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%Sujet aimablement communiqué par Denis Le Fur et Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès corrigé par Arié Yallouz
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%Commandes perso FH
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% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom
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\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 21 novembre 2013}
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\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.7cm}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Amérique du Sud ~\decofourright\\[4pt]21 novembre 2013} \end{center}%\section{titre}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} %\section{exercice 1}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée par des commerciaux qui se déplacent aux frais de l'entreprise.
%
%\medskip
% 
%Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %La direction de l'entreprise décide de diminuer le budget consacré aux frais de déplacements de ses commerciaux. 

%\medskip 
%\textbf{Affirmation 1 }: \og Diminuer ce budget de 6\,\% par an pendant 5 ans revient à diminuer ce budget de 30\,\% sur la période de 5 ans \fg. 

Diminuer le budget de 6\,\% sur un an revient à multiplier par $1-\frac{6}{100}=0,94$.

Diminuer le budget de 6\,\% pendant deux ans revient à multiplier par $\(1-\frac{6}{100}\)^2=0,94^2 = \np{0,8836}$.

Diminuer le budget de 6\,\% pendant cinq ans revient à multiplier par $\(1-\frac{6}{100}\)^5=0,94^5 \approx \np{0,7339}$. 

Multiplier par $\np{0,7339}$ revient à diminuer de $\(1-\np{0,7339}\)\times 100 = 26,61\,\%$ et pas de 30\,\% sur la période de 5 ans.

\textbf{L'affirmation 1 est fausse.}

\item %La production mensuelle varie entre $0$ et \np{10000} clés.
 
%Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, peut être modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par 

%\[B(x) = - x^2 + 10x - 9,\]

%où $x$ représente le nombre de milliers de clés produites et vendues.
 
%\medskip
 
%\textbf{Affirmation 2a}: \og Lorsque l'entreprise produit et vend entre \np{1000} et \np{9000} clés USB, le bénéfice est positif \fg.
% 
%\medskip
% 
%\textbf{Affirmation 2b}: \og Lorsque l'entreprise produit et vend \np{5000} clés USB, le bénéfice mensuel est maximal \fg.
% 
%\medskip
% 
%\textbf{Affirmation 2c} : \og Lorsque l'entreprise produit et vend entre \np{2000} et \np{8000} clés USB, son bénéfice mensuel moyen est égal à \np{78000}~euros \fg. 

On étudie les variations de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0\,; 10]$:

$B'\(x\)=-2x+10 >0$ sur $[0\,; 5[$ et $B'\(x\)<0$ sur $]5\,; 10]$.

De plus $B\(0\)=-9$, $B\(1\)=-1+10-9=0$, $B\(5\)=-25+50-9=16$, \\
$B\(9\)=-81+90-9=0$ et $B\(10\)=-100+100-9=-9$.

D'où le tableau de variations de la fonction $B$ sur $[0\,; 10]$:

\begin{center}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c|*7{c}|}
\hline
x & 0 \hspace*{0.5cm} & 1 & \hspace*{1.5cm} & 5 & \hspace*{1.5cm} & 9 & \hspace*{0.5cm} 10 \rule[-8pt]{0pt}{22pt}\\ 
\hline
B'\(x\) &  & &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & & \rule[-6pt]{0pt}{18pt} \\ 
\hline
 & & &  &    \Rnode{seize}{16}  &  &  &  \rule{0pt}{12pt} \\  
B\(x\) & &  & &   &  &  &    \\ 
 & \Rnode{moins91}{-9} & & &  &  &  &   \Rnode{moins92}{-9}   
 \ncline{->}{moins91}{seize} \ncline{->}{seize}{moins92} 
\psline[linestyle=dotted](-6,0.3)(-6,1.85)
\rput(-6,0.3){\fcolorbox{white}{white}{0}} 
\psline[linestyle=dotted](-1,0.3)(-1,1.85)
\rput(-1,0.3){\fcolorbox{white}{white}{0}} 
 \\ 
\hline
\end{array} $	
\end{center}	

D'après ce tableau de variations, lorsque l'entreprise produit et vend entre \np{1000} et \np{9000} clés USB (strictement), le bénéfice est positif.

\textbf{L'affirmation 2a est vraie.}

La fonction $B$ est maximale quand $x=5$ donc le bénéfice est maximum pour une production et vente de \np{5000} clés USB.

\textbf{L'affirmation 2b est vraie.}

Le bénéfice mensuel moyen lorsque l'entreprise produit et vend entre \np{2000} clés et \np{8000} clés correspond à la valeur moyenne de la fonction B entre 2 et 8, c'est-à-dire :

$\dfrac{1}{8-2} \integ{2}{8}\,B\(x\) \d x = \dfrac{1}{6} \integ{2}{8}\,B\(x\) \d x$. 

$B$ est une fonction polynôme qui a pour primitive la fonction $b$ définie par 

$b\(x\)=-\dfrac{1}{3}\,x^3+5x^2-9x$.

\smallskip

$b\(8\)=-\dfrac{1}{3}\,8^3+5\times 8^2-9\times 8 = -\dfrac{512}{3}+320-72 = -\dfrac{512}{3} +248 = -\dfrac{512}{3} +\dfrac{744}{3} = \dfrac{232}{3}$

\smallskip

$b\(2\)=-\dfrac{1}{3}\,2^3+5\times 2^2-9\times 2 = -\dfrac{8}{3}+20-18 = -\dfrac{8}{3} +2 = -\dfrac{8}{3}+\dfrac{6}{3}=\dfrac{-2}{3}$

\smallskip

$\integ{2}{8}\,B\(x\) \d x = \left[ b\(x\) \rule{0pt}{10pt} \right]^8_2 =   b\(8\)-b\(2\)=\dfrac{232}{3}-\dfrac{-2}{3}=\dfrac{234}{3}=78$; 
la valeur moyenne de la fonction entre 2 et 8 est donc $\dfrac{1}{6}\times 78 = 13$.

Le bénéfice mensuel moyen lorsque l'entreprise produit et vend entre \np{2000} clés et \np{8000} clés est donc de \np{13000} euros.

\textbf{L'affirmation 2 c est fausse.} 

\item %Pour contrôler la qualité du stock formé des milliers de clés USB fabriquées chaque année, on sélectionne au hasard un échantillon de \np{4000}~clés. Parmi ces clés, $210$ sont défectueuses.
 
Si $n$ est la taille de l'échantillon, et $f$ la fréquence d'apparition du caractère recherché, l'intervalle de confiance au niveau de confiance 95\,\% est approximativement $I=\left[ f-\frac{1}{\sqrt n}\,; f+\frac{1}{\sqrt n}\right]$.

Ici, $n=4000$ et $f=\frac{210}{4000} = \np{0,0525}$, donc
 
$I= \left[ \np{0,0525} -\frac{1}{\sqrt{\np{4000}}}\,; \np{0,0525} +\frac{1}{\sqrt {\np{4000}}}\right] \approx [0,0367\,; 0,0684]$

La borne supérieure de l'intervalle de confiance est approximativement $0,0684$ soit $6,84\,\%$ donc elle ne dépasse pas 7\,\%;
 %Le directeur des ventes doit stopper toute la chaîne de fabrication des clés USB si la borne supérieure de l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, dépasse 7\,\%.
à l'issue du contrôle, le directeur des ventes ne doit donc pas stopper toute la chaîne de fabrication.

\textbf{L'affirmation 3 est fausse.}

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}%  \section{exercice 2}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On considère $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x) = x\text{e}^{- x} + 1$.
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan et $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	
		\item %Montrer que, pour tout réel $x,\: f'(x) = \text{e}^{- x}(1 - x)$. 
$f'\(x\)=1\times \e^{-x} + x \times \(-1\)\e^{-x}=\e^{-x}\(1-x\)$

		\item %En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
Pour tout réel $x$, $\e^{-x} > 0$ ; donc $f'\(x\)$ est du signe de $1-x$.		

Sur $]-\infty\,;\, 1[$, $1-x>0$ donc $f$ est strictement croissante.

Sur $]1\,;\, +\infty[$, $1-x<0$ donc $f$ est strictement décroissante.		
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[-1~;~0]$. 
D'après la question 1.b, la fonction $f$ est strictement croissante sur $[-1\,;\, 0]$; de plus 

$f\(-1\)= -\e +1<0$ et $f\(0\)=1>0$.

D'après la propriété des valeurs intermédiaires, l'équation $f\(x\) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $[-1\,; 0]$.
		\item %Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{- 1}$ près.
D'après la calculatrice, $f\(-0,6\)\approx -0,09<0$ et $f\(-0,5\) \approx 0,18 > 0$ donc $\alpha \in \left[ -0,06\,;\, -0,05 \rule{0pt}{10pt} \right]$.						
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$ est $y = x + 1$. 
L'équation réduite de la tangente au point de la courbe $\mathcal C_f$ d'abscisse $a$ est 

$y=f'\(a\)\(x-a\)+f\(a\)$.

En $a = 0$, l'équation de $T$ est: $y=f'\(0\)\(x-0\)+f\(0\)$.

Or $f'\(x\)=\e^{-x}\(1-x\)$ donc $f'\(0\)=\e^0=1$ et on sait que $f\(0\) = 1$.

L'équation réduite de la tangente $T$ est: $y=x+1$.


\item %L'objectif de cette question est de déterminer la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $T$.
 
%%À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel $x$, l'expression et le signe de $f''(x)$ où $f''$ désigne la dérivée seconde de $f$.
%
%\ \\[-28pt]
%
%\begin{center} 
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|l|X|}\hline
%&\textbf{Instruction} &\textbf{Réponse}\\ \hline 
%1& $f(x) = x*\text{exp}(-x) + 1$ &$x\text{e}^{-x} + 1$\\ \hline 
%2& $f''(x) = $ dérivée seconde$[f(x)]$& $\text{e}^{-x}(x - 2)$\\ \hline 
%3& résoudre $[\text{e}^{-x}(x - 2) \geqslant 0]$&$x \geqslant 2$\\ \hline
%\end{tabularx} 
%\end{center}
% 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le sens de variation de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $\R$. 	
D'après le tableau donné dans le texte, $f''\(x\)=\e^{-x}\(x - 2\)$; cette dérivée seconde est du signe de $x-2$ car $\e^{-x}>0$ pour tout réel $x$..

Sur l'intervalle $]-\infty\,;\, 2[$, $x-2<0$ donc $f''\(x\) < 0$ et donc la fonction dérivée $f'$ est strictement décroissante.

Sur l'intervalle $]2\,;\, +\infty[$, $x-2>0$ donc $f''\(x\) >0$ et donc la fonction dérivée $f'$ est strictement croissante.				
		\item %Déterminer l'intervalle de $\R$ sur lequel la fonction est convexe puis celui sur lequel elle est concave. 

On sait qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée première est croissante sur cet intervalle.

Or $f'$ est croissante sur $]2\,;\, +\infty[$, donc la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $]2\,;\, +\infty[$.

On sait qu'une fonction est concave sur un intervalle si et seulement si sa dérivée première est décroissante sur cet intervalle.

Or $f'$ est décroissante sur $]-\infty\,;\, 2[$, donc la fonction $f$ est concave sur l'intervalle $]-\infty\,;\, 2[$.
		\item %En déduire la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $T$ sur l'intervalle $]-~\infty~;~2]$.
Une fonction est concave sur un intervalle quand sa courbe représentative  est entièrement située en dessous de toutes ses tangentes. On sait que la fonction $f$ est concave sur l'intervalle $]-\infty\,;\, 2[$ et que $T$ est une tangente à la courbe au point d'abscisse 0 qui appartient à $]-\infty\,; 2[$.

Donc la courbe $\mathcal C_f$ est située en dessous de $T$ sur l'intervalle $]-\infty\,; 2[$.		
	\end{enumerate}  
\item On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la tangente $T$ dans un repère orthonormé. 

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2,-0.666)(2,2.666)
\multido{\n=-2.0000+0.1666}{25}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](\n,-0.666)(\n,2.666)}
%\multido{\n=-0.6666+0.1666}{21}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](-2,\n)(2,\n)}
\psgrid[subgriddiv=6, griddots=30, gridlabels=0,subgriddots=15, subgridcolor=black, gridcolor=black]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-0.666)(2,2.666)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=100,linewidth=1.25pt]{-2}{1.6}{x 1 add}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2}{x 2.71828 x exp div 1 add}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=red]{
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 2.71828 x exp div 1 add}
\psline(1,2)(0,1)}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1.5,2.5){$T$}
\uput[ur](1.32,1.32){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par 
		$F(x) = \text{e}^{- x}(- 1 - x) + x$.
		
%Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. 

$F$ est une primitive de $f$ si et seulement si $F'=f$.

$F'\(x\)=\(-1\)\e^{-x}\(-1-x\)+\e^{-x}\(-1\)+1 = \e^{-x}\(1+x-1\)+1= x\e^{-x}+1$

$F'\(x\) =f\(x\)$. Donc $F$ est une primitive de $f$.
		\item %Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine hachuré compris entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, la tangente $T$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ puis donner le résultat arrondi à $10^{- 3}$ près. 

La tangente $T$ est d'équation $y=x+1$ donc c'est la représentation graphique de la fonction $g$ définie par $g\(x\)=x+1$.

On sait que sur $]-\infty~;~2[$ la droite $T$ est au dessus de la courbe $\mathcal C_f$ donc c'est encore vrai sur $[0~;~1]$ ; donc sur cet intervalle $g>f$ et donc $g-f>0$. 

D'après le cours, on peut dire que l'aire du domaine hachuré est, en unités d'aires,

$\mathcal A=\integ{0}{1}\,\(g-f\)\(x\) \d x$.		
D'après la linéarité de l'intégration,

$\integ{0}{1}\,\(g-f\)\(x\) \d x = \integ{0}{1}\,g\(x\) \d x - \integ{0}{1}\,f\(x\) \d x$.

Or $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$ donc

$\integ{0}{1}\,f\(x\) \d x = F\(1\)-F\(0\) = \(\e^{-1}\(-2\)+1\)-\(\e^0\(-1\)+0\)= 2-\e^{-1}$.

Cette quantité correspond à l'aire du domaine situé entre la courbe $\mathcal C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

La fonction polynôme $g$ a pour primitive la fonction $G$ définie par $G\(x\)=\dfrac{x^2}{2}+x$.
Donc $\integ{0}{1}\,g\(x\) \d x = G\(1\)-G\(0\) = \(\dfrac{1}{2}+1\)-0=\dfrac{3}{2}$.

L'aire vaut en unités d'aire: 
$\mathcal A = \dfrac{3}{2}-\(2-2\e^{-1}\)=2\e^{-1}-\dfrac{1}{2} \approx 0,236$. 		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}%   \section{exercice 3 non spé}

\textbf{ES : enseignement obligatoire -- L : enseignement de spécialité}

\medskip

Dans un pays, suite à une élection, un institut de sondage publie chaque mois la cote de popularité du président (c'est-à-dire le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable à l'action qu'il mène). Ce sondage résulte d'une enquête réalisée auprès d'un échantillon de la population du pays.

\medskip
 
Les enquêtes réalisées révèlent que d'un mois à l'autre :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 6\,\% des personnes qui étaient favorables ne le sont plus ; 
\item[$\bullet~~$] 4\,\% des personnes qui n'étaient pas favorables le deviennent.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
On interroge au hasard une personne dans la population du pays et on note :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $F_{0}$ l'évènement \og la personne interrogée a une opinion favorable dès l'élection du président \fg{} de 
probabilité $p_{0}$ et $\overline{F_{0}}$ son évènement contraire ; 
\item[$\bullet~~$] $F_{1}$ l'évènement \og la personne interrogée le 1\up{er} mois a une opinion favorable \fg{} de probabilité $p_{1}$ et $\overline{F_{1}}$ son évènement contraire.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On complète l'arbre pondéré:
		 
\begin{center}

\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2pt,levelsep=40mm]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{$F_{0}$}\taput{$p_{0}$}}
	  { 
		  \TR{$F_{1}$}\taput{\red $1-0,06=0,94$}
		  \TR{$\overline{F_{1}}$}\tbput{\red 0,06}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{F_{0}}$}\tbput{\red $1-p_0$}}
	  {
		  \TR{$F_{1}$}\taput{0,04}
		  \TR{$\overline{F_{1}}$}\tbput{\red $1-0,04=0,96$}	
	  }
}
\end{center}

\medskip
 
		\item %Montrer que $p_{1} =  0,9 p_{0} + 0,04$. 
D'après la formule des probabilités totales:
		
$p_1 = P\(F_1\)= P\(F_0 \cap F_1\) + P\(\overline{F_0} \cap F_1\)= p_0 \times 0,94 + \(1-p_0\)\times 0,04$

$\phantom{p_1} = 0,94p_0 + 0,04 -0,04p_0 = 0,9p_0 + 0,04$		
		
	\end{enumerate} 
\medskip

%\emph{Pour la suite de l'exercice, on donne $p_{0} = 0,55$ et on note, pour tout entier naturel $n,\: F_{n}$ l'évènement \og  la personne interrogée le $n$-ième mois a une opinion favorable \fg{} et $p_{n}$ sa probabilité.}
\emph{On admet de plus, que pour tout entier naturel $n,\: p_{n+1} = 0,9 p_{n} + 0,04$.} 

\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline 
\textbf{Variables :}
&$I$ et $N$ sont des entiers naturels			\\
& $P$ est un nombre réel						\\ 
\textbf{Entrée :}
&Saisir $N$										\\ 
\textbf{Initialisation:}
&$P$ prend la valeur $0,55$						\\ 
\textbf{Traitement :}
&Pour $J$ allant de $1$ à $N$					\\ 
& \hspace{1cm} $P$ prend la valeur $0,9P + 0,04$\\
& Fin Pour										\\ 
\textbf{Sortie :}
&Afficher $P$									\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire ce qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur 
Si l'utilisateur entre 1 pour valeur de $N$, on entre une fois dans la boucle et en sortie, on affiche $P$ c'est-à-dire $0,9 \times 0,55 + 0,04 = 0,535$.		
		
La valeur affichée en sortie est $P = 0,535$. 
		\item %Donner le rôle de cet algorithme.
Cet algorithme va afficher $P_N$.
		
	\end{enumerate} 

\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 
$u_{n} = p_{n} - 0,4$. 

	\begin{enumerate}

		\item %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$ et préciser la valeur de son premier terme $u_{0}$. 

$u_{n} = p_{n} - 0,4$ donc $u_0 = p_0-0,4 = 0,55-0,4 = 0,15$

$u_{n+1} = p_{n+1}-0,4 = 0,9p_n+0,04-0,4 = 0,9p_n - 0,36$.
Or $u_n = p_n-0,4$ donc $p_n = u_n+0,4$

$u_{n+1}=0,9\(u_n+0,4\)-0,36 = 0,9u_n+0,36-0,36 = 0,9u_n$ 

\smallskip

Donc la suite $\(u_n\)$ est géométrique de premier terme $u_0=0,15$ et de raison $q=0,9$.

		\item %En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ puis l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$.

D'après le cours, $u_n=u_0\times q^n=0,15 \times 0,9^n$ pour tout entier naturel $n$.

$p_n=u_n + 0,4= 0,15 \times 0,9^n + 0,4$ pour tout entier naturel $n$.
		 
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ et interpréter le résultat.

La suite $\(u_n\)$ est géométrique de raison 0,9; or $- 1 < 0,9 < 1$ donc la suite $\(u_n\)$ est convergente et a pour limite $0$.

Or $p_n=u_n + 0,4$, donc d'après les théorèmes sur les limites de suites, on peut dire que la suite $\(p_n\)$ est convergente et a pour limite $0,4$.

$p_n$ est la probabilité de l'évènement \og{}la personne interrogée le $n$-ième mois a une opinion favorable\fg{}. La suite $\(p_n\)$ a pour limite $0,4$ qui représente $40\,\%$. 

On peut interpréter ce résultat de la façon suivante :
quand le nombre de mois augmente, le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable tend vers $40\,\%$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $0,15 \times 0,9^n + 0,4 \leqslant  0,45$. 

$0,15 \times 0,9^n + 0,4 \leqslant  0,45 \ssi
0,15 \times 0,9^n  \leqslant  0,05 \ssi
0,9^n  \leqslant  \dfrac{0,05}{0,15} \ssi
0,9^n  \leqslant  \dfrac{1}{3}$

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0\,; +\infty[$ donc: 

$0,9^n  \leqslant  \dfrac{1}{3} \ssi \ln \(0,9^n\) \pp \ln\(\dfrac{1}{3}\) \ssi n\times \ln\(0,9\) \pp \ln\(\dfrac{1}{3}\)$

Or $\ln\(0,9\) <0$ donc $n\times \ln\(0,9\) \pp \ln\(\dfrac{1}{3}\) \ssi n\pg \dfrac{\ln\(\frac{1}{3}\)}{\ln\(0,9\)}$% \ssi n \pg 10,43$

		\item %Interpréter le résultat trouvé.
$\dfrac{\ln\(\frac{1}{3}\)}{\ln\(0,9\)} \approx 10,43$;
l'entier immédiatement supérieur à $10,43$ est 11 et 0,45 correspond à $45\,\%$.

On peut donc dire qu'à partir du 11\ieme{} mois, le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable est inférieur à $45\,\%$.						
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}%   \section{exercice 3 spé}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 
 
Une étude est réalisée chaque hiver sur une population composée de personnes qui peuvent pratiquer le ski de piste ou le snowboard.
 
L'étude révèle que :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item Si une personne pratique le ski de piste, alors la probabilité qu'elle pratique le snowboard l'hiver suivant est égale à $0,2$. 
\item Si une personne pratique le snowboard, alors la probabilité qu'elle pratique le ski de piste l'hiver suivant est égale à $0,3$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On note $S$ l'état : \og la personne pratique le ski de piste \fg{} et $\overline{S}$ l'état : \og la personne pratique le snowboard \fg.
 
On note également pour tout entier naturel $n$ :
 
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item $p_{n}$ la probabilité qu'une personne pratique le ski de piste lors du $n$-ième hiver ; 
\item $q_{n}$ la probabilité qu'une personne pratique le snowboard lors du $n$-ième hiver; 
\item $P_{n} = \left(p_{n}\quad  q_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste du système lors du $n$-ième hiver.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On suppose que la population initiale ne comporte que des personnes pratiquant le ski de piste, on a donc $P_{0} = (1\quad  0)$.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}%    \subsection{partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $S$ et $\overline{S}$. 

Il y a une probabilité de passer de $S$ à $\overline S$ de 0,2 donc il y a une probabilité de $1-0,2=0,8$ de rester sur le sommet $S$.

Il y a une probabilité de passer de $\overline S$ à $S$ de 0,3 donc il y a une probabilité de $1-0,3=0,7$ de rester sur le sommet $\overline S$.

On représente la situation à l'aide d'un graphe pondéré de sommets $S$ et $\overline S$:

\hspace*{1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,1.5)
\Rnode{S}{$S$} \hskip 4cm \Rnode{nonS}{$\overline S$}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{S}{nonS} \Aput{0,2}%                        arc pondéré partant de S
\ncarc{->}{nonS}{S} \Aput{0,3}%                        arc pondéré arrivant à S
\nccircle[angleA=90]{->}{S}{4mm}   \Bput{0,8}%         boucle autour de S
\nccircle[angleA=-90]{->}{nonS}{.4cm} \Bput{0,7}%      boucle autour de S barre
\end{pspicture}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la matrice de transition $M$ de ce graphe probabiliste. 
La matrice de transition $M$ est une matrice carrée $2\times 2$ telle que

$\begin{pmatrix} p_{n+1} & q_{n+1} \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} p_{n} & q_{n} \end{pmatrix} \times M$

D'après le graphe, on peut écrire:
$\left\lbrace 
\begin{array}{@{} l @{\ =\ } l}
p_{n+1} & 0,8p_n + 0,3 q_n\\
q_{n+1} & 0,2p_n + 0,7q_n
\end{array}
\right. 
$

et donc 
$M = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,3 & 0,7 \end{pmatrix}$

		\item %Calculer $M^2$. 
$M^2 = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,3 & 0,7 \end{pmatrix} \times 
\begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,3 & 0,7 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0,8\times 0,8 + 0,2\times 0,3 & 0,8\times 0,2 + 0,2\times 0,7 
\\ 0,3\times 0,8 + 0,7\times 0,3   & 0,3\times 0,2 + 0,7 \times 0,7 \end{pmatrix}\\
\phantom{M^2} = \begin{pmatrix} 0,64+0,06 & 0,16+0,14 \\ 0,24+0,21 & 0,06+0,49 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,45 & 0,55 \end{pmatrix}$				
		\item %Déterminer l'état probabiliste $P_{2}$.
$P_2= \begin{pmatrix} p_{2} & q_{2} \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} p_{1} & q_{1} \end{pmatrix} \times M$;
or $\begin{pmatrix} p_{1} & q_{1} \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} p_{0} & q_{0} \end{pmatrix} \times M$; donc\\
$P_2 = \begin{pmatrix} p_{0} & q_{0} \end{pmatrix} \times M^2 =
\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,45 & 0,55 \end{pmatrix} \\
\phantom{P_2} =
\begin{pmatrix} 1\times 0,7 + 0\times 0,45 & 1\times 0,3 + 0 \times 0,55  \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3  \end{pmatrix}$
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $p_{n+1} = 0,5 p_{n} + 0,3$. 
On a vu que $p_{n+1}=0,8p_n+0,3q_n$; or $q_n=1-p_n$, donc 

$p_{n+1}= 0,8p_n + 0,3\(1-p_n\)= 0,8p_n +0,3 - 0,3p_n=0,5p_n+0,3$. 

\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline 
\textbf{Variables :}&\\
\textcircled{1}&$J$ et $N$ sont des entiers naturels\\ 
\textcircled{2}&$p$ est un nombre réel\\ 
\textbf{Entrée :}&\\
\textcircled{3}& 	Saisir $N$\\ 
\textbf{Initialisation :}&\\
\textcircled{4}&$p$ prend la valeur 1\\ 
\textbf{Traitement :}&\\
\textcircled{5}&Pour $J$ allant de $1$ à $N$\\ 
\textcircled{6}&\hspace{0.75cm}$p$ prend la valeur \dotfill.\\ 
\textcircled{7}&Fin Pour\\ 
\textbf{Sortie :}&\\
\textcircled{8}&Afficher $p$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Recopier et compléter la ligne $\textcircled{6}$ de cet algorithme afin d'obtenir la probabilité $p_{N}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}%    \subsection{partie B}

\medskip
 
On considère, pour tout entier naturel $n$, l'évènement $S_{n}$ : \og la personne pratique le ski de piste lors du $n$-ième hiver \fg. La probabilité de l'évènement $S_{n}$ est notée $p\left(S_{n}\right)$. On a donc $p_{n} = p\left(S_{n}\right)$.
 
On sait d'après la \textbf{partie A} que pour tout entier naturel $n,\: p_{n+1} = 0,5p_{n} + 0,3$.
 
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = p_{n} - 0,6$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$ et préciser la valeur de $u_{0}$. 
On sait que $u_n=p_n-0,6$ donc $p_n=u_n+0,6$.

$u_{n+1} = p_{n+1}-0,6 = 0,5p_n+0,3-0,6 = 0,5\(u_n+0,6\)-0,3 = 0,5u_n +0,3 - 0,3$ ;

$u_{n+1} = 0,5u_n$.

$u_0 = p_0-0,6 = 1-0,6 = 0,4$.

Donc la suite $\(u_n\)$ est une suite géométrique de raison $q=0,5$ et de premier terme $u_0=0,4$.
\item %En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ puis l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$. 
$\(u_n\)$ est une suite géométrique de raison $q=0,5$ et de premier terme $u_0=0,4$ donc, d'après le cours, $u_n=u_0\times q^n = 0,4 \times 0,5^n$ pour tout entier naturel $n$.

$p_n=u_n+0,6= 0,4 \times 0,5^n +0,6$ pour tout entier naturel $n$.
\item %Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ et interpréter le résultat.
La suite $\(u_n\)$ est géométrique de raison $0,5$; or $-1<0,5<1$ donc la suite $\(u_n\)$ est convergente et a pour limite $0$.

Or $p_n=u_n+0,6$ donc, d'après les théorèmes sur les limites de suite, on peut dire que la suite $\(p_n\)$ est convergente et a pour limite $0,6$.

Le nombre $p_n$ désigne la probabilité qu'une personne pratique le ski lors du $n$-ième hiver; cette probabilité tend vers $0,6$. Cela veut dire que le nombre de personnes pratiquant le ski de piste tend à se rapprocher de $60\,\%$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}%    \subsection{partie C}

\medskip

Une partie du domaine skiable est représentée par le graphe ci-dessous.
% 
%Le sommet A représente le haut des pistes de ski et le sommet I en représente le bas.
%
%Les sommets B, C, D, E, F, G et H représentent des points de passages.
% 
%Chacune des arêtes est pondérée par la distance, en centaine de mètres, entre deux sommets.

\begin{center} 
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(13,11.5)
\cnodeput(0.3,8){A}{A}
\cnodeput(4.8,10.8){B}{B}\cnodeput(12.3,8.3){C}{C}
\cnodeput(11.4,3.6){D}{D}\cnodeput(1.8,4.1){E}{E}
\cnodeput(5.5,6.2){F}{F}\cnodeput(9.3,0.8){G}{G}
\cnodeput(6.4,3.7){H}{H}\cnodeput(4,0.4){I}{I}
\ncline{A}{B}\ncput*{7}\ncline{B}{C}\ncput*{13}\ncline{C}{D}\ncput*{12}\ncline{D}{G}\ncput*{5}
\ncline{G}{I}\ncput*{7}\ncline{I}{E}\ncput*{18}\ncline{A}{E}\ncput*{21}\ncline{C}{A}\ncput*{16}\ncline{E}{F}\ncput*{5}
\ncline{F}{C}\ncput*{8}\ncline{B}{D}\ncput*{18} 
\ncline{H}{D}\ncput*{6}\ncline{H}{E}\ncput*{12}
\ncline{H}{I}\ncput*{19}\ncline{H}{G}\ncput*{13}
\ncline{B}{E}\ncput*{15}\ncline{F}{H}\ncput*{7}
\ncline{F}{B}\ncput*{8}
\end{pspicture}
\end{center} 

On détermine, à  l'aide de l'algorithme de Dijkstra, la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I. 

\bigskip

{\small 
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|c|*{9}{c|}}
\hline
 A & B & C & D & E & F & G & H & I &on garde\\\hline
 \fcolorbox{yellow}{yellow}{0} & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & A \\\hline
  & \fcolorbox{yellow}{yellow}{7(A)} & 16 (A) & $\infty$ & 21(A) & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & B\\\hline
  &  & 20(B) & 25(B) & \sout{22(B)} & \fcolorbox{yellow}{yellow}{15(B)} & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  \\
  &  &  &  & 21(A) & & & & &  F \\
\hline
 & & \sout{23(F)} & 25(B) & \sout{21(A)} & & $\infty$ & 22(F) & $\infty$ &   \\
 & & \fcolorbox{yellow}{yellow}{20(B)} & & 20(F) & & &  & & C \\ 
\hline
 & &  & \sout{32(C)} & \fcolorbox{yellow}{yellow}{20(F)} & &$\infty$ & 22(F) & $\infty$ &  \\
  & &  & 25(B) &  & & &  &  & E \\
\hline
 & & & 25(B) & & & $\infty$ & \sout{32(E)} & 38(E) &  \\
 & & &  & & &  & \fcolorbox{yellow}{yellow}{22(F)} &  & H \\
\hline
 & & & \sout{28(H)}& & & 35(H) &  & \sout{41(H)} &  \\
 & & & \fcolorbox{yellow}{yellow}{25(B)} & & & &  & 38(E) & D \\
\hline
% & & & & & & \sout{45(H)} & & \sout{51(H)}&  \\
 & & & & & & \sout{35(H)} & & 38(E) &  \\
 & & & & & & \fcolorbox{yellow}{yellow}{30(D)} & &  & G  \\
\hline
 & & & & & & & & \sout{38(E)}&  \\
 & & & & & &  & & \fcolorbox{yellow}{yellow}{37(G)} &  I \\
\hline
\end{tabular}
}

\medskip

Le plus court trajet pour aller de A à  I a une longueur de 37 et se décompose ainsi: \\[5pt]
A $\stackrel{7}{\longrightarrow}$ B $\stackrel{18}{\longrightarrow}$ D $\stackrel{5}{\longrightarrow}$ G $\stackrel{7}{\longrightarrow}$ I

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}%   \section{exercice 4}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%\emph{Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à  $10^{-3}$ près. 
%Les parties A et B sont indépendantes.}
%
%\medskip
 
Dans un cabinet d'assurance, une étude est réalisée sur la fréquence des sinistres déclarés par les clients ainsi que leur coût.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}% \subsection{partie A}

\medskip
 
Une enquête affirme que 30\,\% des clients ont déclaré un sinistre au cours de l'année.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans le cadre d'une étude approfondie, on choisit au hasard et de manière indépendante 15 clients.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l'année. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que la loi de probabilité de $X$ est la loi binomiale de paramètres $n = 15$ et $p = 0,3$. 
Comme $30\,\%$ des clients ont déclaré un sinistre au cours de l'année, la probabilité qu'une personne déclare un sinistre est $0,3$.

Choisir au hasard et de manière aléatoire 15 clients, revient à  extraire 15 noms avec remise et de manière indépendante.

Donc la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l'année suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,3$.
		
		\item %Calculer $P(X \geqslant 1)$.
Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B\(n\,, p\)$, alors
$P\(X=k\)=\ds\binom{n}{k}\,p^k\(1-p\)^{n-k}$.

L'évènement $\(X \pg 1\)$ est l'évènement contraire de $\(X < 1\)$ donc

$P\(X\pg 1\) = 1-P\(X<1\) = 1-P\(X=0\)$.

$P\(X = 0\) =\ds\binom{15}{0}\,0,3^{\,0}\,0,7^{\,15} \approx 0,005$ ; donc $P\(X \pg 1\) \approx 1 - 0,005 \approx 0,995$.

	\end{enumerate} 
\item %Un expert indépendant interroge un échantillon de $100$ clients choisis au hasard dans l'ensemble des clients du cabinet d'assurance. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l'année. 
Pour $n$ assez grand, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ est

$I=\left[ p-1,96\dfrac{\sqrt{p\(1-p\)}}{\sqrt{n}}\;;\, p+1,96\dfrac{\sqrt{p\(1-p\)}}{\sqrt{n}} \right]$ où $p$ désigne la proportion dans la population.

$n = 100$ et $p = 0,3$ donc

$I=\left[ 0,3-1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,3\(1-0,3\)}}{\sqrt{100}}\;;\, 0,3 +1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,3\(1-0,3\)}}{\sqrt{100}} \right] 
\approx \left[ 0,210\;;\,0,390\right]$
		\item L'expert constate que $19$ clients ont déclaré un sinistre au cours de l'année, ce qui fait une proportion de $\dfrac{19}{100}=0,19$.
		
Or $0,19 \not\in I$ donc on peut dire que l'affirmation du cabinet d'assurance, \og{}30\,\% des clients ont déclaré un sinistre au cours de l'année\fg{}, ne peut pas être validée par l'expert.
%Déterminer, en justifiant, si l'affirmation du cabinet d'assurance : \og{}30\,\% des clients ont déclaré un sinistre au cours de l'année \fg{} peut être validée par l'expert.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}% \subsection{partie B}

\medskip
 
 
%On s'intéresse dans cette question au coût des sinistres de faible gravité sur le deuxième semestre de l'année.
 
On note $Y$ la variable aléatoire donnant le coût, en euros, des sinistres de faible gravité sur le deuxième semestre de l'année;
on admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance $\mu = \np{1200}$ et d'écart-type $\sigma = 200$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité qu'un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre \np{1000}~\euro{} et \np{1500}~\euro. 
Dans cette question, on cherche $P\(\np{1000} \pp Y \pp \np{1500}\)$;
la calculatrice donne $0,775$ comme résultat arrondi à  $10^{-3}$. 

La probabilité qu'un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre \np{1000}~\euro{} et \np{1500}~\euro{} est de $0,775$.

\item %Calculer la probabilité qu'un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à  \np{1000}~\euro.
Dans cette question, on cherche $P\(Y > \np{1000}\)$ qui est égal à  $1 - P\(0 \pp Y \pp \np{1000}\)$ car le sinistre ne peut pas avoir un coût négatif.

La calculatrice donne $P\(0 \pp Y \pp \np{1000}\) \approx 0,159$ donc la probabilité qu'un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à  \np{1000}~\euro{} est $1-0,159 = 0,841$.
\end{enumerate} 
\end{document}