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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Denis Le Fur
% Corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%   Commandes perso FH
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\newcommand{\cg}{\rceil \hspace{-4.5pt} \rfloor}% crochet gauche
\newcommand{\cd}{\lceil \hspace{-4.5pt} \lfloor}% crochet droit
\renewcommand{\d}{\,\text{d}\,}%  le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}%  le i des complexes
\renewcommand{\(}{\left(}%        parenthèse gauche
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\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
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\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom
\begin{document}

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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 21  novembre 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud
~~\decofourright\\[4pt]21/11/2013}}

\vspace{0,15cm}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x) = x \text{e}^{1-x}$.
 
\begin{enumerate}
\item %Vérifier que pour tout réel $x,\: f(x)= \text{e} \times \dfrac{x}{\text{e}^x}$

$\e^{1-x}=\e\times \e^{-x}=\dfrac{\e}{\e^x}$ donc $f\(x\)=\e \times \dfrac{x}{\e^x}$.

\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. 

$\limit{x}{-\infty}1-x=+\infty$ donc $\limit{x}{-\infty}\e^{1-x}=+\infty$ (par composition).

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
\limit{x}{-\infty}x=-\infty\\[5pt]
\limit{x}{-\infty}\e^{1-x}=+\infty
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
\limit{x}{-\infty}x\e^{1-x}=-\infty$ (par produit); $\limit{x}{-\infty}f\(x\)=-\infty$.


\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement cette limite. 

On sait que $\limit{x}{+\infty}\dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\limit{x}{+\infty}\dfrac{x}{\e^x}=0$ donc $\limit{x}{+\infty}\e \dfrac{x}{\e^x}=0$.

\smallskip

On a donc $\limit{x}{+\infty}f\(x\) = 0$ ce qui veut dire que la courbe représentant la fonction $f$ admet la droite d'équation $y=0$ comme asymptote horizontale en $+\infty$.

\item %Déterminer la dérivée de la fonction $f$. 

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'\(x\)= 1\times \e^{1-x} + x\(-1\)\e^{1-x} = \e^{1-x}\(1-x\)$

\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$ puis dresser le tableau de variation.

Pour tout réel $x$, $\e^{1-x}>0$ donc $f'\(x\)$ est du signe de $1-x$.

$f\(1\)=1\e^0=1$, d'où le tableau de variation de la fonction $f$:

\begin{center}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & -\infty &  \hspace*{2cm} & 1 & \hspace*{2cm} & +\infty \rule[-8pt]{0pt}{22pt}\\ 
\hline
1-x &   &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \rule[-6pt]{0pt}{18pt} \\ 
\hline
f'\(x\) &   &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \rule[-6pt]{0pt}{18pt} \\ 
\hline
 &  &  &    \Rnode{un}{1}  &  &    \\ %\rule{0pt}{12pt} 
f\(x\) &   & &   &  &      \\ 
 & \Rnode{moinsinf}{-\infty} &   &  &  &   \Rnode{zero}{0}   
 \ncline{->}{moinsinf}{un} \ncline{->}{un}{zero} \\ 
\hline
\end{array} $	
\end{center}	

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}%    \section{partie B}

\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les fonctions $g_{n}$ et $h_{n}$ définies sur $\R$ par : 

\[g_{n}(x) = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n \quad \text{et}\quad  h_{n}(x) = 1 + 2x + \cdots  + nx^{n-1}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Vérifier que, pour tout réel $x :\: (1 - x)g_{n}(x) = 1 - x^{n+1}$. 

$\(1 - x\)g_{n}(x) = \(1 - x\)\(1+ x+ x^2+ \dots +x^n\)\\
\phantom{\(1 - x\)g_{n}(x)} = 1+ x+ x^2+ x^3 + \dots +x^n\\
\phantom{\(1 - x\)g_{n}(x) = 1} - x- x^2- x^3 -\dots - x^n - x^{n+1} = 1- x^{n+1}$

On obtient alors, pour tout réel $x \neq 1 :\:\: g_{n}(x) = \dfrac{1 - x^{n+1}}{1 - x}$. 
\item %Comparer les fonctions $h_{n}$ et $g'_{n}$, $g'_{n}$ étant la dérivée de la fonction $g_{n}$. 

Pour tout $x$, $g_n\(x\) =1 + x + x^2+ \dots  + x^n$ donc $g'_n\(x\)=0 + 1 + 2x + \dots + nx^{n-1} = h_n\(x\)$.

Or, pour tout réel $x \neq 1$, $g_n\(x\)=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}$;

$g_n$ est une fonction rationnelle de type $\dfrac{u}{v}$ dont la dérivée est $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ :

\smallskip

$h_n\(x\) = g'_n\(x\) = \dfrac{-\(n+1\)x^n\(1-x\)-\(1-x^{n+1}\)\(-1\)}{\(1-x\)^2}
= \dfrac{-\(n+1\)x^n + \(n+1\)x^{n+1} +1 -x^{n+1}}{\(1-x\)^2}\\ [5pt]
\phantom{h_n\(x\)}=\dfrac{-\(n+1\)x^n + nx^{n+1} + x^{n+1} +1 -x^{n+1}}{\(1-x\)^2} = \dfrac{nx^{n+1}-\(n+1\)x^n+1}{\(1-x\)^2}$

\item Soit $S_{n} = f(1) + f(2) + ... + f(n)$, où $f\(x\) = x\e^{1-x}$.
 
$S_n = 1 + 2\e^{-1}+ \cdots + n\e^{1-n} = 1 + 2\e^{-1}+ \cdots + n\(\e^{-1}\)^{n-1}=h_n\(\e^{-1}\)$.

Or $h_n\(x\) = \dfrac{nx^{n+1}-\(n+1\)x^n+1}{\(1-x\)^2}$ donc
$h_n\(\e^{-1}\) = \dfrac{n\(\e^{-1}\)^{n+1}-\(n+1\)\(\e^{-1}\)^n+1}{\(1-\(\e^{-1}\)\)^2}$;

$S_n = \dfrac{ \dfrac{n}{\e^{n+1}} - \dfrac{n+1}{\e^n} + 1 \rule[-9pt]{0pt}{23pt}}{\(1-\dfrac{1}{\e}\)^2}$
 
On sait que $\limit{x}{+\infty}\dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\limit{x}{+\infty}\dfrac{x}{\e^x}= 0$  donc $\limit{n}{+\infty}\dfrac{n}{\e^n}= 0$   et $\limit{n}{+\infty}\dfrac{n+1}{\e^{n+1}}= 0$.

De plus, $\limit{x}{+\infty}\dfrac{x}{x+1}=1$  et $\limit{x}{+\infty}\dfrac{x+1}{x}=1$ comme limites en $+\infty$ de fonctions rationnelles,\\[3pt]
donc $\limit{n}{+\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$  et $\limit{n}{+\infty}\dfrac{n+1}{n}=1$.

$\dfrac{n}{\e^{n+1}} = \dfrac{n}{n+1} \times \dfrac{n+1}{\e^{n+1}}$; donc par produit, $\limit{n}{+\infty}\dfrac{n+1}{n} \times \dfrac{n+1}{\e^{n+1}} = 1\times 0 = 0$.
 
$\dfrac{n+1}{\e^{n}} = \dfrac{n+1}{n} \times \dfrac{n}{\e^{n}}$; donc par produit, $\limit{n}{+\infty}\dfrac{n+1}{n} \times \dfrac{n}{\e^{n}} = 1\times 0 = 0$. 

Donc $\limit{n}{+\infty}S_n=\dfrac{1}{\(1-\dfrac{1}{\e}\)^2}=\dfrac{\e^2}{\(\e-1\)^2}$.
 
%En utilisant les résultats de la \textbf{partie B}, déterminer une expression de $S_{n}$ puis sa limite quand $n$ tend vers $+ \infty$. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}% \part{exercice 2}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On considère le cube ABCDEFGH, d'arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD). 
Dans le repère donné, $\text A$ a pour coordonnées $\(0\,,\,0\,,\,0\)$, $\text B\(1\,,\,0\,,\,0\)$,  $\text D\(0\,,\,1\,,\,0\)$ et  $\text E\(0\,,\,0\,,\,1\)$.

$\vect{\text{AF}} = \vect{\text{AB}}+\vect{\text{AE}}$ donc le point $\text F$ a pour coordonnées $\(1\,,\,0\,,\,1\)$.

La droite $\(\text{FD}\)$ a pour vecteur directeur $\vect{\text{DF}}$ de coordonnées $\(1\,,\,-1\,,\,1\)$; de plus elle passe par le point $\text D\(0\,,\,1\,,\,0\)$.

La droite $\(\text{FD}\)$ a pour représentation paramétrique :
$\left\lbrace 
\begin{array}{c @{\ =\ } r l}
x & t & \\
y & 1-t & \text{où } t\in \R\\
z & t
\end{array}
\right. 
$

\item %Démontrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1& - 1&1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BGE) et déterminer une équation du plan (BGE). 

Soit $\vect n$ le vecteur de coordonnées $\(1\,,\,-1\,,\,1\)$. Ce vecteur est un vecteur normal au plan $\(\text{BGE}\)$ s'il est orthogonal aux deux vecteurs $\vect{\text{EB}}$ et $\vect{\text{EG}}$ directeurs du plan $\(\text{BGE}\)$.

$\vect{\text{EB}}$ a pour coordonnées $\(1\,,\,0\,,\,-1\)$;
$\vect n . \vect{\text{EB}}=1\times 1+ \(-1\)\times 0 +1\times \(-1\)=0$ donc $\vect n \perp \vect{\text{EB}}$.

$\vect{\text{EG}} = \vect{\text{AC}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}}$ a pour coordonnées $\(1\,,\,1\,,\,0\)$;
$\vect n . \vect{\text{BG}} = 1\times 1+ \(-1\)\times 1 +1\times 0 =0$ donc $\vect n \perp \vect{\text{EG}}$.

Donc le vecteur $\vect n \(1\,,\,-1\,,\,1\)$ est normal au plan $\(\text{BGE}\)$.

\smallskip

Le plan $\(\text{BGE}\)$ a pour vecteur normal $\vect n$ et passe par le point $\text{B}$ ; c'est l'ensemble des points $\text M\(x\,,\,y\,,\,z\)$ tels que $\vect n \perp \vect{\text{BM}}$.

$\vect{\text{BM}}$ a pour coordonnées $\(x-1\,,\, y \,,\, z\)$;\\
$\vect n \perp \vect{\text{BM}} \iff 1\times\(x-1\) + \(-1\)\times y + 1\times z = 0
\iff x-y+z-1=0$.

L'équation cartésienne du plan $\(\text{BGE}\)$ est $x-y+z-1=0$. 

\item %Montrer que la droite (FD) est perpendiculaire au plan (BGE) en un point K de coordonnées K$\left(\frac{2}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{2}{3}\right)$. 

Le vecteur $\vect{\text{DF}}$ est égal au vecteur $\vect n$ qui est normal au plan $\(\text{BGE}\)$ donc la droite $\(\text{FD}\)$ est perpendiculaire au plan $\(\text{BGE}\)$.

Les coordonnées $\(x\,,\, y \,,\, z\)$ du point d'intersection de la droite $\(\text{FD}\)$ et du plan $\(\text{BGE}\)$ sont solutions du système:

$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } r}
x & t\\
y & 1-t\\
z & t\\
x-y+z-1 & 0
\end{array}
\right. 
\Longrightarrow
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } r}
x & t\\
y & 1-t\\
z & t\\
t-\(1-t\)+t-1 & 0
\end{array}
\right.
\Longrightarrow
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } r}
x & t\\
y & 1-t\\
z & t\\
3t & 2
\end{array}
\right.
\Longrightarrow
\left\lbrace 
{\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{array}{r @{\ =\ } r}
x & \frac{2}{3}\\
y & \frac{1}{3}\\
z & \frac{2}{3}\\
t & \frac{2}{3}
\end{array}}
\right.$

Donc la droite $\(\text{FD}\)$ est perpendiculaire au plan $\(\text{BGE}\)$ au point $\text K$ de coordonnées $\(\dfrac{2}{3}\,,\, \dfrac{1}{3}\,,\, \dfrac{2}{3}\)$. 

\item %Quelle est la nature du triangle BEG ? Déterminer son aire. 
Les segments $[\text{BE}]$, $[\text{EG}]$ et $[\text{BG}]$ sont tous les trois des diagonales de carrés de côtés 1; donc $\text{BE}= \text{EG}= \text{BG} = \sqrt 2$. Le triangle $\text{BEG}$ est équilatéral de côté $\sqrt 2$.

Soit $H$ le milieu de $[\text{EG}]$; ce point est aussi le pied de la hauteur issue de $\text{B}$ dans le triangle équilatéral $\text{BGE}$ de côté $a=\sqrt 2$.

Dans un triangle équilatéral de côté $a$, la hauteur est égale à $\dfrac{a\sqrt 3}{2}$ (relations dans un triangle rectangle); donc dans le triangle équilatéral $\text{BEG}$, la hauteur $\text{BH} =\dfrac{\sqrt 2 \times \sqrt 3}{2} = \dfrac{\sqrt 6}{2}$.

L'aire du triangle $\text{BEG}$ vaut $\dfrac{\text{EG} \times \text{BH}}{2}= \dfrac{\sqrt 2 \times \frac{\sqrt 6}{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{12}}{4}=\dfrac{2\sqrt 3}{4}=\dfrac{\sqrt 3}{2}$. 

\item %En déduire le volume du tétraèdre BEGD. 

Le volume d'un tétraèdre est $\dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$.

D'après les questions précédentes, le volume du tétraèdre $\text{BEGD}$ est $\dfrac{\text{aire(BEG)} \times \text{KD}}{3}$.

Dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$:

$\text{KD}^2= \(x_D-x_K\)^2+\(y_D-y_K\)^2+\(z_D-z_K\)^2=
\(0-\dfrac{2}{3}\)^2+\(1-\dfrac{1}{3}\)^2+\(0-\dfrac{2}{3}\)^2=
\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{12}{9}$
donc $KD=\sqrt{\dfrac{12}{9}}=\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2\sqrt 3}{3}$.

Le volume du tétraèdre est donc:
$\dfrac{\frac{\sqrt 3}{2}\times \frac{2\sqrt 3}{3}}{3} = \dfrac{1}{3}$.

\end{enumerate}

%\begin{figure}[!h]
%\begin{center}
%\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(10,10.2)
%\pspolygon(0.9,1.3)(7,0.4)(9.2,3)(9.2,8.9)(3.2,9.9)(0.9,7.4)%BCDHEF
%\psline(0.9,7.4)(7,6.4)(9.2,8.9)%FGH
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%\psline[linestyle=dashed](0.9,1.3)(3.2,9.9)%BE
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%\uput[dl](0.9,1.3){B} \uput[dr](7,0.4){C} \uput[r](9.2,3){D} \uput[ul](3,4.2){A} 
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%\uput[u](3.6,5.95){K}\psdots(3.6,5.95)  
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{figure}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
 
On considère l'équation $(E) : \quad  z^2 -2z\sqrt{3} + 4 = 0$.
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes. 

On résout l'équation (E):
$z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0$; $\Delta= \(-2\sqrt 3\)^2 - 4\times 1\times 4 = 12-16 = - 4$.

L'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées:

$z' = \dfrac{-\(-2\sqrt 3\) +\i\sqrt 4}{2}=\dfrac{2\sqrt 3 + 2\i}{2} = \sqrt 3 +\i$ et $z''= \sqrt 3-\i$.

\item On considère la suite $\left(M_{n}\right)$ des points d'affixes $z_{n} = 2^n \e^{\i(- 1)^n\frac{\pi}{6}}$, définie pour $n \geqslant 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $z_{1}$ est une solution de $(E)$. 
$z_1=2^1 \e^{\i\(-1\)^1 \frac{\pi}{6}} = 2\e^{\i\frac{-\pi}{6}}
 = 2\(\cos \dfrac{-\pi}{6} + \i \sin\dfrac{-\pi}{6}\)
= 2\(\dfrac{\sqrt 3}{2} +\i \(-\dfrac{1}{2}\)\)
=\sqrt 3 - \i = z''$

Donc $z_1$ est solution de l'équation (E).				
		\item %Écrire $z_{2}$ et $z_{3}$ sous forme algébrique. 
$z_2= 2^2 \e^{\i\(-1\)^2 \frac{\pi}{6}} = 4 \e^{\i \frac{\pi}{6}}=4\(\cos\dfrac{\pi}{6} + \i\sin\dfrac{\pi}{6}\) = 4 \(\dfrac{\sqrt 3}{2} +\i \dfrac{1}{2}\)= 2\sqrt 3 + 2\i$

$z_3= 2^3 \e^{\i\(-1\)^3 \frac{\pi}{6}} = 8 \e^{\i \frac{-\pi}{6}}=8\(\cos\dfrac{-\pi}{6} + \i\sin\dfrac{-\pi}{6}\) = 8 \(\dfrac{\sqrt 3}{2} +\i \(-\dfrac{1}{2}\)\)=4\sqrt 3 - 4\i$

%$z_4= 2^4 \e^{\i\(-1\)^4 \frac{\pi}{6}} = 16 \e^{\i \frac{\pi}{6}}=16\(\cos\dfrac{\pi}{6} + \i\sin\dfrac{\pi}{6}\) = 16 \(\dfrac{\sqrt 3}{2} +\i \dfrac{1}{2}\)= 8\sqrt 3 + 8\i$

		\item %Placer les points $M_{1},\: M_{2},\: M_{3}$ et $M_{4}$ sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments $\left[M_{1}, M_{2}\right],\: \left[M_{2}, M_{3}\right]$ et $\left[M_{3}, M_{4}\right]$.

$\left|z_1\right|=2$ donc le point $M_1$ d'affixe $z_1$ est situé sur le cercle de centre O et de rayon 2; de plus, la partie imaginaire de $z_1$ est $-1$ donc le point $M_1$ est situé sur la droite d'équation $y=-1$.

Pour placer le point $M_2$, on utilise le fait que $\left|z_2\right|=4$ et que $\text{Im}\(z_2\)=2$.

Pour placer le point $M_3$, on utilise le fait que $\left|z_3\right|=8$ et que $\text{Im}\(z_3\)=-4$.

$z_4=2^4\e^{\i\(-1\)^4\frac{\pi}{6}}=16 \e^{\i\frac{\pi}{6}}$;
pour placer le point $M_4$, on utilise le fait que $\left|z_4\right|=16$; de plus $\arg\(z_4\)=\dfrac{\pi}{6}= \arg\(z_2\)$ donc les points O, $M_2$ et $M_4$ sont alignés donc $M_4 \in \(OM_2\)$. 

Voir la figure en annexe.
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $z_{n} = 2^n \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{(- 1)^n \text{i}}{2}\right)$. 

Si $n\pg 1$ et $n$ pair, $\(-1\)^n=+1$, donc $\e^{\i\(-1\)^n\frac{\pi}{6}} = \e^{\i\frac{\pi}{6}}=\dfrac{\sqrt 3}{2}+ \dfrac{\i}{2}= \dfrac{\sqrt 3}{2}+ \dfrac{\(-1\)^n\i}{2}$.

Donc si $n\pg 1$ pair, $z_n= 2^n\e^{\i\(-1\)^n\frac{\pi}{6}} = 2^n\(\dfrac{\sqrt 3}{2}+ \dfrac{\(-1\)^n\i}{2}\)$.

\smallskip

Si $n$ impair, $\(-1\)^n=-1$, donc $\e^{\i\(-1\)^n\frac{\pi}{6}} = \e^{\i\frac{-\pi}{6}}=\dfrac{\sqrt 3}{2}- \dfrac{\i}{2}= \dfrac{\sqrt 3}{2}+ \dfrac{\(-1\)^n\i}{2}$.

Donc si $n$ impair, $z_n= 2^n\e^{\i\(-1\)^n\frac{\pi}{6}} = 2^n\(\dfrac{\sqrt 3}{2}+ \dfrac{\(-1\)^n\i}{2}\)$.

\smallskip

Donc pour tout entier $n \pg 1$, $z_n= 2^n\(\dfrac{\sqrt 3}{2}+ \dfrac{\(-1\)^n\i}{2}\)$

\item %Calculer les longueurs $M_{1}M_{2}$ et $M_{2}M_{3}$.

$M_1M_2 = \left| z_2-z_1 \right|=  \left| 2\sqrt 3+2\i -\(\sqrt 3-\i\) \right|
= \left| 2\sqrt 3+2\i -\sqrt 3 +\i \right|
= \left| \sqrt 3+3\i  \right|\\[3pt] 
\phantom{M_1M_2} = \sqrt{\(\sqrt 3\)^2+3^2} 
= \sqrt{3+9} = \sqrt{12} = 2\sqrt 3 $

\smallskip

$M_2M_3 = \left| z_3-z_2 \right|=  \left| 4\sqrt 3 - 4\i -\(2\sqrt 3+2\i\) \right|
= \left| 4\sqrt 3 -4\i -2\sqrt 3 -2\i \right|
= \left| 2\sqrt 3 - 6\i  \right|\\[3pt] 
\phantom{M_2M_3} = \sqrt{\(2\sqrt 3\)^2 + \(-6\)^2}
= \sqrt{12+36} = \sqrt{48} = 4\sqrt 3 =2^2\sqrt 3$

\medskip

Pour la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $M_{n}M_{n+1} = 2^n \sqrt{3}$. 
\item On note $\ell_n = M_{1}M_{2} + M_{2}M_{3} + \cdots 	+ M_{n}M_{n+1}$.
	\begin{enumerate}	
		\item %Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,\: \ell^n = 2\sqrt{3}\left(2^n - 1\right)$. 

D'après la question 4,
$\ell_n = 2\sqrt 3 + 2^2\sqrt 3 + \cdots + 2^n\sqrt 3 =
\(2+2^2+ \cdots + 2^n\)\sqrt 3$  

La suite $\(2^n\)$ définie pour $n\pg 1$ est géométrique de raison $q=2$ et de premier terme $2^1=2$; la somme S de ses premiers termes consécutifs est donnée par la formule:

\[S= \text{premier terme} \times \dfrac{1- \text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}\]

donc
$2+2^2+ \cdots 2^n = 2\times \dfrac{1-2^n}{1-2} = 2 \times \dfrac{2^n-1}{2-1} = 2\(2^n-1\)$

\smallskip

$\ell_n = \(2+2^2+ \cdots + 2^n\)\sqrt 3 = 2\sqrt 3\(2^n-1\)$  

		\item %Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\ell^n \geqslant  \np{1000}$.

$\ell_n \pg  \np{1000} \iff 2\sqrt 3\(2^n-1\) \pg \np{1000} 
\iff 2^n-1 \pg \dfrac{\np{1000}}{2\sqrt 3}
\iff 2^n \pg \dfrac{\np{1000}}{2\sqrt 3}+1$.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,,\, +\infty[$, donc

$\ell_n \pg  \np{1000}
\iff \ln\(2^n\) \pg \ln\(\dfrac{\np{1000}}{2\sqrt 3}+1\)
\iff n\ln 2 \pg \ln\(\dfrac{\np{1000}}{2\sqrt 3}+1\)$

Or $\ln 2>0$ donc

$\ell_n \pg  \np{1000} 
\iff n \pg \dfrac{\ln\(\dfrac{\np{1000}}{2\sqrt 3}+1\)}{\ln 2}
\iff n \pg 8,18$.

\smallskip

Le plus petit entier $n$ tel que $\ell_n \pg \np{1000}$ est 9.

On peut vérifier que $\ell_8 = 510\sqrt 3 \approx 883 < \np{1000}$ et $\ell_9 = \np{1022}\sqrt 3 \approx \np{1770} > \np{1000}$.		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 3 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\vspace{3cm}

\psset{unit=0.66cm}
\begin{pspicture*}(-1,-9)(17,9)
\multido{\n=0+2}{9}
        {\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=gray](\n,-9)(\n,9)}
\multido{\n=-8+2}{9}
        {\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=gray](-0.5,\n)(17,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-0.9,-9)(17,9)
\uput[dl](0,0){O}
%\psdots
\psline[showpoints=true](2;-30)(4;30)(8;-30)(16;30)
\psset{linecolor=red}
\psarc[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0){2}{-60}{0}
\psarc[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0){4}{0}{60}
\psarc[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0){8}{-60}{0}
\psarc[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0){16}{0}{60}
\uput[dr](2;-30){$M_1$} 
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,-1)(2.5,-1)
\uput[l](0,-1){\red $-1$}
\uput[80](4;30){$M_2$}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,2)(4.5,2)
\uput[dr](8;-30){$M_3$}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,-4)(8.5,-4)
\uput[80](16;30){$M_4$}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0)(18;30)
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%Le gestionnaire d'un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.
%
%\medskip
% 
%Des études statistiques lui ont permis de s'apercevoir que :
% 
%$\bullet~~$ Si un internaute est sur la page \no 1, alors il ira, soit sur la page \no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit sur la page \no 3 avec la probabilité $\dfrac{3}{4}$.
%
%$\bullet~~$ Si un internaute est sur la page \no 2, alors, soit il ira sur la page \no 1 avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ soit il  
%restera sur la page \no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit il ira sur la page \no 3 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$. 
%
%$\bullet~~$ Si un internaute est sur la page \no 3, alors, soit il ira sur la page \no 1 avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$, soit il  
%ira sur la page \no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit il restera sur la page \no 3 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$. 
%
%\medskip
%
%Pour tout entier naturel $n$, on définit les évènements et les probabilités suivants : 
%
%$A_{n}$ : \og Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page \no 1 \fg{} et on note $a_{n} = P\left(A_{n}\right)$.
% 
%$B_{n}$ : \og Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page \no 2 \fg{} et on note $b_{n} = P\left(B_{n}\right)$.
% 
%$C_{n}$ : \og Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page \no 3 \fg{} et on note $c_{n} = P\left(C_{n}\right)$.
%
%\medskip

%\usepackage[sloped]{fourier}

%\everymath{\textit}
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}$. 

D'après la formule des probabilités totales:

$a_{n+1}=P\(A_{n+1}\)=P\(A_n \cap A_{n+1}\) + P\(B_n \cap A_{n+1}\) + P\(C_n \cap A_{n+1}\)\\
\phantom{a_{n+1}=P\(A_{n+1}\)} = P\(A_n\)\times P_{A_n}\(A_{n+1}\) + P\(B_n\)\times P_{B_n}\(A_{n+1}\) + P\(C_n\)\times P_{C_n}\(A_{n+1}\)$ 

Si, après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page \no 1 (évènement $A_n$), il ne reste pas sur cette page donc $P_{A_n}\(A_{n+1}\)=0$.

Si, après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page \no 2 (évènement $B_n$), il ira sur la page \no 1 avec une probabilité de $\dfrac{1}{2}$ donc $P_{B_n}\(A_{n+1}\)= \dfrac{1}{2}\rule{0pt}{16pt}$.

Si, après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page \no 3 (évènement $C_n$), il ira sur la page \no 1 avec une probabilité de $\dfrac{1}{2}$ donc $P_{C_n}\(A_{n+1}\)=\dfrac{1}{2}\rule{0pt}{16pt}$.

De plus $P\(A_n\)=a_n$, $P\(B_n\)=b_n$ et $P\(C_n\)=c_n$.

Donc 
$a_{n+1}= a_n \times 0 + b_n \times \dfrac{1}{2} + c_n \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\,b_n + \dfrac{1}{2}\,c_n$

\medskip

On aurait pu aussi construire un arbre pondéré pour représenter la situation.
%
%\medskip
%
%\psset{treemode=R, nodesep=0mm, levelsep=40mm,treesep=5mm}
%\pstree{\Tdot}
%   {
%   \pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$A_n$}\taput{$a_n$}}
%       {
%        \Tdot~[tnpos=a]{$B_{n+1}$}~{$A_n \cap B_{n+1}$}\taput{$\frac{1}{4}$} 
%        \Tdot~[tnpos=b]{$C_{n+1}$}~{$A_n \cap C_{n+1}$}\tbput{$\frac{3}{4}$}
%        } 
%   \pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$B_n$}\taput{$b_n$}}
%        {
%        \Tdot~[tnpos=a]{$A_{n+1}$}~{$B_n \cap A_{n+1}$}\taput{$\frac{1}{2}$} 
%        \Tdot~[tnpos=a]{$B_{n+1}$}~{$B_n \cap B_{n+1}$}\ncput*{$\frac{1}{4}$} 
%        \Tdot~[tnpos=b]{$C_{n+1}$}~{$B_n \cap C_{n+1}$}\tbput{$\frac{1}{4}$}
%        }      
%   \pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$C_n$}\tbput{$c_n$}}
%        {
%        \Tdot~[tnpos=a]{$A_{n+1}$}~{$C_n \cap A_{n+1}$}\taput{$\frac{1}{2}$} 
%        \Tdot~[tnpos=a]{$B_{n+1}$}~{$C_n \cap B_{n+1}$}\ncput*{$\frac{1}{4}$} 
%        \Tdot~[tnpos=b]{$C_{n+1}$}~{$C_n \cap C_{n+1}$}\tbput{$\frac{1}{4}$}
%        }
%   }
%
%\medskip

On admet que, de m\^eme, $b_{n+1} = \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\rule{0pt}{16pt}$ et $c_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$. 

%Ainsi : 
%\renewcommand\arraystretch{1.9}
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%a_{n+1} &=& \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}\\
%b_{n+1} &=& \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\\
%c_{n+1} &=& \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}
%\end{array}\right.\]
%\renewcommand\arraystretch{1}
 
\item %Pour tout entier naturel $n$, on pose $U_{n} = \begin{pmatrix} a_{n}\\b_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$.
 
%$U_{0} = \begin{pmatrix} a_{0}\\b_{0}\\c_{0}\end{pmatrix}$ représente la situation initiale, avec $a_{0} + b_{0} + c_{0} = 1$.
% 
%Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice $3 \times 3$ que l'on précisera.

D'après la question précédente:

{\renewcommand\arraystretch{2}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
a_{n+1} &=& 0\times a_n + \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}\\
b_{n+1} &=& \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\\
c_{n+1} &=& \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}
\end{array}\right.
\iff 
\begin{pmatrix} a_{n+1}\\b_{n+1}\\c_{n+1} \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4}\\
\dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a_n\\b_n\\c_n \end{pmatrix}
\]}

Donc en prenant 
$M=
{\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{pmatrix}
0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4}\\
\dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4}
\end{pmatrix}}$
on a $U_{n+1}=MU_n$.
 
%En déduire que, pour tout entier naturel $n, U_{n} = M^nU_{0}$. 

\smallskip

Soit $\mathcal P_n$ la propriété $U_{n} = M^nU_{0}$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour $n=0$, $M^0U_0=U_0$ car $M^0$ est la matrice identité 
$\begin{pmatrix}
1&0&0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}$

Donc la propriété est vraie au rang 0.

\item On suppose que la propriété est vraie au rang $p$ quelconque avec $p\pg 0$, c'est-à-dire $U_p = M^pU_0$.

On sait que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = MU_n$ donc $U_{p+1} = MU_p$. 

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, $U_p=M^pU_0$, donc $u_{p+1}=M\times M^pU_0=M^{p+1}U_0$.

Donc la propriété est vraie au rang $p+1$.

\item La propriété est vraie au rang 0; elle est héréditaire, donc elle est pour tout $n\pg 0$.

\end{list}

Donc, pour tout entier naturel $n$, $U_n=M^nU_0$.

\item %Montrer qu'il existe une seule matrice colonne $U =\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ telle que : $x + y + z = 1$ et $MU = U$. 

Soit la matrice colonne $U=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ telle que : $x + y + z = 1$ et $MU=U$.

$MU=U \iff 
{\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{pmatrix}
0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4}\\
\dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
\dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{2}z & x\\
\dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4}y + \dfrac{1}{4}z & y\\
\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}y + \dfrac{1}{4}z & z
\end{array}
\right. 
}$

On doit donc résoudre le système
${\renewcommand\arraystretch{2}
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
\dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{2}z & x\\
\dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{4}y + \dfrac{1}{4}z & y\\
\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}y + \dfrac{1}{4}z & z\\
x+y+z & 1
\end{array}
\right.}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l l}
y+z & 2x & \text{(L1)}\\
x+y+z & 4y & \text{(L2)}\\
3x + y + z & 4z & \text{(L3)}\\
x+y+z & 1 & \text{(L4)}
\end{array}
\right.
$ 

De (L2) et (L4) on déduit $4y=1$ d'où $y=\dfrac{1}{4}$.

$\text{(L1)} \iff x+y+z = 3x$ ce qui donne en utilisant (L4): $1=3x \iff x=\dfrac{1}{3}$.

$\text{(L4)} \iff z=1-x-y \Longrightarrow z=1-\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{12}$. 

Comme on n'a pas procédé par équivalences, il faut vérifier que pour les trois valeurs de $x$, $y$ et $z$ trouvées, les quatre lignes du système sont vérifiées, ce qui se fait sans problème.

L'unique matrice colonne  $U=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ telle que : $x + y + z = 1$ et $MU=U$, est 
${\renewcommand\arraystretch{1.4}
U=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}\\\frac{5}{12}\end{pmatrix}}$

\item %Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir l'expression de $M^n,\: n$ étant un entier naturel non nul :

Pour $n$ entier non nul, on a:
{\renewcommand\arraystretch{2.2}
$M^n = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n \times 2}{3}&\dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}&\dfrac{1}{3} + \dfrac{\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{- 3}\\[3pt]
\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{4}\\[3pt]
\dfrac{5}{12} + \dfrac{\left(-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n\right) \times 2}{3}&\dfrac{5}{12} + \dfrac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{-3}&\dfrac{5}{12} + \dfrac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}
\end{pmatrix} $}

\smallskip

$U_n=M^nU_0 \iff 
{\renewcommand\arraystretch{2.2}
\begin{pmatrix}a_n\\b_n\\c_n\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n \times 2}{3}&\dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}&\dfrac{1}{3} + \dfrac{\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{- 3}\\[3pt]
\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{4}\\[3pt]
\dfrac{5}{12} + \dfrac{\left(-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n\right) \times 2}{3}&\dfrac{5}{12} + \dfrac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{-3}&\dfrac{5}{12} + \dfrac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a_0\\b_0\\c_0\end{pmatrix}}$

${\renewcommand\arraystretch{2.2}
\phantom{U_n=M^nU_0}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
a_n & \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n \times 2}{3}\)a_0
+ \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}\)b_0
+ \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{- 3}\)c_0\\[3pt]
b_n & \dfrac{1}{4}a_0+ \dfrac{1}{4}b_0+\dfrac{1}{4}c_0\\[3pt]
c_n & \(\dfrac{5}{12} + \dfrac{\left(-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n\right) \times 2}{3}\)a_0
+ \(\dfrac{5}{12} + \dfrac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{-3}\)b_0
+ \(\dfrac{5}{12} + \dfrac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}\)c_0
\end{array}
\right. 
}$

\smallskip

On constate que $b_n = \dfrac{1}{4}a_0+ \dfrac{1}{4}b_0+\dfrac{1}{4}c_0=\dfrac{1}{4}\(a_0+b_0+c_0\)$; or $a_0+b_0+c_0=1$ donc $b_n=\dfrac{1}{4}$.

\newpage

On sait qu'une suite géométrique de raison $q$ où $-1<q<1$ est convergente vers 0 donc $\limit{n}{+\infty}\(-\dfrac{1}{2}\)^n = 0$;
on en déduit que $\limit{n}{+\infty}\dfrac{\(\frac{-1}{2}\)^n\times 2}{3} = 0$ et $\limit{n}{+\infty}\dfrac{\(\frac{-1}{2}\)^n}{-3} = 0$.

D'après les théorèmes sur les limites, on peut dire:

$\limit{n}{+\infty}a_n=\dfrac{1}{3}a_0+\dfrac{1}{3}b_0+\dfrac{1}{3}c_0 = \dfrac{1}{3}\(a_0+b_0+c_0\)=\dfrac{1}{3}$.

\smallskip

$\limit{n}{+\infty}c_n=\dfrac{5}{12}a_0+\dfrac{5}{12}b_0+\dfrac{5}{12}c_0 = \dfrac{5}{12}\(a_0+b_0+c_0\)=\dfrac{5}{12}$.

%Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $a_{n}, \: b_{n}$ et $c_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que les suites $\left(a_{n}\right), \: \left(b_{n}\right)$ et $\left(c_{n}\right)$ convergent vers des limites que l'on précisera. 

\item %Interpréter les résultats obtenus et donner une estimation des pourcentages de fréquentation du site à long terme. 

$\limit{n}{+\infty}a_n=\dfrac{1}{3}$ donc, à long terme, la page 1 du site sera consultée $100\times \dfrac{1}{3}\approx 33,33\,\%$ du temps de visite.

$\limit{n}{+\infty}b_n=\dfrac{1}{4}$ donc, à long terme, la page 2 du site sera consultée $100\times \dfrac{1}{4}= 25\,\%$ du temps de visite.

$\limit{n}{+\infty}c_n=\dfrac{5}{12}$ donc à long terme, la page 3 du site sera consultée $100\times \dfrac{5}{12}\approx 41,67\,\%$ du temps de visite.


\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}%    \section{partie A}

%\medskip
% 
%En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10\,\%. L'étude a également permis de prouver que 30\,\% des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d'un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n'atteint plus que 8\,\% pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.
%
%\medskip
% 
%On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements :
% 
%$M$ : \og La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme \fg
%
%$C$ : \og La personne est victime d'un accident cardiaque au cours de sa vie \fg.

En utilisant les données du texte, on peut construire l'arbre pondéré suivant:

\medskip
 
\begin{center}
\psset{treemode=R,nodesep=0mm,levelsep=40mm,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt}% treesep=15mm
\pstree{\TR{}}
	   {
	   \pstree{\TR{$M$}\taput{0,10}}
	          {
	          \TR{$C$}~{$M \cap C$}\taput{0,30}
	          \TR{$\overline C$}~{$M \cap \overline C$}
	                \tbput{$1 - 0,30= 0,70$}
	          } 
	   \pstree{\TR{$\overline M$}\tbput{$1-0,10 = 0,90$}}
	          {
	          \TR{$C$}~{$\overline M \cap C$}\taput{0,08}
	          \TR{$\overline C$}~{$\overline M \cap \overline C$} 							\tbput{$1 - 0,08 = 0,92$}
	          }
	   }
\end{center}
 
\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $P\(M \cap C\) = P\(M\)\times P_M\(C\) = 0,1 \times 0,3 = 0,03$ 
		
		\item D'après la formule des probabilités totales:
		
$P\(C\) = P\(M \cap C\) + P\(\overline M \cap C\)\\
\phantom{P\(C\)} = P\(M\)\times P_M\(C\) + P\(\overline M\)\times P_{\overline M}\(C\) =
0,1\times 0,3 + 0,9 \times 0,08 = 0,03 + 0,072 = 0,102$

	\end{enumerate} 
\item On choisit au hasard une victime d'un accident cardiaque. 

La probabilité qu'elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme est
$P_C\(M\)$:

$P_C\(M\) = \dfrac{P\(M \cap C\)}{P\(C\)} = \dfrac{0,03}{0,102} \approx 0,2941$

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

%La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de $400$~personnes, prises au hasard dans la population française.
% 
%On note $X$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l'échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Définir la loi de la variable aléatoire $X$. 
On peut considérer que, choisir au hasard un échantillon de 400 personnes, peut être assimilé à un tirage avec remise de 400 personnes dans la population totale.

Or la probabilité qu'une personne souffre d'une malformation cardiaque de type anévrisme est 

$P\(M\) =0,1$ d'après le texte.

Donc on peut dire que la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de personnes souffrant de cette malformation cardiaque suit une loi binomiale de paramètres $n=400$ et $p=0,1$.  

\item %Déterminer $P(X = 35)$. 
Comme $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B\(400\,; 0,1\)$,
$P\(X=35\)=\ds\binom{400}{35}\,0,1^{35}\(1-0,1\)^{400-35}$; 

le résultat donné par la calculatrice est approximativement $\np{0,0491}$.

\item %Déterminer la probabilité que $30$ personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.

La probabilité que $30$ personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme est $P\(X \pg 30\)$ qui est égale à $1-P\(X < 30\)=1-P\(X \pp 29\)$.

D'après la calculatrice, $P\(X \pp 29\) \approx \np{0,0357}$,
donc $P\(X \pg 30\) \approx \np{0,9643}$.

\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On considère la variable aléatoire $F$, définie par $F = \dfrac{X}{400}$, $X$ étant la variable aléatoire de la \textbf{partie B}.
 
On sait que si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B\(n\,, p\)$, alors l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F=\dfrac{X}{400}$ au seuil de $95$\,\% est donné par: 

$I=
\left[ 
p-1,96\dfrac{\sqrt{p\(1-p\)}}{\sqrt n}\,;\,
p+1,96\dfrac{\sqrt{p\(1-p\)}}{\sqrt n}
\right]\\
\phantom{I}
= 
\left[ 
0,1-1,96\dfrac{\ds \sqrt{0,1\(1-0,1\)}}{\ds\sqrt{400}}\,;\,
0,1+1,96\dfrac{\ds \sqrt{0,1\(1-0,1\)}}{\ds\sqrt{400}}
\right]
=
\left[ 
\np{0,0706}\,;\, \np{0,1294} \rule[0pt]{0pt}{10pt}
\right]
$

%Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de $95$\,\%. 
\item Dans l'échantillon considéré, $60$~personnes présentent une malformation cardiaque de type anévrisme; $\dfrac{60}{400}= 0,15 \not \in I$.
 
%Qu'en pensez-vous? 

Le taux de malades dans cet échantillon est anormalement élevé.

\end{enumerate}
\end{document}