linéarité de l'intégrale} \\ & = I - \left[ \frac{x^2}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\ & = \dfrac{1 + \e^{\frac{\pi}{2}}}{2}- \dfrac{1}{2}{\left( \dfrac{\pi}{2} \right)}^2+0\\ & = \dfrac{1 + \e^{\frac{\pi}{2}}}{2}- \dfrac{\pi^2}{8} \end{aligned}$ L'aire cherchée est donc \quad $ \dfrac{1 + \e^{\frac{\pi}{2}}}{2} - \dfrac{\pi^2}{8}$ u.a. ($\approx 1,67$ u. a.) \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=2.4cm,yunit=1.2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-1)(4,9) \multido{\n=0.0+0.5}{6}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,8)} \multido{\n=0.0+0.5}{17}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=orange](0,\n)(3,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(4,9) \psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](1.5708,0)(1.5708,1.5708) \psline[linewidth=1.25pt](1.5708,1.5708)(1.5708,4.81) \psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.14159}{2.71828 x exp x 180 mul 3.14159 div sin mul} \psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{0}{3.14159}{x} \uput[ur](2.7,6.6){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[dr](2.54,2.6){$\mathcal{C}_g$} \pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.5708}{2.71828 x exp x 180 mul 3.14159 div sin mul}\psline[linewidth=1.25pt](1.5708,4.81)(1.5708,1.5708)(0,0)} \end{pspicture} \end{center} \end{document}