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%Tapuscrit : Amelie Daniel
%Sujet fourni par : Amelie Daniel
%Relecture : Francois Kriegk et Denis Vergès
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%	pdfauthor = {APMEP},
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%	pdftitle = {Amérique du Nord Sujet 31 Mai 2023},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{31 Mai 2023}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Amérique du Nord 31 Mai 2023~\decofourright\\[7pt]  CORRIGÉ DE L'ÉPREUVE DU BREVET DES COLLèGES}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill{20 points}}


\medskip

\textbf{Situation 1}

\medskip

$ 780 = 2 \times 390 = 2\times2\times195 = 2^{2}\times 5 \times 39= 2^{2}\times5\times3\times13=2^{2}\times3\times5\times13$.

\medskip

\textbf{Situation 2}

\medskip

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item On tire une carte au hasard, on est donc dans une situation d'équiprobabilité.

\(\displaystyle P(\og8 ~~ \text{de pique}\fg) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{1}{32}\)
\item Il y a 4 rois et 8 c\oe{}urs dans ce jeu, donc au total 11 issues favorables car on ne compte pas deux fois le roi de c\oe{}ur.

\(\displaystyle P(\og \text{roi ou c\oe{}ur}\fg) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{11}{32}\).
	\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Situation 3}

\medskip

$ A = (2x + 5)(3x - 4)= 6x^{2}- 8x + 15x - 20 = 6x^{2} +7x - 20$.
	
\medskip

\textbf{Situation 4}

\medskip
	
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
	\item	Le solide est un prisme droit dont les bases sont des triangles rectangles.
	
On calcule l'aire de chacun de ces triangles :

		\(\displaystyle A_{base}=\dfrac{60\times80}{2}=2~400 ~~\text{cm}^{2}\)
		
		On en déduit le volume du prisme droit :
		
		\(\displaystyle V_{prisme}=2 400\times120 = 288~000 ~~\text{cm}^{3} \).
		
	\item	$ 288~000 ~~\text{cm}^{3}=288 ~~\text{dm}^{3}=288 ~~\text{L} $
	
		Le volume est donc de $ 288 ~~\text{L}.$
	\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Situation 5}

\medskip

Le polygone 2 est un agrandissement du polygone 1.

Le coefficient d'agrandissement est $ 3 $ donc l'aire du polygone 1 est multipliée par $ 3^{2} $ donc par $ 9 $. On a ainsi :

$ A_{\text{polygone~~2}}=9\times A_{\text{polygone~~1}}= 9\times 11= 99$.

L'aire du polygone 2 est donc $ 99 ~~\text{cm}^{2} $.

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill{ 22 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $ AN^{2} = 13^{2} = 169$ .

$LN^{2} + AL^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$

donc $AN^{2} = LN^{2} + AL^{2}$.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $LNA$ est bien rectangle en $L$.
\item D'après la question précédente, $(AL) \perp (LN)$.

D'après le codage de l'énoncé, $(HO) \perp (LN)$.

Donc les droites $(AL)$ et $(HO)$ perpendiculaires à une même droite,
sont parallèles. D'autre part

Les points $N,H,A $ et $N, O, L $ sont alignés.

Les droites $(AL)$ et $(HO)$ sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès

\(\displaystyle	\dfrac{NO}{NL}=\dfrac{NH}{NA}=\dfrac{OH}{AL}\) ~~ soit ~~ \(\displaystyle	\dfrac{3}{5}= \dfrac{NH}{13}=\dfrac{OH}{12} = \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10}\),  d'où ~~\(\displaystyle OH = \dfrac{12 \times 6}{10} = \dfrac{72}{10} = 7,2~(\text{cm}) \).
\item Dans le triangle $ LNA $ rectangle en $ L $, 
\(\displaystyle \cos({\widehat{LNA}})=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{LN}{AN}= \dfrac{5}{13}\).

La calculatrice donne avec la fonction inverse de la fonction cosinus : $\widehat{LNA} \approx 67 \degres$.

\item L'angle $\widehat{LNA}$ est un angle commun aux deux triangles.
	
$\widehat{HON}=\widehat{ALN}=90 ~ \text{degrés}$.

Donc les triangles $ LNA $ et $ OHN $ ont deux paires d'angles de même mesures, donc ils sont semblables.
\item
	\begin{enumerate}
		
		\item On calcule les différentes aires :

\(\displaystyle A_{LNA}=\dfrac{5\times12}{2}=30~(\text{cm}^{2})\).

\(\displaystyle A_{OHN}=\dfrac{3\times7,2}{2}=10,8~~(\text{cm}^{2})\).

\(\displaystyle A_{LOHA}=A_{LNA} - A_{OHN}=19,2~~(\text{cm}^{2})\).

\item \(\displaystyle \dfrac{A_{LOHA}}{A_{LAN}}=\dfrac{19,2}{30}=0,64=\dfrac{64}{100}\).

La proportion est donc \(\displaystyle \dfrac{64}{100}\).
\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill{20 points}}

	\medskip

	\textbf{PARTIE A}
	
	\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
			\item	Le nombre de visiteurs en 2010 est $ 300~000 $.
			\item	Le nombre de visiteurs a été le plus élevé en $ 2019 $.
		\end{enumerate}
		
	\item
		Une augmentation de $ 15\% $ revient à un nombre de visiteurs égal à :

\(\displaystyle	V_{\text{finale}}=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)\times V_{\text{initiale}}= 1,15 \times \np{187216} = \np{215298,4} \).

Or cette valeur est inférieure à la valeur \np{219042} atteinte en $2021$.

Donc l'objectif du maire a bien été atteint.
	\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]	
\item L'étendue de cette série vaut : $ Max. - Min. = 500 - 60 = 440 $. Soit $ 440 $ euros.
\item On calcule la moyenne de la série :\\
		\(\displaystyle \dfrac{60\times \np{1200} + 80 \times \np{1350} + 85\times \np{1000} + 90\times \np{1100} + 110\times \np{1200} + 120\times \np{1300} + 350 \times 900 + 500 \times 300}{\np{8350}}\)\\
$\approx 134$.

La moyenne des prix facturés pour une nuit est donc de $134$~euros.
\item Il y a $\np{8350}$ nuits au total.

Or, \(\displaystyle \dfrac{\np{8350}}{2}= \np{4175}\). On calcule les effectifs cumulés, jusqu'à la valeur $ 90 $ euros incluse (dernière valeur inférieure à $ 100 $) : $\np{1200} + \np{1350} + \np{1000} + \np{1100} = \np{4650}$.

$ 4~650 > 4~175 $ donc l'affirmation de l'association est vraie.

\textbf{OU}

On cherche la médiane de la série. Il y a $ 8~350 $	 nuits au total.

Or, \(\displaystyle \dfrac{8~350}{2}=4~175\). La médiane de la série est donc entre la \np{4175}-ième et la \np{4176}-ième valeur. Par lecture dans le tableau, on trouve que la médiane vaut $ 90 $ euros. Donc la moitié des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $ 90 $, donc l'affirmation de l'association est vraie.
	\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill{20 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item	
		\begin{enumerate}
			\item Programme de construction :

-- avec la règle graduée, tracer le segment $[KL]$, de longueur $ 7 $~cm. ($ 35 : 5 = 7 $).
					
-- avec le rapporteur, tracer l'angle de sommet $ L $.
					
-- avec la règle graduée, placer le point $ M $ à $4$~cm du point $ L $.
					
-- tracer la parallèle à $(KL)$, passant par $M$.

-- reporter la longueur $ KL $ et placer le point $N$ sur cette parallèle.

-- tracer $ [NK] $.
		\item	\textit{ligne 4} : 35
		
\textit{ligne 5} : 60

\textit{ligne 6} : 20

\textit{ligne 7} : 120
	\end{enumerate}
	\item
		\begin{enumerate}
			\item	On complète la \textit{ligne 2} par la valeur $ 5 $.
			\item	Le motif comporte $ 5 $ pétales et on effectue une rotation de $ 360 $ degrés. Or $ 360 : 5 = 72 $. Donc après avoir tracé chaque pétale, on tourne de $ 72 $ degrés.
			\item Il y a maintenant $ 12 $ pétales.

Or, $ 360 : 12 = 30 $. On modifie donc les lignes comme suit :

\textit{ligne 2} : répéter $12$ fois

\textit{ligne 4} : tourner de $ 30 $ degrés

		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill{ 18 points}}

\medskip	

\begin{enumerate}
	\item Les deux demi cercles forment un cercle complet. On calcule le périmètre de ce cercle.

$ P_{\text{cercle}}=2\times\pi\times40\simeq 251$~m.
		
On ajoute les longueurs des deux segments. Le périmètre total vaut donc :

$ 850\times2+251 \approx \np{1951}$~m.
	\item	
		\begin{enumerate}
			\item $ 2~\text{min}~9~$s $= 129  $~s. La vitesse moyenne est donc :
			
			\(\displaystyle v_{\text{moyenne}}=\dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}\approx\dfrac{\np{1951}}{129}\approx 15\)~(m/s).
			\item
				$ 15 $m $ =0,015 $~km. Et $ 1 $ h $= \np{3600} $ s donc la vitesse en km/h est :
				
			\(\displaystyle v_{\text{moyenne}}=0,015\times \np{3600} = 54\). Soit environ $ 54 $~(km/h).
		\end{enumerate}
	\item	
		On calcule le nombre de sacs nécessaires, puis le montant à payer pour chaque marque.
		
-- Marque A :

$ 73~027 : 500 \simeq 146,1 $. On a donc besoin de $ 147 $ sacs.

Le coût est donc $ 147 \times 141,95 = \np{20866,65} $ euros.

-- Marque B :

$ \np{73027} : 400 \approx 182,6 $. On a donc besoin de $ 183 $ sacs.

Le coût est donc $ 183 \times 87,9 = \np{16085,70} $ euros.

-- Marque C :

$ 73~027 : 300 \simeq 243,4 $. On a donc besoin de $ 244 $ sacs.

Le coût est donc $ 244 \times 66,5 = \np{16226}$~euros.

Le tarif le moins cher est donc le tarif B.
\end{enumerate}
\end{document}