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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité Jour 1}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{21 novembre 2024}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Amérique du Sud 21 novembre 2024~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 1}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On considère l'équation différentielle 
$(E) : \quad y' +\dfrac14y = 20\e^{-\frac14 x},$

d'inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la valeur du réel $a$ tel que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par $g(x) = ax\e^{-\frac14 x}$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
Soit $g$ la fonction  définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = ax\e^{-\frac14 x}$.

La fonction linéaire $u$ définie par $u(x) = - \dfrac14 x$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle $u'(x) = - \dfrac14$.

La fonction composée $g(u(x)) = ax\e^{u(x)}$ est elle aussi dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle, $g'(u) = a\e^{u(x)} + axu' \times \e^{u(x)} = a\e^{-\frac14 x} + ax \times \left(- \dfrac14 \right)\e^{-\frac14 x} = \e^{-\frac14 x}\left(a - \dfrac{ax}{4}\right)$.

Or $g'(x) + \dfrac14g(x) = \e^{-\frac14 x}\left(a - \dfrac{ax}{4}\right) + \dfrac14 \times ax\e^{-\frac14 x} = \e^{-\frac14 x}\left(a - \dfrac{ax}{4} + \dfrac{ax}{4} \right) = a\e^{-\frac14 x}$.

Donc $g$ est solution de l'équation différentielle sur $[0~;~ +\infty[$, si sur cet intervalle :

$a\e^{-\frac14 x} = 20\e^{-\frac14 x} \iff a = 20$, car quel que soit $x$ réel, $\e^{-\frac14 x} \ne 0$.

La fonction $g : x \longmapsto 20x \e^{-\frac14 x}$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ est une solution particulière de l'équation $(E)$.

\item On considère l'équation différentielle 
$(E') : \quad y' +\dfrac14 y = 0,$

d'inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

%Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E')$.
L'équation $(E')$ peut s'écrire $y' = - \dfrac14y$ et on sait que les solutions de cette équation $(E')$ sont les fonctions $f$ définies par:

$f(x) = K\e^{-\frac14 x}$, avec $K \in \R$.

\item %En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
Les solutions $f$ de l'équation $(E)$ sont telles que pour $x \in [0~;~+ \infty[$, 

$f'(x) + \dfrac14f(x) = 20\e^{- \frac14 x}$ ou d'après la question 1. :

$f'(x) + \dfrac14f(x) = g'(x) + \dfrac14g(x) \iff f'(x) - g'(x) = \dfrac14[f(x) - g(x)]$ soit par linéarité de la dérivation :

$(f - g)'(x) + \dfrac14[(f - g ](x) = 0$ : ceci signifie que la fonction $f - g$ est solution de $(E')$ c'est-à)dire que 

$f(x) - g(x) = K\e^{-\frac14 x} \iff f(x) = K\e^{-\frac14 x} + g(x)$ ou enfin 
$f(x) = K\e^{-\frac14 x} + 20x\e^{-\frac14 x}\iff f(x) = (20x + K)\e^{-\frac14 x}$, avec $K \in \R$.

Les solutions de $(E)$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ sont donc les fonctions $f$ définies par:\\
$f(x) = \e^{-\frac14 x}(20x + K)$, avec  $K \in \R$.

\item %Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $f(0) = 8$.
On a $f(0) = 8 \iff (20 \times 0 + K)\e^{0} = 8 \iff K = 8$, donc :

$f(x) = (20x + 8)\e^{-\frac14 x} = 4\left (5x + 2\right )\e^{-\frac14 x}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 
$f(x) = (20x + 8)\e^{-\frac14 x}$.

%On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. De plus, on admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que, pour tout réel $x$ positif, 
%\[f'(x) = (18 - 5x)\e^{-\frac14 x}.\]

La fonction $f$ est la fonction trouvée à la fin de la partie A : elle est donc dérivable et vérifie l'équation $(E)$, soit 

$f'(x) + \dfrac14 f(x) = 20\e^{-\frac14 x}$ donc \\
$f'(x) = 20\e^{-\frac14 x} - \dfrac14 \times 4(5x + 2)\e^{-\frac14 x} = \e^{-\frac14 x}(20 - 5x - 2) = (18 - 5x)\e^{-\frac14 x}$.

		\item %En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
		Comme quel que soit $x$, \, $\e^{-\frac14 x} > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $18 - 5x$ :
		
$\bullet~$ $18 - 5x > 0 \iff \dfrac{18}{5} > x$ : sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{18}{5}\right], \, f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante ;

$\bullet~$ $18 - 5x < 0 \iff \dfrac{18}{5} < x$ : sur l'intervalle $\left[\dfrac{18}{5}~;~+ \infty\right], \, f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante ;

$f'\left(\dfrac{18}{5}\right) = 0$, donc $f\left(\dfrac{18}{5}\right)$ est le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

On a $f\left(\dfrac{18}{5}\right) = (72 + 8)\e^{-\frac14 \times \frac{18}{5}} = 80\e^{-\frac{9}{10}} \approx 32,53$.

On a vu à la partie A que $f(0) = 8$, et on admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0$. 

D'où le tableau de variations :

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & \frac{18}{5} & \esp & +\infty \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{80 \e^{-\frac{9}{10}}}  &  &   \\  
f & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{8} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

	\end{enumerate}
\item Dans cette question on s'intéresse à l'équation $f(x) = 8$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que l'équation $f(x) = 8$ admet une unique solution, notée $\alpha$, dans l'intervalle [14~;~15].
		On a $f(14) = 288\e^{-3,5} \approx 8,7$ et $f(15) = 300\e^{-3.75} \approx 7,2$.
		
Sur l'intervalle [14~;~15], la fonction $f$ est continue car dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, donc sur [14~;~15] et elle est strictement décroissante; comme $8 \in [f(15)~;~f(14)]$, il existe d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires un réel unique $\alpha$ telle que $f(\alpha) = 8$.
		\item On complète le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction \texttt{solution\_equation} écrite en langage Python

%\begin{minipage}{0.8\linewidth}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
	$a$		&14		&14		&14,25	&14,375	&14,4375\\ \hline
	$b$		&15		&14,5	&14,5	&14,5	&14,5\\ \hline
	$b - a$	&1		&0,5	&0,25	&0,125	&0,0625\\ \hline
	$m$		&14,5	&14,25	&14,375	&14,4375	&\cellcolor[gray]{0.5}\\ \hline
\parbox{2cm}{\centering{}Condition\\ $f(m) > 8$} \rule[-12pt]{0pt}{30pt} &FAUX	&VRAI	&VRAI	&VRAI	&\cellcolor[gray]{0.5}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.36\linewidth}
%{\footnotesize\begin{tabular}{|l|}\hline
%from math import exp \\
%def f(x):\\
%\qquad return (20*x+8)*exp(-1/4*x)\\
%~\\
%def solution\_equation():\\
%\qquad a,b = 14,15\\
%\qquad while b-a > 0.1 :\\
%\qquad\begin{tabular}{|l}
%\quad m = (a+b)/2\\
%\quad if f(m) > 8:\\
%\quad|\quad a = m\\
%\quad else:\\
%\quad |\quad  b = m\\
%\end{tabular}\\
%\qquad return a,b\\ \hline
%\end{tabular}}
%
%\end{minipage}
		\item %Quel est l'objectif de la fonction solution\_equation dans le contexte de la question ?
L'objectif de la fonction \texttt{solution\_equation} est de déterminer, par dichotomie, un encadrement d'amplitude $0,1$ de la solution de l'équation $f(x)=8$ dans l'intervalle [14\, ;\,15].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

On dispose de deux urnes opaques U$_1$ et U$_2$.
L'urne U$_1$ contient 4 boules noires et 6 boules blanches.
L'urne U$_2$ contient 1 boule noire et 3 boules blanches.

On considère l'expérience aléatoire suivante :
on pioche au hasard une boule dans U$_1$ que l'on place dans U$_2$, puis on pioche au hasard une boule dans U$_2$.

\begin{list}{\textbullet}{On note:}
\item $N_1$ l'évènement \og Piocher une boule noire dans l'urne U$_1$ \fg.
\item $N_2$ l'évènement \og Piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ \fg.
\end{list}

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ son évènement contraire.

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère l'arbre de probabilités ci-contre.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ sachant qu'on a pioché une boule blanche dans l'urne U$_1$ est $0,2$.
Si on a pioché une boule blanche dans U$_1$ et qu'on l'a mise dans U$_2$, il y a dans l'urne U$_2$ 1 boule noire et 4 boules blanches.
La probabilité de piocher alors une boule noire dans l'urne U$_2$ est $P_{\overline{N_1}}\left (N_2\right ) = \dfrac{1}{5}=0,2$.		
		
		\item %Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-contre, en faisant apparaître sur chaque branche les probabilités des évènements concernés, sous forme décimale.
Dans U$_1$ il y a 4 boules noires et 6 boules blanches donc la probabilité de piocher une boule noire est $P\left (N_1\right )=\dfrac{4}{10}=0,4$.		

Si on a pioché une boule noire dans U$_1$ et qu'on l'a mise dans U$_2$, il y a dans l'urne U$_2$ 2 boules noires et 3 boules blanches.
La probabilité de piocher alors une boule noire dans l'urne U$_2$ est $P_{N_1}\left (N_2\right )= \dfrac{2}{5}=0,4$.	
		
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$N_1$~}\ncput*{$\blue 0,4$}}
	{\TR{$N_2$}\ncput*{$\blue 0,4$}
	\TR{$\overline{N_2}$}\ncput*{$\blue 0,6$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{N_1}$~}\ncput*{$\blue 0,6$}}
	{\TR{$N_2$}\ncput*{$0,2$}
	\TR{$\overline{N_2}$}\ncput*{$\blue 0,8$}
	}
}
\end{center}

	\end{enumerate}

\item La probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_1$ et une boule noire dans l'urne U$_2$ est:
$P\left ( N_1 \cap N_2 \right ) = P\left (N_1\right ) \times P_{N_1}\left (N_2\right ) = 0,4\times 0,4 = 0,16$.

\item On cherche la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$.

 D'après la formule des probabilités totales:

$P\left (N_2\right ) = P\left ( N_1 \cap N_2 \right ) + P\left ( \overline{N_1} \cap N_2 \right )= 0,16 + 0,6 \times 0,2 = 0,28$.

\item On a pioché une boule noire dans l'urne U$_2$.

La probabilité d'avoir pioché une boule blanche dans l'urne U$_1$ est:

$P_{N_2}\left (\overline{N_1}\right ) = \dfrac{P\left ( N_2 \cap \overline{N_1} \right )}{P\left (N_2\right ) } = \dfrac{0,12}{0,28} = \dfrac37 \approx 0,43$.

%Calculer la probabilité d'avoir pioché une boule blanche dans l'urne U$_1$ . On donnera le résultat sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

$n$ désigne un entier naturel non nul.

L'expérience aléatoire précédente est répétée $n$ fois de façon identique et indépendante, c'est-à-dire que les urnes U$_1$ et U$_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne U$_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l'urne U$_2$, entre chaque expérience.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l'urne U$_2$.

On rappelle que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ est égale à $0,28$ et celle de piocher une boule blanche dans l'urne U$_2$ est égale à $0,72$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la loi de probabilité suivie par $X$. Justifier votre réponse.
D'après le texte, on est dans le cas de $n$ répétitions,  de façon identique et indépendante, d'une expérience qui n'a que deux issues.

Donc la variable $X$ qui donne le nombre de succès, c'est-à-dire le nombre  de fois où on pioche une boule noire dans l'urne U$_2$, suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p= 0,28$.

\item %Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel n tel que: 
On résout l'inéquation $1 - 0,72^n \geqslant 0,9.$

$\aligned[t]
1 - 0,72^n \geqslant 0,9
& \iff 1-0,9 \geqslant 0,72^n
\iff 0,1 \geqslant 0,7^n\\
& \iff \ln\left (0,1\right ) \geqslant \ln \left ( 0,72^n\right ) \quad \left (\text{fonction ln croissante sur }[0\,;\,+\infty[\strut\right )\\
& \iff \ln\left (0,1\right ) \geqslant n\,\ln \left ( 0,72\right )\\
& \iff \dfrac{\ln\left (0,1\right )}{\ln \left ( 0,72\right )} \leqslant n \quad \left (\ln\left (0,72\right )<0\strut\right )
\endaligned$

$ \dfrac{\ln\left (0,1\right )}{\ln \left ( 0,72\right )} \approx 7,01$ donc le plus petit entier naturel $n$ tel que:  $1 - 0,72^n \geqslant 0,9$ est 8.

\item% Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'expérience.
$0,72$ est la probabilité de piocher une boule blanche dans l'urne U$_2$.

$0,72^n$ est la probabilité de piocher $n$ boules blanches dans l'urne U$_2$ lors des $n$ tirages.

$1-0,72^n$ est la probabilité de l'événement contraire, c'est-à-dire la probabilité de piocher au moins une boule noire lors des $n$ tirages.

Il faut donc au moins 8 tirages pour que la probabilité de piocher au moins une boule noire soit supérieure à $0,9$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

Dans cette partie les urnes U$_1$ et U$_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne U$_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l'urne U$_2$.

\smallskip

On considère la nouvelle expérience aléatoire suivante: on pioche simultanément deux boules dans l'urne U$_1$ que l'on place dans l'urne U$_2$, puis on pioche au hasard une boule dans l'urne U$_2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne U$_1$ ?
Dans l'urne U$_1$ il y a 10 boules et on en prend 2 simultanément; il y a donc $\ds\binom{10}{2}=45$ tirages possibles.

\item% Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne U$_1$ contenant exactement une boule blanche et une boule noire ?
Il y a 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne U$_1$; le nombre de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne U$_1$ contenant exactement une boule blanche et une boule noire est donc $\ds\binom{4}{1}\times \binom{6}{1} = 4\times 6 = 24$.

\item %La probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ avec cette nouvelle expérience est- elle supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l'urne U$_2$ avec l'expérience de la partie A ? Justifier votre réponse.
\begin{list}{\textbullet}{On examine les différents cas.}
\item On a pioché 2 boules noires dans U$_1$ (événement noté $NN$).

\begin{list}{$\vartriangleright$}{}
\item $P\left (NN\right ) = \dfrac{\binom{4}{2}}{45} = \dfrac{6}{45}=\dfrac{2}{15}$
\item On a mis les 2 boules noires piochées dans U$_1$ dans l'urne U$_2$; l'urne U$_2$ contient alors 3 boules noires et 3 boules blanches. 

La probabilité de piocher une boule noire dans U$_2$ est alors $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
\end{list}

\item On a pioché 1 boule noire et 1 boule blanche dans U$_1$ (événement noté $NB$).

\begin{list}{$\vartriangleright$}{}
\item $P\left (NB\right ) = \dfrac{24}{45} =\dfrac{8}{15}$
\item On a mis les 2 boules,  une noire une blanche, piochées dans U$_1$ dans l'urne U$_2$; l'urne U$_2$ contient alors 2 boules noires et 4 boules blanches. 

La probabilité de piocher une boule noire dans U$_2$ est alors $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
\end{list}

\item On a pioché 2 boules blanches dans U$_1$ (événement noté $BB$).

\begin{list}{$\vartriangleright$}{}
\item $P\left (BB\right ) = \dfrac{\binom{6}{2}}{45} = \dfrac{15}{45}=\dfrac{1}{3}$
\item On a mis les 2 boules blanches piochées dans U$_1$ dans l'urne U$_2$; l'urne U$_2$ contient alors 1 boule noire et 5 boules blanches. 

La probabilité de piocher une boule noire dans U$_2$ est alors $\dfrac{1}{6}$.
\end{list}
\end{list}
%\emph{On pourra s'aider d'un arbre pondéré modélisant cette expérience}.

On résume la situation dans un arbre pondéré.

\begin{center}
\medskip
\psset{levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$NN$}\ncput*{$\frac{2}{15}$}}
	                        {
	                        \TR{$N_2$}~{\blue $\blacktriangleright \frac{2}{15}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{15}=\frac{6}{90}$}\ncput*{$\frac{1}{2}$}
			                \TR{$\overline{N_2}$}\ncput*{$\frac{1}{2}$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$NB$}\ncput*{$\frac{8}{15}$}}
	                        {
	                        \TR{$N_2$}~{\blue $\blacktriangleright \frac{8}{15}\times\frac{1}{3}=\frac{8}{45}=\frac{16}{90}$}\ncput*{$\frac{1}{3}$}
			                \TR{$\overline{N_2}$}\ncput*{$\frac{2}{3}$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$BB$}\ncput*{$\frac{1}{3}$}}
	                        {
	                        \TR{$N_2$}~{\blue $\blacktriangleright \frac{1}{3}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{18}=\frac{5}{90}$}\ncput*{$\frac{1}{6}$}
			                \TR{$\overline{N_2}$}\ncput*{$\frac{5}{6}$}
	                        }	                        
      }
\medskip
\end{center}

La probabilité de piocher une boule noire dans U$_2$ est, d'après la formule des probabilités totales:

$P\left (N_2\right )
= P\left ( NN \cap N_2\right ) + P\left ( NB \cap N_2\right )  + P\left ( BB \cap N_2\right ) 
= \dfrac{6}{90} + \dfrac{16}{90} + \dfrac{5}{90}
= \dfrac{27}{90} = \dfrac{3}{10} = 0,3$

La probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ avec cette nouvelle expérience est égale à $0,3$;  elle est donc supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l'urne U$_2$ avec l'expérience de la partie A qui était de $0,28$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large Exercice 3 \hfill 4 points}

%\medskip
%
%Répondre par VRAI ou FAUX à chacune des affirmations suivantes et justifier votre réponse.\\ Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans la notation.\\
%Toutes les questions de cet exercice sont indépendantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n$ non nul par 
$u_n = \dfrac{25 + (- 1)^n}{n}.$

\textbf{Affirmation 1 :} La suite $(u_n)$ est divergente.

\medskip

Pour tout $n$ non nul, on a:
$ -1 \leqslant (-1)^n \leqslant +1$
donc $ 25-1 \leqslant 25+(-1)^n \leqslant 25+1$
donc $ 24 \leqslant 25+(-1)^n \leqslant 26$
donc $ \dfrac{24}{n} \leqslant \dfrac{25+(-1)^n}{n} \leqslant \dfrac{26}{n}$
donc $ \dfrac{24}{n} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{26}{n}$

Or $\ds\lim_{n\to +\infty} \dfrac{24}{n} = \ds\lim_{n\to +\infty} \dfrac{26}{n} = 0$ donc, d'après le théorème des gendarmes, on peut déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et que $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n=0$.

\hfill \textbf{Affirmation 1 fausse}

\medskip

\item On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\{\begin{array}{l !{=}  l}
w_0&1\\w_{n+1}&\dfrac{w_n}{1 + w_n}
\end{array}\right.$

On admet que pour tout entier naturel $n,\; w_n > 0$n et on considère la suite $(t_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_n =\dfrac{k}{w_n}$ où $k$ est un nombre réel strictement positif.

\textbf{Affirmation 2 :} La suite $(t_n)$ est une suite arithmétique strictement croissante.

\medskip

Pour tout $n$, on a: $t_{n+1}
= \dfrac{k}{w_{n+1}}
= \dfrac{k}{\frac{w_n}{1+w_n}}
= \dfrac{k\left (1+w_n\right )}{w_n}
= \dfrac{k+kw_n}{w_n}
=\dfrac{k}{w_n} +k
=t_n+k$

Donc la suite $(t_n)$ est arithmétique de raison $k$.

De plus, $k>0$ donc la suite $(t_n)$ est strictement croissante.

\hfill \textbf{Affirmation 2 vraie}

\medskip

\item On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
v_0&1\\
v_{n+1}&\ln \left(1 +  v_n\right)
\end{array}\right.$

On admet que pour tout entier naturel $n$, $v_n > 0$,

\textbf{Affirmation 3 :} La suite $(v_n)$ est décroissante.

\medskip

Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété: $v_n>v_{n+1}$.

On va démontrer par récurrence que cette propriété est vraie pour tout $n$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

$v_0=1$ et $v_1=\ln\left (1+v_0\right ) = \ln\left (2\right ) \approx 0,69$; donc $v_0>v_1$.\\
La propriété est vraie pour $n=0$.

\item \textbf{Hérédité}

On suppose que $v_n > v_{n+1}$; c'est l'hypothèse de récurrence.

$v_n > v_{n+1}$ donc $1+v_n > 1+v_{n+1}$

Or la fonction ln est  croissante sur $]0\,;\, +\infty[$ donc
$\ln\left (1+v_n\right ) >\ln\left ( 1+v_{n+1}\right )$, ce qui veut dire que
$v_{n+1} > v_{n+2}$.
La propriété est donc héréditaire.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 0. Elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$. Donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n\geqslant 0$.
\end{list}

On a démontré que, pour tout $n\geqslant 0$, on avait: $v_{n} > v_{n+1}$; donc la suite $(v_n)$ est décroissante.

\hfill \textbf{Affirmation 3 vraie}

\medskip

\item On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \displaystyle\int_1^{\e} \left [\ln (x)\strut\right ]^n\,\d x$.

\textbf{Affirmation 4 :} Pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1} = \e - (n + 1) I_n$.

\medskip

$I_{n+1} = \displaystyle\int_1^{\e} \left [\ln (x)\strut \right ]^{n+1}\d x
= \displaystyle\int_1^{\e} 1\times \left [\ln (x)\strut\right ]^{n+1}\d x$

On va calculer $I_{n+1}$ au moyen d'une intégration par parties:\\
$\ds\int_{a}^{b} u'(x)v(x) \d x = \left [u(x) v(x)\strut \right ]_{a}^{b} - \ds\int_{a}^{b} u(x) v'(x) \d x$

On pose $u'(x)=1$ donc $u(x)=x$, et $v(x)= \left [\ln\left (x\right )\strut\right] ^{n+1}$ donc
$v'(x)=\left (n+1\right ) \times \dfrac{1}{x} \times \left [\ln\left (x\right )\strut\right ]^n$.

$\aligned[t]
I_{n+1} & =  \left [ x\times \left [\ln\left (x\right )\strut\right ]^{n+1}\right ]_{1}^{\e}
 - \ds\int_{1}^{\e} x\times (n+1) \times \dfrac{1}{x} \times \left [ \ln\left (x\right )\strut \right ]^n \d x\\
 & = \left ( \e \left [ \ln \left (\e\right )\strut \right ]^{n+1} - 1 \left [ \ln \left (1\right )\strut \right ]^{n+1}\right ) - \left (n+1\right ) \ds\int_{1}^{\e} \left [\ln\left (x\right )\strut\right ]^{n} \d x\\
&  = \e - \left (n+1\right ) I_n
 \endaligned$

\hfill \textbf{Affirmation 4 vraie}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

L'objectif de cet exercice est de déterminer la distance entre deux droites non coplanaires.

%Par définition, la distance entre deux droites non coplanaires de l'espace, $(d_1)$ et $(d_2)$ est la longueur du segment [EF], où E et F sont des points appartenant respectivement à $(d_1)$ et à $(d_2)$ tels que la droite (EF) est orthogonale à $(d_1)$ et $(d_2)$.

%L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

Soit $(d_1)$ la droite passant par A$(1~;~2~;~-1)$ de vecteur directeur $\vect{u_1}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ et $(d_2)$ la droite dont une représentation paramétrique est : 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\y &=& 1 + t\\z &=& 2 + t\\
\end{array}\right.,\: t  \in \R.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner une représentation paramétrique de la droite $(d_1)$.

On a $M(x~;~y~;~z) \in (d_1) \iff \text{il existe }\, t' \in \R, \, \text{tel que } \, \vect{\text{A}M} = t'\vect{u_1} \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
x- 1&=&1t'\\
y - 2&=&2t'\\
z-(-1)&=&0t'
\end{array}\right.\, t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&1 + t'\\
y &=&2 + 2t'\\
z&=&- 1
\end{array}\right.\, t \in \R $.

\item On démontre que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont non coplanaires.

$\bullet~$ $(d_2)$ a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{u_2}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ et ce vecteur n'est pas colinéaire à $\vect{u_1}$ : les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles.

$\bullet~$ $(d_1)$ et $(d_2)$ sont sécantes s'il existe $t$ et $t'$ deux réels tels que :

$\left\{\begin{array}{l c l}
0&=&1 + t'\\
1 + t&=&1 + t'\\
2 + t &=&-1 \\
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
-1&=& t'\\
t & =&t'\\
t &=&-3 \\
\end{array}\right.$ : ce système n'a pas de solution.

Conclusion : les deux droites ne sont ni parallèles ni sécantes, elles sont donc non coplanaires.
\item Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par A et dirigé par les vecteurs non colinéaires $\vect{u_1}$ et $\vect{w}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\\\end{pmatrix}$.

On va justifier qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $-2x + y + 5z + 5 = 0$.

Si un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient au plan défini par le point A et les deux vecteurs $\vect{u_1}$ et $\vect{w}$, on sait que il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que :
$\vect{\text{A}M} = \alpha\vect{u_1} + \beta\vect{w}$,

soit avec les coordonnées :
$\left\{\begin{array}{l c l}
x - 1&=&1\alpha + 2\beta\\
y - 2&=&2\alpha - 1\beta\\
z + 1&=&0\alpha + 1\beta
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\alpha + 2\beta + 1\\
y &=&2\alpha - \beta + 2\\
z&=&\beta - 1
\end{array}\right.$

Or quels que soient $\alpha$ et $\beta$ :

${\red - 2}(\alpha + 2\beta + 1) + {\red 1}(2\alpha - \beta + 2) + {\red 5}(\beta - 1)+ {\red 5} =  -2\alpha - 4\beta - 2 + 2\alpha - \beta + 2 + 5\beta - 5 + 5 = 0$.

Donc une équation cartésienne du plan est ${\red -2}x + {\red 1}y + {\red 5}z + {\red 5} = 0$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Sans chercher à calculer les coordonnées du point d'intersection, justifier que la droite
%$(d_2)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants.
On a vu que $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas coplanaires donc $(d_1)$ ne peut appartenir au plan précédent et $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles donc la droite  $(d_2)$ est sécante au plan $\mathcal{P}$.
		\item On note F le point d'intersection de la droite $(d_2)$ et du plan $\mathcal{P}$.

%Vérifier que le point F a pour coordonnées $\left(0~;~- \dfrac53~;~- \dfrac23\right)$.
Si F est commun à $(d_2)$ et au plan $\mathcal{P}$ ses coordonnées vérifient le système :

$\left\{\begin{array}{r c l}
x&=&0\\
y &=& 1 + t\\
z &=& 2 + t\\
-2x + y + 5z + 5 &=& 0\\
\end{array}\right.$, d'où en remplaçant dans la dernière équation :

$-2\times 0 + 1 + t + 5(2 + t) + 5 = 0 \iff 1 + t + 10 + 5t + 5 = 0\iff 6t + 16 = 0 \iff t = - \dfrac83$, d'où en remplaçant dans $x,\,y,\,$ et $z$, on obtient   F\:$\left(0~;~- \dfrac53~;~-\dfrac23\right)$.

Soit $(\delta)$ la droite passant par F et de vecteur directeur $\vect{w}$. On admet que les droites $(\delta)$ et $(d_1)$ sont sécantes en un point E de coordonnées $\left( -\dfrac23~;~- \dfrac43~;~-1\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que la distance EF est la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
Des coordonnées du vecteur $\vect{\text{EF}}\begin{pmatrix}\dfrac23\\-\dfrac13\\\dfrac13\end{pmatrix}$ on  déduit que :

$\vect{\text{EF}} \cdot \vect{u_1} = \dfrac23 - \dfrac23 + 0 = 0$ et 
$\vect{\text{EF}} \cdot \vect{u_2} = 0  - \dfrac23 + \dfrac23 = 0$.

Conclusion : $\vect{\text{EF}}$ est orthogonal aux vecteurs directeurs des deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$, $\text{E} \in (d_1)$ et $\text{F} \in (d_2)$ donc EF est bien la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
		\item %Calculer la distance entre les droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
		On a EF$^2 = \left(\dfrac23\right)^2 +  \left(-\dfrac13\right)^2 +  \left(\dfrac13 \right)^2  = \dfrac49 + \dfrac19 + \dfrac19 = \dfrac69$.
		
		Conclusion : EF $ = \sqrt{\dfrac69} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}