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%Tapuscrit : Jean-Paul GOUALARD
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Amérique du Nord }}
\rfoot{\small{mai 2007}}
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\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan (P) a une pour équation cartésienne : $2x + y - 3z + 1 = 0$. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n'appartient pas à (P).

Un vecteur normal à (P) est $\overrightarrow{n}(2~;~1~;~-3)$.  H est le projeté orthogonal de A sur (P) si, et seulement si,  $\overrightarrow{AH}$ est colinéaire à $\overrightarrow{n}$.

On a : $\overrightarrow{AH}(-1~;~-9~;~-6)$. Il est clair que les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. H n'est pas le projeté orthogonal de A sur (P) : la proposition 1 est \textbf{fausse}.

\item On considère l'équation différentielle (E) : $y' = 2 - 2 y$.

Cette équation s'écrit : $y'=-2y+2$ qui d'après le cours, a pour solutions : $u(x)=k\mathrm{e}^{-2x}+1$, $k\in\mathbb{R}$.

La condition $u(0)= 0$ donne $k+1= 0$ donc $k = -1$. Par conséquent : $u(x)=-\mathrm{e}^{-2x}+1 = 1-\mathrm{e}^{-2x}$.\\
Alors : $u\left(\dfrac{\ln2}{2}\right)=1-\mathrm{e}^{-\ln2}=1-\mathrm{e}^{\ln\frac12}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$ donc la proposition 2 est \textbf{vraie}.

\item On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} =\sqrt{7u_{n}}$.

Effectuons une démonstration par récurrence.

Soit P$_{n}$ la proposition : \og $0\leqslant u_{n}\leqslant 7$\fg
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item \emph{Initialisation} :  $u_{0} = 2$ donc $0\leqslant u_{0}\leqslant 7$.  P$_{0}$ est vraie.

		\item \emph{Hérédité} : soit un naturel $n \in \N$ et  supposons P$_{n}$ vraie pour un.
		
Alors : $0\leqslant u_{n}\leqslant 7$. En multipliant par 7, on obtient : $0\leqslant 7u_{n}\leqslant 49$. Comme la fonction racine carré est croissante sur son ensemble de définition, on en déduit : $0\leqslant \sqrt{7u_{n}}\leqslant \sqrt{49}=7$ ;  donc la proposition est vraie au rang $n+1$.
	\end{enumerate}
L'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai au rang $n$ il l'est aussi au rang $n+1$ : on a donc démontré par récurrence que la proposition est vraie pour tout $n$, donc la proposition 3 est \textbf{vraie}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématiques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item r est la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. Une écriture complexe d'une rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ est $z'-\omega=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z-\omega)$ donc une écriture de r est : $\boxed{z'=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}3}z}$.

\item B a pour affixe $z_{B}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}6}$ et C est l'image de B par r. On en déduit : $z_{C}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}3}\times \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}6}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi6}$.  $\boxed{z_{C}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi6}}$.

\item $\boxed{z_{B}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}}$ et $\boxed{z_{C}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}}$.

\item voir figure à la fin
\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item D est le barycentre des points A, B et C affecté des coefficients 2 , -1 et 2.
		
Par conséquent : $2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=(2-1+2)\overrightarrow{OD}$ qui se traduit par l'égalité sur les affixes : 

$2z_{A}-z_{B}+2z_{C}=3z_{D}$ d'où $z_{D}=\dfrac{1}{2}(2z_{A}-z_{B}+2z_{C})=\dfrac{1}{3}\left(2\mathrm{i}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}+\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}$. \\$\boxed{z_{D}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}}$.

		\item $|z_{A}|=|\mathrm{i}|=1$ ; $|z_{B}|=\left |\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}6}\right |=1$ car, pour tout $x$, $|\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}|=1$.
		
De même, $|z_{C}|=\left |\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi6}\right |=1$ ; $z_{D}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi6}$ donc $|z_{D}|=1$.

\fbox{Les quatre points A, B, C et D sont sur le cercle centre O et de rayon 1}.
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
\item h est l'homothétie de centre A et de rapport 2. Une écriture complexe de h est : $z'-z_{A}=2(z-z_{A})$ donc $z'-\mathrm{i}-2(z-\mathrm{i})$ soit : $\boxed{z'=2z-\mathrm{i}}$.

		\item E est l'image de D par h. On a : $z_{E}=2z_{D}-\mathrm{i}=\sqrt{3}+\mathrm{i}-\mathrm{i}=\sqrt{3}$. $\boxed{z_{E}=\sqrt{3}}$.
\end{enumerate}
		\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{z_{D}-z_{C}}{z_{E}-z_{C}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}}{\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}}=\dfrac{\mathrm{i}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i}}=\mathrm{i}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right)=\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}$. $\boxed{\dfrac{z_{D}-z_{C}}{z_{E}-z_{C}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}}$.

		\item On en déduit : $\left |\dfrac{z_{D}-z_{C}}{z_{E}-z_{C}}\right |=\dfrac{CD}{CE}=\left |\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}3}\right |=1$ donc $CD=CE$.

$\arg\left(\dfrac{z_{D}-z_{C}}{z_{E}-z_{C}}\right)=\left(\overrightarrow{CE}~;~\overrightarrow{CD}\right)=\arg\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi3}\right)=\dfrac{\pi}{3}$ à $2k\pi$ près.

CDE est isocèle et l'angle au sommet vaut $\dfrac{\pi}{3}$ : \textbf{c'est un triangle équilatéral}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=2}
\begin{pspicture}(-1,-1.2)(3,2)
%repère
\psline[linewidth=0.5pt](-2,0)(3,0)\psline[linewidth=0.5pt](0,-1.2)(0,2)
%repère
\uput[dr](0,0){$O$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\pscircle(0,0){1}%cercle
\psdots(0,0)(0,1)(-0.866,-0.5)(0.866,-0.5)(0.866,0.5)(1.732,0)%points
%Noms des points
\uput[u](0,1){A}
\uput[l](-0.866,-0.5){B}
\uput[dr](0.866,-0.5){C}
\uput[ur](0.866,0.5){D}
\uput[d](1.732,0){E}
\pspolygon(0.866,-0.5)(0.866,0.5)(1.732,0)
\psline(-0.1,-0.5)(0.1,-0.5)\psline(-0.1,0.5)(0.1,0.5)
\uput[r](0,-0.5){$-\dfrac{1}{2}$}
\psline[linestyle=dashed](0,-0.5)(-0.866,-0.5)\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(0.866,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  choisi la spécialité mathématiques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f$ est la transformation dont une écriture complexe est : $z'=(2-2\mathrm{i})z+1$. Cette écriture est de la forme $z'=\alpha z+\beta$ avec $\alpha=2-2\mathrm{i}$  et $\beta=1$ donc \fbox{$f$ est une similitude directe}.

Elle a pour point fixe $\Omega$ d'affixe $\omega$ avec $\omega=\dfrac{\beta}{1-\alpha}=\dfrac{1}{1-(2-2\mathrm{i})}=\dfrac{1}{-1+2\mathrm{i}}=\dfrac{-1-2\mathrm{i}}{5}=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}\mathrm{i}$.

Le rapport de cette similitude est $|\alpha|=|2-2\mathrm{i}|=|2(1-\mathrm{i})|=2|1-\mathrm{i}|=2\sqrt{2}$.

$\alpha=2-2\mathrm{i}=2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{i}\right)=2\sqrt{2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac\pi4}$. Un argument de $\alpha$ est $-\dfrac\pi4$.

\fbox{$f$ est la similitude directe de point fixe $\Omega\left(-\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5}\mathrm{i}\right)$, de rapport $2\sqrt{2}$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{4}$}.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit B' l'image de B par f : $z_{B'}=(2-2\mathrm{i})z_{B}+1=(2-2\mathrm{i})(-4+2\mathrm{i})+1=-3+12\mathrm{i}$. $z_{B'}=-3+12\mathrm{i}$.

		\item $\dfrac{z_{B'}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}=\dfrac{-3+12\mathrm{i}-1-4\mathrm{i}}{3+5\mathrm{i}-1-4\mathrm{i}}=\dfrac{-4+8\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}=\dfrac{-4(1-2\mathrm{i})}{\mathrm{i}(1-2\mathrm{i})}=\dfrac{-4}{\mathrm{i}}=4\mathrm{i}$.
		
On en déduit que $\left(\overrightarrow{CA}~;~\overrightarrow{CB'}\right)=\arg\left(\dfrac{z_{B'}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}\right)=\arg(4\mathrm{i})=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Par conséquent, \textbf{les droites (CB') et (CA) sont orthogonales}.
	\end{enumerate}

\item Soit $M$ d'affixe $z=x+\mathrm{i}y$. $M'=\text{f}(M)$ a pour affixe $z'$ avec $z'=(2-2\mathrm{i})z+1 = $

$(2 - 2\mathrm{i})(x+\mathrm{i}y)+1=2x+2y+1+\mathrm{i}(2z-2x)$.

$\overrightarrow{CM'}$ a pour affixe $z'-z_{C}=2x+2y+(2x-2y-4)\mathrm{i}$.

$\overrightarrow{CA}$ a pour affixe $z_{\overrightarrow{CA}}=a-c=2+\mathrm{i}$.

Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{CM'}$ et $\overrightarrow{CA}$ sont respectivement $(2x+2y~;~2y-2x-4)$ et $(2~;~1)$.

$\overrightarrow{CM'}$ et $\overrightarrow{CA}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c'est-à-dire si et seulement si $2(2x+2y)+2y-2x-4=0$ soit $\boxed{x+3y=2}$ après simplifications.

\item Soit l'équation (E) ; $x+3y=2$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
	\begin{enumerate}
		\item $-4+3\times 2=-4+6=2$ donc $(-4~;~2)$ est solution de (E).

		\item (E) s'écrit alors : $x+3y=-4+3\times 2$, c'est-à-dire $x+4=3(2-y)$.

3 divise $3(2-y)$ donc 3 divise $x+4$. Il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $x+4=3k$.

En remplaçant dans l'équation, on obtient : $3k=3(2-y)$ d'où $2-y=k$ qui donne $y=2-k$.

L'ensemble des solutions de (E) est $\boxed{\mathcal{S}=\{(-4+3k~;~2-k),~k\in\mathbb{Z}\}}$
		\item On  cherche les couples solutions de (E) vérifiant $-5\leqslant x\leqslant 5$ et $-5\leqslant y\leqslant 5$.

$-5\leqslant -4+3k\leqslant 5$ donne $-1\leqslant 3k\leqslant 9$ d'où $-\dfrac{1}{3}\leqslant k\leqslant 3$. Alors $k\in\{0~;~1~;~2~;~3\}$.

$-5\leqslant 2-k\leqslant 5$ donne $-7\leqslant -k\leqslant 3$ d'où $-3\leqslant k\leqslant 7$.

Finalement, les valeurs possibles pour $k$ sont 0, 1 , 2 ou 3.

Les points $M$ dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l'intervalle [-5~;~5] et tels que les vecteurs $\overrightarrow{CM'}$ et $\overrightarrow{CA}$ soient orthogonaux sont les points de coordonnées (-4~;~2), (-1~;~1), (2~;~0) et (5~;~-1).\\
\textbf{Remarque :} on retrouve le point B qu'on avait trouvé à la question 2) a).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=8mm,nodesep=2.5pt}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\text{E}_{1}$}\taput{\small $0,2$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\text{E}_{2}$}\taput{\small $0,1$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$\text{E}_{3}~(X=3)$}\taput{\small $0,1$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{E}_3}~(X=2)$}\tbput{\small $0,9$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{\text{E}_{2}}$}\tbput{\small $0,9$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$\text{E}_{3}~(X=2)$}\taput{\small $0,05$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{E}_3}~(X=1)$}\tbput{\small $0,95$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{\text{E}_{1}}$}\tbput{\small $0,8$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\text{E}_{2}$}\taput{\small $0,05$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$\text{E}_{3}~(X=2)$}\taput{\small $0,1$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{E}_3}~(X=1)$}\tbput{\small $0,9$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{\text{E}_2}$}\tbput{\small $0,95$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$\text{E}_{3}~(X=1)$}\taput{\small $0,05$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{E}_3}~(X=0)$}\tbput{\small $0,95$}
}
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Représentons un arbre : (voir ci-dessus)

$X$ est la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties.
	\begin{enumerate}
		\item $X$ peut prendre les valeurs 0, 1 , 2 ou 3.

		\item $(X=2)=(\text{E}_{1}\cap \text{E}_{2}\cap \overline{\text{E}_{3}})\cup(\text{E}_{1}\cap \overline{\text{E}_{2}}\cap \text{E}_{3})\cup (\overline{\text{E}_{1}}\cap \text{E}_{2}\cap \text{E}_{3})$.
		
C'est une réunion d'évènements incompatibles, donc :

$p(X=2)=p(\text{E}_{1}\cap \text{E}_{2}\cap \overline{\text{E}_{3}})+p(\text{E}_{1}\cap \overline{\text{E}_{2}}\cap \text{E}_{3})+p(\overline{\text{E}_{1}}\cap \text{E}_{2}\cap \text{E}_{3})=(0,2\times 0,1\times 0,9)+(0,2\times 0,9\times 0,05)+(0,8\times 0,05\times 0,1)=0,031$.

$p(X=2)=\boxed{0,031}$.

De même : $p(X = 3) = p(\text{E}_{1}\cap\text{E}_{2}\cap\text{E}_{3})=0,2\times 0,1\times 0,1=\boxed{0,002}$.

		\item $p(X=0)=p(\overline{\text{E}_{1}}\cap\overline{\text{E}_{2}}\cap\overline{\text{E}_{3}})=0,8\times 0,95\times 0,95=\boxed{0,722}$.

$p(X = 1) - 1 - [p(X = 0) + p(X = 2) + p(X = 3)] = 1 - (0,722 + 0,031 + 0,002) = \boxed{0,245}$.

On en déduit la loi de probabilité de $X$, résumée dans le tableau suivant : 
\begin{center}
$\begin{array}{|*{5}{c|}}
\hline
x_{i}		&0		&1		&2		&3\\\hline
p(X=x_{i})	&0,722	&0,245	&0,031	&0,002\\\hline
\end{array}$
\end{center}

		\item L'espérance de $X$ est $E(X)=\sum_{i=0}^{3}x_{i}p(X=x_{i})=(0\times 0,722)+(1\times 0,245)+(2\times 0,031)+(3\times 0,002)=0,313.$
		
$\boxed{E(X)=0,313}.$
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $n$ non nul, $p\left(E_{n}\cap E_{n+1}\right)=p_{E_{n}}\left(E_{n+1}\right)\times p\left(E_{n}\right)=0,1\times p\left(E_{n}\right) = \boxed{0,1p_{n}}$.
		
De même :  $p\left(\overline{E_{n}}\cap E_{n+1}\right)=p_{\overline{E_{n}}}\left(E_{n+1}\right)\times p\left(\overline{E_{n}}\right) = 0,05 \times \left(1 - p(E_{n})\right)= \boxed{0,05(1-p_{n})}$.

		\item On a : $E_{n+1} = \left(E_{n}\cap E_{n+1}\right)\cup \left(\overline{E_{n}}\cap E_{n+1}\right)$ (réunion d'évènements incompatibles). Par conséquent : 
		
$p_{n+1}=p\left(E_{n+1}\right) = p\left(E_{n}\cap E_{n+1}\right)+ p\left(\overline{E_{n}}\cap E_{n+1}\right) = 0,1p_{n} + 0,05\left(1-p_{n}\right) = \boxed{0,05p_{n} + 0,05}$
\end{enumerate}

		\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n}=p_{n}-\dfrac{1}{19}$.
		\begin{enumerate}
			\item Pour tout $n\neq0$, $u_{n+1} = p_{n+1}-\dfrac{1}{19}= 0,05p_{n} + 0,05 -\dfrac{1}{19} = \dfrac{1}{20}p_{n} + \dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{19} = \dfrac{1}{20}p_{n} -\dfrac{1}{380} = \dfrac{1}{20}\left[p_{n}-\dfrac{1}{19}\right] = $
			
$u_{n+1} =			\dfrac{1}{20}u_{n}$.
			
Pour tout $n\neq 0$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{20}u_{n}$ donc $\left(u_{n}\right)$ est une suite \textbf{géométrique}, de raison $q = \dfrac{1}{20}$ et de premier terme $u_{1} = p_{1}-\dfrac{1}{19} = 0,2-\dfrac{1}{19} =\dfrac{1}{5}- \dfrac{1}{19} = \dfrac{14}{95}$.

			\item On en déduit : $u_{n} = u_{1}q^{n-1}$ donc $u_{n}=\dfrac{14}{95}\left(\dfrac{1}{20}\right)^{n-1}$ et $p_{n} = u_{n}+\dfrac{1}{19} = \dfrac{1}{19}+\dfrac{14}{95}\left(\dfrac{1}{20}\right)^{n-1}$.

			\item $- 1 < \dfrac{1}{20} < 1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{20}\right)^{n-1}=0$ et par conséquent : $\lim_{n\rightarrow +\infty}p_{n}=\boxed{\dfrac{1}{19}}$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances.}
	\begin{enumerate}
		\item Soit  la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$.
		
$g$ est dérivable comme différence de fonctions dérivables ; pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, $g'(x)=\mathrm{e}^x-x>0$ puisque $\mathrm{e}^x>x$ pour tout $x$.

$g'(x)$ est donc positif et g est croissante sur $[0~;~+\infty[$ ; g$(0)=1$ donc, pour tout $x\geqslant 0$, g$(x)\geqslant g(0)=1$ donc $\boxed{g(x)>0}$.

		\item On en déduit que, pour tout $x\geqslant 0$, $\mathrm{e}^x\geqslant \dfrac{x^2}{2}$. Pour $x>0$, en divisant par $x$, on obtient : $\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}>\dfrac{x}{2}$. Comme $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x}{2}=+\infty$, d'après le pré-requis, on en déduit $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=\boxed{+\infty}$.
	\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{4}x\mathrm{e}^{-\frac x2}$.
	\begin{enumerate}
		\item La fonction exponentielle est positive sur $[0~;~+\infty[$ donc, pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, $\boxed{f(x)\geqslant 0}$.

		\item Pour tout $x\geqslant 0$, $f(x)=\dfrac{1}{2}\dfrac{x}{2}\mathrm{e}^{-\frac x2}$. On pose $X=\dfrac{x}{2}$. $\lim_{x\rightarrow +\infty}X=+\infty$.
		
Par conséquent, d'après le théorème sur la composition des limites, on a :

$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{2}X\mathrm{e}^{-X}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{2}\dfrac{X}{\mathrm{e}^X}$.

On a vu dans la question 1. que $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$ donc $\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{X}{\mathrm{e}^X}=0$.

Par conséquent : $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$. La courbe $C$ admet donc une \textbf{asymptote} d'équation $y=0$ en $+\infty$.

		\item $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ comme produit et composée de fonctions dérivables.

$f=\dfrac{1}{4}u\mathrm{e}^v$ en posant $u(x)=x$ et $v(x)=-\frac x2$. Alors $f'=\dfrac{1}{4}\left(u\mathrm{e}^v\right)' = \dfrac{1}{4}\left(u'\times \mathrm{e}^v + u\times v'\mathrm{e}^v\right)$.

Pour tout $x$, on en déduit : $f'(x)=\dfrac{1}{4}\left(\mathrm{e}^{-\frac x2}+x\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\times \mathrm{e}^{-\frac x2}\right)=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{2}x\times \mathrm{e}^{-\frac x2}\right) = \boxed{\dfrac{1}{8}(2-x)\mathrm{e}^{-\frac x2}}$.

$\mathrm{e}^{-\frac x2}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2-x$ donc positif pour $x\leqslant 2$, nul en 2 et négatif pour $x\geqslant 2$.

$f$ est croissante sur $[0~;~2]$ et décroissante sur $[2~;~+\infty[$.

\textbf{Tableau de variations :}
\begin{center}
$\begin{array}{|c|lc*{3}r|}
\hline
x&0&&2&&+\infty\\
\hline
f'(x)&&+&0&-&\\
\hline
&&&\dfrac{1}{2\mathrm{e}}&&\\
f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\
&0&&&&0\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
	\end{enumerate}

\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par ; $F(x)=\int_{0}^xf(t)\text{ d}t$.
	\begin{enumerate}
		\item $F$ est la primitive de $f$ qui s'annule en 0 donc $F'=f$. Comme on a montré que $f$ était positive, $F$ est positive et $F$ est croissante.

		\item Pour tout $x$, $F(x)=\int_{0}^x\dfrac{1}{4}t\mathrm{e}^{-\frac t2}$.
		
Posons $\alpha(t)=t$ d'où $\alpha '(t)=1$

$\beta'(t)=\dfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-\frac t2}$ d'où $\beta(t)=-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac t2}$.

$\alpha$ et $\beta$ sont continues donc on peut effectuer une intégration par parties.

Alors : $F(x)=\left[-\dfrac{1}{2}t\mathrm{e}^{-\frac t2}\right]_{0}^x+\dfrac{1}{2}\int_{0}^x\mathrm{e}^{-\frac t2}\text{ d}t=-\dfrac{1}{2}x\mathrm{e}^{-\frac x2}+\dfrac{1}{2}\left[-2\mathrm{e}^{-\frac t2}\right]_{0}^x=\boxed{1-\mathrm{e}^{-\frac x2}-\dfrac{x}{2}\mathrm{e}^{-\frac x2}}$.

		\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(-\dfrac{x}{2}\right)=-\infty$ donc par composition avec la fonction exponentielle, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-\frac x2}=0$.\\
On a vu précédemment que $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x}{2}\mathrm{e}^{-\frac x2}=0$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)=1$.

On en déduit le tableau de variations de $F$ : 
\begin{center}
$\begin{array}{|c|lcr|}
\hline
x&0&&+\infty\\
\hline
F'(x)=f(x)&&+&\\
\hline
&&&1\\
F(x)&&\nearrow&\\
&0&&\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\item $F$ est continue puisque dérivable ; $F$ est strictement croissante ; $F(0)=0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)=1$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel positif $\alpha$ tel que $F(\alpha)=0,5$.

À la calculatrice, on trouve : $\boxed{\alpha\approx 3.36}$ à 0,01 près par excès.
\end{enumerate}

\item $A_{n}=\int_{0}^nf(t)\text{ d}t=F(n)-F(0)=F(n)$ car $F(0)=0$. D'après la question précédente, le plus petit entier $n$ pour lequel $A_{n}\geqslant 0,5$ est $\boxed{n=4}$.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document} 