\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{pdflscape}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Sujet aimablement fourni par Denis Le Fur et Christelle Tomasini
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,graphicx,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du brevet des collèges},
pdftitle = {Amérique du Sud  novembre 2012},
allbordercolors = white}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[frenchb]{babel}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Amérique du Sud~\decofourright\\novembre 2012}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapporte 1 point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point.\\ 
%Aucune justification n'est demandée.\\ 
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.}
%
%\bigskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%\textbf{1.}& Quelle est l'expression développée de  $(3x + 5 )^2$ ?& 
%$9x^2 + 15x + 25$& $9x^2 + 25$& $9x^2+ 30x + 25$\\ \hline 
%\textbf{2.}& Quelle est l'expression factorisée de $16x^2 - 49$ ?&$(4x - 7)^2$& $(4x + 7)(4x - 7)$& $(16x + 7)(16x - 7)$\\ \hline 
%\textbf{3.}&Quelle est la valeur exacte de $\dfrac{\sqrt{48}}{2}$ ?& $\sqrt{24}$& 
%$3,64$& $2\sqrt{3}$\\ \hline 
%\textbf{4.}& La fonction \qquad \qquad$f\:: x \longmapsto 5 - 4x$ est &linéaire &affine &ni linéaire, ni affine\\ \hline 
%\textbf{5.}&L'écriture scientifique de \np{65100000} est& $6,51 \times  107$& 
%$651 \times 10^5$ & $6,51 \times 10^{- 7}$\\ \hline
%\end{tabularx} 
\begin{enumerate}
\item $(3x + 5)^2 = 9x^2 + 25 + 30x$.
\item $16x^2 - 49 = (4x)^2 - 3^2 = (4x + 3)(4x - 3)$
\item $\dfrac{\sqrt{48}}{2}  = \dfrac{\sqrt{16 \times 3}}{2} = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
\item Fonction affine
\item $\np{65100000} = 6,51 \times 10^7$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

%Pour gagner le gros lot dans une fête foraine, il faut d'abord tirer une boule rouge dans une urne, puis obtenir un multiple de trois en tournant une roue.
%
%\medskip
%
%\parbox{0.65\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item %L'urne contient 6 boules vertes, 5 boules blanches et des boules rouges. 

%Le responsable annonce \og 50\,\% de chances de tirer une boule rouge \fg. 
Il faut qu'il y ait autant de boules que d'autres couleurs soit $6 + 5 = 11$ boules rouges.
%Combien y a-t-il de boules rouges dans l'urne ? 
\item %On fait maintenant tourner la roue séparée en 8 secteurs numérotés de 1 à 8 comme indiqué ci-contre.
 
%Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ?
Il y a 2 multiples de 3 sur les 8 sorties possibles ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = 0,25$. 
\item %Pierre décide de participer au jeu.
Il faut d'abord tirer une boule rouge (1 chance sur 2), puis obtenir un multiple de 3 (1 chance sur 4).

Sa probabilité de gagner le gros lot est donc égale à $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8} = 0,125 = 12,5\,\%$. 
%Quelle est la probabilité qu'il gagne le gros lot ?
\end{enumerate}
%} \hfill
%\parbox{0.32\linewidth}{
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2.5)
%\pscircle(0,0){2}
%\multido{\n=40+45}{9}{\psline(0;0)(2;\n)}
%\multido{\na=1+1,\nb=66.5+45.0}{8}{\rput(1;\nb){\na}}
%\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0;0){0.5}
%\psline[linewidth=1.5pt,\arrowsize=2.5pt 3]{->}(0,2.5)(0,1.7)
%\end{pspicture}
%}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Les nombres $555$ et $240$ sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
Les nombres $555$ et $240$  ne sont pas  premiers entre eux puisqu'ils un diviseur commun  évident : 5.
\item %Écrire la fraction $\dfrac{240}{555}$ sous la forme la plus simple possible. Expliquer la démarche.
$\dfrac{240}{555} = \dfrac{3 \times 5 \times 16}{5\times 3 \times 37} = \dfrac{16}{37}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
%\parbox{0.49\linewidth}{Pierre vient d'acheter un terrain dont on peut assimiler la forme à la figure ci-contre :
% 
%Il souhaite mettre du gazon sur tout le terrain. Pour cela il veut acheter un produit qui se présente en sac de 15~kg où il est écrit \og 1 kg pour 35 m$^2$ \fg.
% 
%\begin{enumerate}
%\item Combien de sacs de gazon devra-t-il acheter? 
%\item De plus, il voudrait grillager le contour de son terrain. Il dispose de 150~m de grillage, est-ce suffisant ? Justifier. 
%\end{enumerate}} \hfill
%\parbox{0.43\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(5,5.2)
%\pspolygon(0,0)(4.8,0)(2,4.8)(0,4.8)
%\psline[linestyle=dashed](2,4.8)(2,0)
%\psframe(0,0)(0.3,0.3) \psframe(2,0)(1.7,0.3)\psframe(2,4.8)(1.7,4.5)\psframe(0,4.8)(0.3,4.5)
%\uput[u](1,4.8){20 m}\uput[l](0,2.4){40 m} \uput[d](2.4,0){50 m}
%\uput[u](0,4.8){A} \uput[u](2,4.8){B} \uput[ur](4.8,0){C} \uput[ur](2,0){D} \uput[ul](0,0){E}
%\psline{<->}(0,-0.5)(4.8,-0.5) 
%\end{pspicture}}
%
%\bigskip
\begin{enumerate}
\item La surface se divise en un rectangle d'aire $40 \times 20 = 800$~m$^2$ et un triangle rectangle d'aire $\dfrac{40 \times (50 - 20)}{2} = 20\times 30 = 600$~m$^2$.

L'aire du terrain est donc égale à $800 + 600 = \np{1400}$~m$^2$.

On aurait pu calculer directement l'aire du trapèze : $\dfrac{(50 + 20) \times 40}{2} = 70 \times 20 = \np{1400}$~m$^2$.
\item Il manque la longueur BC.

Dans le triangle BDC rectangle en D, le théorème de Pythagore s'écrit BC$^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + \np{1600} = \np{2500} = 50^2$, donc BC = 50~m.

Le périmètre du terrain est égal à :

$20 + 50 + 50 + 40 = 160$~m. Il lui manque 10~m de grillage.
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

%\parbox{0.51\linewidth}{Deux bateaux sont au large d'une île et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. On peut schématiser leurs positions A et B comme indiquées ci-contre. Ils constatent qu'ils sont séparés de 800~m, et chacun voit l'île sous un angle différent.
% 
%Déterminer, au m près, la distance qui sépare chaque bateau de l'île.}
%\hfill
%\parbox{0.39\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(5,3.5)
%\pspolygon(0,2.8)(4.5,2.8)(3.2,0.5)
%\uput[u](0,2.8){A}\uput[u](4.5,2.8){B}\uput[d](3.2,0.5){I (\^{\i}le)}
%\uput[u](2.25,2.8){800 m}\uput[dr](0.35,2.84){35\,\degres}\uput[dl](4.3,2.65){55\,\degres}
%\pswedge(0,2.8){4mm}{-33}{0}\pswedge(4.5,2.8){4mm}{180}{234}
%\end{pspicture}}
On a $\widehat{\text{AIB}} = 180 - (55 + 35) = 180 - 90 = 90$\degres. Le triangle AIB est donc rectangle en I.

On a donc AI $ = \text{AB}\cos \widehat{\text{BAI}} = 800 \cos 35  \approx 655,3$ soit 655~m au mètre près.

De même BI $ = \text{BA} \cos \widehat{\text{ABI}} = 800 \cos 55 \approx 458,8$ soit 459~m au mètre près.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

%\parbox{0.45\linewidth}{On considère la figure ci-contre où les droites (EF) et (MN) sont parallèles, les droites (EN) et (FM) sont sécantes en P. 
%
%Déterminer la longueur MN.}
%\hfill
%\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm} 
%\begin{pspicture}(6,6)
%\pspolygon(0.2,0)(0.6,1.7)(4.6,1.7)(5.6,5.7)
%\uput[ul](0.2,0){F}\uput[ur](5.6,5.7){M}\uput[r](4.6,1.7){N}\uput[ul](0.6,1.7){E}
%\uput[u](1.3,1.7){2}\uput[l](0.33,1){3} \uput[d](3.,1.7){5}
%\end{pspicture}}
Les conditions de la proposition de Thalès sont réunies. On a donc 

$\dfrac{\text{MN}}{3} = \dfrac{5}{2}$ d'où MN $ = 3 \times \dfrac{5}{2} = 7,5$.
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Le lancer de poids}

\medskip 

%\emph{Les différentes parties de ce problème sont indépendantes et peuvent être traitées séparément. Un formulaire est disponible en dernière page.} 
%
%\bigskip
%
%Cette discipline sportive consiste à lancer un poids réglementaire, à partir d'un cercle, le plus loin possible. 
%
%\medskip

\textbf{I-} Le cercle de lancer 

\medskip

%\parbox{0.68\linewidth}{Pour effectuer son lancer, l'athlète doit prendre son élan dans un cercle de diamètre 2,14 m. 
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer l'aire du disque délimité par le cercle de lancer. 
%
%Pour être valable, le jet doit tomber à l'intérieur des deux lignes inscrites sur le sol et formant un secteur d'un angle de $40$\,\degres. (Voir schéma ci-contre). 
%\item Représenter le cercle et la zone de lancer à l'échelle $\dfrac{1}{50}$.
%\end{enumerate}}\hfill
%\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(3,6.5)
%\pscircle(1.5,1){1}\psline(0.5,1)(2.5,1)
%\uput[d](1.5,1){\footnotesize 2,14 m}
%\psline(1.5,1)(0.2,5)  \psline(1.5,1)(2.8,5)
%\psline[linestyle=dashed](0.2,5)(-0.1,6) \psline[linestyle=dashed](2.8,5)(3.1,6)
%\psarc(1.5,1){0.6cm}{73}{110}\uput[u](1.5,1.5){\footnotesize 40\,\degres}
%\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item Le disque a un diamètre de 2,14~m donc un rayon de 1,07~m. L'aire du disque est donc égale à : $\pi \times 1,07^2 = \np{1,1449}\pi \approx \np{3,5968}$ soit 3,6~$m^2$ environ.
\end{enumerate}
\item La figure ne présente aucune difficulté avec un rayon de 2,14~cm.
\medskip

\textbf{II-} Le poids 

\medskip

%Le poids est une boule métallique. 
%
%Pour être utilisé en compétition, il doit vérifier les conditions suivantes :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Poids &Homme &Femme\\ \hline 
%Diamètre &de 110 mm à 130 mm &de 95 mm à 110 mm\\ \hline 
%Masse &de 7,26 kg à 7,285 kg &de 4 kg à 4,025 kg\\ \hline
%\end{tabularx}
%\medskip 

%Un poids de diamètre 12~cm est composé d'un métal ayant une masse volumique de 8~g/cm$^3$. 
%
%Ce poids vérifie-t-il les conditions nécessaires pour être utilisé en compétition ?
Le diamètre fait que ce poids ne peut être utilisé que par des hommes.

Le volume de ce poids est égal à : $\dfrac{4}{3}\pi\times 6^3 = 288\pi$~cm$^3$.

Son poids est donc : $288\pi \times 8 = 2304\pi \approx \np{7238,3}$. Ce poids est insuffisant pour être utilisé en compétition hommes.
%\emph{Justifier votre réponse}.  
 
\medskip

\textbf{III -} Trajectoires 

\medskip

%\parbox{0.78\linewidth}{Pour une même impulsion, la longueur du jet du poids varie en fonction de l'angle de lancer (voir schéma ci-contre).
% 
%Les trois courbes (voir Annexe) représentent la hauteur (en m) en fonction de la distance horizontale (en m) parcourue par le poids.}\hfill 
%\parbox{0.2\linewidth}{\psset{unit=0.15cm}
%\begin{pspicture}(15,21)
%\pscurve(0.3,0)(0,0.3)(-0.2,0.5)(-0.1,1)(-0.2,1.4)(-0.4,1.6)(0,2)(0.4,2.5)(0.8,3)(1,3.6)(1.2,4)(1.5,4.5)(2,4.7)(2.1,5)(2,5.8)(1.9,6)(2,6.7)(2.2,7)(2.25,7.3)(2,7.4)(2.1,8)(2.2,8.7)(2.3,8.85)(2.5,8.9)(2.65,9)(2.7,10)(2.45,10.6)(2.55,11)(2.7,12)(2,12.3)(1.85,13)(2.2,13.2)(2.5,13.5)(3,13.7)(3.3,13.6)(3.5,13.3)(4,12.7)(4,12.7)(4.2,13)(4.7,13.5)(5,13.6)(5.2,14)(6,14.5)(6.4,14.7)(6.9,15)(7,15.3)(7,15.6)(7.4,15.7)(7.9,15.9)(8,15.5)(7.8,15.2)(7.4,15)(7,14.7)(6.6,14)(6,13.6)(5.5,13.45)(5.2,13)(5,12.6)(4.4,12)(4.8,11.8)(4.9,11.2)(5.3,11.3)(5.8,11.45)(6,11.4)(6.4,11)(6.1,10.9)(6,10.7)(5,10.5)(4.9,10)(4.8,9.7)(4.6,9)(4.4,8.6)(4.5,8)(4.55,7)(4.8,6)(4.9,5)(5,4)(5.25,3)(5.35,2)(5.6,1.5)(5.8,1)(5.8,0.8)(6,0.6)(6.3,0.3)(6.4,0)(5.5,0)(5,0.6)(4.7,0.7)(4.75,1.2)(4.8,1.7)(4.7,2)(4.2,3)(4,3.6)(4,4)(4,4.5)(3.6,5)(3,4)(2,3)(1.2,2)(1,1.7)(0.8,1)(0.65,0)
%\pscurve(3.2,13.3)(3,13)(2.85,12.85)(3,12.6)(3.3,12.4)(3.15,12)(3.2,11.25)(4,11)(4.6,11.5)
%\psline(-0.2,0)(1,0.1)(4,0)(6.8,0.15)
%\pscurve(2.4,8.75)(3,8.7)(4,8.6)(4.4,8.55)
%\pscurve(2.3,7.2)(3,7.3)(3.3,7.35)(3.5,7.6)(3.7,7.3)(4.4,7.15)
%\pscurve(0.1,1.75)(0.4,1)(0.45,0.8)(0.8,0.7)
%\pscurve(4.85,1.2)(5.2,1)(5.7,0.8)(5.9,0.9)
%\psframe(6.8,0)(8.2,0.6)
%\pscurve(4.3,7.25)(4,6)(3,4)
%\qdisk(8.3,16.2){0.6}
%\psline[linestyle=dashed](8.3,16.2)(15,16.2)
%\psline(8.3,16.2)(12.4,20)
%\psarc(8.3,16.2){1.8}{0}{40}
%\psarc(8.3,16.2){2.1}{0}{40}
%\end{pspicture}
%}
%
%\medskip
% 
%Les courbes (C1), (C2) et (C3) correspondent à des angles de lancer respectifs de 60\,\degres, 40\,\degres{} et 10\,\degres.
% 
%En utilisant ces courbes répondre aux questions suivantes :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %À quelle hauteur le poids est-il lâché ? 
Le poids est lâché à une hauteur de 2 mètres.
\item %Pour quel angle de lancer, la longueur du jet est-elle la plus grande ? 
L'angle est à peu près égal à 40\degres.
%Quelle est alors la distance obtenue pour ce lancer ? 
La distance est environ 19~m.
\item %Pour quel angle de lancer, le poids monte-t-il le plus haut ? 
Pour un angle de 60\degres. ; la hauteur maximum est alors de 8,5~m.
%Quelle est alors la hauteur maximum atteinte par le poids? 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{IV-} Performances

\medskip
 
%Voici les valeurs (en m) des lancers réalisés par les 11 finalistes qualifiés aux J. O. de 2008 :
% 
%\[20,06\:;\: 20,53\: ;\: 21,09\: ;\: 19,67\: ;\: 20,98\: ;\: 20,42\:;\: 21,51\: ;\: 21,04\: ;\: 20,41 \:;\: 20,63 \:;\: 21,05\]
 
\begin{enumerate}
\item %Les médailles d'or, d'argent et de bronze ont été obtenues respectivement par la Pologne, les États-Unis et la Biélorussie.
 
%Donner les longueurs de lancer de leurs athlètes.
L'athlète polonais  a réussi un lancer de 21,51~m, celui des États-Unis 21,09~m et le biélorusse 21,05~m. 
\item %Calculer la longueur de lancer moyenne de cette finale.
La longueur de lancer moyenne de cette finale a été :

$\dfrac{20,06 + 20,53+ 21,09+ 19,67+ 20,98+ 20,42+ 21,51+ 21,04+ 20,41 + 20,63 + 21,05}{8} \approx 20,67$~m. 
\item %L'ukrainien Yurly Bilonoh a réussi le lancer médian de cette finale. Quelle a été la longueur de son lancer ?
 Yurly Bilonoh a réussi le 6\up{e} lancer soit  20,63~m.
\item %Calculer le pourcentage des lanceurs qui ont franchi les 21 m.
4 lanceurs ont franchi les 21~m, soit un pourcentage de $\dfrac{4}{11}\times 100 \dfrac{400}{11} \approx 36,36\,\%$ 
\end{enumerate}

%\vspace*{-25cm}
%
%\begin{landscape}
%\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(-1,-6)(20,9)
%\rput{-90}(22,4.5){\textbf{ANNEXE}}
%\rput(10,9.5){REPÈRE}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=1.4pt,griddots=8](0,0)(20,9) 
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(20,9)
%%\psplot{0}{16}{x  431 mul 392 div x dup mul 15 196 div sub 2 add}
%\parabola(0,2)(7.5,8.5)\pscurve(15,2)(15.52,1)(16,0)
%\pscurve[linestyle=dashed](0,2)(2,3.7)(4,5.08)(6,5.92)(8,6.4)(10,6.28)(12,5.65)(14,4.65)(16,3.15)(18,1.3)(19,0)
%\pscurve[linecolor=blue](0,2)(2,2.2)(4,2.2)(6,1.98)(8,1.48)(10,0.75)(11.5,0)
%\rput(0,-1.5){\textbf{Formulaire}}
%\psframe(0,-2)(6,-6) \pscircle(1.5,-4){1.3}\psline(3,-2)(3,-6)\psline(3,-4)(6,-4)
%\rput(4.5,-3){$P = 2\pi r$} \rput(4.5,-5){$A = \pi r^2$}\psline{->}(1.5,-4)(2.8,-3.8) 
%\uput[u](2.15,-3.9){$r$}
%\psframe(8,-2)(14,-6) \pscircle(9.5,-4){1.3}\psline(11,-2)(11,-6)\psline(11,-4)(14,-4) 
%\rput(12.5,-3){$A = 4\pi r^2$} \rput(12.5,-5){$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$}
%\psellipse(9.5,-4)(1.3,0.4)\psline(9.5,-4)(10.8,- 4)\uput[ul](9.5,-4){O}\uput[u](10.25,-4){$r$}
%\rput(0.4,3.15){(C1)}\rput(1.2,2.7){(C2)}\rput(1.5,1.9){(C3)}
%\uput[r](0,8.8){hauteur en m}\uput[u](18.5,0){distance horizontale en m} 
%\end{pspicture} 
%\end{landscape}
\end{document}