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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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%\def\e{\text{e}}
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%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Baccalauréat spécialité},
%pdftitle = {Amérique du Sud 13 novembre 2025},
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\renewcommand{\d}{\text{\,d}}%le d de différentiation
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité Jour 1}
\lfoot{\small{Amérique du Sud - corrigé}}
\rfoot{\small{13 novembre 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Amérique du Sud~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ\\[7pt] Jour 1 -  13 novembre 2025}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\Large Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire. Ce restaurant propose des plats végétariens et des plats non végétariens.

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,9$.
\item Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,7$.
\end{itemize}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$, l'évènement \og l'étudiant a choisi un plat végétarien le $n$-ième jour \fg{} et $p_n$ la probabilité de $V_n$.

Le jour de la rentrée, l'étudiant a choisi le plat végétarien. On a donc $p_1 = 1$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Indiquer la valeur de $p_2$.
%Le jour de la rentrée, l'étudiant a choisi le plat végétarien. On a donc $p_1 = 1$.
Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,9$. Or $p_1=1$ donc $p_2=0,9$.

		\item %Montrer que $p_3 = 0,88$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
$p_3= P\left (V_3\right )$. On représente la situation par un arbre pondéré.

\begin{center}
\medskip
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,nodesepA=4pt,nodesepB=4pt]{\TR{$V_1$}}
{\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$V_2~$}\taput{$0,9$}}
	{\TR{$V_{3}$}\taput{$0,9$}
	\TR{$\overline{V_{3}}$}\tbput{$0,1$}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{V_2}$}\tbput{$0,1$}}
	{\TR{$V_{3}$}\taput{$0,7$}
	\TR{$\overline{V_{3}}$}\tbput{$0,3$}
	}
}
\end{center}

$\left \{ V_2\;,\; \overline{V_2} \right \}$ forme une partition donc, d'après la formule des probabilités totales:

$\aligned
p_3=P\left(V_3\right )
&  = P\left(V_2 \cap V_3\right ) +P\left(\overline{V_2} \cap V_3\right)
= P\left(V_2\right) \times P_{V_2}\left(V_3\right) + P\left (\overline{V_2} \right) \times P_{\overline{V_2} }\left(V_3\right)\\
& = 0,9\times 0,9+0,1\times 0,7 = 0,88
\endaligned$
	
\item Sachant que le $3\up{\text{e}}$ jour l'étudiant a choisi un plat végétarien,  la probabilité qu'il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent est:

$P_{V_3}\left (\overline{V_2}\right )= \dfrac{P\left(\overline{V_2} \cap V_3\right)}{P\left ( V_3\right )}
= \dfrac{0,1\times 0,7}{0,88} = \dfrac{7}{88}\approx 0,08$ au centième près.

%On arrondira le résultat à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
	
\newpage	
	
\item On complète l'arbre pondéré ci-dessous:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$V_n$}\taput{$p_n$}}
	{\TR{$V_{n+1}$}\taput{\blue $0,9$}
	\TR{$\overline{V_{n+1}}$} \tbput{\blue $0,1$}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{V_n}$}\tbput{\blue $1-p_n$}}
	{\TR{$V_{n+1}$}\taput{\blue $0,7$}
	\TR{$\overline{V_{n+1}}$}\tbput{\blue $0,3$}
	}
}
\end{center}

\item% Justifier que, pour tout entier naturel $n \geqslant  1$, $p_{n+1} = 0,2p_n + 0,7$.
$\left \{ V_n\;,\; \overline{V_n} \right \}$ forme une partition donc, d'après la formule des probabilités totales:

$\aligned
p_{n+1}=P\left(V_{n+1}\right)
&  = P\left(V_n \cap V_{n+1}\right) +P\left (\overline{V_n} \cap V_{n+1}\right)
= P\left(V_n\right) \times P_{V_n}\left(V_{n+1}\right) + P\left(\overline{ V_n} \right) \times P_{\overline{V_n}}\left(V_{n+1}\right)\\
& = p_n\times 0,9+ \left (1-p_n\right )\times 0,7
= 0,9p_n + 0,7 - 0,7p_n = 0,2p_n + 0,7
\endaligned$

\item On souhaite disposer de la liste des premiers termes de la suite $(p_n)$ pour $n \geqslant 1$.

Pour cela, on utilise une fonction appelée \texttt{repas} programmée en langage Python dont on propose trois versions, indiquées ci-dessous.

%\hspace{-0.5cm}
\begin{center}
{\scriptsize
\begin{ttfamily}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\begin{tabular}{ccc}
\multicolumn{1}{c}{Programme 1}&\multicolumn{1}{c}{Programme 2}&\multicolumn{1}{c}{Programme 3}\\ 
\begin{tabular}{l| l|}\cline{2-2}
1&def repas(n):\\
2&~~p=1\\
3&~~L=[p]\\
4&~~for k in range(1,n):\\
5&~~~~p = 0.2*p+0.7\\
6&~~~~L.append(p)\\
7&~~return(L)\\ \cline{2-2}
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{l| l|}\cline{2-2}
1&def repas(n):\\
2&~~p=1\\
3&~~L=[p]\\
4&~~for k in range(1,n+1):\\
5&~~~~p = 0.2*p+0.7\\
6&~~~~L.append(p)\\
7&~~return(L)\\ \cline{2-2}
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{l| l|}\cline{2-2}
1&def repas(n):\\
2&~~p=1\\
3&~~L=[p]\\
4&~~for k in range(1,n):\\
5&~~~~p=0.2*p+0.7\\
6&~~~~L.append(p+1)\\
7&~~return(L)\\ \cline{2-2}
\end{tabular}\\
\end{tabular}
\end{ttfamily}
}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Le programme qui permet d'afficher les $n$ premiers termes de la suite $(p_n)$ est le \no 1.
		
En effet, le \no 2 donne $n+1$ termes, et le \no 3 donne des valeurs supérieures à 1.		
		
		\item Avec le programme \no 1, le résultat affiché pour $n = 5$ sera la liste $\left [p_1\;,\; p_2 \;,\; p_3 \;,\; p_4 \;,\; p_5 \strut \right  ]$.
		
$p_1=1$; $p_2=0,9$; $p_3 = 0,88$;
$p_4 = 0,2p_3 + 0,7 = 0,2\times 0,88 + 0,7 = 0,876$	 et\\
$p_5 = 0,2p_4 + 0,7 = 0,2\times 0,876 + 0,7 = \np{0,8752}$
		
Le résultat affiché par \texttt{repas(5)} sera donc $\left [1\;;\; 0,9 \;;\; 0,88 \;;\; 0,876 \;;\; \np{0,8752} \strut \right]$.
		
	\end{enumerate}
\item On va démontrer par récurrence que $p_n = 0,125 \times 0,2^{n - 1} + 0,875$, pour tout naturel $n \geqslant 1$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

Pour $n=1$, on a: $0,125 \times 0,2^{1 - 1} + 0,875 = 0,125 + 0,875 =1$.

Or $p_1=1$, donc la propriété est vraie pour $n=1$.

\item \textbf{Hérédité}

On suppose la propriété vraie au rang $n$ c'est-à-dire que $p_{n}=0,125 \times 0,2^{n - 1} + 0,875$; c'est l'hypothèse de récurrence.

$\aligned
p_{n+1}
& = 0,2p_n + 0,7
= 0,2 \left (0,125 \times 0,2^{n - 1} + 0,875\right )+0,7\\
& = 0,125 \times 0,2^{n } + 0,2\times  0,875+0,7
= 0,125 \times 0,2^{n } + 0,175+0,7\\
& = 0,125 \times 0,2^{n } + 0,875
\endaligned$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 1$; d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier $n$ non nul.
\end{list}

On a donc  démontré par récurrence que $p_{n}= 0,125 \times 0,2^{n -1} + 0,875$ pour tout $n\geqslant 1$.

\item %En déduire la limite de la suite $(p_n)$.
$-1<0,2<1$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} 0,2^{n-1}=0$ donc  $\ds\lim_{n\to +\infty} 0,125 \times0,2^{n-1} + 0,875 = 0,875$

La limite de la suite $(p_n)$ est donc $0,875$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\ Chaque réponse doit être justifiée.\\Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Deux équipes de footballeurs de 22 et 25 joueurs échangent une poignée de main à la fin d'un match. Chaque joueur d'une équipe serre une seule fois la main de chaque joueur de l'autre équipe.

\textbf{Affirmation 1}

47 poignées de mains ont été échangées.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
Chaque joueur de l'équipe de 22 joueurs serre 25 mains; cela fait donc en tout $22\times 25$ soit 550 poignées de main.

\hfill \textbf{Affirmation 1 fausse}
\end{tabular}

\medskip

\item Une course oppose 18 concurrents. On récompense indistinctement les trois premiers en offrant le même prix à chacun.

\textbf{Affirmation 2}

Il y a \np{4896} possibilités de distribuer ces prix.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
Comme on récompense  indistinctement les trois premiers en offrant le même prix à chacun, il faut chercher le nombre d'ensembles à 3 éléments parmi 18 soit:
$\ds\binom{18}{3}= 816$.

\hfill \textbf{Affirmation 2 fausse}
\end{tabular}

\medskip

\item Une association organise une compétition de course de haies qui permettra d'établir un podium (le podium est constitué des trois meilleurs sportifs classés dans leur ordre d'arrivée). Sept sportifs participent au tournoi. Jacques est l'un d'entre eux.

\textbf{Affirmation 3}

Il y a 90 podiums différents dont Jacques fait partie.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
Jacques est sur le podium donc il a décroché une des 3 premières places.

Si Jacques finit 1\ier{}, il y a 6 possibilités pour le 2\ieme{} et 5 possibilités pour le 3\ieme; cela fait 30 podiums.

Si Jacques finit 2\ieme{}, il y a 6 possibilités pour le 1\ier{} et 5 possibilités pour le 3\ieme; cela fait 30 podiums.

Si Jacques finit 3\ieme{}, il y a 6 possibilités pour le 1\ier{} et 5 possibilités pour le 2\ieme; cela fait 30 podiums.

Il y a 90 podiums différents dont Jacques fait partie.

\hfill \textbf{Affirmation 3 vraie}
\end{tabular}

\newpage

\item Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires de même loi donnée par le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$&$-2$&$-1$&2&5\\ \hline
$P(X = x_i)$& $0,1$ & $0,4$ & $0,3$ & $0,2$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On suppose que $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes et on considère $Y$ la variable aléatoire somme de ces deux variables aléatoires.

\textbf{Affirmation 4}

$P(Y=4) = 0,25$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}

Les variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes donc\\
$P\left ( \left (X_1=x_i\right ) \cap \left (X_2=x_j\right )\right ) = P\left (X_1=x_i\right ) \times P\left (X_2=x_j\right )$.

L'événement $\left (Y=4\right )$ est réalisé dans 3 cas disjoints: \\
$\left (X_1=-1 \text{ et }X_2=5\right )$, $\left (X_1=2 \text{ et }X_2=2\right )$, $\left (X_1=5 \text{ et }X_2=-1\right )$.

$\aligned
P\left (Y=4\right)
& = P\left (\left(X_1=-1\right) \cap \left (X_2=5\right)\right) + P\left (\left (X_1=2\right ) \cap \left (X_2=2\right)\right) + P\left (\left (X_1=5\right ) \cap \left (X_2=-1\right )\right )\\
& = P\left(X_1=-1\right) \times P\left(X_2=5\right) + P\left(X_1=2\right) \times P\left(X_2=2\right) + P\left(X_1=5\right) \times P\left (X_2=-1\right)\\
& = 0,4\times 0,2 + 0,3\times 0,3 + 0,2\times 0,4 = 0,25.
\endaligned$

%\begin{tabular}[t]{| *5{c|}}
%\hline
%\diagbox{$X_2$}{$X_1$} & $-2$ & $-1$ & 2 & 5\\
% \hline
%$ -2$ & $-4$ & $-3$ & 0 & 3\\
% \hline
% $-1$ & $-3$ & $-2$ & 1 & $\blue 4$\\
% \hline
% 2 & 0 & 1 & $\blue 4$ & 7\\
% \hline
% 5 & 3 & $\blue 4$ & 7 & 10\\
% \hline
%\end{tabular}
%\hfill
%$\begin{array}[t]{| *5{c|}}
%\hline
%p & -2 & -1 & 2 & 5\\
% \hline
% -2 & 0,01 & 0,04 & 0,03 & 0,02\\
% \hline
%-1 & 0,04 & 0,16 & 0,12 & \blue 0,08\\
% \hline
% 2 & 0,03 & 0,12 & \blue 0,09 & 0,06\\
% \hline
% 5 & 0,02 & \blue 0,08 & 0,06 & 0,04\\
% \hline
%\end{array}$

\hfill \textbf{Affirmation 4 vraie}
\end{tabular}

\medskip

\item Un nageur s'entraîne dans l'objectif de parcourir le $50$ mètres nage libre en moins de $25$ secondes. Au fil des entraînements, il s'avère que la probabilité qu'il y parvienne s'établit à $0,85$.
Il effectue, sur une journée, $20$ parcours chronométrés sur $50$ mètres. On note $X$ la variable  aléatoire qui compte le nombre de fois où il nage cette distance en moins de $25$ secondes lors de cette journée.

On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0,85$.

\textbf{Affirmation 5}

Sachant qu'il a atteint au moins $15$ fois son objectif, une valeur approchée à $10^{-3}$ de la probabilité qu'il l'ait atteint au moins 18 fois est $0,434$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
La probabilité cherchée est:
$P_{(X\geqslant 15)} \left (X\geqslant 18\right )
= \dfrac{P\left (\left (X\geqslant 15\right )\cap \left (X\geqslant 18\right )\right )}{P\left (X\geqslant 15\right )}
= \dfrac{P\left (X\geqslant 18\right )}{P\left (X\geqslant 15\right )}$

À la calculatrice, on trouve: \\
$P\left (X\geqslant 15\right )\approx \np{0,9327}$ et $P\left (X\geqslant 18\right )\approx \np{0,4049}$ donc $ \dfrac{P\left (X\geqslant 18\right )}{P\left (X\geqslant 15\right )}\approx 0,434$.

\hfill \textbf{Affirmation 5 vraie}
\end{tabular}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

On se propose d'étudier la concentration dans le sang d'un médicament ingéré par une personne pour la première fois. Soit $t$ le temps (en heures) écoulé depuis l'ingestion de ce médicament.
On admet que la concentration de ce médicament dans le sang, en gramme par litre de sang, est modélisée par une fonction $f$ de la variable $t$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.

\newpage

\textbf{Partie A : lectures graphiques}

\begin{center}
\psset{unit=1.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.4,-0.6)(7.6,2.4)
\psgrid[unit=0.8cm,gridlabels=0pt,gridcolor=gray!50,subgridcolor=lightgray!50](-1,-2)(16,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.4,-0.6)(7.6,2.4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7.5}{5 x mul 2.71828 x exp div}
\uput[d](6.8,-.2){\footnotesize temps en heures}
\uput[r](0,2.2){\footnotesize concentration en g/L}
%%%
\psset{linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=1.2pt}
\psline(0,1)(7.5,1)
\psline(0.25,0)(0.25,1) \psline(2.5,0)(2.5,1)
\psline[linestyle=solid,linewidth=2pt]{[-]}(0.25,0)(2.5,0)
\psline[linecolor=blue](1,0)(1,1.84)% maximum
\end{pspicture*}
\end{center}

On a représenté ci-dessus la courbe représentative de la fonction $f$. 

Avec la précision permise par le graphique, on donne sans justification :

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Le temps écoulé depuis l'instant de l'ingestion de ce médicament et l'instant où la concentration de médicament dans le sang est maximale selon ce modèle: 1 heure.

\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(t) \geqslant 1$: l'intervalle $\left [0,25\;;\; 2,5\strut\right ]$.

\item La convexité de la fonction $f$ sur l' intervalle [0~;~8]: la fonction semble concave entre 0 et 2, puis convexe.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : détermination de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On considère l'équation différentielle  $(E)$: $y' +y = 5\e^{-t}$,

d'inconnue $y$, où $y$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.

On admet que la fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On résout l'équation différentielle $(E')$: $y' + y = 0$.

D'après le cours, on sait que les équations différentielles de la forme $ay'+by=0$ ont des solutions $y$ s'écrivant $y(t) = k\e^{-\frac{b}{a}t}$ où $k$ est un réel quelconque.

Donc l'équation $(E')$ a pour solutions les fonctions $y$ s'écrivant $y(t)=k\e^{-t}$ où $k\in\R$.

\item Soit $u$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par $u(t) = at\e^{-t}$ avec $a \in \R$.

%Déterminer la valeur du réel $a$ telle que la fonction $u$ soit solution de l'équation $(E)$.

La fonction $u$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ si et seulement si $u'(t)+u(t)=5\e^{-t}$.

$u(t)=at\e^{-t}$ donc $u'(t)= a\times \e^{-t} + at\times (-1)\e^{-t}= a\e^{-t}-at\e^{-t}$

$u'(t)+u(t)=5\e^{-t}
\iff a\e^{-t}-at\e^{-t} + at\e^{-t}=5\e^{-t}
\iff a\e^{-t}=5\e^{-t}
\iff a=5$ car $\e^{-t}\neq 0$ pour tout $t$.

Donc la fonction $u$ définie par $u(t)=5t\e^{-t}$ est une solution de $(E)$.

\item% En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
La solution générale de l'équation $(E)$ est la somme d'une solution particulière de $(E)$ et de la solution générale de l'équation sans second membre $(E')$: ce sont donc les fonctions $f$ définies par $f(t)=k\e^{-t}+5t\e^{-t}$ où $k\in\R$.

\item La personne n'ayant pas pris ce médicament auparavant, on admet que $f(0) = 0$.

%Déterminer l'expression de la fonction $f$.

$f(0)=0 \iff k\e^{0}+5\times 0 \times \e^{0}=0 \iff = 0$

L'expression de la fonction $f$ est $f(t)=5t\e^{-t}$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

Dans cette partie, on admet que $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 5t \e^{-t}$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
On sait que $\ds\lim_{t\to +\infty} \dfrac{\e^{t}}{t}=+\infty$ donc $\ds\lim_{t\to +\infty} \dfrac{t}{\e^{t}}=0$, donc $\ds\lim_{t\to +\infty} 5t\e^{-t}=0$, et donc $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t)=0$

Cela signifie que la concentration en médicament devient nulle quand le temps augmente indéfiniment.

%Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

\item %Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ puis dresser son tableau de variation complet.
$f$ est le produit de fonctions dérivables sur $\R$ donc $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$.

$f(t)=5t\e^{-t}$ donc $f'(t) = 5\times \e^{-t} + 5t\times (-1)\e^{-t} = \left (5-5t\right )\e^{-t}$

On étudie le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+\infty[$.

\[ \begin{tablvar}[intervalwidth=6em,stretch=1.2]{2}
 \hline
t & 0 & & 1 & & +\infty\\
 \hline
5-5t & & + & \barre[0] & - & \\
 \hline
\e^{-t} & & + & \barre & + & \\
 \hline
f'(t) & & + & \barre[0] & - & \\
 \hline
 \end{tablvar}\]

$f(0)=0$ et $f(1)= 5\times 1 \times \e^{-1} = 5\e^{-1}$

On établit le tableau de variation complet de $f$ sur  $[0~;~+\infty[$.

\[\begin{tablvar}[6em]{2}
\hline
t & 0 && 1 && +\infty \\
\hline
f'(t) & & + & \barre[0] & - & \\
\hline
\variations{\mil{f} & \bas{0} && \haut{5\e^{-1}} &&  \bas{0}} 
\hline
\end{tablvar}\]

\item On veut montrer qu'il existe deux réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 1$.

Le maximum de la fonction $f$ est $f(1)=5\e^{-1}\approx 1,84>1$.

On complète le tableau de variation de $f$.

\[\begin{tablvar}[6em]{2}
\hline
t & 0 & \vr{t_1} & 1 &  \vr{t_2} & +\infty\\
\hline
\variations{\mil{f} & \bas{0} & \vr{1} & \haut{5\e^{-1}} & \vr{1} & \bas{0}} 
\hline
\end{tablvar}\]

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Sur l'intervalle $]0~;~1[$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante. De plus $1 \in\, \left ]f(0)~;~f(1)\right [$. Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(t)=1$ admet une solution unique dans $]0~;~1[$. On l'appelle $t_1$.

D'après la calculatrice: $f(0,25) \approx 0,97  < 1$ et $f(0,26) \approx 1,002 >1$ donc $0,25$ est une valeur approchée de $t_1$ à $10^{-2}$.

\item Sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante. De plus $1 \in\, \left ]\ds\lim_{t\to +\infty} f(t)~;~f(1)\right [$. Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(t)=1$ admet une solution unique dans $]1~;~+\infty[$. On l'appelle $t_2$.

D'après la calculatrice: $f(2,54) \approx  1,002 > 1$ et $f(2,55) \approx 0,996  <1$ donc $2,54$ est une valeur approchée de $t_2$ à $10^{-2}$.
\end{list}

%On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ des réels $t_1$ et $t_2$.

\item Pour une concentration du médicament supérieure ou égale à 1 gramme par litre de sang, il y a un risque de somnolence. C'est donc quand $f(t) \geqslant 1$.

$f(t)\geqslant 1$ pour $t\in  \left [ t_1~;~t_2\strut \right ]$, soit pour une durée égale à $t_2-t_1$ qui vaut environ $2,54 - 0,25$ soit $2,29$ heures; cela fait environ 2 heures et 17 minutes.

%Quelle est la durée en heures et minutes du risque de somnolence lors de la prise de ce médicament ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie D : concentration moyenne}

\medskip

La concentration moyenne du médicament (en gramme par litre de sang) durant la première heure est donnée par :
$T_m = \displaystyle\int_0^1 f(t) \d t$
où $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 5t\e^{-t}$.

%Calculer cette concentration moyenne.

On utilise une intégration par parties:
$\ds\int_{a}^{b} u(t)v'(t)\d t =\left [ u(t)v(t)\strut \right ]_{a}^{b} -\int_{a}^{b} u'(t) v(t) \d t$.

On pose
$\left \{
\begin{array}{l}
u(t)=5t\\
v'(t)=\e^{-t}
\end{array}
\right .$
donc
$\left \{
\begin{array}{l}
u'(t)=5\\
v(t)= - \e^{-t}
\end{array}
\right .$

$\aligned[t]
T_m
& = \displaystyle\int_0^1 5t\e^{-t} \d t
 = \left [5t\times \left (-\e^{-t} \right )\right ]_{0}^{1}- \ds\int_{0}^{1} 5\times \left ( -\e^{-t} \right ) \d t
  = \left [-5 t\e^{-t} \right ]_{0}^{1}- 5\left [ \e^{-t} \right ]_{0}^{1}\\
& = \left (-5\e^{-1}-0\right )-\left (-5\e^{-1} + 5\e^{0} \right )
= 5-10\e^{-1} \approx 1,32
\endaligned$

%On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $0,01$ près.

\bigskip

\textbf{\Large Exercice 4 \hfill 5 points}


\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,2.3)
%\psgrid
\psline(-4,-2)\psline(3.9,-0.7)\psline(0,2.3)
\psline[linecolor=blue]{->}(-1.1,-0.55)\psline[linecolor=blue]{->}(1.7,-0.285)\psline[linecolor=blue]{->}(0,1.8)
\pspolygon(-3.5,-1.73)(3.4,-0.6)(0,1.8)%ABC
\psline(0,1.8)(1.55,-0.9)%CK
\uput[ul](-3.5,-1.73){A} \uput[ur](3.4,-0.6){B} \uput[ul](0,1.8){C} \uput[d](0,0){O} \uput[dr](1.55,-0.9){K}
\uput[u](-0.5,-0.3){\blue $\vect{\imath}$} \uput[u](0.6,-0.1){\blue $\vect{\jmath}$} \uput[l](0,0.8){\blue $\vect{k}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

On considère les points
A\,$\left(2\sqrt 3~;~0~;~0\right)$, B\,(0~;~2~;~0), C\,(0~;~0~;~1) et  K\,$\left(\frac{\sqrt 3}{2}~;~\frac32~;~0\right)$.


%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite (CK) est :
La droite (CK) est l'ensemble des points M\,$\left (x\;,\; y \;,\; z\right )$ tels que $\vectt{CM}$ et $\vectt{CK}$ soient colinéaires, c'est-à-dire tels que $\vectt{CM} = t.\vectt{CK}$ où $t\in\R$.

$\vectt{CM}$ a pour coordonnées  
$\begin{pmatrix}
x_{\text{M}} - x_{\text{C}} \\ y_{\text{M}} - y_{\text{C}} \\ z_{\text{M}} - z_{\text{C}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x\\ y \\ z -1
\end{pmatrix}$
et celles de $\vectt{CK}$ sont
$\begin{pmatrix}
x_{\text{K}} - x_{\text{C}} \\ y_{\text{K}} - y_{\text{C}} \\ z_{\text{K}} - z_{\text{C}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2}\\[5pt] \frac{3}{2} \\[5pt] -1
\end{pmatrix}$

$\vectt{CM} = t.\vectt{CK}
\iff
\begin{pmatrix}
x\\ y \\ z-1
\end{pmatrix}
=
t.\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2}\\[5pt] \frac{3}{2} \\[5pt] -1
\end{pmatrix}
\iff
\left \{
\begin{array}{l !{=} l}
x & \frac{\sqrt{3}}{2} t\\[5pt]
y & \frac{3}{2} t\\[5pt]
z & -t+1
\end{array}
\right .
$

La droite (CK) a donc pour représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x& \frac{\sqrt 3}{2}t\\[5pt]
y& \frac32 t\\[5pt]
y& - t + 1
\end{array}\right. \: (t \in \R)$

\item Soit M$(t)$ un point de la droite (CK) paramétrée par un réel $t$.
Le point M a donc pour coordonnées $\left (\frac{\sqrt{3}}{2}t\;,\; \frac{3}{2}t\;,\; -t+1\right )$

$\aligned
\text{OM}(t)^2
&  = \left ( x_{\text{M}} - x_{\text{O}}\right )^2 + \left ( y_{\text{M}} - y_{\text{O}}\right )^2 + \left ( z_{\text{M}} - z_{\text{O}}\right )^2 
=\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right )^2 + \left (\dfrac{3}{2} t\right )^2 + \left (-t+1\right )^2\\
& = \dfrac{3}{4}t^2 +\dfrac{9}{4}t^2 +t^2-2t+1
= 4t^2 -2t +1
\endaligned$

Donc: OM$(t) = \sqrt{4t^2-2t+1}$.

%Établir que OM$(t) = \sqrt{4t^2 - 2t + 1}$.

\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $f(t) = \text{OM}(t)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
$f(t)=\sqrt{4t^2-2t+1}$ donc $f'(t)=\dfrac{8t-2}{2\sqrt{4t^2-2t+1}}$		

On étudie le signe de $f'(t)$ sur $\R$.
		
\[ \begin{tablvar}[intervalwidth=6em]{2}
 \hline
 t & -\infty & & \frac{1}{4} & & +\infty\\
 \hline
8t-2 & & - & \barre[0] & + & \\
 \hline
2\sqrt{4t^2-2t+1} & & + & \barre & + & \\
 \hline
f'(t) & & - & \barre[0] & + & \\
 \hline
 \end{tablvar}\]
		
Donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle  $\left ] -\infty\;,\; \frac{1}{4}\right ]$, et strictement croissante sur l'intervalle $\left [ \frac{1}{4}\;,\; +\infty \right [$.		
		
		\item %En déduire la valeur de $t$ pour laquelle $f$ atteint son minimum.
On en déduit que $f$ atteint son minimum pour $t=\frac{1}{4}$.		
		
	\end{enumerate}
	
\item %En déduire que le point H$\left(\dfrac{\sqrt3}{8}~;~\dfrac38~;~\dfrac34\right)$ est le projeté orthogonal du point O sur la droite~(CK).
Le projeté orthogonal du point O sur la droite (CK) est le point M de la droite (CK) tel que la distance OM soit minimale; le point de la droite (CK) réalisant ce minimum correspond donc à $t=\frac{1}{4}$.

C'est donc le point de coordonnées $\left (\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{1}{4}\;,\; \frac{3}{2}\times \frac{1}{4}\;,\; -\frac{1}{4}+1\right )$ soit $\left (\frac{\sqrt{3}}{8}\;,\; \frac{3}{8}\;,\; \frac{3}{4}\right )$ est le projeté orthogonal du point O sur la droite (CK); on l'appelle H.

\item% Démontrer, à l'aide de l'outil produit scalaire, que le point H est l'orthocentre (intersection des hauteurs d'un triangle) du triangle ABC.
\begin{list}{\textbullet}{On montre que H appartient au plan (ABC).}
\item 
$\vectt{AK}$ a pour coordonnées  
$\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{3}\\[5pt] \frac{3}{2}-0 \\[5pt] 0-0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-\frac{3}{2}\sqrt{3} \\[5pt] \frac{3}{2} \\[5pt] 0-0
\end{pmatrix}$
et celles de $\vectt{AB}$ sont
$\begin{pmatrix}
0-2\sqrt{3} \\ 2-0 \\ 0-0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2\sqrt{3} \\ 2\\ 0
\end{pmatrix}$

Donc $\vectt{AK} = \frac{3}{4}\vectt{AB}$ donc les points A, K et B sont alignés donc $\text{K}\in \left (\text{AB}\right )$.

\item On a:
$\left .
\begin{array}{r}
\text{K} \in \text{(AB)}\\
\text{(AB)} \subset \text{(ABC)}
\end{array}
\right \}
\implies \text{K} \in  \text{(ABC)}
\implies \text{(CK)} \subset  \text{(ABC)}$

\item On a:
$\left .
\begin{array}{r}
\text{H} \in \text{(CK)}\\
\text{(CK)} \subset  \text{(ABC)}
\end{array}
\right \}
\implies \text{H} \in  \text{(ABC)}$
\end{list}

Donc H est un point du plan (ABC).

\begin{list}{\textbullet}{On montre que H est l'orthocentre du triangle ABC.}
\item 
$\vectt{CK}\cdot \vectt{AB} 
= \frac{\sqrt{3}}{8}\times \left ( -2\sqrt{3}\right ) + \frac{3}{8}\times 2 + \left (-\frac{1}{4} \right ) \times 0
= -\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+0=0$
donc $\vectt{CK}\perp \vectt{AB}$ donc $\text{(CK)} \perp \text{(AB)}$.

Comme $\text{H} \in \text{(CK)}$, on en déduit que $\text{(CH)} \perp \text{(AB)}$.
\item 
$\vectt{AH}$ a pour coordonnées  
$\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{8} - 2\sqrt{3}\\[5pt] \frac{3}{8}-0 \\[5pt] \frac{3}{4}-0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-\frac{15}{8}\sqrt{3} \\[5pt] \frac{3}{8} \\[5pt] \frac{3}{4}
\end{pmatrix}$
et celles de $\vectt{BC}$ sont
$\begin{pmatrix}
0-0 \\0- 2 \\ 1-0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ -2\\ 1
\end{pmatrix}$

$\vectt{AH}\cdot \vectt{BC}
=  -\frac{15}{8}\sqrt{3} \times 0 +  \frac{3}{8} \times (-2)+  \frac{3}{4}\times 1
= 0-\frac{3}{4}+ \frac{3}{4} =0$
donc $\vectt{AH}\perp \vectt{BC}$ donc $\text{(AH)} \perp \text{(BC)}$.
\end{list}

(AH) et (CH) sont donc deux hauteurs du triangle (ABC) donc H est l'orthocentre de ce triangle.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
\begin{list}{\textbullet}{On démontre que la droite (OH) est orthogonale au plan (ABC).}
\item On sait que $\vectt{OH} \perp \vectt{CK}$.
\item $\vectt{OH} \cdot \vectt{AB}
= \dfrac{\sqrt{3}}{8}\times \left (-2\sqrt{3}\right ) + \dfrac{3}{8}\times 2 + \dfrac{1}{4}\times 0
= -\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4} + 0 = 0$ donc $\vectt{OH} \perp \vectt{AB}$.
\item Les vecteurs $\vectt{CK}$ et $\vectt{AB}$ ne sont pas colinéaires donc ce sont deux vecteurs directeurs du plan (ABC).
\end{list}		

Le vecteur $\vectt{OH}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (ABC) donc c'est un vecteur normal au plan (ABC). Donc la droite (OH) est orthogonale au plan (ABC).
		
		\item% En déduire une équation du plan (ABC). 
D'après le cours, si le vecteur $\vect{v}$ de coordonnées $(a\,,\, b \,,\, c)$ est normal à un plan $\mathcal{P}$, alors ce plan a une équation cartésienne de la forme $ax+by+cz+d=0$.

Le vecteur $\vectt{OH}\;\left ( \frac{\sqrt{3}}{8}\,,\,\frac{3}{8}\,,\, \frac{3}{4}\right )$ est un vecteur normal au plan (ABC), donc le plan (ABC) a une équation de la forme $ \frac{\sqrt{3}}{8}x + \frac{3}{8}y + \frac{3}{4}z +d=0$ c'est-à-dire $x\sqrt{3} + 3y +6z +8d =0$.

On détermine la valeur de $d$ en exprimant que le point A appartient au plan (ABC).

$\aligned
\text{A}\in \text{(ABC)}
& \iff
x_{\text{A}}\sqrt{3}+3 y_{\text{A}} +6z_{\text{A}}+8d=0
\iff
2\sqrt{3}\times \sqrt{3} +3\times 0+6\times 0 + 8d=0\\
& \iff
6+8d=0
\iff 8d=-6
\endaligned$

Le plan (ABC) a pour équation: $x\sqrt{3} + 3y +6z -6 =0$.
	\end{enumerate}
	\item %Calculer, en unité d'aire, l'aire du triangle ABC.
(CK) est une hauteur du triangle (ABC) donc l'aire de ce triangle est égale à $\frac{1}{2}\,\text{CK}\times \text{AB}$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le vecteur $\vectt{CK}$ a pour coordonnées $\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}\,,\, \frac{3}{2}\,,\, -1\right )$ donc:

$\vectt{CK}^2
=\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}\right )^2 + \left ( \frac{3}{2}\right )^2+\left ( -1\right )^2
= \frac{3}{4} + \frac{9}{4} +1
= 4$ donc $\text{CK}=2$.
\item Le vecteur $\vectt{AB}$ a pour coordonnées $\left ( -2\sqrt{3}\,,\, 2\,,\, 0\right )$ donc:

$\vectt{AB}^2
=\left ( -2\sqrt{3}\right )^2 + \left ( 2\right )^2+\left (0\right )^2
= 12+4+0
= 16$ donc $\text{AB}=4$.
\end{list}
	
L'aire du triangle (ABC) est donc égale, en unités d'aire, à: $\frac{1}{2}\times 2\times 4$ soit 4.
\end{enumerate}
\end{document}