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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} 
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} 
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Amérique du Sud novembre 2007},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small novembre 2007} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Sud 
~\decofourright\\novembre 2007} 
\end{center} 

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Voir l'annexe.
%On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.
%
%La figure ci-dessous montre une partie de sa courbe représentative $(\mathcal{C}_{f})$ dans un repère orthonormal \Oij.
%
%\medskip
%
%On dispose des renseignements suivants sur la fonction $f$ et la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~2], elle est strictement décroissante sur l'intervalle $]- \infty~;~ 0]$ et sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$ ;
%\item[$\bullet~$]	la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ passe par l'origine du repère et par les points A(1~;~e) et B(2~;~4) ;
%\item[$\bullet~$]	la droite (OA) est tangente en A à la courbe $(\mathcal{C}_{f})$ et l'axe des abscisses est asymptote à $(\mathcal{C}_{f})$ en $+ \infty$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et on appelle $F$ la primitive de $f$ sur $\R$ telle que $F(0) = 0$.
% 
%\medskip
% 
%\psset{unit=1.2cm}
%\begin{pspicture}(-2,-1)(8,5)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1.95,-0.95)(8,5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psline(-0.368,-1)(1.8394,5)
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.607}{8}{x 2 exp 2.71828 2 x sub  exp mul}
%\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1,2.71828)(2,4) \uput[ul](1,2.71828){A} \uput[ur](2,4){B} \uput[u](4.15,2.1){\blue $(\mathcal{C}_{f})$}
%\end{pspicture}
% 
%\bigskip
% 
%\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, en utilisant les informations données par l'énoncé, cocher la cas V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse) sur l'annexe $1$ à rendre avec votre copie. Il n'est pas demandé de justifier les réponses. Une réponse exacte rapporte $0,5$ point; une réponse inexacte enlève $0,25$ point; l'absence de réponse n'enlève aucun point et n'en rapporte aucun. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est $0$.}

%\begin{enumerate}
%\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
%\item L'équation $f(x) =  0,1$ admet exactement deux solutions dans $\R$.
%\item $f'(1) = f(1)$.
%\item $\displaystyle\int_{2}^4 f(x)\,\text{d}x < 5$.
%\item $\displaystyle\int_{1}^3 f'(x)\,\text{d}x < 1$.
%\item La fonction $F$ est croissante sur $\R$.
%\item $F(5) > F(6)$.
%\item La fonction $f'$ est croissante sur l'intervalle [0~;~ 2].
%\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidat n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Une revue professionnelle est proposée en deux versions : une édition papier et une édition électronique consultable via internet. Il est possible de s'abonner à une seule des deux éditions ou de s'abonner à l'édition papier et à l'édition électronique.
%
%L'éditeur de la revue a chargé un centre d'appel de démarcher les personnes figurant sur une liste de lecteurs potentiels.
% 
%On admet que lorsqu'un lecteur potentiel est contacté par un employé du centre d'appel, la probabilité qu'il s'abonne à l'édition papier est égale à $0,2$ ; s'il s'abonne à l'édition papier, la probabilité qu'il s'abonne aussi à l'édition électronique est égale à $0,4$ ; s'il ne s'abonne pas à l'édition papier, la probabilité qu'il s'abonne à l'édition électronique est égale à $0,1$.
%
%\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Une personne figurant sur la liste de lecteurs potentiels est contactée par un employé du centre d'appel.

%On note :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $A$ l'évènement \og la personne s'abonne à l'édition papier \fg,
%\item[$\bullet~$] $B$ l'évènement \og la personne s'abonne à l'édition électronique \fg,
%\item[$\bullet~$] $\overline{A}$ l'évènement contraire de A, $\overline{B}$ l'évènement contraire de $B$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item~  %Reproduire et compléter l'arbre suivant :

\medskip

\begin{center}\psset{arrows=->}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,2}}
	  { 
		  \TR{$B$}\taput{0,4}
		  \TR{$\overline{B}$} \tbput{0,6} 
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{0,8}}
	  {
		  \TR{$B$}\taput{0,1}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{0,9} 
	  }	
}
\end{center}

\medskip

	\item %Donner la probabilité de $\overline{B}$ sachant $A$ et la probabilité de $\overline{B}$ sachant $\overline{A}$.
On a $p_A\left(\overline{B}\right) = 1 - 0,4 = 0,6$.
	
De même $p_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right) = 1 - 0,1 = 0,9$.	
\end{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la probabilité que la personne contactée s'abonne à l'édition papier et à l'édition électronique.
On a $p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B) = 0,2 \times 0,4 = 0,08$.
		\item  %Justifier que la probabilité de l'évènement $B$ est égale à $0,16$.
D'après la loi des probabilités totales :

$p(B) = p(A \cap B) + p\left(\overline{A} \cap B \right) = 0,08 + 0,8 \times 0,1 = 0,08 + 0,08 = 0,16$.
		\item  %Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
		On a $p(A \cap B) = 0,08$ et $p(A) \times p(B) = 0,2 \times 0,16 = 0,32$.
		
Donc $p(A \cap B) \ne p(A) \times p(B)$ : les évènements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
 	\end{enumerate}
\item %On suppose que la personne contactée s'est abonnée à l'édition électronique. Quelle est alors la probabilité qu'elle soit aussi abonnée à l'édition papier ?
Il faut trouver :

$p_B(A) = \dfrac{p(B \cap A)}{p(B)} = \dfrac{0,08}{0,16} = \dfrac{1}{2} = 0,5$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

%Pour chacune des personnes contactée, le centre d'appel reçoit de l'éditeur de la revue
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 2 \euro{} si la personne ne s'abonne à aucune des deux éditions ;
%\item[$\bullet~$] 10 \euro{} si la personne s'abonne uniquement à l'édition électronique ;
%\item[$\bullet~$] 15 \euro{} si la personne s'abonne uniquement à l'édition papier ;
%\item[$\bullet~$] 20 \euro{} si la personne s'abonne aux deux éditions.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item ~%Reproduire et compléter, sans donner de justification, le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme reçue par le centre d'appel pour une personne contactée.

\medskip

\begin{center}\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Somme reçue en \euro{}	&2		&10		&15		&20\\   \hline
Probabilité				&0,72	&0,08	&0,12	&0,08\\   \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\item  %Proposer, en expliquant votre démarche, une estimation de la somme que le centre d'appel recevra de l'éditeur s'il parvient à contacter \np{5000} lecteurs potentiels.
L'espérance de la loi de probabilité précédente est égale à :

$2 \times 0,72 + 10 \times 0,08 + 15 \times 0,12 + 20 \times 0,08 = 1,44 + 0,8 + 1,8  + 1,6 = 5,64$~(\euro{}) pour une personne contactée en moyenne.

Donc pour \np{5000} lecteurs potentiels on peut espérer récupérer :

$\np{5000} \times 5,64 = \np{28200}$~(\euro).
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidat ayant  choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~7]
%et tout réel $y$ de l'intervalle [0~;~5] par :

\[f(x~;~y) = 4x + 3y + xy.\]

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On appelle $\mathcal{S}$ la surface représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal de l'espace.
%
%La figure ci-après, à rendre avec la copie, donne une vue de la surface $\mathcal{S}$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\func{x y  mul  4 x mul add  3 y mul add 10 div}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,linewidth=1.pt}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(10,10)
%\psgrid
\psset{Beta=25,Alpha=160,xsubticks=7,ysubticks=5}%
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=7,yMax=5,zMax=8,linewidth=1pt,drawing=False]
\pstThreeDPut(3.5,-1.5,0){$x$} \pstThreeDPut(8,2.2,0){$y$}
\pstThreeDPut(-0.85,-0.3,3.6){$z$}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=gray}
\pstThreeDPlaneGrid(0,0)(7,5)
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=5](0,0)(7,8)
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz](0,0)(5,8)
\multido{\n=0+1}{8}{\pstThreeDPut(\n,-1,0){\n}}%graduation
\multido{\n=0+1}{6}{\pstThreeDPut(7.5,\n,0){\n}}%graduation
\multido{\n=0+1,\na=0+10}{9}{\pstThreeDPut(-0.5,0,\n){\na}}%graduation


\psset{linewidth=1.25pt}
\newgray{gris}{0.25}
\parametricplotThreeD(0,2.5){t 10 4 t mul sub t 3 add div 1}
\parametricplotThreeD(0.5556,5){t 20 4 t mul sub t 3 add div 2}
\parametricplotThreeD(1.667,7){t 30 4 t mul sub t 3 add div 3}
\parametricplotThreeD(2.8,7){t 40 4 t mul sub t 3 add div 4}
\parametricplotThreeD(4,7){t 50 4 t mul sub t 3 add div 5}
\parametricplotThreeD(5,7){t 60 4 t mul sub t 3 add div 6}
\parametricplotThreeD(6.1,7){t 70 4 t mul sub t 3 add div 7}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=green]{
\parametricplotThreeD(0,2.5){t 10 4 t mul sub t 3 add div 1}
\pstThreeDLine(2.5,0,1)(0,0,0)(0,3.333,1)}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD(0,2.5){t 10 4 t mul sub t 3 add div 1}
\pstThreeDLine(2.5,0,1)(5,0,2)
\parametricplotThreeD(5,0.5556){t 20 4 t mul sub t 3 add div 2}
\pstThreeDLine(0.5556,5,2)(0,5,1.5)(0,3.333,1)}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]{
\parametricplotThreeD(5,0.5556){t 20 4 t mul sub t 3 add div 2}
\pstThreeDLine(0.5556,5,2)(1.667,5,3)
\parametricplotThreeD(1.667,7){t 30 4 t mul sub t 3 add div 3}
\pstThreeDLine(7,0.2,3)(7,0,2.8)(5,0,2)}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=magenta]{
\parametricplotThreeD(1.667,7){t 30 4 t mul sub t 3 add div 3}
\pstThreeDLine(7,0.2,3)(7,1.2,4)
\parametricplotThreeD(7,2.8){t 40 4 t mul sub t 3 add div 4}
\pstThreeDLine(2.8,5,4)(1.6667,5,3)}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\parametricplotThreeD(7,2.8){t 40 4 t mul sub t 3 add div 4}
\pstThreeDLine(2.8,5,4)(3.889,5,5)
\parametricplotThreeD(3.889,7){t 50 4 t mul sub t 3 add div 5}
\pstThreeDLine(7,2.2,5)(7,1.2,4)}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan]{
\parametricplotThreeD(3.889,7){t 50 4 t mul sub t 3 add div 5}
\pstThreeDLine(7,2.2,5)(7,3.2,6)
\parametricplotThreeD(7,5){t 60 4 t mul sub t 3 add div 6}
\pstThreeDLine(5,5,6)(3.8889,5,5)}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red]{
\parametricplotThreeD(6.1,7){t 70 4 t mul sub t 3 add div 7}
\pstThreeDLine(7,4.2,7)(7,5,7.8)(6.11,5,7)}

\psset{linewidth=1.pt}

\psplotThreeD[xPlotpoints=14,yPlotpoints=10,drawStyle=xyLines,linecolor=blue](0,7)(0,5){\func}

\psline[linewidth=1.75pt,linecolor=red](1.5,2.8)(8,6.8)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](4.2,4.45)(6,3.6)
\uput[ul](4.2,4.45){A}\uput[ur](6,3.6){B}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{enumerate}
\item %A est le point de $\mathcal{S}$ d'abscisse 3 et d'ordonnée 4, B est le point de $\mathcal{S}$ d'ordonnée 2 et de cote 40.
	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A et B sur la figure.
Voir la figure.
		\item %Déterminer la valeur exacte de la cote du point A et la valeur exacte de l'abscisse du point B.
Pour A : $f(3~;~4) = 12 + 12 + 12 = 36$, est la cote de A ;

Pour B : $f(x~;~2) = 4x + 6 + 2x = 40$ soit $6x + 6 = 40$ ou $6x = 34$ et $x = \dfrac{17}{3}$.		
	\end{enumerate}
\item %On appelle $\mathcal{L}$ l'intersection de la surface $\mathcal{S}$ et du plan d'équation $y = 4$.
	
%Déterminer la nature de l'ensemble $\mathcal{L}$ et surligner en couleur cet ensemble sur la figure.
On a donc $\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&4\\
z&=&4x + 3y + xy
\end{array}\right.$ soit $\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&4\\
z&=&4x + 12 + 4x
\end{array}\right.$ ou encore $\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&4\\
z&=&8x + 12
\end{array}\right.$

$\mathcal{L}$ est donc l'intersection de deux plans donc une droite colorée en rouge sur la figure.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip

%Les activités d'une grosse entreprise sont réparties entre deux secteurs : le
%secteur P (production) et le secteur C (commercialisation).
%
%Cette entreprise envisage d'investir au cours de l'année 2008 jusqu'à
%7~millions d'euros dans le secteur P et jusqu'à 5~millions d'euros dans le
%secteur C. 
%
%Le service chargé d'évaluer l'effet de ces investissements sur le
%chiffre d'affaire 2009 de l'entreprise, propose le modèle suivant :
%
%Pour $0 \leqslant x \leqslant 7$ et $0 \leqslant y \leqslant 5$, si l'entreprise investit au cours de l'année 2008, $x$ millions d'euros dans le secteur P et $y$ millions d'euros dans le
%secteur C, cela entraînera en 2009 une hausse du chiffre d'affaire égale à
%$f(x~;~y)$ millions d'euros.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la hausse du chiffre d'affaire 2009 prévue par ce modèle dans chacun des cas suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item $x = 3$ et $y = 5$, donc $f(3~;~5) = 4\times 3 + 3\times 5 + 3\times 5 = 12 + 15 + 15 = 42$~millions d'euros.
		\item $x = 7$ et $y = 1$, donc $f(7~;~1) = 4\times 7 + 3\times 1 + 7\times 1 = 28 + 3 7 = 38$~millions d'euros.
	\end{enumerate}
\item %On suppose que l'entreprise décide de fixer à 8 millions d'euros le montant
%total des investissements prévus au cours de l'année 2008.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, sous cette contrainte, on peut exprimer $f(x~;~y)$ en fonction
%de $x$ seulement. On note $g(x)$ l'expression ainsi obtenue. Vérifier
%que :
On a donc $x + y = 8$, soit $y = 8 - x$.

On a donc $f(x~;~y) = 4x + 3(8 - x) + x(8 - x) = 4x + 24 - 3x + 8x - x^2 = - x^2 + 9x + 24$.

Donc $g(x) = - x^2 + 9x + 24.$
%		\[g(x) = - x^2 + 9x + 24.\]
		
		\item %Selon le modèle proposé, comment faudra-t-il répartir entre les secteurs
%P et C les 8 millions euros à investir au cours de l'année 2008 pour obtenir
%une hausse maximale du chiffre d'affaire de l'année 2009 ?
La hausse est représentée par un trinôme du second degré ; le maximum de ce trinôme est obtenu quand sa dérivée s'annule.

Or $g'(x) = - 2x + 9$ et $g'(x) = 0 \iff x = \dfrac{9}{2} = 4,5$.

Il faudra donc investir 4,5~millions d'euros dans le secteur P et 3,5~millions d'euros dans le secteur C pour une hausse maximale de :

$g(4,5) = - 4,5^2 + 9\times 4,5 + 24 = 44,25$~millions d'euros. 	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

%Une banque propose à ses clients de s'abonner au service \og bank.net \fg{} qui permet de consulter son compte et d'effectuer des transactions via une connexion internet.
%
%Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de clients de la banque et du nombre de clients abonnés à \og bank.net \fg{} de l'année 2001 à l'année 2006.
% 
%$y_{i}$ est le nombre de milliers de clients de la banque au 1\up{er} janvier de l'année de rang $x_{i}$,
% 
%$q_{i}$ est le nombre de milliers de clients de la banque abonnés à \og bank.net \fg{} au 1\up{er} janvier de l'année de rang $x_{i}$.
% 
%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année					&2001&2002&2003&2004&2005&2006\\  \hline
%Rang de l'année :
% $x_{i}$						&1		&2		&3	&4		&5		&6\\ \hline
%Nombre de clients :
% $y_{i}$ (en milliers)			&298	&310	&321&330	&339	&348\\ \hline
% {\small Nombre d'abonnés à \og bank.net
%\fg{} : $q_{i}$ (en milliers)}	&45		&53		&63	&74		&87		&103\\  \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Les séries statistiques $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ et $\left(x_{i}~;~q_{i}\right)$ sont représentées sur la figure de l'annexe 2.


\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer le pourcentage de clients de la banque abonnés à \og bank.net \fg{} au 1\up{er} janvier de l'année 2001 (donner le résultat arrondi à l'unité).
$\dfrac{45}{298} \times 100 \approx 15\,\%$ des clients de la banque sont abonnés à \og bank.net \fg{} au 1\up{er} janvier de l'année 2001.
		\item  %Calculer le taux d'accroissement du nombre de clients de la banque abonnés à \og bank.net \fg{} entre le 1\up{er}~janvier 2001 et le 1\up{er}~janvier 2006 (ce taux sera exprimé en pourcentage et arrondi à l'unité).
$\dfrac{103 - 45}{45}\times 100 \approx 129\,\%$ : taux d'accroissement du nombre de clients de la banque abonnés à \og bank.net \fg{} entre le 1\up{er}~janvier 2001 et le 1\up{er}~janvier 2006.
	\end{enumerate}
\item  %Modélisation de l'évolution du nombre de clients de la banque par un ajustement affine.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Le coefficient directeur sera arrondi au dixième et l'ordonnée à l'origine sera arrondie à l'unité.
La calculatrice donne $y = 9,9x + 290$.
		\item %En supposant que l'évolution se poursuive selon ce modèle, donner une estimation du nombre de clients de la banque au premier janvier 2010.
2010 correspond au rang 10. On a donc l'estimation :
	
$y = 9,9\times 10 + 290 = 99 + 290 = 389$ soit \np{389000} clients en 2010.
	\end{enumerate}
\item %La forme du nuage de points de coordonnées $(x_{i}~;~ q_{i})$ permet d'envisager un ajustement exponentiel.

%En effectuant le changement de variable $z_{i} = \ln \left(q_{i}\right)$, on obtient la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode	des moindres carrés d'équation 
%	
%$z = 0,165x + 3,642$.
\begin{enumerate}
\item %En déduire une expression de $q$ en fonction de $x$ de la forme $q = k A^x$ et donner les valeurs approchées arrondies au centième des constantes $k$ et $A$.
$z = \ln q  =  \iff q = \text{e}^{0,165x + 3,642} = \text{e}^{3,642} \times \text{e}^{0,165x} =\text{e}^{3,642} \times \left(\text{e}^{0,165}\right)^x$.

Comme $\text{e}^{3,642} \approx 38,17$ et $\text{e}^{0,165} \approx 1,18$, on a finalement :

$q \approx 38,17 \times 1,18^x$.
\item %On admet que l'évolution du nombre de clients abonnés à \og bank.net \fg{} entre les années 2001 et 2006 peut être modélisée par la relation 

%$q = 38,17 \times (1,18)^x$. En supposant que l'évolution se poursuive selon ce modèle, donner une estimation du nombre de clients abonnés à \og bank.net \fg{} au 1\up{er} janvier 2010.
Avec cette estimation on obtient pour 2010, soit pour $x = 10$ :

$q \approx 38,17 \times 1,18^{10} \approx 199,8$.

Donc pratiquement \np{200000} clients de la banque seront abonnés à \og bank.net \fg{} en 2010.
\item %Quel serait, selon l'estimation obtenue à la question 2. b. et l'estimation précédente, le pourcentage de clients de la banque abonnés à \og bank.net \fg{} au 1\up{er} janvier 2010 ?
Selon les deux estimations en 2010 sur 389 milliers de clients 200 seraient à \og bank.net \fg{} soit $\dfrac{200}{389} \times 100 \approx 51,4\,\%$.
\end{enumerate}

\item %On suppose que, jusqu'au 1\up{er} janvier 2016, le nombre de clients de la banque évolue selon le modèle obtenu à la question \textbf{2. a.} et le nombre de clients de la banque abonnés à \og bank.net \fg{} évolue selon le modèle donné à la question 3. b.

%À l'aide de ces deux modèles, quelles prévisions obtient-on pour 2016 ?
 
%Qu'en pensez-vous ?
2016 correspond au rang $x = 16$.

Le nombre de clients serait $9,9 \times 16 + 290 = 448,4$ milliers et 

le nombre d'abonnés à \og bank.net \fg{} serait $38,17 \times 1,18^{16} \approx 539,3$~milliers, ce qui est stupide puisque supérieur au nombre de clients.

Conclusion : l'un au moins des deux modèles n'est pas correct.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

%On admettra que les fonctions considérées dans cet exercice sont dérivables sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
%
%Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :
%
%\[f(x) = (2 - \ln x) \ln x.\]
%
%La figure ci-dessous donne la courbe représentative $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.
%
%La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe des abscisses en A(1 ; 0) et en B.
%	
%La tangente en C à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ est parallèle à l'axe des abscisses et la tangente en A à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe des ordonnées en D.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1.2cm}
%\begin{pspicture}(-1,-3)(9,2)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,griddots=10,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=1pt](0,0)(0,-3)(9,2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-3)(9,2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psline(2,2)(-0.5,-3)
%\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.366}{9}{2 x ln sub x ln mul}
%\uput[ul](1,0){A} \uput[ur](7.389,0){B}
%\uput[u](2.718,1){C} \uput[ul](0,-2){D}
%\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
%\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.7183,1)(7.39,0)
%\psline{<->}(1.718,1)(3.718,1)
%\uput[dl](0,0){O}\uput[u](5.5,0.5){\blue $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer l'abscisse du point B (la valeur exacte est demandée).
B a une ordonnée nulle ; or $f(x) = 0 \iff (2 - \ln x )\ln x  = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
2 - \ln x&=&0\\
\ln x&=&0
\end{array}\right.$

$ \iff \left\{\begin{array}{l c l}
2  &=&\ln x\\
\ln x&=&0
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
\text{e}^2  &=&x\\
x&=&1
\end{array}\right.$

La solution $x = 1$ correspond au point A et la solution $x = \text{e}^2$ au point B.
\item  %Calculer la limite de $f$ en $0$ et la limite de $f$ en $+\infty$.
$\bullet~~$On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} (2 - \ln x) = + \infty$ et par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.

$\bullet~~$On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (2 - \ln x) = - \infty$ et par produit de limites 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
\item  %On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$,
En dérivant $f$ comme un produit de fonctions :

$f'(x) - \dfrac{1}{x}\times \ln x + (2 - \ln x) \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{-\ln x + 2 - \ln x}{x} = \dfrac{2 - 2\ln x}{x} = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}$.
%\[f'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}\]

		\item  %Déterminer les coordonnées du point C et l'ordonnée du point D (les valeurs exactes sont demandées).
La tangente en C est horizontale, donc en ce point le nombre dérivé est nul ; or 

$f'(x) = 0 \iff \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}$ soit $1 - \ln x = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = \text{e}$.

C a pour abscisse e $ \approx 2,718$.

L'équation de la tangente en A d'abscisse 1 est : $y - 0 = f'(1)(x - 1)$ soit $y = 2(x - 1)$.

Cette tangente coupe l'axe des ordonnées pour $x = 0$, soit $y = - 2$.

D a pour ordonnée $- 2$.
	 \end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par
		
%\[g(x) = x[f(x) + 2\ln x - 4].\]
%
%Démontrer que $g$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
La fonction $g$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$g'(x) = f(x) + 2\ln x - 4 + x\left[f'(x) + \dfrac{2}{x}\right] = f(x) + 2\ln x - 4 + x \times \dfrac{2(1 - \ln x)}{x} + 2 = $

$f(x) + 2\ln x - 4 + 2(1 - \ln x) + 2 = f(x) + 2\ln x - 4 +  2 - 2\ln x + 2 = f(x)$.

Conclusion $g$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item  %Calculer $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}^2} f(x)\, \text{d}x$ et donner une interprétation géométrique de cette intégrale.
On a donc :

$\displaystyle\int_{1}^{\text{e}^2} f(x)\, \text{d}x = $

$\left[g(x) \right]_1^{\text{e}^2} =
 g\left(\text{e}^2 \right) - g(1) =
\text{e}^2\left[f\left(\text{e}^2\right) + 2\ln \text{e}^2 - 4\right] - \left(1[f(1) + 2\ln 1 - 4] \right) = $

$\text{e}^2\left(\left(2 - \ln \text{e}^2\right)\ln \text{e}^2  + 4 - 4\right) + 4 =  4$~unités d'aire.

Sur l'intervalle $\left[1~;~\text{e}^2\right]$, la fonction $f$ est positive, donc l'intégrale calculée ci-dessus est égale à l'aire, en unités d'aire de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}^2$.

On vérifie (approximativement) que cette aire vaut quatre unités. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Annexe 1 (à rendre avec sa copie)}

\bigskip

\begin{center}  \textbf{Exercice 1} \end{center}

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{10cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Affirmations}&	V&	F\\  \hline
\rule[-4mm]{0mm}{5mm}\textbf{a.}~ $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = -  \infty$.& & $\bullet$\\  \hline
\textbf{b.}~ L'équation $f(x) =  0,1$ admet exactement deux solutions dans $\R$.\rule[-4mm]{0mm}{5mm} &&$\bullet$\\  \hline
\rule[-4mm]{0mm}{5mm}\textbf{c.}~ $f'(1) = f(1)$.&$\bullet$&\\  \hline
\textbf{d.}~ $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\,\text{d}x < 5$.\rule[-4mm]{0mm}{5mm} &&$\bullet$\\  \hline
\rule[-4mm]{0mm}{5mm}\textbf{e.}~ $\displaystyle\int_{1}^3 f'(x)\,\text{d}x < 1$.&$\bullet$&\\  \hline
\rule[-4mm]{0mm}{5mm}\textbf{f.}~ La fonction $F$ est croissante sur $\R$.&$\bullet$&\\  \hline
\rule[-4mm]{0mm}{5mm}\textbf{g.}~ $F(5) > F(6)$.&&$\bullet$\\  \hline
\rule[-4mm]{0mm}{5mm}\textbf{h.}~ La fonction $f'$ est croissante sur l'intervalle [0~;~2].&&$\bullet$\\  \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{Annexe 2 }

\bigskip

\begin{center} \textbf{Exercice 3} \end{center}

Représentation graphique des séries statistiques $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ et $\left(x_{i}~;~q_{i}\right)$

\medskip
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture}(10,400)
\psdots[dotstyle=square*,dotscale=2](1,45)(2,53)(3,63)(4,74)(5,87)(6,103)
\psdots[dotstyle=triangle*,dotscale=2](1,298)(2,310)(3,321)(4,330)(5,339)(6,348)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,400)}
\multido{\n=0+50}{9}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=50](0,0)(10,400)
\end{pspicture} 
\end{center} 
\end{document} 