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%Tapuscrit : Paul Duprat
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\setlength\arraycolsep{2pt}%pour reduire l'espacement dans les tableaux
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{3 juin  2010}}
\pagestyle{fancy}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ES Amérique du Nord  3 juin 2010~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f'(0)$ est égal à 2  \hfill \textbf{Réponse B}

\medskip

\item $f'(x)$ est positif sur l'intervalle $]-2~;~2[$  \hfill \textbf{Réponse C}


\medskip

\item Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point D est $y = -2x + 11$ \hfill \textbf{Réponse A}


\medskip

\item Une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- 2~;~11]$  est strictement croissante sur l'intervalle $[- 2~;~7,5]$ car $f$ qui est sa dérivée est positive sur cet intervalle. \hfill \textbf{Réponse~B}


\item L'équation $\text{exp}[f(x)] = 1$ équivaut à  $f(x) = 0$
, elle admet une  solution. \hfill \textbf{Réponse A}

\end{enumerate}

\vspace{0,45cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après l'énoncé \ovalbox{$p(A)= 0,2$} et \ovalbox{$p\left(\overline{A} \cap \overline{C}\right)=0,6$}

		\item  On cherche la probabilité de $\overline{C}$ sachant $\overline{A}$:
\begin{center}
$p_{\overline{A}}(\overline{C} )=\dfrac{p\left(\overline{A} \cap \overline{C}\right)}{p(\overline{A})} = \dfrac{0,6}{0,8}=0,75$
\end{center}

		Si un client n'achète pas l'appareil photo en promotion,  la probabilité qu'il n'achète pas non plus la carte mémoire en promotion est de $0,75$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Arbre}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=12ex,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{\small 0,2}}
				{\TR{$C$}\taput{\small 0,7}
				\TR{$\overline{C}$}\tbput{\small 0,3}		
		}
\pstree{\TR{$\overline{A}~$}\tbput{\small 0,8}}
				{\TR{$C$}\taput{\small 0,25}
			  \TR{$\overline{C}$}\tbput{\small 0,75}
		}
}
\end{center}
\medskip

 
\item D'après la formule des probabilités totates on a:
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	p(\text{C})&=& p(A\cap C)+p\left(\overline{A}\cap C\right)\\
	&=& p(A)\times p_{A}(C)+p\left(\overline{A}\right)\times p_{\overline{A}}(C)\\
	&=& 0,2\times 0,7 + 0,8\times 0,25\\
	&=& 0,34
\end{array}$
\end{center}
\ovalbox{La probabilité que le client achète la carte mémoire est de 0,34}

\item  On cherche la probabilité de $A$ sachant $C$:
\begin{center}
$p_{C}(A) =\dfrac{p(A \cap C)}{p(C)}=\dfrac{0,2\times 0,7}{0,34}=\dfrac{7}{17}\approx 0,412$
\end{center}

		Si un client achète la carte mémoire,  la probabilité qu'il achète l'appareil photo est de 0,75.

\item
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Loi de probabilité}
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Bénéfice par client en euros		& 0	&4	&	30&34\\ \hline
Probabilité d'atteindre le bénéfice	&0,6&	0,2&0,06	&0,14 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	 
		\item L'espérence vaut : $E=0\times 0,6+4\times 0,2+30\times 0,06+34\times 0,14=7,36$.
		
		 \ovalbox{\parbox{\linewidth}{Pour $100$ clients entrant dans son magasin, le commerçant peut espérer un gain de 736 \euro.}}
	\end{enumerate} 
\item 
L'évènement contraire de \og au moins un de ces trois clients n'achète pas l'appareil photo en  promotion \fg{} est \og les trois clients achète l'appareil photo en  promotion \fg{} donc 
\begin{center}
$p=1 - 0,2^3 = 0,992$
\end{center}
 
\ovalbox{\parbox{\linewidth}{La probabilité qu'au moins un de ces trois clients n'achète pas l'appareil photo en  promotion est de 0,992.} }
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A - Étude préliminaire}

\medskip


\begin{enumerate}
\item On a  :
\vspace{-6mm}\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
 g(\alpha)&=&0\\
	1- 2\ln (\alpha)&=&0\\
	\ln (\alpha)&=&\frac12\\
	\alpha&=&\text{e}^{\frac12}	\\
	\alpha&=&\sqrt{\text{e}}
\end{array}$
\end{center}

\item Comme la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et s'annule en $\alpha$:
\begin{itemize}
	\item[$\bullet$] $g(x)$ est positif sur $]0~;~\alpha[$ et 
	\item[$\bullet$] $g(x)$ est négatif sur $]\alpha ~;~+\infty[$
\end{itemize}

\end{enumerate} 

\medskip
 
\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item  On a $f(x)=2\dfrac{\ln(x)}{x}+\dfrac{1}{x}$ or $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ et 
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0$

Donc \ovalbox{ $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0$}.

On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$. 
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  $f$ est un quotient de fonctions dérivables, elle est donc dérivable et pour tout réel $x\in]0~;~+ \infty[$:
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	f'(x)&=& \dfrac{\frac2x\times x-(2\ln (x) + 1)\times 1}{x^2}\\
	     &=& \dfrac{2-2\ln (x) -1}{x^2}\\
	     &=& \dfrac{1-2\ln (x) }{x^2}\\
	     &=& \dfrac{g(x) }{x^2}
\end{array}$
\end{center}
 
		\item $f'(x)$ est du même signe que $g(x)$ car un carré est toujours positif, on a donc le tableau de variation suivant:
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.2)
\psframe(8,3.2)
\psline(2,0)(2,3.2) %trait vertical
\psline(2.1,0)(2.1,2.5)
\psline(2.16,0)(2.16,2.5)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[ur](2,2.55){$0$} \uput[u](5,2.5){ $\alpha$}\uput[ul](8,2.5){$20$} 
\psline(0,2.5)(8,2.5) 
\psline(0,1.8)(8,1.8) 
\uput[u](1,1.8){$f'(x)$}  \uput[u](3.5,1.9){$+$} \uput[u](5,1.9){$0$}\uput[u](6.6,1.9){$-$}
\uput[u](1,0.8){$f(x)$}   \uput[d](5,1.8){$f(\alpha)$} 
  \uput[ur](2.15,0){$-\infty$}  \uput[ul](8,0){$0$} 
\psline{->}(2.8,0.4)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.4,0.4) 
\end{pspicture} 
\end{center}	
		
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On remarque que $f(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln (x) +  \dfrac{1}{x}$,\\
		 c'est à dire  $f(x)=2u'(x)u(x) +\frac1x$ avec $u(x)=\ln(x)$. On en déduit que 
\begin{center}
$F(x)=\left(u(x)\right)^2+\ln(x)=\left(\ln(x)\right)^2+\ln(x)$
\end{center}
		
		\item On a 
		\vspace{-6mm}
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	I&=&\dfrac{1}{4} \displaystyle\int_{1}^5  f(x)\:\text{d}x\\[3mm]
	 &=&\dfrac{1}{4} \Big[\left(\ln(x)\right)^2+\ln(x)\big]_{1}^5\\[3mm]
	 &=&\dfrac{1}{4} \left(\left(\left(\ln 5\right)^2+\ln 5\right)-\left(\left(\ln 1\right)^2+\ln 1\right)\right)\\[3mm]
	 &=&\dfrac{\left(\ln 5\right)^2+\ln 5}{4}
\end{array}$
\end{center}

On a donc \ovalbox{$I=\dfrac{\left(\ln 5\right)^2+\ln 5}{4}\approx 1,05 $}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C - Application économique}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item  La valeur moyenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire comprise entre \nombre{1000} et \nombre{5000}~pièces est la valeur moyenne de la fonction $f$ entre 1 et 5\\
 c'est à dire $\dfrac{1}{5-1} \displaystyle\int_{1}^5  f(x)\:\text{d}x=\dfrac{1}{4} \displaystyle\int_{1}^5  f(x)\:\text{d}x\approx 1,05$

\ovalbox{\parbox{\linewidth}{La valeur moyenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire comprise entre \nombre{1000} et \nombre{5000}~pièces est donc de 1,05 \euro.} }
\item On doit résoudre l'équation $f(x)=1,05$, or on ne peut pas la résoudre de façon exacte. Sur $[1~;~5]$ on a le tableau de variation suivant:
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.2)
\psframe(8,3.2)
\psline(2,0)(2,3.2) %trait vertical
%\psline(2.1,0)(2.1,2.5)
%\psline(2.16,0)(2.16,2.5)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[ur](2,2.55){$1$} \uput[u](5,2.5){ $\alpha$}\uput[ul](8,2.5){$5$} 
\psline(0,2.5)(8,2.5) 
\psline(0,1.8)(8,1.8) 
\uput[u](1,1.8){$f'(x)$}  \uput[u](3.5,1.9){$+$} \uput[u](5,1.9){$0$}\uput[u](6.6,1.9){$-$}
\uput[u](1,0.8){$f(x)$}   \uput[d](5,1.8){$f(\alpha)$} 
  \uput[ur](2.15,0){$f(1)$}  \uput[ul](8,0){$f(5)$} 
\psline{->}(2.8,0.4)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.4,0.4) 
\end{pspicture} 
\end{center}

Or $f(1)=1$, $f(\alpha)=2\text{e}^{-\frac12}\approx 1,21$ et $f(5)=\dfrac{2\ln 5 +1}{5}\approx 0,84$.	

En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires on montre que cette équation a deux solutions : une sur l'intervalle $]1~;~\alpha[$ et une autre sur l'intervalle $]\alpha~;~5[$. 

Puis en utilisant la méthode de balayage sur la calculatrice on trouve que les solutions sont approximativement:
\begin{center}
$1,05<x_1<1,06$ \hspace{1cm} et \hspace{1cm} $3,11<x_2<3,12$ 
\end{center}

 
\ovalbox{\parbox{\linewidth}{Il faut donc produire 105 pièces ou 311 pièces pour avoir un bénéfice unitaire égal à 1,05~\euro{}.}} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  \emph{ Voir graphique en fin d'exercice}


Un modèle d'ajustement affine a été rejeté par le service de santé car les points ne sont proche d'une droite.
\item Pour effectuer un ajustement exponentiel, on décide de considérer les $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Rang de la semaine : $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
 $z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$&6,29&6,58 &6,89& 7,19&7,50 &7,79 &8,10\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item L'équation de la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés est 
\begin{center}
\ovalbox{ $z=0,3x+6$ }
\end{center}
 On a donc 
\vspace{-6mm}\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	\ln( y)&=& 0,3x+6\\
	y&=& \text{e}^{0,3x+6}
\end{array}$
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $y(10)=\text{e}^{9}\approx \np{8103}$\\
\ovalbox{		On peut estimer à \np{8103} du nombre de consultations à la 10\up{e} semaine. }
		\item On doit résoudre l'inéquation :
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	y(x)&\geqslant& \dfrac{\np{500000}}{4}\\
	\text{e}^{0,3x+6}&\geqslant& \np{12500}\\
	0,3x+6&\geqslant& \ln \np{12500}\\
	0,3x&\geqslant& \ln \np{12500} - 6\\
	x&\geqslant& \dfrac{\ln \np{12500}- 6}{0,3}
\end{array}$
\end{center}
Or $\dfrac{\ln \np{12500} - 6}{0,3}\approx 11,4$
		
Donc \ovalbox{	la 12\up{e} semaine le nombre de consultations dépassera le quart de la population.}
	\end{enumerate} 
\item En observant les valeurs données par le modèle exponentiel grâce à un tableau obtenu à l'aide d'une calculatrice, on peut remarquer que $y(17)\approx \np{66171}$ donc que suivant ce modèle le nombre de consultations dépasse la population totale au bout de 17 semaines, ce qui n'est pas possible, donc le modèle n'est plus valable sur le long terme. 
\end{enumerate}

\newpage
 
\begin{center}
\textbf{\Large Graphique}

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(10,17)

\psset{unit=1cm}
\psgrid[gridcolor=darkgray,subgridcolor=lightgray,subgriddiv=10,gridlabels=0](0,0)(11,17)

\psset{xunit=1cm,yunit=0.005cm}
\psaxes[linecolor=orange,%
Dx=1,Dy=200,%
dx=1,dy=200]%
(0,0)(10,3400)
\uput[d](5.25, -100){%
\small\color{black} Indice de la semaine}
\uput[l](-1.2,1400){%
\rput{90}{%
\small\color{black} Nombre de consultations}}
\psdots(1,540)(2,720)(3,980)(4,1320)(5,1800)(6,2420)(7,3300)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linestyle=dashed ]{0}{7}{2.7183 0.3 x mul 6 add exp }
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Corrigé de Paul Duprat}
\end{document}