\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{colortbl} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès et François Hache %Relecture : François Hache et Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \headheight15 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \def\e{\text{e}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat spécialité}, %pdftitle = {Amérique du Sud 13 novembre 2025}, %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité Jour 2} \lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{14 novembre 2025}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Amérique du Sud 14 novembre 2025~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Jour 2}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\Large Exercice 1 \hfill 6 points} \medskip \emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près en cas de besoin.\\ Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l'une de l'autre.} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle. En match, Abel réussit son premier service dans 70\,\% des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80\,\% des cas. En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans 45\,\% des cas. %\medskip Abel est au service. \begin{list}{\textbullet}{On considère les évènements suivants:} \item $S$ : \og Abel réussit son premier service \fg{}; \item $G$ : \og Abel gagne le point \fg. \end{list} %\medskip \begin{enumerate} \item $\overline{S}$ est l'événement: \og Abel ne réussit pas son premier service. \fg{}. On traduit la situation par un arbre pondéré. \begin{center} %\bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=2.5cm,treesep=1cm]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$S$}\naput{$0,7$}} { \TR{$G$}\naput{$0,8$} \TR{$\overline{G}$}\nbput{$0,2$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{S}$}\nbput{$0,3$}} { \TR{$G$}\naput{$0,45$} \TR{$\overline{G}$}\nbput{$0,55$} } } %\bigskip \end{center} \item $P\left (S \cap G\right ) = P\left (S\right ) \times P_{S}\left (G\right ) = 0,7\times 0,8 = 0,56$ \item %Justifier que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $0,695$. $\left \{ S\,,\, \overline{S}\strut \right \}$ forme une partition de l'univers donc, d'après la formule des probabilités totales, on a: $P\left (G\right ) = P\left (S\cap G\right ) + P \left (\overline{S}\cap G\right ) = 0,56 + 0,3\times 0,45 = 0,695$ \item Abel a gagné le point. La probabilité qu'il ait réussi son premier service est: $P_{G}\left (S\right ) = \dfrac{P\left (S\cap G \right )}{P\left (G\right )}=\dfrac{0,56}{0,695}\approx 0,806$ \item %Les évènements $S$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier. \begin{list}{\textbullet}{On a:} \item $P\left (S\cap G\right )=0,56$ \item $P\left (S\right )\times P\left (G\right ) = 0,7 \times 0,695 = \np{0,4865}$ \end{list} $P\left (S\cap G\right ) \neq P\left (S\right )\times P\left (G\right )$ donc les événements $S$ et $G$ ne sont pas indépendants. \end{enumerate} \newpage \textbf{Partie B} \medskip À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85\,\% des cas. %\medskip \begin{enumerate} \item On teste successivement $20$~balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les $20$ testées. \begin{enumerate} \item %Quelle est la loi suivie par $X$ et quels sont ses paramètres ? Justifier. L'épreuve élémentaire consiste à voir si une balle est conforme, avec une probabilité de $0,85$, ou si elle ne l'est pas. On exécute cette épreuve élémentaire 20 fois et on considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. Donc la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de balles conformes parmi les $20$ testées, suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,85$. \item À la calculatrice, $P\left (X \leqslant 18\right ) \approx 0,824$. \item La probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les $20$ balles testées est égale à la probabilité qu'au plus 18 balles soient conformes, c'est-à-dire $P\left (X\leqslant18\right )$ soit environ $0,824$. \item L'espérance de $X$ est $E(X)=np=20\times 0,85=17$. \end{enumerate} \item On teste maintenant $n$ balles successivement. On considère les $n$ tests comme un échantillon de $n$ variables aléatoires $X$ indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $0,85$. On considère la variable aléatoire $M_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{X_i}{n} = \dfrac{X_1}{n} + \dfrac{X_2}{n} + \dfrac{X_3}{n} + \ldots + \dfrac{X_n}{n}$ \begin{enumerate} \item %Déterminer l'espérance et la variance de $M_n$. D'après le cours, on peut dire que les $n$ variables aléatoires $X$ indépendantes qui suivent la loi de Bernoulli de paramètre $p=0,85$ ont pour espérance $p=0,85$ et pour variance $p\left (1-p\right )=0,85\times 0,15=\np{0,1275}$. \begin{list}{\textbullet}{Soit $S_n$ la loi somme définie par $S_n=X_1+X_2+X_3+ \cdots + X_n = \ds\sum_{i=1}^n X_i$.} \item D'après la linéarité de l'espérance, on a: $E\left (S_n\right )= E\left (\ds\sum_{i=1}^n X_i \right ) = \ds\sum_{i=1}^n E\left (X_i\right ) = \ds\sum_{i=1}^n 0,85=0,85n$ \item Les variables $X_i$ étant indépendantes, on utilise l'additivité de la variance: $V\left (S_n\right )= V\left (\ds\sum_{i=1}^n X_i \right ) = \ds\sum_{i=1}^n V\left (X_i\right ) = \ds\sum_{i=1}^n \np{0,1275}=\np{0,1275}n$ \end{list} %%%% On utilise les formules: $E(aX)=aE(X)$ et $V(aX)=a^2V(X)$. \begin{list}{\textbullet}{$M_n$ est la loi moyenne définie par $M_n=\dfrac{S_n}{n}$.} \item On sait que $E(aX)=aE(X)$, donc: $E\left (M_n\right )=E\left (\dfrac{1}{n}S_n\right ) = \dfrac{1}{n} \; E\left (S_n\right ) = \dfrac{0,85n}{n}=0,85$. \item On sait que $V(aX)=a^2V(X)$ donc: $V\left (M_n\right )=V\left (\dfrac{1}{n}S_n\right ) = \dfrac{1}{n^2} \; V\left (S_n\right ) = \dfrac{\np{0,1275}n}{n^2}= \dfrac{\np{0,1275}}{n}$. \end{list} \item %Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $P(0,75 < M_n < 0,95) \geqslant 1 - \dfrac{12,75}{n}$. Si $X$ est une variable aléatoire et $t$ un réel strictement positif, on a: $P\left ( \left | X-E(X)\strut \right | \geqslant t\right ) \leqslant \dfrac{V(X)}{t^2}$. C'est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. On en déduit que: $P\left ( \left | X-E(X)\strut \right | < t\right ) \geqslant 1- \dfrac{V(X)}{t^2}$. Donc: $\aligned P\left ( \left | X-E(X)\strut \right | < t\right ) \geqslant 1- \dfrac{V(X)}{t^2} & \iff P\left ( \left | M_n-E(M_n)\strut \right | < t\right ) \geqslant 1- \dfrac{V(M_n)}{t^2}\\ & \iff P\left ( \left | M_n-0,85\strut \right | < t\right ) \geqslant 1- \dfrac{\np{0,1275}}{nt^2} \endaligned$ \begin{list}{\textbullet}{On prend $t=0,1$. On a donc:} \item $\aligned[t] \left | M_n-0,85\strut \right | < t & \iff \left | M_n-0,85\strut \right | < 0,1 \iff -0,1 < M_n-0,85< 0,1\\ & \iff 0,75 < M_n < 0,95 \endaligned$ \item $1- \dfrac{\np{0,1275}}{nt^2} = 1- \dfrac{\np{0,1275}}{n\times 0,1^2} = 1- \dfrac{12,75}{n}$ \end{list} On déduit donc: $P(0,75 < M_n < 0,95) \geqslant 1 - \dfrac{12,75}{n}$. \item Pour trouver un entier $n$ tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $n$ appartienne à l'intervalle ]0,75~;~0,95 [ avec une probabilité supérieure à $0,9$, il suffit que: $1 - \dfrac{12,75}{n}\geqslant 0,9$. On résout cette inéquation. $1 - \dfrac{12,75}{n}\geqslant 0,9 \iff 0,1\geqslant \dfrac{12,75}{n} \iff 0,1n \geqslant 12,75 \iff n \geqslant 127,5$ Donc il faut un échantillon de taille supérieure à $n=128$ pour que la moyenne du nombre de balles conformes appartenant à l'intervalle $]0,75~;~0,95[$ ait une probabilité supérieure à $0,9$ \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\Large Exercice 2 \hfill4points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n'est demandée. \medskip \emph{Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point.\\ Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \medskip Dans toutes les questions suivantes, l'espace est rapporté à un repère orthonormé. \medskip \begin{enumerate} \item %On considère la droite $\Delta_1$ de représentation paramétrique %$\left\{\begin{array}{l c l} %x &=& 1 - 3t\\ %y &=& 4 + 2t\\ %z &=&\phantom{4 +2}t %\end{array}\right.$, où $t \in \R$ %ainsi que la droite $\Delta_2$ de représentation paramétrique %$\left\{\begin{array}{l c l} %x& =& -4 + \phantom{2}s\\ %y& =& \phantom{-}2 + 2s\\ %z& =& - 1 + \phantom{2}s %\end{array}\right.$, où $s \in \R$. %\begin{enumerate} %\item Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont parallèles. %\item Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont orthogonales. %\item Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont sécantes. %\end{enumerate} $\bullet~~$ $\Delta_1$ a pour vecteur directeur $\delta_1\begin{pmatrix}-3\\2\\1\end{pmatrix}$ et $\Delta_2$ a pour vecteur directeur $\delta_2\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ : les premières coordonnées ne sont pas égales, les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ ne sont pas parallèles ; %$\bullet~~$ On a $\delta_1 \cdot \delta_2 = -3 \times 1 + 2 \times 2 + 1 \times 1 = 2 \ne 0$ : les vecteurs directeurs ne sont pas orthogonaux, les droites ne sont pas perpendiculaires. % %$\bullet~~$Si les droites sont sécantes les coordonnées de leur point commun vérifient le système : % %$\left\{\begin{array}{l c l} %1 - 3t &=&-4 + s\\ %4 + 2t &=&2 + 2s\\ %t &=&- 1 + s %\end{array}\right.$ %En remplaçant $t$ par $- 1 + s$ dans les deux premières équations on obtient : % %$\left\{\begin{array}{l c l} %1 + 3 - 3s&=&-4 + s\\ %4 - 2 + 2s&=&2 + 2s\\ %t&=&- 1 + s %\end{array}\right.$, soit %$\left\{\begin{array}{l c l} %1 + 3 - 3s&=&-4 + s\\ %4 + - 2 + 2s&=&2 + 2s\\ %t&=&- 1 + 2s %\end{array}\right. \iff %\left\{\begin{array}{l c l} %8&=&4s\\ %2 + 2s &=&2 + 2s\\ %t&=&- 1 + 2s %\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} %2&=&s\\ %2 + 2s &=& 2 + 2s\\ %t&=&- 1 + 2s %\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l} %2&=&s\\ %2 + 2s &=& 2 + 2s\\ %t&=&-1 %\end{array}\right.$ En remplaçant respectivement dans les équations paramétriques $s$ par 2 et $t$ par 1, on trouve que le point de coordonnées $(-2~;~6~;~1)$ appartient bien aux deux droites. \item %On considère la droite $d$ de représentation paramétrique %$\left\{\begin{array}{l c l}x&=&1 + \phantom{2}t\\ %y &=& 3 - \phantom{2}t\\ %z &=& 1 + 2t %\end{array}\right.$, où $t \in R$, %et le plan $P$ d'équation cartésienne : $4x + 2y - z + 3 = 0.$ \begin{enumerate} \item %La droite $d$ est incluse dans le plan $P$. $M(x = 1 + 2t~;~y = 3 - t~;~z = 1 + 2t) \in d$ appartient à $P$ si ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de $P$, donc si $4(1 + t) + 2(3 - t) -(1 + 2t) + 3 = 0 \iff 4 + 4t + 6 - 2t - 1 - 2t + 3 = 0 \iff 0t + 12 = 0 \iff 0t = -12$ : cette équation n'a pas de solution : cela signifie que la droite $d$ est parallèle strictement au plan $P$. % \item %La droite $d$ est parallèle strictement au plan $P$. % \item %La droite $d$ est sécante au plan $P$. \end{enumerate} \item On considère les points A(3~;~2~;~1), B(7~;~3 ~;~1), C$(-1~;~4~;~5)$ et D$(- 3~;~3~;~5)$. Commençons par la deuxième affirmation : on a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}, \: \vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}-4\\2\\4\end{pmatrix}$ : ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés. $\vect{\text{CD}}\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix}$ : ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Il reste donc la première affirmation que l'on peut démontrer : A, B, C et D sont coplanaires, c'est-à-dire si par exemple D appartient au plan (ABC) et dans ce cas si $\vect{\text{AD}} = x\vect{\text{AB}} + y\vect{\text{AC}}$, avec $x \in \R,\: y \in \R$ (car $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ ne sont pas des vecteurs colinéaires. Avec $\vect{\text{AD}}\begin{pmatrix}-6\\1\\4\end{pmatrix}$, l'égalité vectorielle précédente se traduit par le système : $\left\{\begin{array}{l c r} -6&=&4x - 4y\\ 1&=&x + 2y\\ 4 &=& 4y \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r} -6&=&4x - 4\\ 1&=&x + 2\\ 1 &=& y \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r} -2&=&4x\\ -1&=&x\\ 1 &=& y \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r} -\frac12&=&x\\ -1&=&x\\ 1 &=& y \end{array}\right.$ Ce système n'a pas de solution. Donc le point D n'appartient pas au plan défini par les points A, B et C ou encore A, B, C et D ne sont pas coplanaires. % \end{enumerate} \item %On considère les plans $Q$ et $Q'$ d'équation cartésienne respective $3x - 2y + z + 1 = 0$ et $4x + y - z + 3 = 0$. \begin{enumerate} \item %Le point R$(1~;~1~;~-2)$ appartient aux deux plans. R$(1~;~1~;~-2) \in (Q) \iff 3 \times 1 + -2 \times1 - 2 +1 = 0 \iff 3 - 2 - 2 + 1 = 0$ qui est vraie ; R$(1~;~1~;~-2) \in (Q') \iff 4 \times 1 + 1 \times 1 - (- 2) + 3 = 0 \iff 10 = 0$ qui est fausse : la première affirmation est fausse ; \item %Les deux plans sont orthogonaux. $(Q)$ a pour vecteur normal $\vect{q}\begin{pmatrix}3\\- 2\\1\end{pmatrix}$ ; $(Q')$ a pour vecteur normal $\vect{q'}\begin{pmatrix}4\\1\\- 1\end{pmatrix}$ ; $\vect{q} \cdot \vect{q'} = 3 \times 4 -2 \times 1 + 1 \times (-1) = 12 - 2 - 1 = 9 \ne 0$ : les vecteurs normaux ne sont pas orthogonaux, les plans $(Q)$ et $(Q')$ ne sont pas perpendiculaires. \item %Les deux plans sont sécants avec pour intersection la droite de représentation %paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} %x&=& \phantom{17}t\\ %y& =& \phantom{1}7t + 4 \\ %z& =& 11t + 7 %\end{array}\right.$, où $t \in \R$. Les points communs aux deux plans sont les points dont les coordonnées vérifient les équations de ces deux plans donc le système : $\left\{\begin{array}{l cl} 3x - 2y + z + 1 &=& 0\\ 4x + y - z + 3 &=& 0 \end{array}\right.$ On peut poser $x = t$, avec $t \in \R$ et on obtient le système aux deux inconnues $y$ et $z$ suivant : $\left\{\begin{array}{l cl} x&=&t\\ 3x - 2y + z + 1 &=& 0\\ 4x + y - z + 3 &=& 0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l cl} x&=&t\\ -2y + z &=& - 3t - 1\\ \phantom{- 2}y - z &=& - 4t - 3 \end{array}\right. $ La somme membre à membre des deux dernières équations donne $-y =- 7t - 4 = 0 \iff y = 7t + 4 $ ; enfin la deuxième équation $-2y + z = - 3t - 1$ donne $z = 2y - 3t - 1 = 2(7t + 4) - 3t - 1 = 14t + 8 - 3t - 1 = 11t + 7$. \end{enumerate} Conclusion : les points communs aux deux plans sont les points dont les coordonnées vérifient le système : $\left\{\begin{array}{l c l} x&=& \phantom{17}t\\ y& =& \phantom{1}7t + 4 \\ z& =& 11t + 7 \end{array}\right.$, où $t \in \R$ : c'est l'équation de la droite contenant le point K(0~;~4~;~7) et dont un vecteur directeur est le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix} 1\\7\\11\end{pmatrix}$. : la troisième affirmation est vraie. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\Large Exercice 3 \hfill 4 points} \medskip On considère les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : \[ \left\{\begin{array}{l c l} v_0 &=& \ln (4)\\ v_{n+1} &=& \ln \left(- 1 +2\e^{v_n}\right) \end{array}\right. \qquad \text{et} \qquad w_n = (- 1 + \e^{v_n}.\] On admet que la suite $(v_n)$ est bien définie et strictement positive. %\medskip % %\begin{minipage}{0.6\linewidth} %\begin{enumerate} %\item Donner les valeurs exactes de $v_1$ et $w_0$. %\item % \begin{enumerate} % \item Une partie d'une feuille de calcul où figurent les indices et %les termes des suites $(v_n)$ et $(w_n)$ est reproduite ci-contre. % %Parmi les trois formules ci-dessous, choisir la formule qui, %saisie dans la cellule B3 puis recopiée vers le bas, permettra %d'obtenir les valeurs de la suite $(v_n)$ dans la colonne B. % %\begin{tabular}{|l |l|}\hline %Formule 1 &LN($-1 + 2$ * EXP(B2))\\ \hline %Formule 2 &= LN($-1 + 2$ * EXP(B2))\\ \hline %Formule 3 &= LN($-1 + 2$ * EXP(A2))\\ \hline %\end{tabular} % \item Conjecturer le sens de variation de la suite $(v_n)$. % \item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, valider votre %conjecture concernant le sens de variation de la suite $(v_n)$. % \end{enumerate} %\end{enumerate} %\end{minipage} \hfill %\begin{minipage}{0.36\linewidth} %{\small\begin{tabular}{c |c|c|c}\hline % &A &B &C\\ \hline %1 &$n$&$v_n$& $w_n$\\ \hline %2&0 & 1,38629436 &3\\ \hline %3& 1& 1,94591015 &6\\ \hline %4& 2& 2,56494936 &12\\ \hline %5& 3& 3,21887582 &24\\ \hline %6& 4& 3,8918203 &48\\ \hline %7& 5& 4,57471098 &96\\ \hline %8& 6& 5,26269019 &192\\ \hline %9& 7& 5,95324333 &384\\ \hline %10& 8& 6,6450909 7 &768\\ \hline %11& 9& 7,33758774 &1536\\ \hline %12& 10& 8,03040956 &3072\\ \hline %13& 11& 8,72339402 &6144\\ \hline %14& 12& 9,41645983 &12288\\ \hline %15& 13& 10,1095663 &24576\\ \hline %16& 14& 10,8026932 &49152\\ \hline %17& 15& 11,4958302&98304\\ \hline %18& 16& 12,1889723&196608\\ \hline %19& 17&12,8821169& 393216\\ \hline %\end{tabular}} %\end{minipage} % %\begin{enumerate}[start=3] %\item % \begin{enumerate} % \item Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique. % \item En déduire que pour tout entier naturel $n, \: v_n = \ln \left(1 + 3 \times 2^n\right)$. % \item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$. % \end{enumerate} %\item Justifier que l'algorithme suivant écrit en langage Python renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur du nombre S. % %\begin{center} %\begin{ttfamily} %\begin{tabular}{|l|}\hline %from math import*\\ %def seuil(S):\\ %\qquad V=ln(4)\\ %\qquad n=0\\ %\qquad while V < S :\\ %\qquad \quad n=n+1\\ %\qquad \quad V=ln(2*exp(V)-1)\\ %\qquad return(n)\\ \hline %\end{tabular} %\end{ttfamily} %\end{center} %\end{enumerate} \begin{enumerate} \item $\bullet~~$$v_1 = \ln \left(- 1 + 2\e^{v_0}\right) = \ln \left(- 1 + 2\e^{\ln 4}\right) = \ln (- 1 + 2 \times 4) = \ln (- 1 + 8) = \ln 7$ (valeur approchée ligne 4 colonne 3) $\bullet~~$$w_0 = - 1 + \e^{v_0} = - 1 + \e^{\ln 4} = - + 4 = 3$ (valeur ligne 3 colonne 4) \item \begin{enumerate} \item Il faut saisir la formule 2. \item On peut penser que la suite $(v_n)$ est croissante \item Démonstration par récurrence : \emph{Initialisation} : on a $v_0 = \ln 4$ et $v_1 = \ln 7$ : la croissance de la fonction ln assure que $v_0 < v_1$. \emph{Hérédité} : on suppose que pour $n \in \N, \:v_n < v_{n+1}$, alors : $\e^{v_n} < \e^{v_{n+1}}$ par croissance de la fonction exponentielle $2\e^{v_n} < 2\e^{v_{n+1}}$ la multiplication par $+ 2$ respecte l'ordre $- 1 + 2\e^{v_n} < - 1 + 2\e^{v_{n+1}}$ l'addition respecte l'ordre $\ln \left(- 1 + 2\e^{v_n}\right) < \ln \left(- 1 + 2\e^{v_{n+1}}\right)$ par croissance de la fonction logarithme népérien (on a supposé que la suite $(v_n)$ est bien définie donc que tous les nombres de la forme $- 1 + 2\e^{v_n}$ sont supérieurs à zéro) ; soit finalement $v_{n+1} < v_{n+2}$ : l'inégalité est vraie au rang $n + 1$. Conclusion : l'inégalité est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n \in \N$ elle l'est aussi au rang suivant : d'après le principe de récurrence : \begin{center} quel que soit $n \in \N, \quad v_n < v_{n+1}$ \end{center} La suite $(v_n)$ est croissante. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quel que soit $n \in \N$, \: $w_n = - 1 + \e^{v_n}$, donc $w_{n+1} = - 1 + \e^{v_{n+1}} = - 1 + \e^{\ln \left(- 1 + 2\e^{v_n}\right)} = - 1 - 1 + 2\e^{v_n} = -2 + 2\e^{v_n} = 2\left(- 1 + \e^{v_n}\right)$ : finalement Quel que soit $n \in \N$, \quad $w_{n+1} = 2w_n$ : cette égalité montre que la suite $w_n$ est géométrique de raison 2 avec pour premier terme $w_0 = 3$. \item On sait qu'alors le terme général $w_n$ est égal à : \begin{center} $w_n = 3 \times 2^n$ \end{center} Or par définition $w_n = - 1 + \e^{v_n} = 3 \times 2^n \iff \e^{v_n} = 1 + 3 \times 2^n$. Par croissance de la fonction logarithme népérien : $v_n = \ln \left( 1 + 3 \times 2^n\right)$ pour tout entier naturel. \item On sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 2^n = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 3 \times 2^n = + \infty$, puis $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 1 + 3 \times 2^n = + \infty$ et enfin $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \ln \left(1 + 3 \times 2^n\right)= + \infty$. Conclusion : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = + \infty$. \end{enumerate} \item L'algorithme permet de calculer les termes de la suite $v_n$ à partir de $v_0$. On vient de démontrer que la suite $(v_n)$ n'est pas majorée. Donc quel que soit le choix du nombre $S$, il existe un rang $p$, tel que $v_p > S$ et l'algorithme donnera ce rang $p$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\Large Exercice 4 \hfill 6 points} \medskip \textbf{Partie A : dénombrement} On considère l'ensemble des nombres entiers relatifs \textbf{non nuls} compris entre $- 30$ et $30$ ; cet ensemble peut s'écrire ainsi : \{$- 30~;~- 29~;~- 28~;~ ... - 1~;~1~;~ ... ~;~ 28~;~29~;~30$\}. Il comporte 60 éléments. On choisit dans cet ensemble successivement et sans remise un entier relatif $a$ puis un entier relatif $c$. \medskip \begin{enumerate} \item %Combien de couples $(a~;~ c)$ différents peut-on ainsi obtenir ? On peut choisir comme premier terme du couple entre 60 entiers ; comme il n'y a pas de remise (???) et que $(a~;~b) \ne (b~;~a)$, le deuxième terme peut être choisi entre 59 entiers. On peut donc obtenir $60 \times 59 = \np{3540}$ couples différents. \end{enumerate} %On considère l'évènement $M$ : \og l'équation $ax^2 + 2x + c = 0$ possède deux solutions réelles distinctes \fg, où $a$ et $c$ sont les entiers relatifs précédemment choisis. \begin{enumerate}[resume] \item %Montrer que l'évènement $M$ a lieu si et seulement si $ac < 1$. L'équation a deux racines si le déterminant est supérieur à zéro, donc si : $\Delta = 4 - 4ac > \iff (4(1 - ac) > \iff 1 - ac > 0 \iff ac < 1$. \item %Expliquer pourquoi l'évènement contraire $\overline{M}$ comporte \np{1740} issues. Il faut donc trouver le nombre de couples vérifiant $ac \geqslant 1$, mais en fait $ac > 1$ puisque l'on ne peut avoir $(-1~;~-1)$ ni (1~;~1). Si l'on choisit en premier un entier négatif (30 choix) le second terme sera choisi dans les 29 entiers négatifs restant, soit $30 \times 29 = 870$ couples ; Même chose si les deux termes choisis sont positifs, soit 870 couples. L'évènement $\overline{M}$ sera réalisé pour $870 + 870 = \np{1740}$ couples. \item %Quelle est la probabilité de l'évènement $M$ ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$. D'après le résultat précédent l'évènement $M$ sera réalisé pour $\np{3540} - \np{1740} = \np{1800}$ couples. Donc $p(M) = \dfrac{\np{1800}}{\np{3540}} = \dfrac{30}{59} \approx \np{0,5084}$ soit 0,508 au millième près. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle \begin{center}$(E) :\quad y' + 10y = \left(30x^2 + 22x - 8\right)\e^{-5x+1}$\quad avec \quad $x \in \R$\end{center} où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$. \medskip \begin{enumerate} \item %Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle : $y' + 10y = 0$. L'équation différentielle est équivalente à l'équation $y' = - 10y$. On sait que les solutions de cette équation sont les fonctions définies par $x \longmapsto f(x) = C\e^{-10x}, \quad \text{avec}\: C \in \R$. \item %Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = \left(6x^2 + 2x - 2\right)\e^{-5x+ 1}.\] %On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. %Justifier que $f$ est une solution particulière de $(E)$. Étant admis que $f$ est dérivable sur $\R$, on calcule : $f'(x) = (12x + 2)\e^{-5x+ 1} + (- 5)\left(6x^2 + 2x - 2\right)\e^{-5x+ 1} = \e^{-5x+ 1}\left[12x + 2 - 30x^2- 10x + 10\right)] = \e^{-5x+ 1}\left(-30x^2 + 2x + 12\right)$. Alors $f'(x) + f(x) = \e^{-5x+ 1}\left(-30x^2 + 2x + 12\right) + 10\left(6x^2 + 2x - 2\right)\e^{-5x+ 1} =$ $ \e^{-5x+ 1}\left(-30x^2 + 2x + 12 + 60x^2 + 20x - 20\right) = \e^{-5x+ 1}\left(30x^2 + 22x - 8\right)$. On a donc bien démontré que $f$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$. \item %Donner l'expression de toutes les solutions de $(E)$. Les résultats précédents permettent d'énoncer que toutes les solutions de $(E)$ sont la somme de $f$ et des solutions de l'équation $y' + 10y = 0$, soit Toutes les solutions de $(E)$ sont de la forme $\left(6x^2 + 2x - 2\right)\e^{-5x+ 1} + C\e^{-10x}$, avec $C \in \R$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : étude de fonction} \medskip %On propose d'étudier dans cette partie la fonction $f$ rencontrée à la partie B question 2. On rappelle que, pour tout réel $x\:, f(x) = \left(6x^2 + 2x - 2\right)\e^{-5x+ 1}$. %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan. \medskip \begin{enumerate} \item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. On a $6x^2 + 2x - 2 = x^2\left(6 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{x^2} \right)$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{2}{x} = \displaystyle\lim_{x \to - \infty}\dfrac{2}{x^2} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}6 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{x^2} = 6$. $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2 = + \infty$, Enfin on sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\e^{-5x+ 1} = + \infty$ on a finalement : \[\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x) = + \infty.\] \item %En utilisant la partie A, montrer que $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points (les coordonnées de ces points ne sont pas attendues). On sait que quel que soit le réel $- 5x + 1$, \: \: $\e^{- 5x + 1} > 0$ : le signe de $f(x)$ est donc celui du trinôme $6x^2 + 2x - 2$. Le trinôme vérifie l'évènement $M$ puisque avec $a = 6$ et $c = - 2, \quad ac= - 12 < 1$. Le trinôme s'annule donc pour deux réels distincts : géométriquement $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points. \emph{Non demandé} : $\Delta = 4 + 48 = 52 = 4 \times 13$. Les racines sont donc $x_1 = \dfrac{2+ \sqrt{52}}{12} = \dfrac{1 + \sqrt{13}}{6} \approx 0,77$ et $x_2 = \dfrac{2 - \sqrt{52}}{12} = \dfrac{1 - \sqrt{13}}{6} \approx - 0,43$ \item %En utilisant les parties A et B, montrer que $\mathcal{C}_f$ possède deux tangentes horizontales. On a vu en \textbf{A . 2.} que $f'(x) = \e^{-5x+ 1}\left(-30x^2 + 2x + 12\right)$ ; comme on sait que quel que soit le réel $-5x + 1,\:\: \: \e^{-5x+ 1} \ne 0$, donc $f'(x) = 0 \iff -30x^2 + 2x + 12 = 0 \iff$ $- 15x^2 + x + 6 = 0$. Comme $\Delta = (-1)^2 - 4 \times (- 15) \times 6 = 361 = 19^2 > 0$, ce trinôme s'annule pour $x_1 = \dfrac{- 1 + 19}{- 30} = -\dfrac{18}{30} = -\dfrac35$ et $x_2 = \dfrac{- 1 - 19}{- 30} = \dfrac{20}{30} = \dfrac23$. Aux points d'abscisse $- \dfrac35$ et $\dfrac23$, le nombre dérivé est nul ce qui signifie que la tangente en ces deux points est horizontale. \item Avec $f\left(- \dfrac35\right) \approx - 56,8$ et $f\left(\dfrac23\right) \approx 0,19$%Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.2,0)(11,3.1) \psframe(-0.2,0)(11,3.1)\psline(-0.2,2)(11,2)\psline(-0.2,2.5)(11,2.5)\psline(2,0)(2,3.1) \uput[u](1,2.4){$x$} \uput[u](2.4,2.4){$- \infty$} \uput[u](5,2.4){$-\frac35$} \uput[u](8,2.4){$\frac23$} \uput[u](10.5,2.4){$+ \infty$} \rput(0.9,2.25){\small signe de $f'(x)$} \rput(0.9,1){\small variations de $f$} \psline{->}(2.5,1.5)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,0.5)(7.5,1.5)\psline{->}(8.5,1.5)(10.5,0.5) \uput[d](2.4,2){$+ \infty$} \rput(3.5,2.25){$-$}\rput(6.5,2.25){+}\rput(9.5,2.25){$-$} \rput(5,2.25){0}\rput(8,2.25){0} \uput[u](5,0){$\approx - 56,8$}\uput[d](8,2){$\approx 0,19$}\uput[u](10.6,0){0} \end{pspicture} \end{center} \item %Déterminer en justifiant le nombre de solution(s) de l'équation $f(x)= 1$. Sur l'intervalle $\left]- \infty~;~-\dfrac35\right[$, la fonction $f$ décroit de plus l'infini à environ $-56,8$ : d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un réel $\alpha$ de cet intervalle tel que $f(\alpha) = 1$. Sur l'intervalle $\left]-\dfrac35~;~+ \infty\right[, \: f(x) \leqslant 0,19 < 1$ : il n'existe pas de solution de l'équation $f(x) = 1$ sur cet intervalle. Conclusion : sur $\R$, l'équation $f(x) = 1$ a une solution. \item Pour tout réel $m$ strictement supérieur à $0,2$, on définit $I_m$ par $I_m = \displaystyle\int_{0,2}^m f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item %Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\R$ par %\[F(x) = \left(-\dfrac65 x^2 - \dfrac{22}{25}x + \dfrac{28}{125}\right)\e^{-5x+ 1}\] %est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. $F$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$ : sur cet intervalle : $F'(x) = \left(- \dfrac{12}{5}x - \dfrac{22}{25} \right)\e^{-5x+ 1} - 5\left(-\dfrac65 x^2 - \dfrac{22}{25}x + \dfrac{28}{125}\right)\e^{-5x+ 1} =$ $ \e^{-5x+ 1}\left(- \dfrac{12}{5}x - \dfrac{22}{25} + 6x^2 + \dfrac{22}{5}x - \dfrac{28}{25}\right) = \left(6x^2 - \dfrac{10}{5}x - - \dfrac{50}{25}\right)\e^{-5x+ 1} =$ $ \left(6x^2 - 2x + 2\right)\e^{-5x+ 1} = f(x)$. Sur $\R$, \: $F'(x) = f(x)$ montre que $F$ est une primitive de la fonction $f$. \item %Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle $I_m = 0$ ? %Interpréter graphiquement ce résultat. On a donc $I_m = \displaystyle\int_{0,2}^m f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_{0,2}^m = F(m) - F(0,2).$ Or $F(0,2) = F\left(\dfrac15\right) = \left(-\dfrac65 \times \dfrac{1}{25} - \dfrac{22}{25}\times \dfrac{1}{5} + \dfrac{28}{125}\right)\e^{-5\times \frac{1}{5}+ 1} = \left(- \dfrac{28}{125} + \dfrac{28}{125} \right)\e^{0} = $ $0 \times 1 = 0$. Il faut donc résoudre l'équation $F(m) = 0$ soit $\left(-\frac65m^2 - \frac{22}{25}m + \frac{28}{125}\right)\e^{-5m+ 1} = 0 \iff -\dfrac65 m^2 - \dfrac{22}{25}m + \dfrac{28}{125} = 0$, car quel que soit $m \in \R , \:\e^{-5m+ 1} > 0$. On étudie donc le trinôme $-\dfrac65 m^2 - \dfrac{22}{25}m + \dfrac{28}{125}$ ou encore $-150m^2 - 110m + 28$ en multipliant par 125, et en simplifiant par 2 le trinôme : $- 75m^2 - 55m + 14$. Pour ce trinôme $\Delta = (- 55)^2 - 4 \times (- 75) \times 14 = \np{7225} = 85^2 > 0$. Ce trinôme a deux racines $m_1 = \dfrac{55 + 85}{-150} = - \dfrac{140}{150} = - \dfrac{14}{15}$ et $m_2 = \dfrac{55 - 85}{-150} = \dfrac{- 30}{-150} = \dfrac15 = 0,2$. La deuxième solution a déjà été trouvée ci-dessus ($F(0,2) = 0$). Il existe donc une autre valeur $- \dfrac{14}{15}$ telle que $F\left(- \dfrac{14}{15}\right) = 0$ mais cette solution est négative alors que l'on demande une solution supérieure à 0,2 donc positive. \textbf{Interprétation graphique} On a tracé les représentations graphiques des fonctions $f$ et $F$. La surface limitée par la représentation graphique de $f$, \: $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équation $x = 0,2$ et $x = m$ est égale à l'intégrale $I_m$. Cette surface se compose de deux parties : \begin{itemize} \item une première partie correspondant à l'intégrale de 0,2 à environ 0,43 (valeur qui annule $f$) ; la courbe étant sous l'axe des abscisses l'aire est l'opposée de l'intégrale ; \item une deuxième partie correspondant à l'intégrale de 0,43 à $m$ ; la courbe étant au dessus de l'axe des abscisses l'aire est égale à l'intégrale. On a trouvé qu'il n'existe pas de valeur de $m$ telle que $I_m$ s'annule signifie géométriquement que quel que soit $m > 0,2$, l'aire de la surface située au dessus de l'axe des abscisses n'est pas égale à l'aire de la surface située sous l'axe des abscisses. On voit aussi que pour $m > 0,2$ aucun point de la représentation de $F$ (en rouge) n'a une ordonnée nulle. \end{itemize} \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-0.4,-1.4)(2,1) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.4,-1.4)(2,1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10] \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{2}{0.224 x dup mul 1.2 mul sub 0.88 x mul sub 2.71828 5 x mul 1 sub exp div} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2}{x dup mul 6 mul 2 x mul add 2 sub 2.71828 5 x mul 1 sub exp div} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.8}{0}{x dup mul 6 mul 2 x mul add 2 sub 2.71828 5 x mul 1 sub exp div} \uput[ur](1,0.12){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[ur](0.1,0.2){\red $\mathcal{C}_F$} \pscustom[fillstyle=hlines,linecolor=blue]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.2}{0.43}{x dup mul 6 mul 2 x mul add 2 sub 2.71828 5 x mul 1 sub exp div}\psline(0.43,0)(0.2,0)(0.2,-1.4)} \pscustom[fillstyle=vlines,linecolor=blue]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.43}{1.2}{x dup mul 6 mul 2 x mul add 2 sub 2.71828 5 x mul 1 sub exp div}\psline(1.2,0.08)(1.2,0)(0.43,0)} \uput[d](1.2,0){$m$} \end{pspicture*} \end{center} \end{document}